Y (s) X(s) = H(s) 1 + G(s)H(s) H(s) e la funzione di transfert open loop e Y (s)/x(s) indica la funzione di transfert closed loop.

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1 1 Cenni introduttivi sulle proprieta elementari del Feedback La tecnica del feedback e applicata molto estesamente nei circuiti analogici, ad es. il feedback negativo permette eleborazioni i segnali con alta precisione e il feedback positivo rende possibile la costruzione dei oscillatori. Di seguito si analizzano le caratteristiche principali del feedback negativo. Un sistema con feedback negativo e rappresentato dallo schema seguente: X(s) H(x) Y(s) G(s) H(s) e G(s) rappresentano reti feedforward e feedback. L output del sistema Y (s) sara dato da Y (s) = H(s)[X(s) G(s)Y (s)] dove si indica con [X(s) G(s)Y (s)] l errore di feedback. Y (s) X(s) = H(s) 1 G(s)H(s) H(s) e la funzione di transfert open loop e Y (s)/x(s) indica la funzione di transfert closed loop. (1)

2 2 Nel modello H(s) rappresenta un amplificatore e G(s) e una una quantita indipendente dalla frequenza: una frazione del segnale di output e riportato in input e confrontato generando un termine d errore. In un sistema con un feedback accurato il termine d errore e minimizzato, rendendo la G(y) una copia fedele dell input e quindi l output una replica fedele dell input. X(s) H(x) Y(s) G(s) Si dice che l input di H(s) e un ground virtuale, perche l ampiezza del segnale in questo punto e molto piccola. La G(s), poiche indipendente dalla frequenza, sara sostituita con β, fattore di feedback. Si individuano 4 elementi in un sistema con feedback: -1) l amplificatore feedforward -2) un elemento per sentire l output -3) una rete di feedback -4) un elemento per generare l errore di feedback Elementi presenti in ogni sistema con feedback, anche se non sempre individuabili facilmente, come ad es. in uno stadio common-source con degenerazione resistiva.

3 3 Proprieta dei circuiti con feedback Tre sono i benefici principali del feedback negativo: desensibilizzazione del guadagno, modifica dell impedenza ai terminali e modifica della bandwidth. Desensibilizzazione Nello stadio CS della fig. (a) il guadagno e g m1 r 01, che non e proprio fisso perche soggetto alle variazioni con la temperatura di g m1 e r o1. Vdd Vdd I1 I1 C2 M1 C1 M1 X Inserendo una rete di feedback come in figura (b) il guadagno totale in tensione, a basse frequenze di modo che C 2 non carichi il nodo di output, i.e. V out /V X = g m1 r o1, dato (V out V X )C 2 s = (V X V in )C 1 s, si ha V out 1 V in = Se g (1 1 g m1 r ) C 2 o1 C 1 m1 r o1 1, trascurando i termini a 1 g m1 r o1 denominatore, si puo scrivere V out V in = C 1 C 2 Il guadagno in questo caso e controllato meglio, perche C 1 e C 2 sono meno soggetti a variazioni con il tempo e la temperatura: desensibilizzazione.

4 4 Il feedback negativo desensibilizza il guadagno, i.e. il guadagno closed-loop e molto meno sensibile ai parametri circuitali del guadagno open-loop. X A Y Y X = β Si puo quantificare questa proprieta scrivendo, vedi figura: A 1βA 1 β (1 1 βa ) assumendo βa 1. Al primo ordine il guadagno di closed-loop e determinato da β, e dato che βa 1 anche se il guadagno open loop varia di un fattore 2 non modifica il rapporto Y/X. La quantita βa si chiama guadagno di loop e importante perche quanto maggiore tanto minore sara la variazione di Y/X al variare di A. N.B. Se β aumenta il guadagno closed loop diminuisce, quindi e necessario un aggiustamento tra precisione e guadagno: si comincia con un guadagno alto e si applica un feedback per ottenere un guadagno minore ma meno sensibile. Inoltre l output della rete di feedback e uguate a X A/(1 βa), avvicinandosi ad Y man mano che βa 1. come suggerito precedentemente.

