Giulio Cesare Barozzi: Primo Corso di Analisi Matematica Zanichelli (Bologna), 1998, ISBN

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1 Giulio Cesare Barozzi: Primo Corso di Aalisi Matematica Zaichelli (Bologa), 998, ISBN Capitolo NUMERI REALI Soluzioe dei problemi posti al termie di alcui paragrafi. Numeri aturali, iteri, razioali.-. Soo e, reciproci di se stessi..-. Tutte false trae la e); per la f) si ha: : (/)= = No; se fosse /3 = 3/q, si avrebbe q = 9, uguagliaza impossibile perché il primo membro è pari, il secodo dispari..-4. No: si avrebbe 8 = 3p. Si ha poi /3 =6/ Vero: la disuguagliaza scritta equivale alla seguete: (m + )/m, cioè m + m, ed ifie m + m =(m ) 0. Vale il sego di uguagliaza se e solo se m =..-6. La disuguagliaza da dimostrare equivale a ( +)< ( +), cioè +< < + +, ed ifie 0 <..-7. La prima affermazioe è vera. Altrettato per la secoda: se 0 <p<q, allora la tesi x = p /q <x= p/q, cioè p q<pq, sussiste i quato quest ultima disuguagliaza si scrive acora 0 <pq p q = pq(q p)..-8. La tesi si scrive p s r q, cioè r q p s =(rq ps)(rq + ps) 0; quest ultima è vera i quato rq ps 0 per ipotesi..-9. La relazioe di è di ordie totale i N i virtù della legge di tricotomia; la relazioe di divisibilità è di ordie parziale i N*: per i umeri e 3 si ha che o è divisore di 3, 3 o è divisore di..-0. Se p = 0, allora p q = p q = 0, da cui p = 0, essedo q 0 i quato deomiatore di ua frazioe. Aalogamete, da p q 3 = p 3 q segue p 3 = 0, quidi l uguagliaza da dimostrare, p q 3 = p 3 q, si riduce all uguagliaza 0 = 0. Se poi p 0, moltiplicado membro a membro le due uguagliaze che costituiscoo l ipotesi, si ottiee p p q q 3 = = p p 3 q q, da cui segue la tesi, dividedo etrambi i membri per p q Si ha x =(x + x)/ < (x + y)/; aalogamete si ragioa per y. Evidetemete (x + y)/ è razioale, i quato otteuto mediate somme e prodotti tra razioali, duque tra due razioali ce è almeo u altro. Per cocludere che ce e soo ifiiti, basta ripetere il ragioameto precedete sulla coppia di razioali x e(x + y)/ e poi sulla coppia (x + y)/ ey, e così via..-. Etrambe le disuguagliaze equivalgoo alla disuguagliaza tra iteri ps<qr.

