Geometria BAER I canale Foglio esercizi 2

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1 Geometria BAER I canale Foglio esercizi 2 Esercizio 1. Calcolare il determinante e l inversa (quando esiste) della matrice ( ) cos θ sin θ R θ =, θ [0, 2π] sin θ cos θ Soluzione: Il determinante ( é cos 2 θ ) + sin 2 θ = 1 θ [0, 2π]. Quindi la matrice è sempre invertibile con inversa R 1 cos θ sin θ θ =. Usando le identità sin( θ) = sin θ e cos( θ) = cos θ si vede sin θ cos θ R 1 θ = R θ. Esercizio 2. x + 2y + 3z = 1 È dato il sistema di tre equazioni in tre incognite S : x + 3y + 6z = 3. 2x + 6y + 13z = 5 a) Usare il teorema di Cramer per concludere che S ammette un unica soluzione. b) Trovare l inversa della matrice dei coefficienti e la soluzione di S. Soluzione: Il determinante della matrice dei coefficienti è 1, quindi il sistema è Crameriano soluzione è data da = L unica Esercizio 3. x + y + z = 1 Si consideri il sistema lineare S : 2x + 3y + 4z = 3 5x + 8y + 9z = 5 (a) Si verifichi che il sistema è Crameriano. (b) Si inverta la matrice dei coefficienti e si scriva l unica soluzione del sistema. Soluzione: a) Il determinante della matrice dei coefficienti è 1/2. Esercizio 4. a) Trovare una matrice quadrata, non nulla, di ordine 3, tale che A 2 = O (Suggerimento: non provate formalmente ad impostare un sistema nei coefficienti e a risolverlo; provate prima per tentativi pensando anche al caso di ordine 2) b) Dimostrare che, se A 2 = O, allora det A = 0. c) Trovare una matrice A di ordine 3, diversa da O e da I, tale che A 2 = A. d) Se A 2 = A, quali valori può assumere det A?

2 Soluzione: a) Ad esempio o anche. b) Per la formula di Binet 0 = det A 2 = (det A)(det A) c) Ad esempio 0 1 0, oppure d) Qui la formula di Binet implica che il determinante di A soddisfi x 2 = x Esercizio 5. Siano A, B matrici quadrate invertibili. Si dimostri che AB è invertibile e si scriva l inversa. Soluzione: Poichè esistono le matrici A 1 e B 1 possiamo considerare il prodotto B 1 A 1. moltiplicando ABB 1 A 1 = AIA 1 = AA 1 = I. Analogamente moltiplicando a sinistra. Si noti che a causa della non commutatività del prodotto l inversa non è A 1 B 1. Esercizio 6. Si usi l algoritmo di Gauss per calcolare il determinante della matrice Soluzione: 154 Esercizio 7. Si usi l algoritmo di Gauss sulla matrice a blocchi come visto in classe per trovare l inversa (se esiste) della matrice di ordine tre a sinistra. Verificare il risultato calcolando l inversa anche utilizzando la formula. Soluzione: Una (possible) successione di operazioni elementari dà come risultato Esercizio 8. x + y + z = 1 Si consideri il sistema lineare S : 2x + 3y + 4z = 3 5x + 8y + 9z = 5 (a) Si verifichi che il sistema è Crameriano.

3 (b) Si applichi l algoritmo di Gauss alla matrice a blocchi fino ad arrivare ad avere la matrice identità nel blocco a sinistra come visto in classe, e si verifichi che il vettore nel blocco destro così ottenuto è la soluzione di S Soluzione: a) Il determinante della matrice dei coefficienti è 1/2. b) Con le operazioni elementari R 2 R 2 2R 1, R 3 R 3 5R 1, R 3 R 3 3R 2, R R 3 otteniamo la matrice Conle ulteriori operazioni R 2 R 2 2R 3, R 1 R 1 R 2, R 1 R 1 R 3 arriviamo alla matrice a blocchi 3 2 (I 3, 2. Sostituendo si vede che il vettore è (l unica) soluzione. 3 2 Esercizio 9. Sia A una matrice qualsiasi. Si trovino le matrici M che moltiplicate per A a destra (cioè MA) danno come risultato la matrice ottenuta da A (a) scambiando la riga i con la riga j (b) moltiplicando una riga i per uno scalare k 0. (c) aggiungendo alla riga i un multiplo della riga j (d) si calcolino i determinanti di queste matrici e si utilizzi il risultato per dimostrare la proposizione sull effetto delle operazioni elementari sul determinante visto in classe Soluzione: Le matrici sono le matrici che si ottengono dall identità applicando l operazione corrispondente. Lo scambio di due righe si effettua moltiplicando A per la matrice M ottenuta dall identità scambiando le due righe corrispondenti. Questa matrice ha determinante 1, quindi applicando Binet il determinante della matrice ottenuta da A scambiando due righe ha segno opposto. Nel caso della moltiplicazione per uno scalare la matrice è diagonale con tutti uno sulla diagonale ad eccezione dell elemento della riga i che è k. Il determinante quindi è k. Ancora con Binet il determinante della matrice così ottenuta è k det A. Nel terzo caso la matrice è triangolare superiore o inferiore con tutti gli elementi della diagonale uguali a 1 e l unico elemento non nullo fuori dalla diagonale è quello sulla riga i colonna j che è uguale a k. Il determinante quindi è 1 e la matrice ottenuta da A mediante questa operazione avrà determinante uguale a quello di S. 3 2 Esercizio 10. Calcolare il rango delle seguenti matrici utilizzando la definizione con i minori A = B =

