Matematica Computazionale(6cfu) Ottimizzazione(8cfu) (a.a , lez.5)

Transcript

1 Docente: Marco Gaviano Corso di Laurea in Infomatica Corso di Laurea in Matematica Matematica Computazionale(6cfu) Ottimizzazione(8cfu) (a.a. 0- lez.5)

2 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 Algoritmo del simplesso input B (base) B (programma di base feasible) calcola B - Y= B - R(y j ) jn R ; loop calcola z j -c j jn R (z=c B y j ) if z j -c j 0 per ogni jn R (progr. corrente ottimale) stop if z j -c j >0 and y j 0 per almeno un jn R ; (soluzione all ) stop end

3 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 scegli k tale che (criterio di entrata) z k c k ma jn R (z j c j ) 0. calcola h tale che (criteri di uscita) h s B s N y y hk min0 ysk sk

4 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 Sia p l'indice di colonna di h in B(cambio della base) Calcola yk yk yp k y pk y vp [ y y y y y y J p [e pk e...e pk p- v p e pk p...e m pk ] pk mk pk ]. Y (B ) R (B ) J B (B ) B p d (R colonne di A che non appartengono a B ) end

5 5 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 Esempio La forma standard con l'introduzione di variabili standard è z minimizza z minimizza

6 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 Si parte con la soluzione di base ammissibile =0 5 =0 6 =8 = = =0. Si eseguono quindi le iterazioni del metodo del simplesso Soluzione di partenza z -c z -c z -c z -c z 5 -c 5 z 6 -c 6 - c B B B y y y y y 5 y 6 s sk 0 0-0/ / / 6

7 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 Prima iterazione B z -c z -c z -c z -c z 5 -c 5 z 6 -c c B B y y y y y 5 y 6-0/ / -/ / s /y sk 0 5 0/ -6/ 8/ -8/ 0/8 0 6 / -5/ 5/ -/ /5 Seconda iterazione z -c z -c z -c z -c z 5 -c 5 z 6 -c 6-5 -/5-6/5 0 c B B y y y y y 5 y 6 B - 8/5 /5 / /5-6 -8/5-8/5 - /5 - -/5 /5 s /y sk 7

8 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 La soluzione di base ottimale è z= -58/5 =8/5 =/5 5 =6/5 = = 6 =0 8

9 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 Il problema artificiale PL L'algoritmo del simplesso descritto precedentemente necessita di un programma di base iniziale ammissibile. Se tale programma non è disponibile lo si deve calcolare. Ciò è ottenuto a) moltiplicando se necessario certe equazioni dei vincoli in forma standard per - così da avere d0; b) aggiungendo alla matrice A un numero necessario e sufficiente di vettori colonna unitari associati con variabili artificiali u u...u p (pn) che insieme ad eventuali variabili di scarto o variabili isolate forniscono un programma iniziale ammissibile. 9

10 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 I vincoli sono ridefiniti in modo tale che sia banale individuare una base iniziale; si ha B=I. Per un insieme completo di variabili u u...u m i nuovi vincoli lineari hanno la seguente forma esplicita 5. a a... a a a a n n n... n u... u d d... a m a m... a mn n u m d m 0

11 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 Il metodo del simplesso può essere applicato al problema PL modificato con i vincoli 5.. Il nuovo problema PL' in cui la funzione obiettivo è ammette il programma di base ξ i u =d u =d... u m =d m = =...= n =0. Affinché un programma del problema PL' sia una soluzione del problema PL iniziale è necessario che nessuna variabile artificiale appaia nel risultato finale con valori strettamente positivi. La procedura completa è chiamata metodo delle due fasi. u i

12 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 Fase. La funzione obiettivo iniziale è sostituita da minimizza ξ Come risultato può aversi caso (a). Per il programma ottimale si ha =0 e nessuna variabile artificiale è parte della base corrente. caso (b). Per il programma ottimale si ha =0 e almeno una variabile artificiale è parte della base corrente. caso (c). Per il programma ottimale >0. i u i Nel caso (c) il problema PL non ha soluzione

13 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 Fase Nel caso (a) il programma ottimale del problema artificiale è un programma iniziale per il problema iniziale PL. Si applica di nuovo l algoritmo del simplesso Nel caso (b) il programma ottimale del problema artificiale è un programma iniziale per il problema iniziale PL ma le variabili artificiali presenti nella base devono restare nulle. Si applica di nuovo l algoritmo del simplesso imponendo che nessuna delle variabili secondarie alla fine della fase per cui z j -c j <0 può entrare nella base.