2 Capitolo primo. Rappresetazioe decimale dei umeri razioali.-. Si trova /7 = , /7 = , 3/7 = , 4/7 = , 5/7 = = , 6/7 = Gli sviluppi otteuti hao tutti i periodi costituiti dalle stesse cifre decimali, permutate ciclicamete. Ciò è legato al fatto che i periodi hao lughezza 6, cioè la massima lughezza possibile, teuto coto del fatto che il resto 0 o può presetarsi el procedimeto di divisioe, i quato le frazioi i esame o soo decimali. Tutti i resti ammissibili, cioè gli iteri compresi tra e 6, si presetao: ua volta determiato il primo resto, i resti successivi, e di cosegueza le cifre decimali, soo uivocamete determiati. Ad esempio, il primo resto che si preseta ella divisioe di per 7 è, che è ache il terzo resto della divisioe di per 7: ecco perché le cifre della rappresetazioe decimale di /7 soo le stesse della reppresetazioe di di /7 spostate di due posizioi..-. Falso; basta cosiderare che la lughezza del periodo può essere maggiore di dieci, e i tal caso ua cifra decimale deve ecessariamete ripetersi..-3. a) 0.3 = 37/300; b).8 = 6/9; c) = 3/44; d).3 = 4/ La sesta cifra decimale del primo umero è, metre la sesta cifra del secodo umero è 3, duque è maggiore il secodo. U umero strettamete compreso tra i due umeri dati è, ad esempio, Si trova, rispettivamete, e Si trova 5/4 = Poiché l atiperiodo ha lughezza, la 000-esima cifra decimale occupa il 999-esimo posto a partire da 7. Poiché il resto della divisioe di 999 per 6 (lughezza del periodo) è 3, la cifra richiesta è la terza del periodo, vale a dire 4..4 Completezza del campo reale.4-. Etrambi i umeri soo irrazioali, i quato le relative rappresetazioi decimali o soo periodiche..4-. Se a è razioale e b irrazioale, allora c := a + b è irrazioale; i caso cotrario si avrebbe che b = c a sarebbe razioale i quato differeza tra umeri razioali. Ragioameto aalogo per il prodotto. La somma degli irrazioali e è razioale; il quadrato dell irrazioale è razioale Si ha ma + b<mb+ b =(m + )b; si ha aalogamete ma + b>ma+ a = =(m + )a. Dividedo per m + si ottiee la tesi Si ha (a + b )+(c + d ) = a + c +(b + d), (a + b ) (c + d ) = ac +bd +(ad + bc), duque somme e prodotti di umeri del tipo cosiderato soo acora umeri dello stesso tipo. Gli elemeti eutri, 0 e, si ottegoo dall espressioe a + b poedo rispettivamete a = b =0ea =,b= 0. Si osservi che a + b = 0 se e solo se a = b = 0 (si riveda

3 Capitolo primo 3 l esercizio.4-). L opposto di a + b è a b. Se a + b è diverso da 0, duque a b, il reciproco di a + b ir è a + b = a b a b = a + b, avedo posto a := a/(a b ), b := b/(a b ) No Si cosideri, ad esempio, il caso i cui a =,b =,c =, d = Abbiamo dimostrato ell esercizio.-4 che /m + m/ per ogi coppia di iteri positivi m e. Duque è u miorate di A; azi è il miimo di A, i quato esso appartiee a tale isieme: basta porre m =. Perm = si ottiee l elemeto +/ >, duque A è illimitato superiormete, tale essedo N (si veda la Proposizioe.6-3) Per m =, si hao elemeti del tipo /, ciascuo dei quali è maggiore di ; duque sup A =+. D altra parte, per m =, si hao elemeti del tipo = ( ) < ( ) =. Duque if A = Soo rispettivamete e. = 0/9; essi soo il miimo e il massimo di A Il umero è u maggiorate di A. Scelto u umero positivo ad arbitrio, diciamo ɛ, il umero ε o è u maggiorate di A. Ifatti è possibile trovare u tale che sia 0 > ε, vale a dire 0 <ɛ; se la prima cifra diversa da 0 ello sviluppo decimale di ε occupa il posto k, basta predere >k..4-. La somma i questioe è, per defiizioe, l estremo superiore dell isieme costituito dai umeri }{{...9 }, cifre dove assume tutti i valori iteri positivi; ci siamo ricodotti all esercizio precedete..4-. Se A è coteuto i B, ogi miorate di B è ache miorate di A, ogi maggiorate di B è ache maggiorate di A. D altra parte ciascu miorate di A o supera ciascu maggiorate di A stesso Se A e B soo separati, gli elemeti di A soo miorati di B, gli elemeti di B soo maggiorati di A. Se fosse sup A<if B, posto d := if B sup A, per ogi coppia di elemeti a A, b B si avrebbe b a d>0, duque A e B o sarebbero cotigui Basta attribuire a k successivamete i valori, e a) 4 k= /k ;b) 3 k=0 k +;c) 5 k= k Etrambe vere La a) segue dalla proprietà commutativa dell addizioe, la b) dalla proprietà distributiva.

