ANALISI MATEMATICA L-C, B-S

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1 ANALISI MAEMAICA L-C, B-S 25-6 SERIE DI FOURIER MASSIMO CICOGNANI Per la pubblicazione in rete di queste dispense si deve ringraziare Marco Frison che le ha trascritte interamente in Latex 1 Lo spazio L 2, serie di Fourier in L 2 Lo spazio L 2 (A) è importante perchè è uno spazio completo dove la norma segue da un prodotto scalare. Per x(t), y(t) in L 2 (A) x, y = x(t)y (t)dt A è un prodotto scalare. Intanto si dimostra che x(t)y (t) è sommabile e che x, y = x(t)y (t)dt x(t) y(t) dt A A ( ) 1/2 ( ) 1/2 x(t) 2 dt y(t) 2 dt A A dove l ultima disuguaglianze è non banale da provare e, tenendo conto che la norma di x è x = x, x, fornisce la disuguaglianze di Cauchy-Schwarz: x, y x y. 1

2 Premesso questo, sono valide tutte le proprietà di un prodotto scalare in uno spazio vettoriale sul campo complesso: x, x e x, x = x = x, y = y, x λ 1 x 1 + λ 2 x 2, y = λ 1 x 1, y + λ 2 x 2, y, λ 1, λ 2 C. Diremo che x è ortogonale ad y, in simboli x y, quando x, y =. Sviluppando x + y 2, per x ed y qualunque, si ha: x + y 2 = x + y, x + y = x, x + x, y + y, x + y, y = = x 2 + x, y + x, y + y 2 = x 2 + 2R x, y + y 2. Nel caso particolare di x y si ha il eorema di Pitagora x + y 2 = x 2 + y 2. Consideriamo un sistema di elementi in L 2 (A) con la proprietà x k 2 = 1 x 1 (t),, x n (t) (versori) x k, x j = per k j (ortogonali) e consideriamo lo spazio Y n delle combinazioni lineari w(t) = α k x k (t), α k C. É un sottospazio di L 2 (A) di dimensione finita pari ad n. Preso un qualunque x(t) in L 2 (A), consideriamo l elemento di Y n y n (t) = x, x k x k (t). Si tratta della proiezione di x su Y n, che realizza x y n w per ogni w Y n. Inoltre da x w 2 = (x y n ) + (y n w) 2 = x y n 2 + y n w 2, 2

3 dove si è usato che (x y n ) (y n w) in quanto y n w Y n, segue min x w 2 = x y n 2 w Y n cioè la minima distanza si ottiene per w = y n. Infine x 2 = x y n + y n 2 = x y n 2 + y n 2 quindi Ponendo c k = x, x k, si ha y n 2 x 2. y n 2 = c k 2 per il teorema di Pitagora. Dunque, la disuguaglianza y n 2 x 2 si scrive anche x, x k 2 x 2. Applichiamo quanto visto ad una famiglia numerabile di versori x 1, x 2,, x n, x n+1, x k = 1, x k, x j =, per k j, considerando la successione crescente di sottospazi Y 1 Y 2 Y n Y n+1 dove ciascun Y n è generato da { x 1,, x n }. Data x(t) in L 2 (A) otteniamo una successione di proiezioni ortogonali y n (t) = x, x k x k (t) tale che per ogni n x 2 = x y n x, x k 2

4 da cui e x, x k 2 x 2 x y n 2 n + x 2 = In particolare y n L 2 x ( (disuguaglianza di Bessel) x, x k 2 cioè x L2 = ) x, x k x k (uguaglianza di Parseval). se e solo se vale l uguaglianza di Parseval. In questo caso ogni elemento x è limite di combinazioni lineari degli x k ed il sistema di questi versori si dice un sistema fondamentale in L 2 (A). La serie x, x k x k convergente ad x in L 2 si chiama serie di Fourier. 2 Serie di Fourier in L 2 ([, ]) Consideriamo la famiglia numerabile di funzioni periodiche di periodo > x n (t) = e iωnt, ω = 2π, n Z. In un intervallo di lunghezza, ad esempio [, ], si ha x n (t)x m (t) dt = x n (t) 2 dt = e iω(n m)t dt = Cambiando la definizione di x n in dt = ; 1 iω(n m) x n (t) = 1 e iωnt [ e iω(n m)t ] = per n m. 4

