RICERCA OPERATIVA. Questi due tipi di costi contribuiscono a determinare il costo totale di produzione così definito:

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1 RICERCA OPERATIVA Prerequisiti Rappresentazione retta Rappresentazione parabola Equazioni e disequazioni Ricerca Operativa Studio dei metodi e delle strategie al fine di operare scelte e prendere decisioni sia in situazioni di certezza che di incertezza. Studia, analizza e propone metodi per prendere delle decisioni in modo coerente ed appropriato. E applicabile in qualsiasi campo, ma prevalentemente ed efficacemente in ambito economico. Problema Codifica del problema Analisi e soluzione Decodifica del risultato Costo, Ricavo e Profitto. COSTO Ogni bene che viene prodotto ha un costo che deriva dalla combinazione di molti fattori: mano d opera, materie prime, gestione di magazzino, macchinari. Per poter attivare strategie ottimali di produzione è necessario saper fare un appropriata analisi dei costi, perché da essa si possono ricavare molte informazioni e prendere decisioni. Un dato molto importante da prendere in considerazione per la valutazione dei costi è la capacità produttiva di un azienda. Con tale termine si intende la massima quantità producibile nell unità di tempo (giornalmente, settimanalmente, mensilmente, annualmente, in relazione al testo del problema). I costi si suddividono in due categorie: Costi fissi Cf: non dipendono dalla quantità (q) della produzione (affitto locali, stipendio dipendenti, ammortamento degli impianti, assicurazioni.) Costi variabili Cv: dipendenti dalla quantità prodotta(q) (spese acquisto materie prime, consumo energetico, manutenzione impianti, retribuzione straordinaria.) Questi due tipi di costi contribuiscono a determinare il costo totale di produzione così definito: Il Costo Totale Ct: dipende da entrambi ed è funzione della quantità prodotta. Ct = Cv + Cf In economia, le funzioni più usate per rappresentare i costi sono: La retta C = aq + b con a>0 e b>0 La parabola c= aq 2 + bq + c con b>=0 e c>0

2 Il Costo Medio è il costo di una unità di bene prodotto. Anch esso viene calcolato in relazione alla quantità prodotta secondo la formula: Cm= Ct q RICAVO La finalità di ogni azienda è quella di ottenere un ricavo dalla vendita dei propri beni prodotti. E abbastanza intuibile che il ricavo dipende dalla quantità di merce venduta e dal prezzo applicato. A tal proposito va precisato che il prezzo di vendita viene definito in base alle leggi di mercato. Mercato di concorrenza perfetta: Il prezzo è fissato ed uguale per tutti i produttori. Tale prezzo risulta perciò indipendente dalla quantità di merce venduta. Mercato di monopolio: il singolo produttore può influenzare il prezzo di vendita che diventa quindi dipendente dalla quantità di merce venduta (legge domanda/offerta). In entrambi i casi il ricavo viene calcolato come prodotto tra il prezzo unitario e la quantità di merce venduta. R = p * q PROFITTO Per profitto si intende l utile realizzato dall azienda, combinando in modo ottimale la quantità di produzione, i costi, il prezzo ed i ricavi. P = R C E possibile rappresentare graficamente l andamento del profitto in funzione della quantità di produzione, ma ancora più interessante è la rappresentazione in uno stesso piano cartesiano dell andamento dei costi e dei ricavi. Tale diagramma prende il nome di Diagramma di Redditività, e, su di esso, è possibile individuare alcuni elementi essenziali per l analisi della produzione: Zona di perdita: i ricavi sono minori dei costi. Zona di utile: i costi sono minori dei ricavi Break-Point: valore della quantità prodotta in relazione al quale costi e ricavi si equivalgono. LA SCELTA FRA PIU ALTERNATIVE In molte occasioni un problema di scelta comporta la scelta tra due o più alternative possibili. Per operare una scelta consapevole dobbiamo anche in questo caso stabilire quale sia il dato che si vuole ottimizzare (funzione obiettivo) ed analizzare, al variare delle variabili in gioco, quale sia la scelta più conveniente. In tali problemi, infatti la scelta non è mai unica, ma dipende dal valore assunto dalle variabili. Punti di indifferenza: si trovano in corrispondenza di un valore della variabile per cui la scelta può cadere indifferentemente su una o su un altra possibilità.

