Introduzione al Calcolo Grafico e Statistico

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1 Introduzione al Calcolo Grafico e Statistico con R Mario Romanazzi Dipartimento di Statistica, Università di Venezia Ca Foscari S. Giobbe, Cannaregio 87, 000 Venezia 7 dicembre 007

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3 Indice Cos è R? 9 Primi passi. Operatori aritmetici e logici Variabili e operatore di assegnazione Oggetti. Vettore Matrice Data Frame Fattore Lista Funzione Cambiare modalità Lavorare con gli oggetti. Vettori numerici Matrici Estrazione e modifica di elementi di oggetti Subsetting Stringhe di caratteri Dati mancanti Importazione ed esportazione di dati 6 Distribuzioni di probabilità 6. Distribuzioni di probabilità Campionamento Un primo sguardo ai grafici 7. La funzione plot() Le primitive grafiche

4 INDICE 8 Analisi iniziale dei dati 9 8. Tabelle di frequenza Istogrammi Diagrammi scatola-baffi Indici di sintesi Analisi della concentrazione Visualizzare dati multivariati 6 9. Correlazione lineare Diagrammi di dispersione Componenti principali Modelli lineari 7

5 Elenco delle tabelle. Operatori aritmetici, di confronto binario e logici Funzioni elementari Arrotondamento Funzioni di matrici Opzioni di read.table Opzioni di write.table Distribuzioni di Probabilità Univariate Alcuni parametri grafici Principali diagrammi statistici

6 6 ELENCO DELLE TABELLE

7 Elenco delle figure. Console di R Dizionario alfabetico dell aiuto in linea Diagrammi di funzioni con plot() Funzioni di densità gaussiane Funzione di probabilità binomiale Funzioni di ripartizione binomiale e normale Ottagono regolare Cerchi casuali Campione Banca d Italia: distribuzione territoriale delle famiglie. 8. Campione Banca d Italia: numero di componenti delle famiglie per area territoriale Campione Banca d Italia: reddito familiare per area territoriale. 8. Campione Banca d Italia: distribuzione del reddito familiare con interpolante lognormale Campione Banca d Italia: quantili del reddito empirici e basati sul modello lognormale Voto di laurea in Economia Voto di diploma dei laureati in Economia Campione Banca d Italia: quantili del reddito nelle aree territoriali Campione Banca d Italia: curva di concentrazione di Lorenz Dendrogramma delle variabili socio-demografiche Frazione di famiglie con un solo componente e frazione di separati e divorziati Diagramma di dispersione delle componenti principali standardizzate Biplot dei comuni e delle variabili socio-demografiche Errore di approssimazione dei dati socio-demografici dei comuni Redditi e consumi familiari pro capite (scala logaritmica) Influenza delle variabili di stratificazione sulla relazione reddito consumo

8 8 ELENCO DELLE FIGURE

9 Capitolo Cos è R? Come S-Plus, R è figlio del linguaggio S, sviluppato negli anni ottanta del secolo scorso presso i Bell Laboratories AT&T da R. Becker, J. Chambers e A. Wilks. L atto di nascita ufficiale è l articolo di R. Ihaka e R. Gentleman R: a language for data analysis and graphics [] apparso nel 996 sul Journal of Computational and Graphical Statistics. Da allora il software si è sviluppato grazie ai contributi dei ricercatori del Comprehensive R Archive Network (CRAN). A differenza di S-Plus, R è un software non commerciale, ed è distribuito gratuitamente sotto le condizioni dettate dalla GNU Public Licence della Free Software Foundation. La sua caratteristica distintiva è di essere open source, il che significa che l utente ha la possibilità di accedere al codice che sta alla base del programma, ed eventualmente modificarlo e redistribuirlo. Un altro punto di forza è la compatibilità con gran parte dei sistemi operativi in uso, da Windows a Linux, da Unix a Mac/OS. Ma cos è R? Lo si può definire un linguaggio di programmazione e, nello stesso tempo, un sistema integrato di calcolo le cui risorse consentono di specificare un insieme di comandi e richiederne l esecuzione, visualizzare i risultati in formato testo, visualizzare i grafici in una finestra ausiliaria, accedere ad archivi esterni, anche sulla rete, per acquisire documenti, dati e grafici, archiviare in modo permanente risultati e/o grafici. Il software di R, con la relativa documentazione, così come le informazioni su aggiornamenti e progetti collaterali, sono facilmente ottenibili dalla rete. Ecco gli indirizzi più utili. pagina principale, software, 9