4 4 Capitolo primo.4-8. Falso per >; il primo membro cotiee prodotti, o prodotti. Ad esempio: (a + a )(b + b )=a b + a b + a b + a b..5 Disuguagliaze tra umeri reali.5-. a) vera; b) e c) false; d) vera; e) vera se a 0, falsa se a<0; f) vera se a 0, falsa se a> a) vera; b) e c) false Si tratta di cofrotare i umeri a(b + c) eb(a + c), cioè ac co bc ed ifie a co b, essedo c>0. Duque a/b è miore, uguale o maggiore di (a + c)/(b + c) secodo che a è miore, uguale o maggiore di b. Si osservi la figura seguete, i cui a/b viee iterpretato come coefficiete agolare della retta cogiugete l origie co il puto di coordiate cartesiae (b, a), e lo stesso per il umero (a + c)/(b + c). (b + c, a + c) 0 (b, a) 0 Figura.- Cofroto tra i umeri a/b e(a + c)/(b + c) Dimostriamo che a/b (a+c)/(b+d). Si tratta di verificare che a(b+d) b(a+c), cioè ad bc, ma questa è precisamete l ipotesi. Allo stesso modo si dimostra l altra disuguagliaza a) x<3; b) x< 9/7; c) x 5; d) x ], 3[ ]9/, + [; e) x<8; f) x ], [ ], + [, cioè x > ; g) x ], 3[ ]4, + [;h) 4 <x<3.

5 Capitolo primo a) 5 <x<3; b) x ], 5[ ]3, + [; c) x ], /4[ ]0, + [; d) x ], [ ]0, + [; e) 0 <x<5; f) x ], 0[ ]3/8, + [ a) x =3;b) x > x 5 ; c) x > ; d) x 6 < ; e) x 8 = Uo (almeo) dei tre umeri a, b, c è diverso da Nella doppia diseguagliaza x x x vale il sego di = a destra se x è positivo, a siistra se x è egativo; lo stesso per la doppia disuguagliaza y y y. Duque se x e y soo etrambi positivi, si ha x + y = x + y, se soo etrambi egativi si ha x + y = ( x + y ) Si ha x =(x + y) y, da cui x x + y + y = x + y + y, ed ifie x y x + y. Aalogamete, partedo dall uguagliaza y =(y + x) x, si ottiee y x x + y, cioè x y x + y. I defiitiva x + y x y x + y, che è la tesi..5-. a) 5 <x<5; b) 0 <x<0; c) <x<; d) <x< a) x ], 5/[ ]3/, + [; b) x [ 5, ] [, 5] ; c) x ], 3/7[ ]/7, + [; d) x<0; e) x ], 5] [, + [; f) x ], 5[ ], + [ a) Si ha 8x 4 =8 x < =0 5. b) Si ha (x + y) 5 = x +y 3 x + y = 0 6 < =0 5. c) Si ha xy 35 = xy 5y +5y 35 y x 5 +5 y 7 y =( y +5) 0 6 ; ma da y 7 y 7 < 0 6, segue y < < 8, duque ( y +5) 0 6 < < < = 0 5.

