GEOMETRIA 1 terza parte

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1 GEOMETRIA 1 terza parte Cristina Turrini C. di L. in Fisica /2015 Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 1 / 32

2 index Applicazioni lineari 1 Applicazioni lineari 2 Nucleo e immagine di un applicazione 3 Isomorfismo di spazi vettoriali 4 La matrice rappresentativa Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 2 / 32

3 Applicazioni lineari Applicazioni lineari Siano V, W spazi vettoriali sullo stesso campo K. Consideriamo un applicazione f : V W. Si dice che f è lineare (o K-lineare) se u, v V, λ, µ K è: 1) f (u + v) = f (u) + f (v), cioè f conserva la somma o f è additiva; 2) f (λu) = λ f (u), cioè f è omogenea di I grado; (1) + 2)) è equivalente a ciascuna delle seguenti: 3) f (λu + µv) = λ f (u) + µ f (v), 3 ) f ( n i=1 λ iu i ) = n i=1 λ i f (u i ) u 1,..., u n, λ 1,..., λ n K. cioè f conserva le combinazioni lineari. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 3 / 32

4 Applicazioni lineari Esempi di applicazioni lineari V spazio vettoriale, si può considerare l applicazione identica id V : V V; l applicazione identica è lineare. V, W, si può considerare 0 : V W, v 0 W. L applicazione nulla è lineare. sia V uno spazio vettoriale su K e B = {b 1,..., b n } una sua base (ordinata: qui e nel seguito parlando di base sottointenderemo sempre che lo sia); l applicazione definita da Φ B : V K n Φ B (v) = λ 1 λ λ n se v = λ 1 b 1 + λ 2 b λ n b n, è lineare. Φ B associa ad ogni vettore le sue componenti rispetto alla base B (dette anche coordinate nella base B). Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 4 / 32

5 Applicazioni lineari V = K n, W = K m, A Mat m,n (K), L A : K n K m, (prodotto riga per colonna) x A x L applicazione L A viene detta applicazione associata alla matrice A e, per le proprietà del prodotto riga per colonna, è lineare. Se A Mat m,n (K) e B Mat n,p (K), allora si hanno le applicazioni L A : K n K m e L B : K p K n per cui si può considerare la composizione L A L B : K p K m. Risulta L A L B = L A B cioè l applicazione composta L A L B è l applicazione associata alla matrice A B Mat m,p prodotto riga per colonna di A per B. Se I = I m Mat m è la matrice identica, allora L I : K m K m è l applicazione identica. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 5 / 32

6 Applicazioni lineari Lo spazio delle applicazioni lineari Siano V e W spazi vettoriali sul campo K. Denotiamo con L(V, W) (o con Hom K (V, W) o Hom(V, W)) l insieme delle applicazioni lineari da V a W. Poniamo L(V, W) = {f : V W f è lineare} + : L(V, W) L(V, W) L(V, W) (f, g) f + g (f + g)(v) = f (v) + g(v) : K L(V, W) L(V, W) (λ, f ) λf (λf )(v) = λf (v) (definizioni puntuali di somma e di prodotto per uno scalare) L(V, W) con queste leggi di composizione è uno spazio vettoriale su K. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 6 / 32

7 Applicazioni lineari Propriet`à elementari delle applicazioni lineari Siano V, W, Z spazi vettoriali sul campo K. 1) f (0 V ) = 0 W (infatti f (0 V ) = f (0 v) = 0 f (v) = 0 W ). 2) g : W Z. Se f, g sono lineari g f : V Z è lineare. (infatti g f (λu + µv) = g(f (λu + µv)) = g(λf (u) + µf (v)) = λg(f (u) + µg(f (v)) = λ g f (u) + µ g f (v)). 3) Se f è biunivoca, l applicazione inversa di f, f 1 : W V è lineare. (infatti si verifica che il vettore λf 1 (u ) + µf 1 (v ) è l inverso di λu + µv infatti f (λf 1 (u ) + µf 1 (v )) = λf (f 1 (u )) + µf (f 1 (v )) = λu + µv ). Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 7 / 32