10 0 CAPITOLO. COS È R? documentazione, archivio delle domande più frequenti, mailing list. La guida di riferimento di R è [] R Development Core Team, A language and environment for statistical computing, R Foundation for Statistical Computing, Vienna, 006 (http://www.r-project.org). Applicazioni della metodologia statistica di base con R sono illustrate nel manuale di S. M. Iacus e G. Masarotto, Laboratorio di Statistica con R, McGraw- Hill, 007 []. Lo sviluppo del sistema è curato dalla Fondazione R, raggiungibile all indirizzo sostenuta finanziariamente da contributi di una rete di università, istituzioni ed imprese sparse in tutto il mondo. R è affiancato da progetti che mirano a sviluppare software dedicato ad applicazioni particolari. Ricordiamo tra gli altri Bioconductor (http://www.bioconductor.org): analisi statistica di dati di espressione genica, gr (http://www.r-project.org/gr): modelli grafici statistici.

11 Capitolo Primi passi Quando si lancia R mediante l eseguibile Rgui.exe si apre una finestra, la console di R (illustrata nella Figura.), contenente informazioni sulla versione del programma e l aiuto in linea. Figura.: Console di R. Il segnale che il sistema è pronto a ricevere i comandi è il simbolo di maggiore che appare sul lato sinistro della console > R non supporta menù se non in misura limitata perciò i comandi devono essere digitati sulla tastiera e vengono eseguiti premendo il tasto Enter. Il segnale del sistema e i comandi sono evidenziati in rosso. Commenti e note esplicative si possono inserire dopo il carattere # (cancelletto). Data e ora si ottengono mediante la funzione date() > date() [] Fri Dec 7 9:0: 007 > q() Per uscire dal sistema si dà il comando Il sistema offre varie forme di assistenza. L assistenza in linea si ottiene digitando il punto interrogativo seguito dal nome della funzione desiderata. Ad esempio eseguendo >?mean il sistema visualizza in una finestra a parte la descrizione della funzione mean (media aritmetica di un insieme di dati). Il comando

12 CAPITOLO. PRIMI PASSI > help.start() apre un file HTML contenente informazioni sui diversi elementi del programma, in particolare sulle librerie disponibili. Utilissimo l elenco alfabetico dei comandi, illustrato nella Figura., con descrizioni corredate da esempi e collegamenti ipertestuali. Figura.: Dizionario alfabetico dell aiuto in linea.. Operatori aritmetici e logici R offre tutte le funzionalità di una calcolatrice numerica. Per valutare l espressione numerica ( + )(9 ) / si digita il comando > (+)*(9-)^/ # Esempio di espressione numerica la cui esecuzione produce la visualizzazione sulla console del messaggio [] 60 contenente il risultato; [] indica che la visualizzazione parte dal primo, e in questo caso unico, dato prodotto dalla valutazione dell espressione. È importante notare che il risultato stesso non è archiviato in memoria. I simboli +,,, /, ˆ, () rappresentano gli operatori aritmetici di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione e potenza e le parentesi. I simboli ==,! =, <, <=, >, >= indicano invece gli operatori logici di uguale, diverso, minore e minore o uguale, maggiore e maggiore o uguale. Ne illustriamo l uso con alcuni esempi. > == 0 # Proposizione falsa [] FALSE >!= - # Proposizione vera [] TRUE > *(6-8) < - [] FALSE > *(6-8) <= - [] TRUE TRUE e FALSE indicano le costanti logiche VERO, FALSO. Gli operatori logici AND (prodotto logico), OR (somma logica), NOT (negazione logica) sono resi mediante i simboli &,,! il cui uso ` illustrato di seguito.

