Margine di fase e margine di guadagno

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1 Margine di fase e margine di guadagno Prendiamo in considerazione sistemi per i uali la funzione ad anello aperto, L(s), sia stabile e non presenti dunue, poli a parte reale positiva. In tal caso il criterio ristretto di Nyuist afferma che il sistema a ciclo chiuso, è stabile se il suo diagramma polare non circonda il punto 1+j0. In maniera maccheronica, possiamo affermare che tanto più il diagramma polare del sistema a ciclo chiuso si trova a destra di tale punto, tanto più siamo lontani dalle condizioni di instabilità. Costruiamo allora, una circonferenza di raggio unitario centrata nell origine e che, dunue, passi per il punto 1+j0. il diagramma polare attraversa la circonferenza nel punto P. L ampiezza dell arco di circonferenza compreso fra il punto P ed il punto 1+j0, rappresenta un indice del margine di sicurezza riguardo alla stabilità del sistema. Indichiamo con C l angolo 1

2 rappresentante la fase in corrispondenza della uale il diagramma polare attraversa la circonferenza. Indichiamo, invece, con m la distanza di C da 180. Essa viene detta margine di fase. Se m è positivo vuol dire che C è minore di 180, per cui il diagramma polare non conterrà il punto 1+j0 ed il sistema sarà stabile. Se invece m risulta negativo, C è maggiore di 180 per cui il diagramma polare conterrà il punto 1+j0 ed il sistema a ciclo chiuso sarà instabile. L angolo C è detto anche fase critica. Possiamo anche dare la seguente definizione Il margine di fase ci dice di uanto può variare la fase della risposta armonica di L(s) prima che il sistema a ciclo chiuso diventi instabile. Torniamo a considerare la figura precedente. Stavolta prendiamo in considerazione il punto Q in corrispondenza del uale il diagramma polare attraversa l asse delle ascisse. Affinché il sistema a ciclo chiuso risulti stabile occorre che Q sia a destra del punto 1+j0. Più Q è distante dal punto 1+j0, maggiore è il margine di sicurezza. Il punto Q è naturalmente un punto in cui la fase è pari a IL modulo di L(s), in corrispondenza della pulsazione per la uale la fase è pari a 180, sarà minore di 1 L( j ) < 1 per ottenere un modulo pari ad 1 si deve moltiplicare allora L(j ) per una uantità Gm L( j ) = 1 G m 2

3 Gm viene detto margine di guadagno. Tanto più esso è grande tanto più è stabile il sistema. Il margine di guadagno ci dice di uanto si può aumentare il guadagno di L(s) prima che il sistema a ciclo chiuso diventi instabile. Il margine di fase e di guadagno possono essere ricavati anche dalla lettura dei diagrammi di Bode per ricavare il margine di fase dobbiamo trovare prima la fase critica. Poiché essa corrisponde al punto in cui il diagramma polare attraversa la circonferenza di raggio unitario, bisogna cercare sul diagramma di Bode del modulo la pulsazione C in corrispondenza della uale il diagramma assume il valore nullo in decibel (modulo unitario). A uesto punto leggiamo sul diagramma delle fasi, in corrispondenza di C, la fase C e la sua distanza da 180. Per il margine di guadagno, occorre leggere sul margine di fase la pulsazione in corrispondenza della uale la fase è pari a 180. Determinata la, si legge sul 3

4 diagramma del modulo in corrispondenza di uesta pulsazione, il guadagno. La sua distanza da 0 rappresenta il margine di guadagno in decibel. Se il diagramma polare attraversa in più punti la circonferenza di raggio unitario, i risultati precedenti si possono generalizzare. Consideriamo, ad esempio, la seguente figura analizzando gli esempi di figura a e b possiamo affermare che il sistema di figura a è instabile perché il diagramma polare attraversa l arco della circonferenza compreso fra la fase nulla e la fase 180, un numero pari di volte, mentre il sistema di figura b è stabile perché attraversa tale arco di circonferenza un numero dispari di volte. Questo risultato vale perché il diagramma parte all esterno della circonferenza, cioè il guadagno statico µ L è maggiore di uno. Analizzando la figura seguente 4

5 si vede invece, che, se il diagramma parte all interno della circonferenza ( µ <1), il discorso viene ribaltato ed il sistema risulta instabile se attraversa l arco di circonferenza un numero dispari di volte ed è stabile se lo attraversa un numero pari di volte. L 5

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