TEMA 1. Tempo a disposizione: 35 minuti per le domande teoriche e 40 minuti per l esercizio.

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1 TEMA 1 Teoria 1: 6 punti. Definire il modulo e l argomento di un numero complesso. Teoria 2: 6 punti. Enunciare il teorema delle dimensioni (senza dimostrazione). Teoria 3: 6 punti. Sia K un campo. Dimostrare che se L : K n K m è una funzione lineare, allora esiste una matrice A ad elementi in K tale che L(X) = AX per ogni X K n. (Verrà penalizzata l esposizione di argomentazioni superflue rispetto alla domanda.) Teoria 4: 3 punti. Si consideri l affermazione: Sia L : V W una funzione lineare non iniettiva. Allora per ogni v V esiste un vettore u V soddisfacente le condizioni u v e L(u) = L(v). tale che α = 2(1 + i) sia una radice del polinomio P (z) = z 4 3z 2 + c.

2 TEMA 2 Teoria 1: 6 punti. Definire il coniugato di un numero complesso. In termini di esso enunciare una condizione necessaria e sufficiente affinché un numero complesso sia reale. Teoria 2: 6 punti. Sia L : V W una funzione lineare tra due spazi vettoriali di dimensione finita V K e W K. Enunciare una formula che esprima la relazione tra la colonna delle coordinate di un vettore v V rispetto a una base B di V K e la colonna delle coordinate di L(v) rispetto a una base B di W K ; chiarire il significato dei simboli coinvolti in detta formula. Teoria 3: 6 punti. Siano W 1 e W 2 sottospazi di uno spazio vettoriale V K. Dimostrare che se W 1 W 2 = {0}, allora la somma W 1 +W 2 è diretta. (Verrà penalizzata l esposizione di argomentazioni superflue rispetto alla domanda.) Teoria 4: 3 punti. Si consideri l affermazione: Sia L : V W una funzione lineare non iniettiva. Allora per ogni w W l antiimmagine L 1 (w) contiene più di un vettore. tale che α = 2(1 i) sia una radice del polinomio P (z) = z 4 3z 2 + c.

3 TEMA 3 Teoria 1: 6 punti. Enunciare le formule di Eulero, dirette e inverse. Teoria 2: 6 punti. Siano V K e W K due spazi vettoriali e L : V W una funzione lineare. Definire la nozione di nucleo di L. Teoria 3: 6 punti. Dimostrare che se la somma di due sottospazi W 1 e W 2 di uno spazio vettoriale V K è diretta, allora W 1 W 2 = {0}. (Verrà penalizzata l esposizione di argomentazioni superflue rispetto alla domanda.) Teoria 4: 3 punti. Si consideri l affermazione: Ogni funzione lineare di R 3 in R 2 risulta non iniettiva. tale che α = 3(1 + i) sia una radice del polinomio P (z) = z 4 8z 2 + c.

4 TEMA 4 Teoria 1: 6 punti. Enunciare il Teorema Fondamentale dell Algebra. Teoria 2: 6 punti. Enunciare una formula che esprima la relazione tra le colonne delle coordinate di un medesimo vettore v rispetto a due basi B e B di uno spazio vettoriale V K di dimensione finita; chiarire il significato dei simboli coinvolti in detta formula. Teoria 3: 6 punti. Siano V K e W K due spazi vettoriali e L : V W una funzione lineare. Dimostrare che se ker L = {0}, allora L è iniettiva. (Verrà penalizzata l esposizione di argomentazioni superflue rispetto alla domanda.) Teoria 4: 3 punti. Si consideri l affermazione: Sia L : V W una funzione lineare. Se esiste w W tale che l antiimmagine L 1 (w) contiene esattamente un vettore, allora L è iniettiva. tale che α = 3(1 i) sia una radice del polinomio P (z) = z 4 8z 2 + c.

5 Svolgimento dell esercizio del tema n.2 N.B.: Lo svolgimento è per sommi capi, negli elaborati da parte dei candidati si richiedono maggiori dettagli. Vale α 2 = 4i, α 4 = 16, da cui P (α) = i + c e imponendo P (α) = 0 si deduce c = 16 12i. Calcoliamo il quoziente della divisione di P (z) per z ( 2(1 i) ) : i 2(1 i) 2(1 i) 4i 2( 7 i) i 1 2(1 i) 3 4i 2( 7 i) // Il polinomio P (z) ha solo addendi di grado pari, quindi una seconda radice è β = 2(1 i) e dividendo il quoziente precedente per z + ( 2(1 i) ) si ottiene 1 2(1 i) 3 4i 2( 7 i) 2(1 i) 2(1 i) 0 2( 7 i) i // Per ricavare le altre due radici basta risolvere l equazione z 2 3 4i = 0. Sostituendo z = x + iy, x, y R, da (x + iy) 2 = 3 + 4i si deduce { x 2 y 2 = 3 2xy = 4 { x 4 3x 2 4 = 0 y = 2 x. L unica soluzione accettabile dell equazione biquadratica è x 2 = 4, quindi x = ±2 e sostituendo nella seconda equazione si ottiene y = ±1. Le ultime due radici sono ±(2 + i).

6 Svolgimenti dei problemi Teoria 4 Tema 1. L affermazione è vera. Come conseguenza della non iniettività di L, esiste un vettore non nullo in ker L, chiamiamolo w. Consideriamo un qualsiasi v V e poniamo u = v + w. Allora u v e L(u) = L(v) + L(w) = L(v) + 0 W = L(v). Tema 2. L affermazione è falsa. Come controesempio, consideriamo la funzione L : R 2 R 2 : (x, y) (0, 0) e il vettore w = (1, 0). L 1 (w) =. La funzione L è lineare, non iniettiva e tuttavia Tema 3. L affermazione è vera. Consideriamo L : R 3 R 2. Siccome im L è un sottospazio di R 2, vale dim im L 2; per il teorema delle dimensioni, dim im L = 3 dim ker L, da cui dim ker L 1. Ne segue ker L {(0, 0, 0)} e L non è iniettiva. Tema 4. L affermazione è vera. Per ipotesi esistono w W e v V tali che L 1 (w) = {v}. Consideriamo un qualsiasi u ker L. Vale L(v + u) = L(v) + L(u) = w + 0 W = w, da cui si deduce che L 1 (w) contiene v + u. Dall ipotesi che L 1 (w) contenga un solo vettore si deduce allora v + u = v e quindi u = 0 V. Resta dimostrato che ker L = {0 V } ed L è iniettiva.