13 .. VARIABILI E OPERATORE DI ASSEGNAZIONE > (+)>0 & (-0)>0 # Operatore AND [] FALSE > (+)>0 (-0)>0 # Operatore OR [] TRUE >!(*(-0)>0) # Operatore NOT [] TRUE La Tabella. offre un prospetto riassuntivo degli operatori aritmetici, di confronto binario e logici. Operatori Aritmetici + addizione sottrazione prodotto / divisione ˆ potenza %/% divisione intera %% resto della divisione intera Operatori di Confronto Binario < (<=) minore (minore o uguale) > (>=) maggiore (maggiore o uguale) == uguale! = diverso Operatori Logici! negazione logica (NOT) & prodotto logico (AND) somma logica (OR) Tabella.: Operatori aritmetici, di confronto binario e logici.. Variabili e operatore di assegnazione In una sessione di lavoro sorge spesso la necessità di archiviare dati nella memoria del computer in modo da poterli usare più volte. Possiamo ad esempio richiedere che la variabile cambio contenga il cambio dollaro - euro, circa uguale a.7. Il comando > cambio <-.7 archivia il numero decimale.7 in un area della memoria identificata dal nome cambio. La freccia (ottenuta digitando il simbolo di minore, <, seguito dal simbolo di sottrazione, -) è l operatore di assegnazione. Il comando > cambio produce il risultato

14 CAPITOLO. PRIMI PASSI [].7 cioè visualizza il contenuto corrente dell area di memoria corrispondente al nome cambio. Ecco ulteriori esempi. > 0000/cambio [] R gestisce correttamente le situazioni eccezionali. > 0 -> zero > /zero [] Inf > 0-/zero [] -Inf > 0*/zero [] NaN Le costanti numeriche -Inf e Inf sono usate per rappresentare quantità non limitate mentre NaN (not a number, non è un numero) è il codice utilizzato per risultati non interpretabili come numeri e nemmeno uguali a -INF o INF.

15 Capitolo Oggetti Le entità con cui si opera nell ambiente di R prendono il nome di oggetti e sono caratterizzati da due attributi base: mode (traducibile con modo o modalità) e length (lunghezza). Mode Mode è la modalità di base degli elementi che formano un oggetto. Ci sono quattro modalità fondamentali numeric (numero reale), complex (numero complesso), logical (dato logico, con due possibili determinazioni: vero o falso), character (carattere alfanumerico), function (funzione), riservata alle funzioni. Length Length è il numero di elementi che compongono un oggetto. Gli oggetti più importanti sono vettore, matrice, data frame, lista, fattore e funzione. La funzione ls() visualizza sulla console l elenco degli oggetti correntemente presenti nella memoria. La funzione str(nome) produce una breve descrizione della struttura dell oggetto nome. La funzione rm(nome,nome,...) rimuove dalla memoria gli oggetti specificati. > ls() # Quali sono gli oggetti presenti nella memoria? [] cambio cost zero > rm(cost) # Libera l area di memoria occupata da cost > ls() [] cambio zero. Vettore Il vettore è una collezione ordinata di n componenti aventi tutte la stessa modalità (numeric, complex, logical, character) ed è l oggetto base di R (uno

16 6 CAPITOLO. OGGETTI scalare è un vettore di lunghezza unitaria. Il metodo più generale di definire un vettore è di usare la funzione c()(c sta per concatenate, cioè componi in un unica sequenza ordinata). Ad esempio, per costruire il vettore vett con componenti ordinatamente uguali a -., 0,, - daremo il comando > vett <- c(-.,0,,-) > mode(vett); length(vett) [] numeric [] Otteniamo un vettore logico se controlliamo quali componenti di vett sono minori di zero. > vett <- vett<0 > vett [] TRUE FALSE FALSE TRUE > length(vett) == length(vett) [] TRUE Vale la pena osservare che, nell espressione vett<0, l operatore di confronto binario è applicato singolarmente a tutte le componenti del vettore. Ancora, il vettore vett alfanumerico avente come elementi le sigle automobilistiche delle province del Veneto si costruisce col comando > vett <- c( BL, PD, RO, TV, VE, VI, VR ) > mode(vett); length(vett) [] character [] 7 La funzione rep() (da repeat, ripeti) crea vettori con elementi ripetuti, come ad esempio > rep(,times=) [] > rep(c(0,),c(,)) # forma breve [] > rep(c(0,),) [] La funzione seq() (sequence, sequenza) produce vettori con componenti equispaziate. > seq(from=0,to=,by=0.) [] > seq(0,,0.) # forma breve [] Un operatore utilissimo è : che produce vettori con elementi separati da intervalli unitari.