3 ESERCIZI 1. Un impresa, per produrre un certo bene in un dato periodo di tempo, sostiene dei costi fissi valutabili in 400 Euro, e dei costi variabili che corrispondono a 0,80 Euro per ogni unità prodotta. Tenendo conto che l impresa può produrre al massimo 1000 unità, determinare: a. La funzione del costo totale e rappresentarla graficamente; b. L ammontare dei costi variabili e del costo totale per una produzione di 500 e di 1000 unità. 2. Un impresa, per produrre un certo bene in un dato periodo di tempo, sostiene dei costi fissi pari a 3000 Euro, e dei costi variabili quantificabili in 9 Euro per ogni due unità prodotte. Sapendo che l impresa può produrre al massimo 3000 unità, determinare: a. La funzione del costo totale e rappresentarla graficamente; b. L ammontare dei costi variabili e del costo totale per una produzione di Una fabbrica di liquori sostiene, per la sua produzione, una spesa fissa settimanale di 2120 Euro ed inoltre ogni litro prodotto costa all azienda 1,60 euro per le materie prime utilizzate. a. Rappresentare graficamente le funzioni del costo totale e del costo medio; b. Determinare il costo totale ed il relativo costo medio per una produzione di 800 litri di liquore. 4. Un industria sostiene, per la fabbricazione di un determinato prodotto in un dato periodo di tempo, costi fissi di 1000 Euro e spese per materie prime per ogni unità prodotta, pari, in Euro, al 2% dei pezzi fabbricati. Determinare: a. Le funzioni del costo totale e del costo medio e rappresentarle graficamente; b. Il costo medio complessivo per una produzione rispettivamente di 500 e 1000 prodotti. 5. Il prezzo di vendita di un certo prodotto è espresso dalla relazione p = 200 0,7q, dove q esprime la quantità prodotta e venduta. a. Scrivere e rappresentare l espressione del ricavo; b. Calcolare il suo valore per una vendita di 200 unità di prodotto; c. Determinare la quantità (q) che dà il massimo ricavo possibile. 6. Una fabbrica di distillati sostiene una spesa fissa settimanale di 2125 Euro ed un costo per materie prime di 0,80 Euro al litro. Gli impianti permettono una produzione massima di 5000 litri settimanali. Sul mercato il distillato viene venduto a 1,65 Euro al litro. a. Determinare le funzioni del costo totale e del ricavo; b. Rappresentarle graficamente; c. Rappresentare il diagramma di redditività; d. Calcolare il punto in cui i costi uguagliano i ricavi (Break Point); e. Calcolare la quantità di litri che consentono alla fabbrica il massimo utile e l ammontare di tale utile. 7. Una segheria può lavorare fino a 500 quintali di truciolato di legname in una settimana, sostenendo spese fisse pari a 750 Euro settimanali e spese quantificabili in 5 Euro per ogni quintale lavorato. Il prezzo di vendita è espresso dalla relazione p = 40 0,1q, dove q esprime la quantità di truciolato prodotta e venduta. a. Determinare le funzioni del costo totale e del ricavo; b. Rappresentarle graficamente; c. Rappresentare il diagramma di redditività; d. Calcolare il punto in cui i costi uguagliano i ricavi (Break Point); e. Calcolare la quantità di truciolato che consente alla fabbrica il massimo utile e l ammontare di tale utile. 8. Il costo totale relativo alla produzione di un certo bene è dato, in Euro, dalla relazione C = 0.5q , il prezzo unitario di vendita dipende dalla quantità prodotta secondo la relazione P = q. a. Determinare la quantità da produrre per avere il massimo ricavo; b. Determinare la quantità da produrre per avere il massimo profitto; c. Supponendo di limitare la capacità produttiva a 500 pezzi, cambierebbero i risultati calcolati ai punti precedenti?

4 Le disequazioni lineari in due variabili Consideriamo la disequazione Y X < 0 PROGRAMMAZIONE LINEARE E di primo grado ma, rispetto alle disequazioni che siamo abituati a risolvere ha due variabili, X e Y. La risoluzione di tali disequazioni avviene per via grafica: Scrivere la disequazione nella forma normale Y X. Considerare l equazione che si ottiene sostituendo il simbolo di < con il simbolo di =. L equazione ottenuta rappresenta una retta, il cui grafico divide il piano cartesiano in due semipiani. Scegliere un punto del piano a piacere (A), sostituire le sue coordinate nella disequazione e valutare l espressione ottenuta: Se la disuguaglianza è VERA allora il semipiano delle soluzioni è quello che contiene A. Se la disuguaglianza è FALSA allora il semipiano delle soluzioni è quello che NON contiene A.

5 I sistemi di disequazioni lineari in due variabili Per risolvere un sistema di disequazioni lineari in due variabili la procedura è analoga: Individuare i semipiani soluzione di ciascuna disequazione. Determinare la regione di intersezione delle soluzioni. Esempio X + Y 0 3X + Y 5 0 Regione Ammissibile: insieme di punti del piano cartesiano le cui coordinate sono soluzione del sistema di disequazioni. Le curve di livello Consideriamo la funzione Z = X + Y e diamo a Z un preciso valore (ad esempio 0). Otteniamo così un equazione di una retta che possiamo rappresentare nel piano ed i cui punti sono tutti e soli quelli che hanno per coordinate due valori tali che la loro somma sia 0. Se modifichiamo il valore scelto per Z (ad esempio 1) otterremo una retta diversa dalla precedente perché i suoi punti sono tutti e soli quelli che hanno per coordinate due valori tali che la loro somma sia 1. Variando ancora il valore scelto per Z otteniamo altre rette tutte diverse tra loro, ma con la particolarità di essere tutte parallele. Si definiscono curve di livello per la funzione Z il fascio di rette parallele ottenuto variando il valore di Z.

