Secondo appello di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 2018/2019. Prof. M. Bramanti

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1 Secondo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 8/9. Prof. M. Bramanti Es. 6 7 Tot. Punti Cognome e nome in stampatello codice persona o n di matricola n d ordine v. elenco. Risolvere il seguente problema di Cauchy, evidenziando i vari passi del procedimento e i risultati intermedi ottenuti. y + y = x y = y = 9. Si consideri la funzione: x sin y+y cos x per x, y, f x, y = x +y per x, y =,. a. Stabilire se f è continua in,. b. Calcolare le derivate parziali di f nell origine, se esistono. c. Stabilire se la funzione f è differenziabile nell origine.. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella. f x, y = x y + y + x.. Si consideri una lamina piana omogenea di massa m rappresentata da } Ω = x, y : y x R, x R, dove R > ha le dimensioni di una lunghezza. Si calcoli il momento d inerzia di Ω rispetto a un asse perpendicolare al piano xy e passante per l origine.

2 . Calcolare la massa totale di un solido conico non omogeneo, rappresentato da: zr Ω = x, y, z : x + y, z h}, di densità h ρ x, y, z = µ R h z x + y con R, h, µ > parametri fissati aventi R, h le dimensioni di una lunghezza, µ di una massa. Riportare con cura impostazione e passaggi. 6. Sia Σ la superficie parametrizzata di equazioni x = u cos t y = u sin t per t [, π], u [, ]. z = t Dopo aver verificato che si tratta di una superficie regolare e calcolato l elemento d area ds, calcolare l integrale di superficie x ds. Σ 7. Si consideri la funzione -periodica definita in [, ] da se x < f x = x se x a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo [, ]: in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f, tenendo conto del periodo e delle simmetrie, semplificare opportunamente l espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier e scrivere la serie di Fourier. Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coeffi cienti di Fourier, poi particolarizzarla e eseguire il calcolo esplicito, riportando i passaggi essenziali e il risultato, nella forma più esplicita e semplificata.

3 Secondo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 8/9. Prof. M. Bramanti Svolgimento Es. 6 7 Tot. Punti. Risolvere il seguente problema di Cauchy, evidenziando i vari passi del procedimento e i risultati intermedi ottenuti. y + y = x y = y = 9 Considero l equazione omogenea: z + z =. Equazione caratteristica: α + α = perciò l integrale generale dell omogenea è: α =, α = z x = c e x + c. Soluzione particolare dell equazione completa: in base al metodo di somiglianza, cerchiamo una soluzione del tipo y x = ax + bx y x = ax + b y x = a a + ax + b = x 6a = a + b = y x = 6 x 9 x a = 6 b = 9

4 e l integrale generale dell equazione di partenza è: y x = 6 x 9 x + c e x + c. Imponiamo le condizioni iniziali: y = c + c = y = 9 c = 9 perciò la soluzione del problema di Cauchy è: c = c = y x = 6 x 9 x e x +.. Si consideri la funzione: x sin y+y cos x per x, y, f x, y = x +y per x, y =,. a. Stabilire se f è continua in,. b. Calcolare le derivate parziali di f nell origine, se esistono. c. Stabilire se la funzione f è differenziabile nell origine. a. Si ha: passando in polari x sin y + y cos x xy x + y x + y + y x + y = ρ cos θ sin θ ρ + ρ sin θ ρ ρ + ρ per ρ e la maggiorante infinitesima è indipendente da θ, perciò f x, y per x, y, e la funzione è continua in,. b. f x, =, perciò f, =. x f, y = y f = y y, perciò, =. y y c. La funzione dunque è differenziabile in, se tende a zero il quoziente g x, y f x, y x + y = x sin y + y cos x x + y. Notiamo tuttavia che g x, x = x sin x + x cos x x = sin x x + x cos x per x.