17 .. MATRICE 7 > :0 [] > c(.:,.:8.) [] Matrice La matrice (più in generale, un array) è una generalizzazione multivariata del vettore. Una matrice n m si può considerare come la collezione ordinata dei suoi n vettori riga (ciascuno con m componenti) o dei suoi m vettori colonna (ciascuno con n componenti). Come per i vettori, gli elementi di una matrice devono avere la stessa modalità (non necessariamente numeric). La funzione più semplice per definire una matrice è matrix(). La matrice avente nelle colonne i numeri da a si ottiene con > matr <- matrix(:,nrow=,ncol=,byrow=false) > matr [,] [,] [,] [,] 9 [,] 6 0 [,] 7 [,] 8 > length(matr); dim(matr); str(matr) [] [] int [:, :] La funzione dim() (da dimensions, dimensioni) restituisce ordinatamente il numero di righe e di colonne. I seguenti comandi costruiscono la matrice nulla e la matrice identica d ordine tre. > matrix(0,,) [,] [,] [,] [,] [,] [,] > matrix(c(rep(c(,0,0,0),),),,) [,] [,] [,] [,] 0 0 [,] 0 0 [,] 0 0. Data Frame È un oggetto simile ad una matrice, ma i vettori colonna possono avere modalità diverse. Un esempio importante di data frame è la matrice dati derivante dalla

18 8 CAPITOLO. OGGETTI rilevazione di m variabili (non necessariamente tutte numeriche) su n unità statistiche. Supponiamo ad esempio di aver rilevato nome, numero di matricola, genere ed età di un campione di cinque studenti e di aver ordinato i dati di ciascuna variabile in un vettore. > nome <- c( Dino, Anna, Luisa, Marco, Paolo ) > matr <- c(9,00,9679,86,678076) > gen <- c( M, F, F, M, M ) > eta <- c(,9,0,,) Per ordinare dati osservati in un unica tabella in cui le righe corrispondono agli studenti, le colonne alle variabili è utile la funzione data.frame(). > dati <- data.frame(matr,gen,eta,row.names = nome) > dati matr gen eta Dino 9 M Anna 00 F 9 Luisa 9679 F 0 Marco 86 M Paolo M L opzione row.names = nome associa ad ogni riga un etichetta corrispondente alla determinazione di nome. Se non l avessimo specificata le etichette sarebbero state,,,,. L oggetto dati non può avere una struttura di matrice perchè le colonne hanno tipologie differenti.. Fattore È un vettore le cui componenti corrispondono ai gruppi individuati da una classificazione. L utilizzazione più frequente è la ripartizione delle n unità di un collettivo in gruppi corrispondenti alle determinazioni distinte di una variabile categoriale. Nell esempio del campione di studenti possiamo considerare il gruppo dei maschi e quello delle femmine. La funzione factor() crea un fattore assegnando opportune etichette alle modalità. Una funzione frequentemente usata con i fattori è tapply(oggetto, fattore, funzione) che applica una funzione specificata ai gruppi definiti dalle determinazioni di un fattore. > genere <- factor(gen,labels=c( Femmina, Maschio )) > mean(eta) # media complessiva [].6 > tapply(eta,genere,mean) # medie parziali Femmina Maschio 9..0 > tapply(eta,genere,length) # dimensioni dei gruppi Femmina Maschio

