Unità Didattica N 16. Il comportamento dei gas perfetti

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1 Unità Didattica N 16 Il coportaento dei gas perfetti Unità Didattica N 16 Il coportaento dei gas perfetti 1) Alcune considerazioni sullo studio dei sistei gassosi 2) Dilatazione terica degli aerifori 3) Equazione caratteristica dei gas perfetti 4) Equazione di Clapeyron-Clausius 5) Legge di Dalton

2 Unità Didattica N 16 Il coportaento dei gas perfetti Alcune considerazioni sullo studio dei sistei gassosi E consuetudine aettere le seguenti definizioni degli stati di aggregazione dei corpi : solido se il corpo ha volue e fora invariabili, liquido se il corpo ha volue invariabile e fora del recipiente che lo contiene, aerifore se il corpo ha fora e volue indeterinati. Lo stato fisico di un gas è caratterizzato dal volue ( quello del recipiente che lo contiene ), dalla teperatura e dalla pressione. Queste grandezze si chiaano variabili di stato del gas.nel seguito fareo riferiento al gas contenuto in un cilindro chiuso da un pistone obile. La pressione p del gas si identifica col rapporto tra la forza che il gas esercita sulle pareti del recipiente e la superficie delle pareti ( F p = ). S Il gas subisce una trasforazione se passa dallo stato iniziale caratterizzato dai valori pi, Vi, T i ad uno stato finale caratterizzato dai nuovi valori p, V, T. f f f Definizione : Dicesi trasforazione fisica di un gas ogni processo che deterina un cabiaento in aleno una delle sue variabili di stato. In chiica, per espriere la quantità di sostanza, si usa coe unità di isura la ole ( o la chiloole ), indicata con il sibolo ol. Per chiarire il concetto di ole dobbiao introdurre i concetti di assa atoica e di assa olecolare. Indichereo col sibolo at la assa dell atoo e con ol la assa di una generica olecola. Quale può essere l unità di isura più conveniente per la assa dell atoo? In fisica la sua unità di isura è ilò chilograoassa ( kg ). Abbiao : at kg + = α R at = α kg, = 38,2 10 at N a 27 kg Possiao scegliere coe unità di isura l unità di assa atoica. Sibolo usato : ua..., oppure UMA, oppure u. Essa è uguale alla dodicesia parte dell isotopo del carbonio 12 6C ( 6 protoni + 6 neutroni presenti nel nucleo e 6 elettroni orbitanti attorno al 1 17 nucleo ). 1UMA = 1u = 1 u.. a. = 12 = 1, kg 12 6 C Possiao introdurre il concetto essenzialente chiico di assa atoica relativa ( che i chiici erroneaente chiaano peso atoico ). Sibolo usato A. U.D. N 16 Alcune considerazioni sullo studio dei sistei gassosi Pagina 2 di 14

3 Unità Didattica N 16 Il coportaento dei gas perfetti Definizione : La assa atoica relativa di un eleento è il rapporto tra la assa at dell atoo dell eleento e la dodicesia parte della assa dell isotopo del carbonio 12 6 C. Questo significa che : at A = = C C A at = A = 12 = A u = A ua... = A UMA C In questo caso assuiao coe assa unitaria non più il at C kg a la dodicesia parte dell isotopo del carbonio 12 6C. Tutto questo è avvenuto a partire dal La assa atoica relativa A è una grandezza adiensionata. Vediao qualche esepio. La assa atoica del carbonio è 12. Infatti : A C = = C 12 6 C In effetti la assa atoica relativa del carbonia è 12,01 a causa della presenza dell isotopo 13 6 C. A N a Na = 12 = 22, C A F e F e = 12 = 55, C Possiao utilizare il grao atoo ( g at ) che è una nuova unità di isura delle asse. Definizione : A grai dell eleento considerato dicesi grao atoo dell eleento considerato. 1 grao atoo = Ag r dell eleento considerato 1 chilograo atoo = Akg dell eleento considerato A = 22,99 g ; = 22,99 g = 1 grao atoo di sodio N a kg at Na r ; = 22,99kg = 1 chilograo atoo di sodio at N a U.D. N 16 Alcune considerazioni sullo studio dei sistei gassosi Pagina 3 di 14