5 Dunque g non tende a zero, e f non è differenziabile nell origine.. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella. f x, y = x y + y + x. y + y ± = f x = x y + y + x = f y = x y + = = x = ± o y = y = x + x = x = o x =, quindi,,,. y x = ± ± + y + 6 = y + y + = mai y + y = per y =, y =, quindi,,, Punti stazionari:,,,,,,,. Calcoliamo la matrice hessiana. y f xx = + y + x Hf x, y = f xy = x y + f yy = x [ y + y + x ] x y + x y + x Studiamo ora la natura dei punti stazionari: [ ] Hf, = definita negativa,, è punto di massimo relativo.

6 [ ] Hf, = indefinita, 9, è punto di sella. Hf, = Hf, = [ ] 8 8 indefinita,, è punto di sella. [ ] 8 8 indefinita,, è punto di sella.. Si consideri una lamina piana omogenea di massa m rappresentata da } Ω = x, y : y x R, x R, dove R > ha le dimensioni di una lunghezza. Si calcoli il momento d inerzia di Ω rispetto a un asse perpendicolare al piano xy e passante per l origine. I = m x + y dxdy. Ω Ω Calcoliamo anzitutto R x R R x R Ω = dxdy = dy dx = dy dx Ω R x R R x = R dx = R R = R. 6

7 I = m R R = m R = m [ x R R + = mr + R x + y dxdy = m Ω R [ ] x x y + y /R dx = m R ] R x7 R = m R R + R 6 = mr x R R x = 6 mr. x + y dy R + x6 R dx = mr +. Calcolare la massa totale di un solido conico non omogeneo, rappresentato da: zr Ω = x, y, z : x + y, z h}, di densità h ρ x, y, z = µ R h z x + y con R, h, µ > parametri fissati aventi R, h le dimensioni di una lunghezza, µ di una massa. Riportare con cura impostazione e passaggi. h µ m = ρ x, y, z dxdydz = Ω x +y zr h R h z x + y dxdy dz = µ h zr h R h z π ρ dρ dz = π µ h zr R h z dz h = π µ R R h h h z dz = π µr h 6 h = πµr h. 6. Sia Σ la superficie parametrizzata di equazioni x = u cos t y = u sin t per t [, π], u [, ]. z = t Dopo aver verificato che si tratta di una superficie regolare e calcolato l elemento d area ds, calcolare l integrale di superficie x ds. Σ La funzione vettoriale rt, u è evidentemente C, calcoliamo l elemento d area per verificare che non si annulla mai. [ ] u sin t u cos t Dr t, u = cos t sin t ds = u + dtdu. dx 7

8 Poiché u + > sempre, la superficie è regolare. Calcoliamo: π x ds = u cos t u + dt du Σ = u u + du π cos tdt = [ u + /] [sin t] π/ =. 7. Si consideri la funzione -periodica definita in [, ] da se x < f x = x se x a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo [, ]: in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f, tenendo conto del periodo e delle simmetrie, semplificare opportunamente l espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier e scrivere la serie di Fourier. Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coeffi cienti di Fourier, poi particolarizzarla e eseguire il calcolo esplicito, riportando i passaggi essenziali e il risultato, nella forma più esplicita e semplificata. a. grafico di f in [, ] La periodizzata è continua in R, regolare a tratti e pari. Perciò la serie di Fourier di f converge puntualmente a f ovunque; i coeffi cienti di Fourier saranno o /k ma non meglio di così. b. La funzione è pari, perciò b k = per ogni k. Per calcolare gli a k, poiché 8

9 T =, ω = π T = π, a k = T = T/ f x cos kωx dx = T/ T x cos k π x dx. T/ f x cos kωx dx = f x cos k π x dx a = Per k =,,..., a k = = kπ x [ ] x dx = x = 8 + = x cos k π [ x x dx = kπ sin k π ] x [ x kπ cos k π ] } x + kπ cos k π x dx = cos kπ + k kπ kπ kπ cos π = cos kπ 8 k kπ kπ cos π + } [ sin k π ] kπ x + 6 k kπ sin π x kπ sin k π x dx e la serie di Fourier di f è f x = + cos kπ 8 k kπ kπ cos π + 6 k kπ sin π } cos k π x. k= Grafico di f x insieme alla sua somma parziale di Fourier fino a n = : 9