19 .. LISTA 9 Nell esempio precedente tapply(,,mean) calcola l età media separatamente per le femmine e per i maschi mentre tapply(,,length) fornisce le numerosità dei due gruppi.. Lista La lista generalizza ulteriormente la nozione di vettore perchè gli elementi possono avere modalità diverse ed essere a loro volta vettori, matrici, liste. I risultati di molte funzioni statistiche hanno questa struttura. Illustriamo di seguito la costruzione di una lista contenente le regioni delle Venezie, il numero delle rispettive province e le corrispondenti sigle automobilistiche. > reg <- c( FriuliVG, TrentinoAA, Veneto ) > npr <- c(,,7) > pfvg <- c( GO, PN, TS, UD ) > ptaa<-c( BZ, TN ) > pven <- c( BL, PD, RO, TV, VE, VI, VR ) La funzione che costruisce la lista è list(). > venezie <- list(regione=reg,nprov=npr, + province=list(pfvg,ptaa,pven)) > venezie $regione [] FriuliVG TrentinoAA Veneto $nprov [] 7 $province $province[[]] [] GO PN TS UD $province[[]] [] BZ TN $province[[]] [] BL PD RO TV VE VI VR.6 Funzione Le funzioni (sia quelle interne del sistema sia quelle definite dagli utenti) sono oggetti con modalità function. Ne abbiamo già incontrato svariati esempi, come gli operatori aritmetici e logici, le funzioni che costruiscono gli oggetti (c(), matrix(), data.frame(), list(), factor()) e quelle che ne descrivono le caratteristiche (mode(), length(), dim()). Funzioni come ls(), rm() permettono di controllare l insieme degli oggetti presenti nella memoria. La funzione mean() esegue invece una trasformazione di un vettore numerico, cioè il calcolo della corrispondente media aritmetica. La Tabella. riporta un elenco di altre funzioni di questo tipo. Vale la pena osservare che, mentre il risultato di funzioni

20 0 CAPITOLO. OGGETTI Funzione R Risultato min(x), max(x) elemento minimo (massimo) range(x) vettore con elementi min(x), max(x) sum(x), prod(x) somma (prodotto) sort(x) vettore ordinato in modo crescente abs(x) valore assoluto sqrt(x) radice quadrata log(x), log0(x) logaritmo (naturale e in base 0) exp(x) esponenziale sin(x), cos(x), tan(x) funzioni trigonometriche asin(x), acos(x), atan(x) funzioni trigonometriche inverse Tabella.: Funzioni elementari. come sort(), sum(), min(), max() dipende da tutte le componenti del vettore, le funzioni abs(), sqrt() ecc. operano separatamente su ciascuna componente. Tipicamente, le funzioni definite dall utente eseguono microprogrammi che risolvono problemi particolari. L esempio seguente mostra la definizione di una funzione che calcola la media geometrica di n numeri positivi. > mgeo <- function(x) + { + if (length(x)==0) return(nan) + if(!is.numeric(x)) return(nan) + if(min(x)<0) return(nan) + if(min(x)==0) return(0) + if(min(x)>0) return(prod(x)^(/length(x))) + } > mgeo(:) [].87 > mgeo(c(-,,)) [] NaN Il nome della funzione è mgeo e gli argomenti ammissibili sono vettori numerici con componenti non negative. Il programma comprende alcuni controlli sui dati. Se, ad esempio, il vettore non è numerico oppure ci sono dati negativi, il risultato predefinito è NaN. Il costrutto if (cond) expr esegue l espressione expr a condizione che cond sia vera. Il costrutto if (cond) expr else expr esegue expr se cond è vera, altrimenti esegue expr. Come ulteriore esempio proponiamo un microprogramma per la generazione dei primi n numeri di Fibonacci. > fibon <- function(x) La media geometrica dei numeri positivi x,..., x n è la radice n-esima del prodotto di x,..., x n. La successione di Fibonacci è definita dalle proprietà x = x = e, per i >, x i = x i + x i.