8 Applicazioni lineari Teorema di esistenza e unicità TEOREMA - Siano V e W spazi vettoriali su K. Sia B = {b 1,..., b n } una base di V e siano w 1,..., w n W vettori comunque presi. Allora esiste una ed una sola applicazione lineare φ : V W tale che φ(b i ) = w i, i = 1,..., n Dimostrazione - Unicità. v V = B, v = α 1 b α n b n ( la scrittura è unica). Dobbiamo costruire f : V W con le condizioni richieste. Deve necessariamente essere: f (v) = f (α 1 b α n b n ) = α 1 f (b 1 ) + + α n f (b n ) = α 1 w α n w n. L unica possibile definizione è allora ( ) se v = α 1 b α n b n. f (v) = α 1 w α n w n Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 8 / 32

9 Applicazioni lineari Esistenza Si deve mostrare che l applicazione f definita in ( ) soddisfa le condizioni richieste dall enunciato. f è lineare. Infatti (ad esempio per l additività) se e allora quindi v = α 1 b α n b n. u = β 1 b β n b n, v + u = α 1 b α n b n + β 1 b β n b n = = (α 1 + β 1 )b (α n + β n )b n ; f (v + u) = (α 1 + β 1 )w (α n + β n )w n = f (v) + f (u). E analogamente per l omogeneità. f (b i ) = w i, i. Infatti b i = 0b b i + + 0b n f (b i ) = 1w i. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 9 / 32

10 Applicazioni lineari Siano sempre V e W spazi vettoriali su K, con V f.g., dim V = n, e siano v 1,..., v k V, e w 1,..., w k W. PROBLEMA - Un applicazione lineare f : V W tale che v i w i i = 1,..., k esiste? È unica? Occorre distinguere due casi 1) Se {v 1,..., v k } è l.i., allora l applicazione f esiste, ma in generale non è unica. Infatti l insieme {v 1,..., v k } si può completare a una base, cioè v k+1,..., v n t.c. {v 1,..., v k, v k+1,..., v n } sia base di V. Presi arbitrariamente w k+1,... w n W, per il teorema di esistenza e unicità!f t.c. f (v 1 ) = w 1,... f (v k ) = w k, f (v k+1 ) = w k+1..., f (v n ) = w n Quest applicazione soddisfa le nostre richieste, ma i vettori w k+1,... w n possono essere scelti arbitrariamente in W quindi in generale f. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 10 / 32

11 Applicazioni lineari 2) Se {v 1,..., v k } è l.d. allora l applicazione f in generale non esiste. Infatti, può esistere un applicazione lineare tale che f (v i ) = w i solo se le relazioni di dipendenza lineare tra i v i sussistono (con gli stessi coefficienti!) tra i w i. Ad esempio, se v 3 = v 1 v 2 f (v 3 ) = f (v 1 v 2 ) = f (v 1 ) f (v 2 ), cioè w 3 = w 1 w 2. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 11 / 32

12 index Nucleo e immagine di un applicazione 1 Applicazioni lineari 2 Nucleo e immagine di un applicazione 3 Isomorfismo di spazi vettoriali 4 La matrice rappresentativa Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 12 / 32

13 Nucleo e immagine di un applicazione Nucleo e immagine di un applicazione lineare Siano V, W spazi vettoriali su un campo K e sia f : V W lineare. Si dice nucleo di f e si indica con ker(f ) l insieme dei vettori di V che hanno per immagine il vettore nullo. ker(f ) = {v V f (v) = 0 W } Si dice immagine di f e si indica con Im(f ) l usuale immagine dell applicazione. Im(f ) = {w W v V : f (v) = w} Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 13 / 32

14 Nucleo e immagine di un applicazione Proprietà a) ker(f ) V è un sottospazio. Infatti f (0 V ) = 0 W 0 V ker(f ); Inoltre, presi λ, µ K, u, v ker(f ) si ha f (λu+µv) = λf (u)+µf (v) = λ 0 W +µ 0 W = 0 W λu+µv ker(f ). b) Im(f ) W è un sottospazio (verificarlo). TEOREMA (caratterizzazione delle applicazioni lineari iniettive)- Siano V, W spazi vettoriali f.g. su un campo K, f : V W lineare. Sono equivalenti: i) f è iniettiva; ii) ker(f ) = {0 V } (ossia dim(ker(f )) = 0; iii) v 1,..., v n l.i. f (v 1 ),..., f (v n ) l.i. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 14 / 32