4 Unità Didattica N 16 Il coportaento dei gas perfetti ol = β kg Tenendo presente le forule precedenti possiao scrivere: La assa olecolare così definita è una grandezza adiensionata. U.D. N 16 Alcune considerazioni sullo studio dei sistei gassosi Pagina 4 di 14

5 Unità Didattica N 16 Il coportaento dei gas perfetti Definizione : M g r della sostanza considerata dicesi graoolecola o ole della sostanza chiicaente definita. U.D. N 16 Alcune considerazioni sullo studio dei sistei gassosi Pagina 5 di 14

6 Unità Didattica N 16 Il coportaento dei gas perfetti U.D. N 16 Alcune considerazioni sullo studio dei sistei gassosi Pagina 6 di 14

7 Unità Didattica N 16 Il coportaento dei gas perfetti Ipotesi di Avogadro Volui uguali di gas diversi, nelle stesse condizioni di teperatura e di pressione ( aventi cioè la stessa teperatura e la stessa pressione ) contengono lo stesso nuero di olecole e viceversa. Avogadro non sapeva quante olecole vi fossero in un dato volue, a capì che questo nuero era estreaente grande. U.D. N 16 Alcune considerazioni sullo studio dei sistei gassosi Pagina 7 di 14

8 Unità Didattica N 16 Il coportaento dei gas perfetti Nuero di Avogadro N A Il nuero di Avogadro ( N A ) rappresenta il nuero di olecole contenute nella chiloolecola ( o nella graoolecola) di qualsiasi sostanza seplice o coposta che risulti un aggregato di olecole. 26 nuero di olecole N A = 6, kol 23 nuero di olecole N A = 6, ol Volue olecolare Il volue occupato dalla graoolecola ( chiloolecola ) di un gas dicesi volue olecolare o volue olare del gas considerato. Esso viene indicato col sibolo V ol. Il volue di un gas dipende dalla sua teperatura e dalla sua pressione. La teperatura t* = 0 C e la pressione p* = 1At sono scelte coe condizioni di riferiento fisse per lo stato gassoso e prendono il noe di condizioni norali. Un gas si trova nelle condizioni norali quando ha pressione 1At e teperatura 0 C. Definiao volue olare norale ( * V ol ) il volue occupato dalla ole ( chiloole ) di un gas che si trovi nelle condizioni norali. Il volue olare norale di un qualsiasi gas perfetto è lo steso e vale : V * ol d litri c = 22,421 = 22,421 = 22,421 = k ole g ole g ole ol Cioè nelle condizioni norali una ole ( chiloole ) di un gas perfetto occupa il volue di , 415 litri = 22, 415d = c (22, 415 ) Definizione acroscopica e icroscopica di gas perfetto Si dice gas perfetto o gas ideale un ipotetico gas che segue la legge di Boyle-Mariotte e le due leggi di Volta e Gay-Lussac. I gas reali si coportano coe i gas perfetti se sono lontani dalla teperatura di liquefazione e sono olto rarefatti. A teperatura e pressione ordinarie possiao ritenere con buona approssiazione che i gas reali si coportano coe gas perfetti. U.D. N 16 Alcune considerazioni sullo studio dei sistei gassosi Pagina 8 di 14