21 .7. CAMBIARE MODALITÀ + { + str <- Numeri di Fibonacci minori di (o uguali a) + str <- Argomento della funzione non numerico + str <- Argomento della funzione minore di + if (!is.numeric(x)) stop(str) + if (is.numeric(x) & x < ) stop(str) + if (is.numeric(x) & trunc(x) == ) + { + print(c(str,as.character()),quote=f) + print(as.character(),quote=f) + } + if (is.numeric(x) & trunc(x) == ) + { + print(c(str,as.character()),quote=f) + print(as.character(c(,)),quote=f) + } + if (is.numeric(x) & trunc(x) > ) + { + vett <- numeric(); vett[] <- ; vett[] <- + for (i in :trunc(x)) vett[i] <- vett[i-] + vett[i-] + print(c(str,as.character(trunc(x))),quote=f) + print(as.character(vett),quote=f) + } + } > fibon(8) [] Numeri di Fibonacci minori di (o uguali a) [] 8 [] 8 Il costrutto for (i in i:i) espressione esegue in sequenza i comandi contenuti in espressione facendo variare i da i a i. La funzione stop(messaggio) provoca l arresto dell esecuzione dell espressione corrente e visualizza il contenuto di messaggio. > fibon(-6) Error in fibon(-6) : Argomento della funzione minore di.7 Cambiare modalità È possibile, con alcune limitazioni, cambiare la modalità di un oggetto mediante funzioni del tipo as.character(), as.logical(), as.numeric(). Come regola generale, un oggetto può sempre essere convertito a modalità carattere racchiudendo fra virgolette ( ) le sue determinazioni, mentre la conversione a modalità logica o numerica può provocare la sostituzione di dati col codice NA (not available, dato mancante).

22 CAPITOLO. OGGETTI Così as.logical(x) converte il numero 0 nella costante logica FALSE e tutti gli altri numeri nella costante logica TRUE; inoltre essa converte le stringhe di caratteri FALSE, F nella costante logica FALSE e le stringhe TRUE, T nella costante logica TRUE. Tutte le altre stringhe di caratteri sono tradotte come NA. A sua volta, la funzione as.numeric(x) traduce le costanti logiche FALSE e TRUE nelle costanti numeriche 0 e, rispettivamente; inoltre stringhe di caratteri del tipo,., interpretabili come dati numerici, sono tradotte nelle corrispondenti costanti numeriche,.. Tutte le altre stringhe di caratteri sono tradotte come NA. Queste regole sono documentate dai seguenti esempi. La costante numerica pi corrisponde al numero reale pi greco approssimativamente uguale a... > as.character(.) []. > as.character(pi) [] as.character( > 0) [] TRUE as.logical(pi) [] TRUE > as.logical( pi ) [] NA Pi greco è il rapporto delle lunghezze di una circonferenza e del suo diametro.

23 Capitolo Lavorare con gli oggetti Eseguire un calcolo, o elaborare dati, equivale a trasformare un insieme di oggetti x,..., x n in un insieme di oggetti y,..., y m mediante opportune funzioni. Come abbiamo visto, insieme agli oggetti-tipo del Capitolo, R mette a disposizione moltissime funzioni, comprese tutte le funzioni matematiche di base (vedi Tabella.).. Vettori numerici Se x, y sono vettori numerici con n componenti e a, b sono numeri reali, la combinazione lineare di x e y è il vettore z = ax+by in cui la componente j-esima di z è z j = ax j + by j. Vale la pena osservare che il risultato è ottenuto in due passi: prima si moltiplicano le componenti di x e di y per a e b, rispettivamente, poi si sommano le componenti corrispondenti. La combinazione lineare di un numero finito qualsiasi di vettori si ottiene in modo analogo. > x <- :; y <- rep(,); a <- ; b <- - > a*x+b*y [] 7 9 In R è ammessa la somma algebrica di vettori di dimensione diversa. In particolare, se x è un vettore con n componenti e a è un numero reale, la trasformazione x + a produce il vettore z con componenti z j = x j + a. > x <- seq(,,0.); a <- -0. > x+a [] Le usuali funzioni matematiche, se hanno per argomento un vettore, sono applicate componente per componente. > x <- : > x^