15 Nucleo e immagine di un applicazione Dimostrazione i) ii) Se esistesse v 0 V tale che v ker(f ), si avrebbe f (v) = 0 W. Poichè però f (0 V ) = 0 W, verrebbe contraddetta l iniettività di f. ii) iii) v 1,..., v n V l.i. Dobbiamo dimostrare f (v 1 ),..., f (v n ) l.i. λ 1 f (v 1 ) + + λ n f (v n ) = 0 W f (λ 1 v λ n v n ) = 0 W λ 1 v λ n v n ker(f ) = {0 V } λ 1 v λ n v n = 0 V λ 1 = = λ n = 0 f (v 1 ),..., f (v n ) l.i. iii) i) Dobbiamo dimostrare che se f (v 1 ) = f (v 2 ) = w allora v 1 = v 2. f (v 1 v 2 ) = f (v 1 ) f (v 2 ) = w w = 0 W Se fosse v 1 v 2 0 V, sarebbe v 1 v 2 l.i. e f (v 1 v 2 ) = 0 W l.d.. Contro l ipotesi iii). Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 15 / 32

16 Nucleo e immagine di un applicazione TEOREMA (caratterizzazione delle applicazioni lineari suriettive)- Siano V, W spazi vettoriali f.g. su un campo K, f : V W lineare. Sono equivalenti: i) f è suriettiva; ii) dim(im(f )) = dim(w); iii) < v 1,..., v n >= V < f (v 1 ),..., f (v n ) >= W. (dimostrazione per esercizio). OSSERVAZIONE - In generale (se anche f non è suriettiva) si ha < v 1,..., v n >= V < f (v 1 ),..., f (v n ) >= Im(f ). OSSERVAZIONE - Abbiamo visto che le applicazioni lineari iniettive sono quelle che mutano insiemi di vettori l.i. in insiemi di vettori l.i. e che le applicazioni lineari suriettive sono quelle che mutano generatori di V in generatori di W. Ne segue che le applicazioni lineari biunivoche sono caratterizzate dal mutare basi in basi. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 16 / 32

17 Nucleo e immagine di un applicazione Teorema della nullità + rango TEOREMA - Siano V, W spazi vettoriali f.g. su un campo K, e sia f : V W lineare. Si ha: ( ) dim(v) = dim(ker(f )) + dim(im(f )). Dimostrazione Anzitutto osserviamo che tutti gli spazi coinvolti dalla ( ) sono f.g. perchè sottospazi di spazi f.g.. Se Im(f ) = {0}, allora f è l applicazione nulla (f (v) = 0, v V) e quindi ker(f ) = V, per cui ( ) è verificata. Possiamo quindi supporre che Im(f ) {0}. Allora Im(f ) ammette una base. Sia {c 1,..., c k } una base di Im(f ). Si prendano (arbitrariamente) vettori b 1,..., b k in V tali che f (b i ) = c i, i = 1,..., k. Se ker(f ) {0}, si prende una base {a 1,..., a r } di ker(f ). Altrimenti non si prende nessun altro vettore. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 17 / 32

18 Nucleo e immagine di un applicazione Dimostriamo che B = {a 1,..., a r, b 1,..., b k } è una base di V. Questo prova la ( ) perchè si ha dim(v) = r + k = dim(ker(f )) + dim(im(f )). B è l.i. Infatti sia ( ) α 1 a α r a r + β 1 b β k b k = 0. ( ) implica f (α 1 a α r a r + β 1 b β k b k ) = f (0) = 0, quindi 0 = f (α 1 a α r a r + β 1 b β k b k ) = α 1 f (a 1 ) + + α r f (a r ) + β 1 f (b 1 ) + + β k f (b k ) = β 1 c β k c k. Ma c 1,..., c k sono l.i. (base di Im(f )), quindi β 1 = = β k = 0, per cui diventa α 1 a α r a r = 0. Ma a 1,..., a r sono l.i. (base di ker(f )), per cui α 1 = = α r = 0. Pertanto tutti i coefficienti di ( ) sono necessariamente nulli, e quindi B è l.i.. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 18 / 32