5 5 Per calcolare il guadagno di loop si procede nel seguente modo, vedi figura: si mette l input a zero, si interrompe il loop in qualche punto, si inietta un segnale di test nella direzione giusta, si segue il segnale lungo il loop e si ottiene il valore di ritorno al punto di interruzione, il negativo della funzione di trasferimento cosi ottenuto costituisce il guadagno di loop. N.B. adimensionale!!! Infatti da figura si X(s)=0 A ricava che V t β(1)a = V f e quindi V f /V t = βa. β V1 Vf Vdd I1 Vt C1 C2 M1 Vf procedendo in questo modo con lo stadio CS con feedback, vedi figura, si scrive C V 2 t C 1 C 2 (g m1 r o1 ) = V f, che vale V f V t = C 2 C 1 C 2 g m1 r o1.

6 6 Quali sono i 4 elementi di feedback nel circuito CS analizzato? -1 Il transistor M 1 ed il current source I 1 costituiscono l amplificatore feedforward. -2 La capacita C 2 sente la tensione di output e -3 la converte in un segnale di corente di feedback, che e -4 sommata alla corrente prodotta da V in attraverso C 1. N.B. Il feedback e negativo anche se le correnti attraverso C 1 e C 2 sono sommate, perche e l amplificatore feedforward stesso fornisce un guadagno negativo. La desensibilizzazione del guadagno per via del feedback mette in evidenza molte altre proprieta del feedback. Si e visto come anche una grande variazione del guadagno A tocchi Y/X molto marginalmente se βa 1. Queste variazioni possono derivare da diverse sorgenti: processo di fabbricazione, temperatura, frequenza e carico.

7 7 Modifica delle impedenze dei terminali di input ed output Nel circuito, si nota che il sense di V out di uno stadio CG e un divisore capacitivo, che applica il risultato al gate del current source M 2 e quindi ritornando un segnale di corrente di feedback all input. Si vuole determinare le impedenze di input ed output con e senza feedback. VDD RDD C1 Vb M1 P M2 Rin C2 Rompendo il loop, e trascurando le modulazioni di lunghezza di 1 canale, si puo scrivere: R in,open = g m1 g mb1. Per calcolare la resistenza di input, a loop chiuso, si inietta un segnale V X, allora V out = (g m1 g mb1 )V X R D e C V P = V 1 out C 1 C 2. Cosi la corrente I D,M2 per piccoli segnali e I D,M2 = g m2 V P. Aggiungendo I D,M2 alla I D,M1 con la polarita giusta si ottiene I X : I X = (g m1 g mb1 )V X g m2 V P = (g m1 g mb1 )(1 g m2 R D C 1 C 1 C 2 ) V X

8 8 Ricavando la R in,closed si ha: R in,closed = V X I X = 1 g m1 g mb1 1 C 1 g m2 R 1. (2) D C 1 C 2 Si conclude che il feedback negativo riduce l impedenza di input di un fattore 1 g m2 R D C 1 /(C 1 C 2, e si vede che il termine e il guadagno di loop. g m2 R D C 1 /(C 1 C 2 ) Nel circuito i 4 elementi, caratteristici del feedback negativo, si individuano in: (1) l amplificatore forward e costituito da M 1 e R D, (2) l output e sentito da C 1 e C 2, (3) la rete di feedback e costituita da C 1, C 2 e M 2 e (4) la sottrazione avviene nel dominio di corrente al terminale di input.

9 9 Per valutare la modifica dell impedenza di output ad opera del feedback si consideri il seguente circuito con stadio Common-Source. Nel circuito, C 1,C 2 e M 2 sentono la tensione di output e ritornano una corrente uguale a [C 1 /(C 1 C 2 )]V out g m2 alla sorgente di M 1. VDD RD M1 C1 M2 P RS C2 Si calcola la resistemza di output, a basse f, mettendo a zero l input. Cosi si ha: I D1 = V X C 1 C 1 C 2 g m2 R s R s 1 g m1 g mb1. Poiche I X = V X /R D I D1, si ha : V X I X = R D 1 g m2r s (g m1 g mb )R D (g m1 g mb1 )R s 1 (3) C 1 C 1 C 2 Poiche a denominatore c e un termine che lo aumenta, (uno piu loop di guadagno), ne deriva che l impedenza di output e diminuita.