14 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 Esempio (caso a) z minimizza

15 5 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 Il problema artificiale diventa La tabella del simplesso è 0 u u u... u u 6 6 u 6 u u u ξ minimizza

16 Fase Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 Soluzione di partenza z -c z -c z -c z -c z 5 -c 5 z 6 -c 6 z 7 -c 7 z 8 -c 8 z 9 -c c B B y y y y y 5 y 6 y 7 y 8 y B 9 /y s sk u / u / u / 6

17 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 Prima iterazione z -c z -c z -c z -c z 5 -c 5 z 6 -c 6 z 7 -c 7 z 8 -c 8 z 9 -c c B B y y y y y 5 y 6 y 7 y 8 y 9 B 0 / -/ /6 -/6 /6 / /6 s /y sk u / u Seconda iterazione z -c z -c z -c z -c z 5 -c 5 z 6 -c 6 z 7 -c 7 z 8 -c 8 z 9 -c 9-96/9 - -9/9-7/9 c B B B y y y y y 5 y 6 y 7 y 8 y 9 s /y sk 0 / -/ 6/7 /6 / /7 /5 u 0-96/9 - -0/9-8/ / 0 0 -/9 /9 7

18 Fase Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 z -c z -c z -c z -c z 5 -c 5 z 6 -c 6 Prima iterazione -0/9 / / c B B y y y y y 5 y 6 B 7/ -/7 / -/ 5-6/ / - 0 / 0 0 s /y sk Poichè -/ z 6 c6 / 0 y6 0 non c'è programma ottimale finito. 8

19 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 Esempio (caso a) minimizza z Il problema in forma standard diventa 9

20 0 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n z minimizza Il problema artificiale è 0. u u... u - u u u ξ minimizza 6 6 5

21 Fase Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 Prima iterazione z -c z -c z -c z -c z 5 -c 5 z 6 -c 6 z 7 -c 7 z 8 -c c B B y y y y y 5 y 6 y 7 y 8 B s /y sk / u / u 0 - / Seconda iterazione z -c z -c z -c z -c z 5 -c 5 z 6 -c 6 z 7 -c 7 z 8 -c 8 7/ / / - 0 c B B y y y y y 5 y 6 y 7 y 8 B s /y sk 0 6 / / / 0 0 9/7 0 / -/9 -/9 -/9 0 0 u 7/ / / - 9/7

22 Fase Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 Prima iterazione B z -c z -c z -c z -c z 5 -c 5 z 6 -c 6 / / -9/ c B B y y y y y 5 y 6 s /y sk / -/ -/ -/ 9/7 /7 /7 -/7 9 Seconda iterazione B z -c z -c z -c z -c z 5 -c 5 z 6 -c 6 -/ -/ -/ <0 c B B y y y y y 5 y 6 s /y sk / / / -/

23 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 Il programma di base = / =0 5 =9 = = 6 =0 è ottimale Min z= /

24 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 Esempio (caso a) Il problema in forma standard diventa z minimizza z minimizza 6 6 5

25 5 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 Il problema artificiale è 0. u u... 8 u 5-6 u u u ξ minimizza 6 6 5

26 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 Fase Prima iterazione B z -c z -c z -c z -c z 5 -c 5 z 6 -c 6 z 7 -c 7 z 8 -c c B B y y y y y 5 y 6 y 7 y 8 ˆs / y sk u u / Seconda iterazione B z -c z -c z -c z -c z 5 -c 5 z 6 -c 6 z 7 -c 7 z 8 -c 8 -/ / - / -5/ c B B y y y y y 5 y 6 y 7 y 8 s /y sk u / -/ / - / -/ / 0 5 0/ -5/ / 0 -/ / 0/ 0 8/ / -/ 0 -/ / 6