6 La freccia indica come avanza il loro grafico al crescere del valore scelto per Z. Massimi e minimi delle funzioni lineari Data una Regione ammissibile ed una funzione lineare in due variabili è possibile stabilire i suoi punti di minimo e di massimo sulla Regione. Punti del piano, quindi, per i quali la funzione assume rispettivamente il valore più piccolo e il valore più grande possibile e che in ogni caso risultano essere interni alla Regione ammissibile data. Il procedimento è grafico e prevede di: Disegnare la Regione ammissibile. Costruire le curve di livello della funzione stabilendo la direzione lungo cui si spostano tali linee. Punto di minimo: valore di Z associato alla prima retta che incontra la Regione ammissibile. Punto di massimo: valore di Z associato all ultima retta che incontra la Regione ammissibile. Esempio Consideriamo la Regione ammissibile rappresentata in figura e la funzione Z = X + Y Come da procedimento descritto e da grafico possiamo osservare che l origine è il punto in cui la funzione assume il valore più piccolo (0), mentre il punto C è il punto in cui la funzione assume il valore più grande (12)

7 Problemi di programmazione lineare La programmazione, che non ha nulla a che vedere con il medesimo termine utilizzato in informatica, è una tecnica matematica che consente di risolvere problemi in cui si devono distribuire risorse limitate, di natura qualsiasi, fra diverse attività concorrenti fra loro in modo che ne risulti il massimo beneficio. Il modello matematico di questi problemi è costituito da una funzione da ottimizzare (funzione obiettivo) e da un insieme di vincoli espressi da equazioni e/o disequazioni tutti indipendenti tra loro. Da considerare che ottimizzare una funzione vuol dire trovarne il suo valore massimo (massimizzazione) oppure il suo valore minimo (minimizzazione) in relazione alla richiesta del problema. Si parla di programmazione lineare quando, indipendentemente dal numero di variabili utilizzate, la funzione obiettivo ed i vincoli sono di tipo lineare (primo grado). In questa sezione studieremo esclusivamente problemi di programmazione lineare in due variabili. Esempio (problema di massimo) Un produttore ha l esigenza di trasportare due tipi di prodotti, A e B, che vengono imballati in scatole da 1 m 3 per il tipo A e da 2 m 3 per il tipo B. La ditta di trasporti mette a disposizione un solo autocarro che ha una portata massima di 100 m 3. Sapendo di poter effettuare un solo viaggio e che, all arrivo, i prodotti saranno venduti ad un prezzo di 2 euro per la scatola di tipo A e di 5 euro per la scatola di tipo B. Quante scatole di tipo A e B conviene caricare per il trasporto allo scopo di ottenere il massimo ricavo dalla vendita? A quanto ammonta tale ricavo massimo? La risoluzione di questo tipo di problemi prevede l impostazione di un modello matematico i cui elementi sono i seguenti: Funzione obiettivo (da massimizzare) Ricavo = 2A + 5B

8 Vincoli tecnici A + 2B 100 Vincoli di segno A 0 e B 0 Variabili di azione: A e B Coefficienti economici: 2 e 5 Coefficienti tecnologici: 1 e 2 Richieste: 100 È opportuno osservare che l'effettiva difficoltà della programmazione lineare sta nel trattare problemi che hanno centinaia o migliaia di variabili e nel trovare algoritmi efficienti e adeguate implementazioni software. Invece, i problemi di programmazione lineare in dimensione bassa sono concettualmente molto semplici e anche risolubili con strumenti elementari di algebra e geometria analitica. Risoluzione di problemi di programmazione lineare La risoluzione di problemi di programmazione lineare prevede l impostazione di un modello matematico. Definizione della Regione Ammissibile I vincoli tecnici, che possono essere anche più di uno, ed i vincoli di segno vanno a formare un sistema di disequazioni che va risolto graficamente al fine di individuare la Regione Ammissibile. Nel nostro esempio le variabili di azione rappresentano la quantità di scatole di tipo A e di tipo B che vengono caricate sull autocarro. Ogni vincolo ha un significato ben preciso: A 0: Non posso caricare un numero negativo di scatole di tipo A B 0: Non posso caricare un numero negativo di scatole di tipo B A + 2B 100:Il volume totale delle scatole che carico non può eccedere la capienza dell autocarro (100) Calcolando e rappresentando graficamente il risultato del sistema dei vincoli ottengo la regione ammissibile i cui punti rappresentano le combinazioni possibili sul quantitativo di scatole da caricare.