10 10 Modifica della bandwidth Per valutare l effetto del feedback negativo sulla bandwidth si puo utilizzare il seguente esempio. Si suppone che l amplificatore feedforward, loop aperto, abbia una funzione di trasferimento ad un polo, A(s) = A 0 1 s ω 0. (4) dove A 0 indica il guadagno a basse frequenze ed ω 0 e la bandwidth a 3-dB. Da quanto visto in precedenza, si puo calcolare la funzione di transfer closed-loop del sistema come: Y X (s) = A 0 1s/ω 0 1 β A 0 1s/ω 0 = A 0 1 βa 0 s/ω 0 = A 0 1βA 0 1 s (1βA 0 )ω 0 (5) La (5) mostra chiaramente che il numeratore e il guadagno closed-loop a basse frequenze, come previsto, mentre il denominatore mostra un polo a (1 βa 0 )ω 0. Cosi a scapito della riduzione del guadagno a loop aperto A 0, la bandwidth a 3-dB risulta aumentata di un fattore (1 βa 0 ).

11 11 Si vede chiaramente dalla figura l effetto sulla bandwidth dall introduzione del X(s) β ω feedback negativo. ωο (1βΑο)ωο L aumento della bandwidth ha origine fondamentalmente dalla desensibilizzazione del guadagno, dovuta al feedback. Infatti, se A e abbastanza grande, il guadagno closed-loop e circa 1/β, anche se A subisce variazioni. Dalla figura si vede che A varia con la frequenza, piuttosto che per cause di fabbricazione o temperatura, ma il feedback negativo sopprime queste variazioni, allargando la bandwidth. Y(s) Y/X Ao Ao 1 βα =1/ β Ad alte frequenze, comunque, se A scende a valori molto bassi, allora βa diventa confrontabile con l unita e quindi il guadagno closed-loop cade sotto 1/β.

12 12 La modifica della bandwidth produce anche effetti sulla velocita della funzione di f 3dB =10MHz f 3dB =100MHz f 3dB =100MHz Av=100 Av=10 Av=10 τ =16ns τ=1.6νσ trasferimento. (a) t (b) t Si debba amplificare un onda quadra di 20MHz di un fattore 100 con un massimo di bandwidth, ma si abbia solo un amplificatore con un open-loop gain di 100 e una bandwidth 3-db di 10MHz. Applicando l onda all input dell amp open loop, la risposta appare come in (a), causa la lunga costante di tempo, 1/(2πf 3dB ) 16ns. Con il feedback si porti il guadagno a 10 e la bandwidth a 100MHz. Con due amp di questo tipo in cascata (b), si ottiene una risposta piu veloce ed un guadagno totale di 100. Naturalmente il consumo raddoppia, ma altrimenti non si sarebbe potuto ottenere lo stesso risultato con un solo amp open loop.

13 13 Il feedback non migliora il rendimento in termini di noise dei circuiti. Si consideri il circuito di fig. (a) dove un amplificatore di guadagno open loop A 1 ha una tensione di noise riferita all input V n ed una rete di feedback β. Vn Vn A 1 A 1 β β (a) (b) In output si avra (V in βv out V n ) = V out che significa: V out = (V in V n ) A 1 1 βa 1 (6) che e la rappresentazione del circuito come in fig. (b) che mette in evidenza come il noise V n riferito all input e ancora il noise totale del circuito. Questa analisi si estende a tutte le topologie di feedback e mostra come la tensione e la corrente di noise riferita all input rimangono le stesse se la rete di feedback NON introduce noise.

14 14 In pratica, la rete di feedback stessa puo contenere resistori o transistori che degradano il rendimento del noise. negli schemi generali l output V out e lo stesso che e sentito dal feedback, ma non sempre e cosi. In figura l output e preso al drain di M 1 mentre la rete di feedback sente la tensione RD VDD A 1 M1 RS alla sorgente di M 1. Nella figura il V n,in e I n,in del circuito closed loop puo non essere uguale a quello del circuito open-loop anche se la rete di feedback e noiseless. Del circuito in figura si consideri solo il noise di R D e V n,rd. Il guadagno in tensione del closed-loop vale : A 1 g m R D /(1 (1 A 1 )g m R s

15 15 La tensione di noise riferita all input dovuta a R D vale V n,in,closed = V n,rd A 1 R D [ 1 g m (1 A 1 )R s ] (7) Per il circuito open-loop il noise riferito all input vale: V n,in,open = V n,rd A 1 R D [ 1 g m R s ] (8) In questo caso la rete di feedback opera anche sul noise e lo modifica, per cui anche il SNR risulta alterato. Interessante il caso con A 1, V n,in,closed V n,rd R s /R D per cui si ha V n,in,open 0. Ma questo vale anche per il segnale in ingresso!