5 abbiamo quindi per n Z una famiglia numerabile di versori ortogonali in L 2 ([, ]). Si dimostra che è un sistema fondamentale nel senso che per ogni x(t) in L 2 ([, ]) si ha dove x(t) L2 = lim n c k = x, x k = Cambiando la definizione di c k in c k 1 e iωkt x(t) e iωkt dt. possiamo quindi scrivere c k = 1 x(t)e iωkt dt x(t) L2 = lim c k = 1 Il limite è nel senso di L 2 cioè lim n + n c k e iωkt, x(t)e iωkt dt. x(t) y n (t) 2 dt = dove y n (t) = L elemento y n (t) è tra tutti quelli della forma quello che rende minimo Le scritture w(t) = α k e iωkt x(t) w(t) 2 dt; k=+ x(t) L2 = c k e iωkt e x 2 = k= 5 k=+ k= c k e iωkt ; c k 2 (Parseval)

6 vanno intese sempre in valor principale cioè come x(t) L2 = lim n + x 2 = lim n + c k e iωkt, c k 2. In particolare, non è detto che convergano separatamente le serie Se x(t) è periodica di periodo in R con x(t) 2 dt < +, dove 1 k= indica l integrale lungo come il periodo, allora L 2 ([, ]) può essere sostituito da L 2 ([a, a+ ]) con un qualunque a R. In particolare i coefficenti c k possono essere calcolati in uno qualunque di tali intervalli: c k = 1 x(t)e iωkt dt. e + k=. 6

7 3 Serie di Fourier in L 1 ([, ]) Data x(t) periodica di periodo, ha senso considerare i coeffiecienti c k = x(t)e iωkt dt anche sotto l ipotesi dal momento che x(t) dt < + x(t)e iωkt = x(t) quindi c k è, anche in questo caso, l integrale di una funzione sommabile. La condizione x(t) dt < + è più debole di x(t) 2 dt < +. Infatti ( x(t) 1dt ) 1/2 ( 1/2 x(t) 2 dt 1dt) = ( ) 1/2 x(t) 2 dt per Cauchy-Schwarz applicato al prodotto scalare in L 2 ([, ]) tra le funzioni x(t) e 1. Così cioè L 2 ([, ]) L 1 ([, ]). x(t) 2 < + x(t) dt < + Esercizio 3.1 Siano x, y : (, + ) R, 1 < t < 1 x(t) = t t 1, < t < 1 y(t) = 1 t 1. t 7

8 Mostrare che x L 1 (, + ), y / L 1 (, + ), x / L 2 (, + ); y L 2 (, + ). Questo mostra che per intervalli illimitati non vale alcuna relazione di inclusione tra L 1 e L 2. ornando alla serie di Fourier k=+ k= c k e iωkt ( questa ha senso anche per x(t) in L 1 ([, ]) quindi anche L 1 ([a, a + ]) ) per ogni a grazie alla periodicità di x(t). Perdiamo, se x / L 2 ([, ]), la convergenza in media integrale quadratica. Si hanno però dei risultati di convergenza puntuale sotto opportune ipotesi di regolarità: eorema 3.2 Assumiamo 1. x(t) < + ; 2. il numero dei massimi e minimi in [, ] è finito; 3. in ogni t [, ] esistono finiti i limiti lim x(t), t t + lim t t x(t); 4. il numero dei punti di discontinuità in [, ] è finito (se ci sono delle discontinuità sono comunque di prima specie per l ipotesi 3). Allora, denotati con x(t + ) ed x(t ) i punti limiti in 3), in tutti i punti t si ha k=+ c k e ikωt = x(t+ ) + x(t ). 2 k= 8

9 In particolare, nei punti di continuità la serie converge ad x(t). Abbiamo anche un risultato di convergenza uniforme: eorema 3.3 Sia x come nel teorema precedente e sia [a, b] [, ] un intervallo chiuso dove x(t) è continua. Allora la serie di Fourier converge uniformemente a x(t) su [a, b]. 4 Funzioni a valori reali, serie di seni e coseni. L equazione del calore in una barra finita Se x(t) è a valori reali allora c k = ( 1 Ne segue ) x(t)e ikωt dt = 1 c k e ikωt = c + ( x(t)e ikωt ) dt = 1 [ c k e ikωt + ( c k e ikωt) ] = c + = a 2 + a k cos(kωt) + b k sin(kωt) x(t)e ikωt dt = c k. 2R ( c k e ikωt) = ponendo a k = 2 b k = 2 x(t) cos(kωt)dt, k ; x(t) sin(kωt)dt, k 1. Si ha così la serie di Fourier in seni e coseni della funzione periodica x(t) a valori reali: a 2 + a k cos(kωt) + b k sin(kωt). Nei casi in cui x(t) presenti una simmetria si hanno o solo coseni o solo seni secondo il tipo di simmetria: 9