24 CAPITOLO. LAVORARE CON GLI OGGETTI Funzione ceiling(x) floor(x) round(x,m) signif(x,m) trunc(x) Risultato minimo intero maggiore o uguale a x massimo intero minore o uguale a x arrotonda x ad m cifre decimali arrotonda x ad m cifre complessive tronca le cifre decimali Tabella.: Arrotondamento. [] 9 > sqrt(x) [] La Tabella. elenca le funzioni per l arrotondamento di valori numerici. La più importante è round(x, m), che arrotonda le componenti del vettore x ad m cifre decimali (default m = 0). > x <- sqrt(:0) > round(x); round(x,) [] [] Matrici R mette a disposizione un buon apparato di funzioni per la trasformazione di matrici (Tabella.). I seguenti esempi mostrano l uso della funzione diag(x). In generale, se x è una matrice quadrata, diag(x) produce il vettore degli elementi diagonali di x; se x è un vettore, diag(x) produce una matrice diagonale con elementi diagonali ordinatamente uguali alle componenti di x. > diag(matrix(:9,,)) [] 9 > diag(rep(,)) [,][,][,] [,] 0 0 [,] 0 0 [,] 0 0 Per vettorializzare una matrice basta applicare la funzione as.vector(). > as.vector(matrix(:9,,)) [] La traccia, somma degli elementi della diagonale principale di una matrice quadrata, si ottiene mediante la funzione sum().

25 .. ESTRAZIONE E MODIFICA DI ELEMENTI DI OGGETTI Funzione R chol(x) colsums(x) (rowsums(x)) det(x) eigen(x) qr(x) solve(x) svd(x) t(x) Risultato triangolarizzazione di Choleski somme di colonna (riga) determinante autovalori, autovettori scomposizione QR inversa scomposizione in valori singolari trasposta Tabella.: Funzioni di matrici. > m <- matrix(:9,,)) > sum(diag(m)) [] L operatore del prodotto righe per colonne è %*%. Se le matrici non hanno dimensioni compatibili, si ottiene un messaggio d errore. > m <- matrix(:6,,); m <- matrix(c(-,,0,),,) < m <- rep(,) > m%*%m [,][,] [,] [,] [,] 6 > m%*%m Error in m %*% m : non-conformable arguments Per costruire matrici a blocchi, o aggiungere righe o colonne a matrici preesistenti, sono utili le funzioni rbind(), cbind(). La prima giustappone le righe, la seconda le colonne. > rbind(cbind(matrix(,,),matrix(0,,)), + cbind(matrix(0,,),matrix(,,))) [,][,][,][,] [,] 0 0 [,] 0 0 [,] 0 0 [,] 0 0. Estrazione e modifica di elementi di oggetti Un problema frequente è la costruzione di nuovi oggetti mediante elementi di oggetti già esistenti, di solito vettori, matrici o liste. Gli operatori più importanti per effettuare queste trasformazioni sono [ ], per vettori e matrici, [[ ]] per le liste.

26 6 CAPITOLO. LAVORARE CON GLI OGGETTI Se x è un vettore, x[i] restituisce l elemento i-esimo x i, x[ i] restituisce il vettore x privato dell elemento i-esimo e x[c(i, i,..., i k )] restituisce il vettore con elementi x i, x i,..., x ik. > v <- c(-0,,-,0,,.,0,6) > v[] # Componente [] > v[:] # Componenti,, e [] - 0 > v[-length(v)] # Elimina l ultima componente [] > v[] <- 8 # Ridefinisce la prima componente > v [] Se y è una matrice, y[i, j] restituisce l elemento y ij mentre y[i, ] e y[, j] restituiscono, rispettivamente, riga i-esima e colonna j-esima di y. Valori negativi degli argomenti dell operatore [ ] cancellano da y gli elementi corrispondenti. > y <- matrix(:0,,) [,] [,] [,] [,] [,] [,] 7 9 [,] > y[,] # Elemento sulla seconda riga e quinta colonna [] 0 > y[,] # Prima riga [] 7 9 > y[-,] # Elimina la prima riga [] > y[,] # Quinta colonna [] 9 0 > y[,:] # Prime tre colonne [,] [,] [,] [,] [,] 6 > y[,] <- rep(,) # Ridefinisce la quinta colonna > y [,] [,] [,] [,] [,] [,] 7 [,] 6 8. Subsetting Gli esempi precedenti illustrano l uso dell operatore [ ] per selezionare elementi di vettori o matrici in base alla posizione. Lo stesso operatore consente di selezionare elementi con proprietà specificate, non necessariamente dipendenti

