SOLUZIONE. Fondamenti di Automatica (CL Ing. Gestionale) a.a Prof. Silvia Strada Seconda prova intermedia 12 Febbraio 2015

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1 Politecnico di Milano Fondamenti di Automatica (CL Ing. Gestionale) a.a.24-5 Prof. Silvia Strada Seconda prova intermedia 2 Febbraio 25 SOLUZIONE

2 ESERCIZIO punti: 8 su 32 Si consideri un sistema dinamico, con ingresso u(t) e uscita y(t), caratterizzato dalla seguente funzione di trasferimento s 5 G(s) = s(s )(s 4). Si dica se il sistema è asintoticamente stabile. No, perchè c è un polo nell origine. 2. Si dica se il sistema è a fase minima. Sì, perchè il guadagno è positivo e tutti i poli e gli zeri sono a parte reale negativa o nulla. 3. Si traccino i diagrammi di Bode asintotici del modulo e della fase di G(s) negli appositi spazi in scala semilogaritmica in Fig.. 6 Diagramma di Bode - Modulo 4 2 db Diagramma di Bode - Fase - gradi Figure : Diagrammi di Bode dell Esercizio 4. Si calcoli il valore esatto della fase di G(jω) a ω = 5rad/s. G(j5) = 7 5. Si tracci l andamento qualitativo del diagramma polare di G(s) (Facoltativo: determinare eventuali asintoti e/o intersezioni con gli assi) Figure 2: Diagramma polare (intero e ingrandimento) dell esercizio 2

3 ESERCIZIO 2 punti: 6 su 32 Si consideri il sistema retroazionato della Figura 3, dove G(s) = e R(s) = k. (.s)( 8s) 2 w - e R(s) G(s) y Figure 3: Sistema di controllo con feedback dell Esercizio 2 Applicando il criterio di Nyquist, si calcoli analiticamente per quali valori di k > il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile. Conviene studiare per quali valori di k > il diagramma di Nyquist di G(jω) non compie giri attorno al punto k. Il diagramma di Nyquist di G(jω), riportato in Figura 4, non compie giri intorno al punto k se < k < < k < G(jω π) G(jω π ) < k < 67 con ω π =.6.8 Nyquist Diagram Imaginary Axis Real Axis Figure 4: Diagramma polare (intero e ingrandimento) dell esercizio 2 3

4 ESERCIZIO 3 punti: 2 su 32 Si consideri il sistema di controllo con feedback negativo di Fig.5, in cui compaiono sia un disturbo di processo d(t) che uno di misura n(t). d w e - L(s) n y Figure 5: Sistema di controllo con feedback dell Esercizio 3 La funzione di trasferimento d anello è L(s) = s (s ) 2 2 Diagramma di Bode - Modulo db Diagramma di Bode - Fase -5 gradi Figure 6: Diagrammi di Bode della funzione d anello dell Esercizio 3. Si verifichi, mediante il Criterio di Bode, che il sistema di controllo in anello chiuso è asintoticamente stabile. µ = > e ϕ m = 53 > con ω c = 3.8rad/sec quindi, per il Criterio di Bode, il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile. 2. Posto d(t) = n(t) =, t, si tracci l andamento qualitativo dell uscita forzata y(t) in anello chiuso con riferimento w(t) = sca(t). Si specifichino, in particolare, il valore finale, il valore iniziale e il tempo di assestamento dell uscita (vanno benissimo anche valori approssimati). Essendo la funzione di trasferimento d anello a tipo nullo y = µ L = µ L Inoltre, sappiamo che la funzione di sensitività complementare, che lega w(t) = sca(t) a y(t), ha come zeri gli zeri di L(s), quindi nessuno, e come poli due poli complessi coniugati (dato il valore del 4