10 se x(t) è pari b k = 2 /2 /2 x(t) sin(kωt)dt = perchè l integranda è dispari. Solo coseni. Inoltre a k = 2 /2 /2 x(t) cos(kωt)dt = 4 /2 x(t) cos(kωt)dt per simmetria pari; analogalmente, se x(t) è dispari a k = b k = 4 /2 (solo seni), x(t) sin(kωt)dt. Con queste osservazioni, assegnata una funzione v(t) che in [, a] (a > ), soddisfa le ipotesi di regolarità del teorema di convergenza puntuale, posso definire un prolungamento dispari x(t) di v(t) all intervallo ( a, a) e poi denotare ancora con x(t) un prolungamento periodico ad R di periodo = 2a (nei punti ka con k Z si assegna il valore ). La serie di Fourier di x(t) è di soli seni. Poichè in (, a) la funzione coincide 1

11 con v(t), in tale intervallo la serie converge a v(t +) + v(t ), v(t) nei punti di 2 continuità. Per tali t i valori v(t) sono espressi come somma di soli seni b k sin (k π ) a t. In maniera analoga, senza nemmeno dover modificare i valori in ka con k Z, si può costruire un prolungamento periodico pari di periodo = 2a Nei punti t [, a] in cui v(t) è continua v(t) = a 2 + a k cos(k π a t) cioè v(t) si esprime come somma di soli coseni. Possiamo applicare questa osservazione nella soluzione dell equazione del calore in una barra di lunghezza L. Sia t il tempo, x [, L] l ascissa dei punti della barra, u(t, x) la temperatura nel punto x al tempo t. Il modello matematico è il seguente: t u = xu 2 (equazione del calore) u(t, ) = u(t, L) = (temperatura costante agli estremi) u(, x) = u (x) (condizione iniziale sulla temperatura). Cerchiamo soluzioni col metodo della separazione delle variabili ponendo Sostituendo in t u = 2 xu, otteniamo u(t, x) = (t)x(x) (t)x(x) = (t)x (x) 11

12 cioè (t) (t) = X (x) X(x). Ne segue che il primo ed il secondo membro, funzioni di due variabili tra loro indipendenti, possono coincidere solo se sono costanti X = λx λ costante reale. = λ La seconda equazione è risolta da = ce λt, c R. La prima ha integrale generale che cambia aspetto con k: X = c 1 e x λ + c 2 e x λ λ > X = c 1 + c 2 x λ = X = c 1 cos(x λ) + c 2 sin(x λ) λ <. Imponendo la condizione X() = X(L) = agli estremi della barra, i casi λ > e λ = vengono scartati perchè tale condizione è soddisfatta solo da X. Sia quindi λ < : scriviamo λ = ω 2 con ω >. Imponiamo X() = X(L) = in X = A cos(ωx) + B sin(ωx). Si ottiene A = (solo seni), ωl = kπ (k = 1, 2, ), cioè ω = kω con ω = π. Abbiamo così delle soluzioni L u k = e k2 w 2t B k sin(kω x), w = π, k = 1, 2, L dell equazione t u = 2 xu che soddifano u k (t, ) = u k (t, L) =. 12

13 La temperatura iniziale u k (, x) = B k sin(kω x) non coincide con u (x) a meno che u non sia proprio di questo tipo. Possiamo però sfruttare il fatto che la somma di soluzioni è ancora soluzione e cercare u nella forma u(t, x) = e k2 w 2t B k sin(kω x), w = π L. La condizione iniziale diventa u (x) = B k sin(k π x), x L, L e questo può essere realizzato nella maniera vista: i B k sono i coefficienti di Fourier del prolungamento periodico dispari di u con periodo 2L. Si dimostra che sotto ipotesi di regolarità di u la serie che definisce u(t, x) effettivamente è una soluzione di t u = 2 xu. Le condizioni u(t, ) = u(t, L) =, u(, x) = u (x) sono soddisfatte per costruzione. 13