27 .. STRINGHE DI CARATTERI 7 dalla posizione. Gli esempi sottostanti mostrano come estrarre da un vettore le componenti positive e contare il numero di componenti uguali a zero. > vett <- c(-0,,0.,-,,0,0) > vett[vett>0] # Estrae le componenti positive [] > length(vett[vett == 0]) # Conta le componenti nulle [] Nel seguente esempio le componenti negative sono poste uguali a zero. > vett[vett < 0] <- 0 > vett [] Stringhe di caratteri Operazioni frequenti sulle stringhe di caratteri alfanumerici sono conteggio dei caratteri, conversione maiuscolo/minuscolo, ricerca, estrazione o sostituzione di sottostringhe. Dato un vettore alfanumerico x, nchar(x) fornisce il numero di caratteri delle singole componenti, mentre tolower(x) e toupper(x) riscrivono tutti i caratteri alfabetici in formato minuscolo e maiuscolo, rispettivamente > vett <- c( cane, GATTO, Topo ) > nchar(vett) [] > tolower(vett) [] cane gatto topo > toupper(vett) [] CANE GATTO TOPO La funzione paste(str,str,...) fonde le componenti corrispondenti dei vettori alfanumerici str, str,..., inserendo eventuali separatori. Al contrario, strsplit(x,str) divide le componenti del vettore alfanumerico x in corrispondenza alle sottostringhe specificate dalle componenti del vettore str. Il risultato è una lista degli spezzoni così originati. Negli esempi che seguono usiamo i vettori alfanumerici letters e LETTERS i cui elementi sono le lettere minuscole e maiuscole dell alfabeto latino. > paste(letters[],:,sep= ) [] A A A > paste(letters[],:,sep= _ ) [] A_ A_ A_ > unlist(strsplit( Nel mezzo del cammin di nostra vita, )) [] Nel mezzo del cammin di nostra vita > unlist(strsplit( Dante, )) [] D a n t e

28 8 CAPITOLO. LAVORARE CON GLI OGGETTI La ricerca di una particolare combinazione di caratteri in una stringa alfanumerica è eseguita dalle funzioni grep() e regexpr(). Se x è un vettore alfanumerico, grep(str,x) restituisce gli indici delle componenti di x contenenti la sottostringa str, mentre regexpr(str,x) fornisce le posizioni in cui inizia la sottostringa str all interno di ogni componente di x (se la sottostringa cercata non è presente, la posizione è posta uguale a ). > vett <- c( Po, topo, gatto, ippopotamo ) > grep( po,vett) [] > regexpr( po,vett) [] - - attr(, match.length ) [] - - La funzione gsub(str,str,x) sostituisce la sottostringa str al posto di str in tutte le componenti di x. > gsub( po, PO,vett) [] Po topo gatto ippopotamo Infine, la funzione substring(x,i,i) estrae dalle componenti del vettore x le sottostringhe comprese tra le posizioni i e i. La versione substring(x,i,i) <- str sostituisce la sottostringa con str. > testo <- Nel mazzo del cammin > substr(testo,6,6) <- e > testo [] Nel mezzo del cammin Nel seguente esempio preleviamo da un vettore alfanumerico le componenti che iniziano con la lettera a. > vett <- c( Alberto, asino, burro, ape ) > vett[substr(vett,,) == a ] [] asino ape.6 Dati mancanti Nell ambiente di R i dati mancanti sono individuati dal codice NA (not available, non disponibile). Numerose funzioni consentono di riconoscerne la presenza negli oggetti, rimuoverli oppure specificare le modalità di trattamento. Le più importanti sono is.na(), na.fail(), na.omit(). La funzione is.na(x) consente di localizzare eventuali dati mancanti in un oggetto (vettore, matrice o data-frame). Infatti is.na(x) produce un oggetto dello stesso tipo di x, i cui elementi assumono la determinazione TRUE se l elemento corrispondente di x è NA, FALSE in caso contrario.

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