5 margine di fase) con ω n = ωc = 3.8 e ξ = ϕ m =.53 Quindi, dal fatto che F (s) ha solo poli e nessuno zero si ricava che y() = utilizzando il Teorema del valore iniziale. Dai due poli complessi si ricava un affidabile valore approssimato per il tempo di assestamento della risposta in uscita t a = 5 ω c ϕ m =.3 s. 3. Posto w(t) = n(t) =, t, si tracci l andamento qualitativo dell uscita forzata y(t) in anello chiuso con disturbo di processo d(t) = sca(t). Si specifichino, in particolare, il valore finale, il valore iniziale e il tempo di assestamento dell uscita (vanno benissimo anche valori approssimati). Essendo la funzione di trasferimento d anello a tipo nullo y = = µ L Inoltre, sappiamo che la funzione di sensitività, che lega d(t) = sca(t) a y(t), ha come zeri i poli di L(s) e come poli i poli in anello chiuso (2 zeri quindi e 2 poli) che coincidono con quelli di F (s). Quindi, dal fatto che S(s) ha grado relativo nullo e L(s) ha grado relativo unitario si ricava che y() =, utilizzando il Teorema del valore iniziale. Il valore approssimato del tempo di assestamento della risposta in uscita sarà, per quanto affermato, lo stesso ricavato al punto precedente..2 Step Response Step Response Amplitude.6 Amplitude Time (seconds) Time (seconds) Figure 7: Risposte in uscita a scalino di w(t) e d(t) dell esercizio 3 4. Si dica, giustificando la risposta, se sistema di controllo amplifica, lascia passare invariato o attenua un disturbo di misura n(t) in ciascuno dei tre seguenti casi: (a) n(t) = sin( 2 t) (b) n(t) = cos( 3 t) (c) n(t) = sin( 3 t) Per rispondere alla domanda è necessario capire il tipo di comportamento in frequenza del legame tra il disturbo di misura, n(t), e l errore o l uscita. Il legame tra disturbo di misura ed errore è regolato dalla funzione di sensitivitá complementare che sappiamo essere un sistema passa-basso con banda passante BP : [, ω c ] = [, 3.8]. Quindi, nei casi (a) e (b) il disturbo di misura passa invariato in quanto fino alla pulsazione critica il F (jω) = e la loro pulsazione ricade nella banda passante, mentre nel caso (c) il disturbo ad alta frequenza viene attenuato perchè ha pulsazione molto più grande dell estremo superiore della banda passante. 5

6 ESERCIZIO 4 punti: 3 su 32 Data la funzione di trasferimento W (s) = 5.2s, si scrivano i comandi Matlab per calcolare il modulo e la fase della risposta in frequenza, associata a W (s), in corrispondenza della pulsazione ω =. n=5; d=[.2 ]; W=tf(n,d); [m,f]=bode(w,); DOMANDE -.25=risposta errata, =risposta non data,.5=risposta corretta Ogni quesito ha una sola risposta corretta.. Quale delle seguenti azioni su un sistema di controllo in retroazione negativa porta certamente ad una riduzione del tempo di assestamento dell uscita? A. Una diminuzione del margine di fase B. I poli dominanti in anello chiuso vengono spostati a sinistra nel piano complesso C. Una diminuzione della pulsazione critica D. I poli dominanti in anello chiuso vengono spostati a destra nel piano complesso 2. Un sistema con ritardo può essere descritto dalla seguente funzione di trasferimento G(s) = e sτ k sτ p. Per determinare i coefficienti τ, k and τ p, viene calcolata e tracciata (Fig.5) la risposta allo scalino unitario del sistema reale. Step Response Amplitude Time (seconds) Quali sono i valori dei coefficienti τ, k and τ p deducibili dal grafico? A. τ =.5, k = 3 e τ p =.6 B. τ =., k = 3 e τ p = C. τ =.5, k = e τ p = 4 D. τ =.5, k = e τ p =.6 3. Si consideri un sistema di controllo standard a retroazione negativa per il quale la funzione d anello è L(s) = R(s)G(s). Il margine di guadagno di L(s) è definito come A. k m = L(jω π ) db con ω π : (L(jω π ) = 9 B. k m = 8 (L(jω c )) con ω c : L(jω c = C. k m = L(jω π ) db con ω π : (L(jω π ) = 8 D. k m = L(jω π ) db con ω π : (L(jω π ) = 8 6

7 4. Si consideri un sistema descritto dalla funzione di trasferimento G(s) =. Per tale sistema, s controllato in retroazione negativa con un controllore con solo guadagno proporzionale µ R >, possiamo dire che A. aumentando µ R, il sistema in anello chiuso può divenire instabile B. diminuendo µ R, il sistema in anello chiuso può divenire instabile C. aumentando µ R, (fino ad un valore grande a piacere, ma minore di infinito) è possibile annullare l errore a regime con riferimento a scalino D. Aumentando µ R è possibile diminuire l errore a regime con riferimento a scalino 5. Un controllore PID A. è dato dalla somma di tre azioni di controllo basate sull errore B. è un controllore puramente proporzionale basato sull errore C. può avere un numero qualsiasi di poli e zeri D. è utilizzato molto raramente nelle applicazioni industriali s 6. Un sistema con funzione di trasferimento G(s) =.s A. esercita un azione passa-basso con banda passante [, ] B. esercita un azione passa-alto con banda passante [, ) C. esercita un azione passa-alto con banda passante [, ) D. esercita un azione passa-alto con banda passante [, ) 7