19 Nucleo e immagine di un applicazione < B >= V Sia v V. Dobbiamo mostrare che v si può scrivere come combinazione lineare dei vettori di B. Si ha f (v) Im(f ) =< c 1,..., c k >, quindi f (v) = γ 1 c 1 + +γ k c k = γ 1 f (b 1 )+ +γ k f (b k ) = f (γ 1 b 1 + +γ k b k ). Quindi f (v) f (γ 1 b γ k b k ) = f (v γ 1 b 1 γ k b k ) = 0. Pertanto v γ 1 b 1 γ k b k ker(f ) =< a 1,..., a r > e perciò v γ 1 b 1 γ k b k = δ 1 a δ r a r. In conclusione v = γ 1 b γ k b k + δ 1 a δ r a r. COROLLARIO - Sia f : V W lineare, con V, W f.g. e dim(v) = dim(w). Allora f è iniettiva se e solo se è suriettiva se e solo se è biunivoca. Dimostrazione f iniettiva se e solo se dim(ker(f )) = 0 se e solo se dim(v) = dim(im(f )) se e solo se dim(w) = dim(im(f )) se e solo se f suriettiva. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 19 / 32

20 index Isomorfismo di spazi vettoriali 1 Applicazioni lineari 2 Nucleo e immagine di un applicazione 3 Isomorfismo di spazi vettoriali 4 La matrice rappresentativa Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 20 / 32

21 Isomorfismo di spazi vettoriali Endomorfismi, isomorfismi, automorfismi ESEMPI Un applicazione lineare biunivoca si dice isomorfismo. Un applicazione lineare da uno spazio in se stesso si dice endomorfismo. Un applicazione isomorfismo ed endomorfismo si dice automorfismo. 1 id V : V V è un automorfismo. 2 se A è una matrice quadrata m m, allora L A : K m K m è un endomorfismo. 3 se A è una matrice quadrata m m invertibile, allora L A : K m K m è un isomorfismo e l applicazione inversa di L A è (L A ) 1 = L A 1 (infatti si ha L A 1 L A = L A 1 A = L I = id). Siano V, W spazi vettoriali su un campo K. Si dice che V e W sono isomorfi, e si scrive V W, se esiste un isomorfismo f : V W. La relazione di isomorfismo è di equivalenza (verificarlo). Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 21 / 32

22 Isomorfismo di spazi vettoriali TEOREMA - Due spazi vettoriali f.g. V e W sullo stesso campo K sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione. Dimostrazione Se esiste un isomorfismo f : V W allora f trasforma una base di V in una base di W, quindi dim(v) = dim(w). Se dim(v) = dim(w) = n, allora, fissata una base B = {b 1, b 2,..., b n } l applicazione Φ B : V K n definita da Φ B (v) = λ 1 λ λ n se v = λ 1 b 1 + λ 2 b λ n b n, è un isomorfismo, da cui si deduce che V è isomorfo a K n. Analogamente si costruisce un isomorfismo Φ C : W K n. Di conseguenza (Φ C ) 1 Φ B : V W è pure un isomorfismo. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 22 / 32

23 index La matrice rappresentativa 1 Applicazioni lineari 2 Nucleo e immagine di un applicazione 3 Isomorfismo di spazi vettoriali 4 La matrice rappresentativa Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 23 / 32

24 La matrice rappresentativa Proprietà della trasformazione L A Sia A Mat m,n (K), siano K n, K m spazi vettoriali. Abbiamo visto che si può costruire L A : K n K m lineare, x A x = y. Si ha: ker L A = {x K n : L A (x) = 0 K m } = {x K n : A x = 0} = {soluzioni del sistema omogeneo A x = 0}. α 11 x α 1n x n = 0. α m1 x α mn x n = 0 ImL A = {y K m : x K n : y = L A (x)} = {y K m : x : A x = y} = {termini noti che rendono risolubile il sistema riportato qui sotto} α 11 x α 1n x n = y 1. α m1 x α mn x n = y m Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 24 / 32

25 La matrice rappresentativa Sia {e 1,..., e n } la base standard di K n. Calcoliamo L A (e i ) Per esempio, per i = 1, α 11 α 1n α L A (e 1 ) = 21 α 2n..... α m1 α mn di A = Analogamente, L A (e i ) = i-esima colonna di A. α 11 α 21. α m1 e 1,..., e n = K n quindi L A (e 1 ),..., L A (e n ) = ImL A (generatori di K n sono mutati da L A in generatori di ImL A ), pertanto i vettori colonna di A sono generatori di ImL A. = A (1) = I colonna Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 25 / 32