9 Unità Didattica N 16 Il coportaento dei gas perfetti Modello icroscopico di gas perfetto le olecole di un gas perfetto sono punti ateriali aventi volue nullo e assa finita ogni olecola ha velocità scalare v ed energia cinetica K 1 v 2 = 2 il oto delle olecole è casuale ed obbedisce alle leggi di Newton le olecole interagiscono tra di loro e con le pareti del recipiente che le contiene soltanto con urti elastici. Dopo ogni urto si conserva sia l energia cinetica, sia la quantità di oto di tutte le olegcole del gas. tra due urti consecutivi il oto di ciascuna olecola è rettilineo unifore. le olecole del gas non sono soggette a reciproche attrazioni o repulsioni. la pressione del gas è dovuta agli urti che le sue olecole esercitano contro le pareti del recipiente che lo contiene. Dilatazione terica degli aerifori pv = costante Un gas perfetto obbedisce alle seguenti leggi : t = costante legge di Boyle-Mariotte, detta anche legge della copressibilità o della espansione isotera. V() t = Vo ( 1 + α t) pria legge di Gay-Lussac, detta anche pria legge di p = costante Volta e Gay-Lussac 1 = 0, ,15 C = C = coefficiente di dilatazione uguale per tutti i gas α 1 1 p() t = p(1 o + β t) V = costante seconda legge di Gay-Lussac o seconda legge di Volta e Gay-Lussac o legge di Charles o delle isovoluiche 273,15 + t Vo V( T) = Vo = T = α Vo T 273,15 273,15 V( T) T = V( T ) T T = 173,15 + t V( T' ) = α V T' o U.D. N 16 Dilatazione terica degli aerifori Pagina 9 di 14

10 Unità Didattica N 16 Il coportaento dei gas perfetti p(t ) = α po T p( T ) T = p( T ) T Adesso diostriao che per un gas perfetto vale la seguente uguaglianza : α = β Equazione caratteristica dei gas perfetti Consideriao una certa quantità di un gas perfetto e pensiao di farlo passare dallo stato A individuato dai paraetri to = 0 C, po, Vo ad uno stato finale C individuato dai paraetri t, p, V facendolo passare attraverso uno stato interedio B individuato dai paraetri t, p0, V B. La assa di gas perfetto, quando passa dallo stato A allo stato B subisce una trasforazione isobara e quindi possiao scrivere : U.D. N 16 Dilatazione terica degli aerifori Pagina 10 di 14

11 Unità Didattica N 16 Il coportaento dei gas perfetti B o ( 1 α ) V = V + t entre per passare dallo stato B allo stato finale C deve subire una trasforazione isoterica e quindi possiao scrivere : pb VB pc VC che è una delle fore dell equazione di stato dei gas perfetti. = cioè : pv = pv ( 1 + αt) o o Il prodotto pov o è una costante dipendente solo, per un gas di data specie chiica, dalla assa di gas che si considera. Infatti,a parità di pressione iniziale assa del gas, Inoltre il prodotto pov o varia da ga a gas. p o il volue V o è proporzionale alla U.D. N 16 Equazione caratteristica dei gas perfetti Pagina 11 di 14

12 Unità Didattica N 16 Il coportaento dei gas perfetti Introducendo la teperatura assoluta T = 173,15 + t otteniao : t pv o o pv o o pv = pv o o 1 + ( 273,15 t) T α pvt o o C T 273,15 = + = = = 273,15 273,15 Dove la costante C = α pv o o dipende dalle unità di isura di p, V ed α ed è proporzionale, per un gas di data specie chiica, alla assa del gas che si considera. Osservazione N 1 : Quando risulta t = 273,15 C si annullano la pressione esercitata dal gas ( legge di Chasles ) ed il volue occupato dal gas (pria legge di Gay-Lussac ). Non è possibile iaginare una teperatura inferiore a 273,15 C. Tale valore è assunto coe zero assoluto ed è il punto di partenza della scala assoluta delle teperature o di Kelvin. Osservazione N 2 :Abbiao visto che teoricaente risulta V( C) 273,15 = 0, il che è un assurdo in quanto le olecole di un gas,anche se considerato ideale,hanno sepre un volue proprio che non può essere trascurato. Pertanto la teperatura di 273,15 C è una teperatura liite irrangiungibile. Questa ipossibilità è contenuta nel Principio di Nernst chiaato anche principio di irrangiugibilità dello zero assoluto che si assue coe terzo principio della terodinaica. Osservazione N 3 : Abbiao visto pure che risulta p( C) 273,15 = 0. Questo risultato è spiegabile in base alla teoria cinetica della ateria. Infatti allo zero assoluto sono cessati gli urti delle olecole del gas contro le pareti del recipiente che lo contiene in quanto ogni olecola di gas, avendo velocità nulla, riane fera. U.D. N 16 Equazione caratteristica dei gas perfetti Pagina 12 di 14