27 Fase Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 Prima iterazione B z -c z -c z -c z -c z 5 -c 5 z 6 -c 6 5/ -7/ c B B y y y y y 5 y 6 s /y sk - / - -/ / / - -/ -/ Seconda iterazione B z -c z -c z -c z -c z 5 -c 5 z 6 -c 6 -/ -/ -/ <0 c B B y y y y y 5 y 6 s /y sk - 5/ 5/ / -7/ / / -/ 65/ / / -/ 7

28 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 Il programma di base =65/ = =5/ = 5 = 6 =0 è ottimale Min z= -7/ 8

29 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 Esempio (caso b) massimizza z - 0. Il problema in forma standard diventa min z

30 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 Il problema è equivalente a (si somma la riga alla ) min z 0. Il problema artificiale è min u ξ u u 8 0

31 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 Fase Prima iterazione z -c z -c z -c z -c z 5 -c 5 z 6 -c 6 z 7 -c c B B y y y y y 5 y 6 y 7 B s /y sk / u -5 - / Seconda iterazione z -c z -c z -c z -c z 5 -c 5 z 6 -c 6 z 7 -c 7 0 -/ -/ - 0 c B B y y y y y 5 y 6 y 7 B 0 / / / /6 0 s /y sk u 0 0 -/ -/ -

32 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 Fase Le variabili e 6 non potranno entrare nella base perché i corrispondent z j -c j al termine della prima fase sono <0 (strettamente negativi) Prima iterazione z -c z -c z -c z -c z 5 -c 5 z 6 -c 6 z 7 -c 7 / c B B y y y y y 5 y 6 y 7 B - / / / / /7 0 u 0 0 -/ -/ - s /y sk

33 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.5 Seconda iterazione z -c z -c z -c z -c z 5 -c 5 z 6 -c 6 z 7 -c 7 -/ 0 c B B y y y y y 5 y 6 y 7 B - 0/ -/ - 9/7 /7 s /y sk 0 u 0 0 Il programma di base =9/7 = 0/ = = 5 = 6 =0 è ottimale (degenere) Min z= -6/

34 Docente: Marco Gaviano Corso di Laurea in Infomatica Corso di Laurea in Matematica Matematica Computazionale(6cfu) Matematica Computazionale Ottimizzazione(8cfu) (a.a. 0- lez.6)

35 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.6 Modellizzazione Organizzazione del personale Una compagnia aerea ha deciso di aggiungere nuovi voli a quelli che già fornisce. Nell ambito del progetto generale si deve affrontare il problema del costo del personale di servizio sugli aerei. Questo costo lo si vuole preventivare in anticipo stabilendo un costo minimo ed allo stesso tempo garantendo un servizio di qualità. I voli si svolgono nell arco delle ore ed i tecnici che gestiscono il personale hanno messo a punto la seguente tabella sul numero di persone necessarie per avere un servizio di qualità. 5

36 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.6 Intervalli orari da coprire Numero minimo di persone necessarie dalle 6.00 alle dalle 8.00 alle dalle 0.00 alle dalle.00 alle dalle.00 alle dalle 6.00 alle dalle 8.00 alle dalle 0.00 alle.00 dalle.00 alle.00 5 dalle.00 alle

37 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.6 Il personale lavora in turni di 8 ore per 5 giorni alla settimana precisamente Turno dalle 6.00 alle.00 Turno dalle 8.00 alle 6.00 Turno dalle.00 alle 0.00 Turno dalle 6.00 alle.00 Turno 5 dalle.00 alle 6.00 Ogni persona durante il suo turno copre determinati intervalli di tempo ed è retribuito in base a tariffe prestabilite che tengono conto dell ora in cui si svolge il lavoro. Il costo 7 è fissato per ogni turno di 8 ore. Si ha la tabella.

