Campi magnetici generati da corrente
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- Cristina Romagnoli
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1 Campi magnetici generati da corrente E noto che una particella carica in moto genera un campo magnetico nella zona circostante. Vediamo ora come calcolare il campo magnetico generato da una corrente. Suddividiamo il filo percorso da corrente in elementi differenziali ds con direzione tangente al filo e verso pari a quello della corrente. L intensità del campo magnetico nel punto P per un elemento i ds (corrente-lunghezza) è: db = μ 0 i ds sin θ 4π r 2 θ = angolo tra d Ԧs e Ԧr La direzione di db è la risultante dal prodotto vettoriale ds x r μ 0 = 4π 10 7 T m/a T m/a permeabilità magnetica del vuoto db = μ 0 4π i d Ԧs rƹ r 3 legge di Biot Savart
2 Domanda In figura un pezzo di filo percorso da corrente. Si consideri il campo magnetico prodotto. Ordinare i punti A, B, C in ordine decrescente delle intensità del campo magnetico generato in quei punti dalla corrente che scorre nell elemento di lunghezza ds.
3 Campi magnetici dovuti alla corrente in fili percorsi da corrente
4 Campo magnetico di un filo rettilineo Consideriamo un filo infinito e un punto P a distanza R. Prendiamo un elementino ds a distanza s dall asse di R e un altro simmetrico. I contributi di questi due elementi sono identici in P perciò si sommano. B = 2 න db = 2 μ 0i 0 4π න ds sin θ 0 r 2 r = s 2 + R 2 sin θ = sin(π θ) = R s 2 + R 2 B = μ 0i 2π න 0 R ds s 2 + R 2 3/2 = μ 0i 2πR s s 2 + R 2 1/2 = μ 0i 0 2πR B = μ 0i 2πR filo infinitamente lungo
5 Campo magnetico di un filo piegato ad arco db = μ 0 i ds sin 90 4π R 2 = μ 0 i ds 4π R 2 Consideriamo un filo piegato ad arco di cerchio che sottende un angolo φ. Sappiamo che ds = R dφ. φ μ 0 i R dφ B = න db = න 0 4π R 2 = μ φ 0i 4πR න dφ 0 B = μ 0iφ 4πR campo magnetico nel centro di curvatura B = μ 0i 2π 4πR = μ 0i 2R al centro di una spira circolare
6 Forza tra due conduttori paralleli Due fili infinitamente lunghi e paralleli percorsi da corrente esercitano forze l uno sull altro. B a = μ 0i a 2πd intensità di B a nei punti del filo b ԦF ba = i b L B a F ba = i b LB a sin 90 = μ 0Li b i a 2πd Per trovare la forza esercitata su un filo percorso da corrente per effetto di un secondo filo percorso da corrente, si trova prima il campo generato dal secondo filo nella posizione del primo filo, poi si trova la forza sul primo filo esercitata da questo campo. La forza agente sul filo a è rivolta verso b. Correnti parallele e concordi si attraggono e correnti parallele ma discordi si respingono.
7 Domanda Una molla a spirale che non è attraversata da corrente viene appesa al soffitto. Chiudendo poi un interruttore, si fa passare una corrente nella molla. Cosa accade alla spire della molla? a) Si avvicinano b) Si allontanano c) Non si spostano
8 Legge di Ampère Come per l elettrostatica, anche nel magnetismo è possibile semplificare il calcolo del campo magnetico se si ha una distribuzione di corrente simmetrica. ර B d Ԧs = μ 0 i ch legge di Ampère Integrale lungo una linea chiusa del prodotto scalare è pari a μ 0 per la corrente netta i ch che fluisce attraverso la superficie chiusa dalla linea amperiana Dividiamo la linea amperiana in segmenti di linea differenziali di lunghezza ds, diretti tangenzialmente alla linea chiusa nel verso di integrazione. Essendo i fili perpendicolari alla superficie, il campo magnetico è parallelo alla superficie ma non si conosce l orientamento. ර B d Ԧs = ර B cos θ ds = μ 0 i ch = μ 0 (i 1 i 2 )
9 Campo magnetico all interno di un filo rettilineo infinito percorso da corrente Sezione di un filo rettilineo di raggio R percorso da una corrente i uniformemente distribuita sulla sezione del filo e in direzione perpendicolare alla pagina. Campo magnetico a simmetria cilindrica. ර B d Ԧs = ර B cos θ ds = B ර ds = B(2πr) = μ 0 i ch i ch = i πr 2 πr 2 B 2πr = μ 0 i πr2 πr 2 B = μ 0i 2πR 2 r All interno del filo, B è proporzionale a r, partendo da zero fino al valore massimo in r = R.