4 Soluzione: Il determinante di A è 5; il minore µ 123,234 di B (orlato di µ 12,12 ) ha determinante 4. Esercizio 11. Usare l algoritmo di Gauss per calcolare il rango della matrice Soluzione: Con le operazioni elementari R 2 R 2 2R 1, R 3 R 3 + R 1, R 4 R 4 3R 1, R 5 R 5 4R 1, R 3 R 3 3R 2, R 4 R 4 + R 2, R 5 R 5 2R 1, R 5 R R 3 si ottiene la matrice a scalini Ci sono 3 pivot quindi il rango è Esercizio 12. Discutere le soluzioni del seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z al variare del parametro k. 3x + kz = k kx + 3z = k ky + z = 1 Soluzione: Il determinante della matrice dei coefficienti è k(k 2 9), quindi la matrice dei coefficienti ha rango 3 per k / {0, 3, 3}. Per k = 0 la matrice dei coefficienti ha rango 2 mentre quella comleta ha rango 3 quindi il sistema è incompatibile. Per k = 3 entrambe le matrici hanno rango 2, quindi abbiamo 1 soluzioni. Per k = 3 Abbiamo ancora un sistema incompatibile. Per tutti gli altri valori di k la soluzione è unica. Esercizio 13. Si considerino le matrici (a) Calcolare il rango di A e A A = A = (b) Si scriva la terza colonna di A come combinazione lineare delle altre due (se possibile). (c) Si scriva la terza riga di A come combinazione lineare delle prime due (se possibile). Soluzione: Entrambe hanno rango 2, infatti C 3 = 2C 1 + 3C 3. c) R 3 = 5 3 R R 2

5 Esercizio 14. Si discutano le soluzioni del sistema dipendente da un parametro k (k 2)x 1 + x 2 + 3x 3 = 0 (k 2)x 2 + 2x 3 = 0 x 2 + (k 1)x 3 = 0 7x 2 + 2x 3 + x 4 = 0 Soluzione: Il sistema è omogeneo, quindi sempre compatibile. Il determinante della matrice dei coefficienti é (k 2)(k 2 3k) quindi la soluzione non é unica (quindi esistono autosoluzioni) se k = 0, 2, 3. Si verifica che in questi tre casi la matrice dei coefficienti ha rango 3 quindi si hanno 1 soluzioni. Esercizio 15. Si consideri il sistema omogeneo e si denoti con A la sua matrice dei coefficienti. x 1 + x 3 + x 4 = 0 S : x 1 + 2x 2 x 3 + 3x 4 = 0 2x 1 + 3x 2 x 3 + 5x 4 = 0 (a) Si dimostri che il rango di A è 2 calcolando i determinanti dei minori orlati del minore µ 12;12. (b) Si scriva una serie di operazioni elementari di riga che trasformano la matrice A in una matrice equivalente per righe in cui le prime due righe sono le stesse di A, mentre l ultima riga è nulla. (c) In questo modo si è dimostrato che S è equivalente al sistema { S x1 + x 3 + x 4 = 0 : x 1 + 2x 2 x 3 + 3x 4 = 0 Si trovino le soluzioni di S (che sono anche quelle di S). (d) Si trovi un vettore b R 3, diverso dal vettore nullo, tale che il sistema Ax = b abbia infinite soluzioni dipendenti da due parametri, ed un vettore c R 3 tale che il sistema Ax = c sia incompatibile. Soluzione: a) µ 123;123 = 0, µ 123;124 = 0 b) R 3 R R 1, R 3 R R 2 c) x 1 = (t + s), x 2 = t s, x 3 = t, x 4 = s. d) Affinchè il sistema sia compatibile dobbiamo avere che le componenti di b, verifichino b 3 = 1 2 b b 2, altrimenti con le operazioni di riga della parte b) otterremmo un pivot sulla colonna dei termini noti nella terza riga. Se il sistema è compatibile, ancora una volta il sistema è equivalente al sistema formato dalle prime due equazioni quindi abbiamo 2 soluzioni. Esercizio 16. Una matrice quadrata A si dice simmetrica se a ij = a ji, i = 1...., n; j = 1,..., n, antisimmetrica se a ij = a ji i = 1...., n; j = 1,..., n, (attenzione in entrambi i casi abbiamo le equazioni per gli elementi della diagonale a ii = ±a ii ). (a) Quanti parametri liberi sono necessari per descrivere gli insiemi delle matrici simmetriche e antisimmetriche 3 3?

6 Soluzione: rispettivamente 6 e 3 (b) Quanti parametri liberi sono necessari per descrivere gli insiemi delle matrici simmetriche e antisimmetriche n n? Soluzione: rispettivamente n(n + 1)/2 e n(n 1)/2: infatti nel primo caso le equazioni a ii = a ii non sono significative, e le equazioni a ij = aji sono ripetute due volte. Abbiamo quindi (n 2 n)/2 = n(n 1)/2 equazioni significative in n 2 incognite e il risultato segue usando Rouché -Capelli. Per le matrici antisimmetriche il discorso è analogo, tenendo conto che in questo caso le equazioni per gli elementi della diagonale a ii = a ii a ii = 0 sono significative.