38 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.6 turni Intervalli orari da coprire 5 dalle 6.00 alle 8.00 dalle 8.00 alle 0.00 dalle 0.00 alle.00 dalle.00 alle.00 dalle.00 alle 6.00 dalle 6.00 alle 8.00 dalle 8.00 alle 0.00 dalle 0.00 alle.00 dalle.00 alle.00 dalle.00 alle 6.00 Costo

39 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.6 Problema Trovare quante persone devono essere assunte giornalmente per ogni turno in modo da avere un servizio di qualità Modellizzazione matematica Si introducono le variabili j numero di persone assegnate al turno j La funzione obiettivo è Z= Le condizioni da soddisfare si trasformano in disuguaglianze. Per esempio il fatto che dalle.00 alle 6.00 debbano essere disponibili 6 persone si traduce in 9 + 6

40 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.6 L intero problema si traduce in min Z (dalle 6.00 alle 8.00) (dalle 8.00 alle 0.00) (dalle 0.00 alle.00) (dalle.00 alle.00) (dalle.00 alle 6.00) (dalle 6.00 alle 8.00) (dalle 8.00 alle 0.00) (dalle 0.00 alle.00) (dalle.00 alle.00) (dalle.00 alle 6.00) 0

41 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.6 Nel problema reale le i possono assumere solo valori interi. Nell ambito della Ricerca Operativa la Programmazione Intera studia proprio questo tipo di problema. Comunque a volte si preferisce assumere che le i siano definite nell insieme dei numeri reali e successivamente approssimare al più vicino numero intero. Aggiungiamo al nostro problema i vincoli di non negatività che comunque sono già inclusi negli altri vincoli. In tal caso si parla di ridondanza. Si ha ridondanza anche tra la a e la a equazione e tra la 6 a e la 7 a

42 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.6 La soluzione di base ottimale è =8 = =9 = 5 =5 z=060. Da notare che in certi intervalli sono disponibili più persone di quante ne sarebbero necessarie. Per es. dalle.00 alle.00 sono disponibili + 5 =58 persone; 5 sarebbero sufficienti.

43 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.6 Assemblaggio d Auto Un azienda automobilistica produce auto in uno stabilimento assemblando i vari componenti che vengono costruiti in altri stabilimenti. Vengono prodotti modelli di auto Vento Classe La prima è un auto quattro/porte di dimensioni medie con interni in plastica e qualità media ma con bassi consumi. La seconda è un auto due/porte di lusso con navigatore satellitare ed interni in pelle.

44 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.6 Ciascuna modello di Vento venduto dà un utile di 600Eu mentre ogni Classe venduta da 500Eu. Il responsabile dello stabilimento deve decidere quante auto di ciascun modello produrre nel mese successivo. Ovviamente la scelta deve essere fatta massimizzando il profitto. Sono noti i seguenti fatti Sono disponibili ore/lavoro per tutto il mese 6 ore/lavoro sono necessarie per assemblare una Vento 05 ore lavoro per una Classe Inoltre a causa di uno sciopero il numero di portiere disponibili è limitato.

45 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.6 Il fornitore ha informato il responsabile che potrà consegnare portiere (0 destre ed altrettante sinistre); i due modelli di auto utilizzano lo stesso tipo di porte. L ufficio vendite ha fatto sapere che il mercato il mese successivo non assorbirà più di 500 Classe mentre non ci sono limiti per le Vento. Problema Trovare quante auto di Vento e Classe devono essere prodotte nel mese successivo in modo da massimizzare i profitti 5

46 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.6 Modellizzazione matematica Si introducono le variabili numero di Vento numero di Classe La funzione obiettivo è Z= Le condizioni da soddisfare si trasformano in disuguaglianze. I vincoli relativi alle ore di lavoro danno

47 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.6 I vincoli relativi alle porte disponibile I vincoli di vendita sulle Classe danno 500 L intero problema si traduce in un problema PL in forma canonica ma

48 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.6 La cui soluzione è =800 ( Vento ) z= Eu =00 ( Classe ) Il responsabile prima di decidere sulla produzione vuole approfondire altre opzioni. 8