13 Unità Didattica N 16 Il coportaento dei gas perfetti Equazione di Clapeyron-Clausius La legge di Avogadro affera che volui uguali di gas diversi, nelle stesse condizioni di teperatura e di pressione, contengono lo stesso nuero di olecole. Diciao che tali volui contengono uguale assa particellare a non uguale assa inerziale. In particolare una chiloolecola ( Kol ) di qualunque gas nelle condizioni norali N ( t = 0 C, p* = 1at = = p 2 a ) occupa sepre lo stesso volue : V * ol d litri c = 22,421 = 22,421 = 22,421 = k ole g ole g ole ol Dunque il prodotto pov o è costante per tutti gas se di essi consideriao la uguale assa particellare, cioè lo stesso nuero di oli. Per una ole ( o una chiloole ) di qualunque gas abbiao : αpv p V R * o o = α * ol = = costante Si tratta di una costante indipendente dalla natura del gas. R è la costante universale dei gas perfetti ed il suo valore dipende esclusivaente dalle unità di isura scelte per p e V. Una volta fissate tali unità il valore di R è lo stesso per tutti i gas perfetti. J J cal Cal R = 8314 = 8,314 = 1,986 = 1,986 K kole K ole K ole K ole 3 at cal 5 at R = = 1,98 = 8, 2 10 K ole K ole K ole 3 3 1litro = 1 = 10 = 1 = 1kg = 1d 1 = 10 1at = Per una ole ( o per una chiloole ) l equazione di stato, detta equazione di Clausius-Clapeyron assue la seguente fora : p V = R T [1] ol 3 3 ove V ol ( isurato in o in ) è il volie olecolare di una chiloolecola ( una ole ) k ol ol di gas perfetto alla teperatura assoluta T ed alla pressione p. Se tutta la assa del gas contiene n chiloolecole l equazione precedente diventa : pv = n RT = M RT [2] dove V, isurato in 3,è proprio il volue occupato da tutto il gas considerato P a U.D. N 16 Equazione di Clapeyron-Clausius Pagina 13 di 14

14 Unità Didattica N 16 Il coportaento dei gas perfetti = assa del gas V = volue occupato dal gas M = assa olecolare del gas considerato ρ = V =assa voluica del gas = densità del gas M p ρ = = V R T n = = nuero di oli ( chilooli ) del gas considerato M Se isuriao in grai,m in grai allora n rappresenta il nuero di graoolecole, Se isuriao in chilograi, M in chilograi allora n rappresenta il nuero di chiloolecole. Dall equazione pv = n RT = M RT possiao dedurre la legge di Boyle-Mariotte e le due leggi di Volta e Gay-Lussac, cioè l equazione [2] sintetizza le tre leggi sopracitate. Legge di Dalton Consideriao una iscela di gas perfetti, chiicaente inerti, contenuta in un volue V e antenuti alla teperatura assoluta T. Le olecole di ciascun gas si coportano coe se le olecole degli altri gas non fossero presenti. Coe conseguenza si ha che la pressione esercitata dalla iscela gassosa sulle pareti del contenitore è uguale alla soa delle pressioni parziali che ciascun gas eserciterebbe da solo occupando lo steso volue dell intera iscela. In forule abbiao : p = p1 + p2 + + p k pv 1 = n1rt, pv 2 = n2rt... pv k = nkrt pv = ( n + n + + n ) RT 1 2 La legge di Dalton affera quanto segue : in una iscela di due o più gas perfetti, che non hanno interazioni chiiche tra loro, ciascun coponente della iscela esercita una pressione parziale coe se occupasse da solo lo stesso volue della iscela. La pressione totale della iscela è la soa delle pressioni parziali esercitate da ciascun coponente. Una iscela di gas perfetti si coporta coe un gas perfetto. k U.D. N 16 Legge di Dalton Pagina 14 di 14