6 6 Capitolo primo d) Si ha xy + = xy + y y + y x + + y y =( y +) 0 5 ; ma da y < 0 5 segue y < +0 5 <, duque ( y +) 0 5 < e) Si ha x 4 = x x + ;mada x < 0 6, segue x < +0 6 < 3, duque x + < 5. I defiitiva f) Si ha 0 5 <x<+0 5, quidi x 4 < < 0 5. x = x x < < Abbiamo utilizzato la disuguagliaza <. ( 0 5 ); ifatti. ( 0 5 )= = La disuguagliaza 0 x + y xy è ovviamete vera, i quato essa si scrive ache 0 (x y). Vale il sego di = se e solo se x = y. I due triagoli i figura hao aree rispettivamete x /ey /, metre il rettagolo ha come area xy Elevado al quadrato si ottiee la disuguagliaza xy (x + y +xy)/4, cioè 4xy x + y +xy e fialmete 0 x + y xy. L altezza del triagolo iscritto ella semicircofereza di raggio (x + y)/ vale xy i virtù del secodo teorema di Euclide Seguedo il suggerimeto: per = si ha (a/c) +(b/c) =, i virtù del teorema di Pitagora; poichè i rapporti scritti soo etrambi <, per >siha(a/c) < (a/c), (b/c) < (b/c). I defiitiva, per >siha(a/c) +(b/c) <, cioè a + b <c Per quato dimostrato ell esercizio 5, tutti gli elemeti di A soo 0. D altra parte si ha + > = ( ), e l ultima quatità è maggiore o uguale a per 4. Se e coclude che sup A =+. Se si osserva che m + m = m, + m si ricoosce che gli elemeti di A soo maggiori di 0 e miori o uguali a /, dove vale il sego di uguagliaza per = m. Perm = si hao elemeti del tipo + < = ; se e coclude che sup A = max A =/, if A =0.

7 Capitolo primo 7.6 Ulteriori proprietà dei umeri aturali, razioali, reali.6-. Se = 0, basta porre q := r := 0. Sia poi, per u assegato, = qm + r, co 0 r<m. Ne segue, sommado ad etrambi i membri, +=qm + r +. Se r +<m, basta porre q := q, r := r + per avere la decomposizioe cercata del umero + ; se ivece r +=m, allora si ha +=qm + m =(q +)m, duque basta porre q := q +,r := Per =,siha!=, 0 = ; se per u assegato siha!, moltiplicado etrambi i membri per + si ha ( + )! ( + ) = Per = si ha =. Se per u assegato siha =, sommado ad etrambi i membri + si ottiee = + +=( +) Per =,siha = (+)(+)/6. Se per u assegato vale l uguagliaza idicata, sommado ad etrambi i membri ( +), si ottiee a primo membro la somma dei quadrati dei umeri o superiori a +, a secodo membro ( + )( +) 6 +( +) = ( +)[( +)+6( + )]. 6 La quatità etro paretesi quadre si scrive ache +7 +6=( + )( + 3), duque il umeratore dell ultima frazioe si scrive ( + )( + )( + 3) Per =, il primo membro vale /, il secodo / =/. Se l uguagliaza scritta vale per u assegato, sommado la quatità /[( + )( + )] si ottiee a secodo membro + + ( + )( +) + =+ ( + )( +) = ( +) L uguagliaza a = a + d, per ogi aturale, si ottiee subito per iduzioe. La somma dei termii di idici o superiori ad si può scrivere a + a + d + a +d + + a + d =( +)a + d( ) = d( +) =( +)a + = ( =( +) a + d ).

8 8 Capitolo primo La semisomma tra il primo e l ultimo termie cosiderato vale a + a + d = a + d Posto d := a, cioè a =+d, elevado etrambi i membri alla poteza -esima si ottiee a =(+d) > +d, i virtù della disuguagliaza di Beroulli, teedo presete che d>0. Ma allora si ha d<a, da cui segue d<(a )/, ed ifie +d = a<+ a Seguedo il suggerimeto del testo, si ha x x...x = +x x + x x = +x + =+x, da cui segue la diseguagliaza di Beroulli elevado etrmabi i mebri alla Da + segue + + semplicemete sommado ad etrambi i membri Sia A l isieme dei aturali per cui P () è falsa; se, per assurdo, A o è vuoto, allora esso è dotato di u elemeto miimo, per quato dimostrato el Teorema.3, puto. Tale miimo o può essere 0, perchè avremmo ua cotraddizioe co l ipotesi ), secodo cui P (0) è vera. Se duque m>0èil miimo di A, tutti i aturali miori di m o appartegoo ad A, duque per essi la proposizioe P è vera: ma allora, i cotraddizioe co la defiizioe di m, P (m) sarebbe vera i virtù dell ipotesi ).