10 Campo magnetico all esterno di un filo rettilineo infinito percorso da corrente Filo rettilineo percorso da corrente i uscente dal piano della figura. Campo a simmetria cilindrica. ර B d Ԧs = ර B cos θ ds = B ර ds = B(2πr) = μ 0 i B = μ 0i 2πr Stessa relazione ricavata con la legge di Biot-Savart
11 Domanda In figura tre fili paralleli percorsi dalla stessa corrente i, con quattro linee amperiane. Ordinare le linee amperiane secondo i valori decrescenti del modulo B d Ԧs lungo ciascuna di esse.
12 Campo magnetico di un solenoide Solenoide stirato Solenoide reale Campo magnetico dovuto al passaggio di corrente in un lungo filo avvolto strettamente a forma di spirale (solenoide) di lunghezza superiore al suo diametro.
13 Campo magnetico di un solenoide Solenoide ideale: campo magnetico esterno nullo (approssimazione per solenoide reale con lunghezza molto maggiore del diametro) Linea amperiana abcda Campo magnetico intenso e uniforme all interno del solenoide, campo interno debole. ර B d Ԧs = μ 0 i ch b ර B d Ԧs = න B d Ԧs + න a b c B d Ԧs + න c d B d Ԧs + න d a B d Ԧs = Bh ab Bh bc = da 0 perché B = 0 o perché B è perpendicolare a ds cd 0 perche B = 0 n = numero di spire per unità di lunghezza La corrente netta i ch che circola nella linea amperiana rettangolare è pari a: i ch = i(nh) Bh = μ 0 inh B = μ 0 in campo magnetico all interno di un solenoide
14 Campo magnetico di un toroide Un toroide è come un solenoide piegato a forma di ciambella Calcolare il campo magnetico all interno della ciambella. Le linee di campo magnetico formano circonferenze concentriche all interno del toroide. Scegliamo una linea amperiana concentrica alle linee di campo e di raggio r e la percorriamo in senso orario. B 2πr = μ 0 in i = corrente negli avvolgimenti toroidali N = numero totale di spire B = μ 0iN 2π 1 r campo magnetico all interno di un toroide B non è costante sulla sezione del toroide e vale zero all esterno di un toroide ideale
15 Ordinare dal più piccolo al più grande i valori di B d Ԧs per i percorsi chiusi a, b, c, d.
16 b, d, a, c
17 Ordinare dal più piccolo al più grande i valori di B d Ԧs per i percorsi chiusi a, b, c, d.
18 a = c = d > b.
19 29.1 Il filo è percorso da una corrente i e consiste in un arco circolare, di raggio R e angolo al centro pari a π/2 rad, e in due tratti rettilinei i cui prolungamenti si intersecano nel centro C dell arco. Calcolare il campo magnetico nel punto C.
20 29.3 Nel cilindro in figura fluisce una corrente uscente dal piano del libro e la densità di corrente sulla sezione è data da J = cr 2, con c = A/m 2 ed r in metri. Quanto vale il campo magnetico in un punto distante 3.0 cm dall asse del cilindro?
21
22 29.19 Ognuno degli otto conduttori in figura è percorso da una corrente di 2.0 A entrante o uscente dal piano della pagina. Sono individuate due linee chiuse per l integrale di linea B d Ԧs. Qual è il valore dell integrale per la linea di sinistra e per la linea di destra?
23 29.4 Il filo in figura è parcorso da una corrente i = 34.8 ma. Quali sono a) Il modulo b) La direzione del campo magnetico B nel centro C del semicerchio sapendo che R = 9.26 cm ed L = 13.1 cm?
24 Un elettrone si muove con una traiettoria circolare come in figura. Al centro del cerchio esso produce un campo magnetico B. Che direzione e verso ha B?
25 Quale grafico rappresenta l intensità del campo magnetico fuori da un filo rettilineo percorso da corrente in funzione della distanza r dal filo?
26 29.33 Un tratto di filo forma un circuito chiuso con raggi a = 5.72 cm e b = 9.36 cm, come mostrato in figura. Qual è l intensità e il verso del campo magnetico nel punto P? Trovare modulo e direzione del momento di dipolo magnetico del circuito.
27 Il campo magnetico a distanza 2.0 cm da un filo rettilineo percorso da corrente è pari a T. Si calcoli la corrente che scorre nel filo. Due lunghi fili rettilinei e paralleli sono percorsi dalle correnti i 1 = 8.0 A e i 2 = 12.0 A in direzioni opposte. I fili sono separati da una distanza di 0.4 cm. Si calcoli il campo magnetico nel punto intermedio tra due punti.
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