9 Definizione delle curve di livello Una volta determinata la regione ammissibile è necessario definire le curve di livello associate alla funzione obiettivo. Nel nostro esempio la funzione obiettivo rappresenta il ricavo ottenuto dalla vendita delle scatole trasportate (2 Euro per ogni scatola di tipo A e 5 euro per ogni scatola di tipo B) Ricavo = 2A + 5B Sarà dunque necessario costruire il fascio di rette parallele e definire la direzione di crescita Dal grafico si può dedurre che Il ricavo massimo si ottiene trasportando 50 scatole di tipo B e 0 scatole di tipo A. Il ricavo massimo ammonta a 250 Euro. ESERCIZI 1. Per la produzione di due tipi di stampi, che indicheremo con A e B, un impresa artigianale può disporre di 1200 Kg di resina e di 900 ore di lavoro. I dati tecnici relativi alla produzione sono i seguenti: Ogni stampo di tipo A richiede 5 Kg di resina e 5 ore di lavorazione; Ogni stampo di tipo B richiede 12 Kg di resina e 2 ore di lavorazione; I prezzi a cui gli stampi vengono rivenduti sono di 800 Euro per il tipo A e di 500 Euro per il tipo B. Determina il numero di stampi dei due tipi che è opportuno produrre per avere il massimo ricavo possibile.

10 2. Un industria produce due tipi di borse: A di lusso e B economico. Dalla loro vendita realizza un guadagno unitario rispettivamente di 30 euro e di 20 Euro. I dati tecnici relativi al processo produttivo giornaliero sono indicati nella seguente tabella: A B Risorse Max Materia prima (Kg) Tempo di lavorazione (h) Borchia dorata (n ) Trovare la quantità di ciascun articolo da produrre giornalmente per realizzare il massimo profitto. 3. Un azienda agrituristica partecipa ad una fiera espositiva a scopo pubblicitario e vuole acquistare dei gadgets da offrire in omaggio ai visitatori. Può scegliere tra due tipi di regali: cappellini o portachiavi. Il costo unitario è rispettivamente 1 Euro per un cappellino e 1,2 Euro per un portachiavi. Calcolare quanti articoli conviene acquistare per rendere minima la spesa nell ipotesi che: a. I visitatori stimati siano almeno 3000; b. Il numero di portachiavi sia almeno doppio del numero di cappellini. 4. Un agricoltore vuole realizzare un concime particolare per i propri terreni miscelandone due già esistenti, che indichiamo con A e B. Ogni Kg di fertilizzante di tipo A contiene il 18% di una particolare sostanza S1 ed il 15% di una seconda sostanza S2; ogni Kg di fertilizzante di tipo B contiene il 20% di S1 ed il 10% di S2. Il concime pensato dall agricoltore deve contenere non meno di 6 Kg di S1 e non meno di 4 Kg di S2. Come devono essere dosati i due fertilizzanti A e B per minimizzare il costo del nuovo concime se il primo costa 1,5 Euro ed il secondo 1,6 Euro al Kg? 5. Per fabbricare due prodotti, A e B, in uno stabilimento, si devono impiegare tre macchine: M 1, M 2, M 3, che possono lavorare indipendentemente una dall altra. Durante il processo di lavorazione, ciascun prodotto deve passare attraverso ciascuna macchina, non importa in quale ordine, rimanendovi un determinato numero di ore. I tempi in ore di lavorazione di ciascun prodotto e la disponibilità massima giornaliera per ciascuna macchina sono dati dalla seguente tabella: Macchine M 1 M 2 M 3 Prodotti A B Ore giornaliere disponibili I prodotti unitari sono pari a 40 Euro per il prodotto A e 60 Euro per il prodotto B. Quante unità dei due prodotti si devono fabbricare giornalmente per avere un profitto massimo? 6. Un tale ha a disposizione 700 Euro e vuole acquistare dei libri e dei contenitori di dischi. Ogni libro costa 15 euro ed ogni contenitore 12 Euro. Il loro spessore è rispettivamente di 7 cm e 5 cm. Vuole sapere se la cifra a disposizione è sufficiente per l acquisto di libri e contenitori quando devono essere soddisfatte le seguenti condizioni: c. Il numero di libri deve essere non inferiore a 15 e non superiore a 30; d. Il numero di contenitori deve essere non inferiore a 10 e non superiore a 30; e. Il numero complessivo di libri e contenitori non deve superare 50; f. Libri e contenitori devono essere allineati su una mensola di lunghezza non superiore a 3m.