26 La matrice rappresentativa Costruzione della matrice rappresentativa Siano V, W spazi vettoriali sul campo K, con dim V = n, dim W = m, e siano A = {a 1,..., a n } una base (ordinata) di V, e B = {b 1,..., b m } una base (ordinata) di W. Sia f : V W lineare; f è univocamente determinata da f (a 1 ),..., f (a n ) (teorema di esistenza e unicità): noti f (a 1 ),..., f (a n ) si può ricostruire f. Scriviamo i vettori f (a 1 ),..., f (a n ) W come combinazioni lineari dei vettori della base B : f (a 1 ) = α 11 b 1 + α 21 b α m1 b m f (a 2 ) = α 12 b 1 + α 22 b α m2 b m. f (a n ) = α 1n b 1 + α 2n b α mn b m Gli α ij sono univocamente determinati da f e la determinano univocamente. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 26 / 32

27 La matrice rappresentativa Costruiamo la matrice A Mat m,n (K) le cui colonne sono le coordinate dei vettori f (a 2 ) nella base B: α 11 α 12 α 1n α A = 21 α 22 α 2n α m1 α m2 α mn Vogliamo dimostrare che f = L A. Consideriamo il diagramma f V W Φ A Φ B ( ) K n L A K m in cui Φ A denota l applicazione che ad ogni vettore di V associa le sue coordinate nella base A e Φ B quella che ad ogni vettore di W associa le sue coordinate nella base B. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 27 / 32

28 La matrice rappresentativa Il quadrato ( ) commuta, ossia si ha ( ) L A Φ A = Φ B f. Trattandosi di applicazioni lineari, (per il teorema di esistenza e unicità) basta verificare l uguaglianza ( ) sui vettori di una base. Verifichiamola sui vettori della base A = {a 1,..., a n }. Ad esempio, per a 1, L A Φ A (a 1 ) = L A (e 1 ) = I colonna di A = α 11 α 21. α m1 Φ B f (a 1 ) = Φ B (α 11 b 1 + α 21 b α m1 b m ) = α 11 α 21. α m1. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 28 / 32

29 La matrice rappresentativa In generale, L A (Φ A (a i )) = A (i) = i esima colonna di A Φ B (f (a i )) = A (i) = i esima colonna di A quindi L A Φ A = Φ B f. Ricapitolando: tutti gli spazi vettoriali f.g. sono del tipo K n ; tutte le applicazioni lineari tra spazi vettoriali f.g. sono del tipo L A. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 29 / 32

30 La matrice rappresentativa L applicazione M A B Abbiamo visto che, dati due spazi vettoriali V e W di dimensioni rispettive n e m, e date le basi (ordinate) A e B di V e W rispett., ad una applicazione lineare f : V W può essere associata una matrice A tale che essenzialmente si abbia f = L A. La matrice A si dice associata ad f rispetto alle basi A e B o rappresentativa di f rispetto alle basi A e B e si scrive Abbiamo costruito un applicazione A = M A B (f ). M A B : L(V, W) Mat m,n, f A Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 30 / 32

31 La matrice rappresentativa Siano V, W e Z spazi vettoriali (su K) di dimensioni rispettive n, m e l, con basi rispettive A, B e C e siano f : V W e g : W Z applicazioni lineari. PROPRIETÀ (si omettono le dimostrazioni) M A B è un isomorfismo tra gli spazi vettoriali L(V, W) e Mat m,n. M A C (g f ) = M B C (g) M A B (f ), cioè alla composizione di applicazioni lineari corrisponde il prodotto riga per colonna delle matrici rappresentative. Nel caso m = n, V = W, A = B si ha M A B (id V ) = I m. Nel caso m = n, se f : V W è un isomorfismo, e f 1 : W V è l isomorfismo inverso, allora la matrice M A B (f ) è invertibile e si ha M A B (f ) 1 = M B A(f 1 ). Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 31 / 32

32 La matrice rappresentativa Conseguenza: se V è uno spazio vettoriale e A, B sono due sue basi, e f : V V è un endomorfismo, allora esiste una matrice invertibile N tale che ( ) M A A(f ) = N 1 M B B(f ) N. Infatti basta prendere N = M B A (id V) (verificarlo). Due matrici quadrate A, B Mat n si dicono simili se esiste una matrice invertibile N GL(n) tale che B = N 1 A N. La formula ( ) mostra che le matrici rapprentative rispetto a basi diverse di uno stesso endomorfismo sono matrici simili (si noti però che in entrambi i casi la base deve essere la stessa in dominio e codominio!). OSSERVAZIONE - Nel caso V = K n, W = K m e f = L A, con A Mat m,n, la matrice rappresentativa rispetto alle basi canoniche di L A è proprio A. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 32 / 32