49 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.6 Opzione L ufficio vendita fa sapere che con una campagna pubblicitaria da Eu può incrementare le domande del modello Classe del 0%. Cosa succede in tal caso? Il problema si formalizza come ma ( ) 9

50 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.6 La cui soluzione è =800 ( Vento ) z= Eu Eu =00 ( Classe ) Risposta: aumenta la domanda ma non si possono produrre più modelli dell auto Classe. Aumentano solo i costi L opzione è da scartare 50

51 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.6 Opzione Le ore lavoro potrebbero essere incrementate del 5% Chiedendo ai lavoratori di fare gli straordinari. Quante auto potrebbero essere prodotte in più? Il problema si formalizza come ma

52 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.6 La cui soluzione è =67 ( Vento ) z= Eu =67 ( Classe ) Risposta: il numero di Vento diminuisce da 800 a 67; il numero di Classe aumenta da 00 a 67. Il profitto aumenta da Eu a Eu. L opzione è vantaggiosa se il costo degli straordinari non supera ( ) Eu. 5

53 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.6 Opzione Cosa avviene se le ore lavoro sono incrementate del 5% e viene fatta la campagna pubblicitaria dell opzione. Quante auto potrebbero essere prodotte in più? Il problema si formalizza come ma ( )

54 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.6 La cui soluzione è =67 ( Vento ) z= Eu =67 ( Classe ) Risposta: il numero di Vento diminuisce da 800 a 67. il numero di Classe aumenta da 00 a 67. Il profitto aumenta da Eu a ( ) Eu. L opzione è vantaggiosa se il costo degli straordinari non supera ( ) Eu. Comunque l opzione è più vantaggiosa. 5

55 Opzione Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.6 L amministratore delegato vorrebbe che si soddisfacesse l intera domanda del modello Classe. Si accetta un decremento nei profitti di Eu. La richiesta può essere accolta? Il problema si formalizza come (l ultima disequazione diventa ) ma

56 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n.6 La cui soluzione è =875 ( Vento ) z= Eu =500 ( Classe ) Risposta: il numero di Vento diminuisce da 800 a 875; il numero di Classe aumenta da 00 a 500. Il profitto diminuisce da Eu a Eu. La richiesta dell amministratore può essere accettata in quanto il profitto diminuisce di Eu. (restano anche 5500 portiere non utilizzate!!) 56

57 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n. 6 Il problema dei trasporti Si consideri una grossa azienda che produce detersivi in tre diversi stabilimenti O O O situati in località diverse. Questi devono essere trasportati in quattro grossi centri di raccolta D D D e D da cui sono poi consegnati ai singoli commerciati per la vendita. Per il trasporto della merce sono stati fissati i costi. In particolare c ij =costo per il trasporto di un quintale di detersivo dallo stabilimento O i al centro D j. Si chiede di determinare la quantità di prodotto che deve essere trasportata da O i a D j in modo da minimizzare i costi tenendo conto che c è una richiesta da soddisfare e che ogni 57 stabilimento ha un limite nella produzione.

58 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n. 6 Il problema può rappresentarsi con un grafo (grafo G) O c ij D O D O D Grafo G D 58

59 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n. 6 Tenendo conto della seguente tabella in cui sono fissate produzione e richiesta Costo trasporto D D D D produzione O O O richiesta

60 z minimizza ij Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n. 6 Il problema può formalizzarsi come

61 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n. 6 Un tipico problema dei trasporti in cui m sono i nodi di partenza ed n- le destinazioni ha la forma minimizza z m i n- j c ij ij n j ij a i i... m m i ij ij 0 b j j...(n -) i... m j...(n -) sottole ipotesi a i b j a i 0 b j 0 c ij 0 6

62 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n. 6 Le prime due ipotesi assicurano l esistenza della soluzione. La soluzione ottimale soddisferà il secondo gruppo di vincoli col segno di uguaglianza. Infatti se valesse il segno allora i suoi valori potrebbero decrementarsi e la funzione obbiettivo decrescerebbe contraddicendo l ottimalità. Al primo gruppo di vincoli si può aggiungere una variabile di scarto in i=..m. Le n variabili di scarto potrebbero avere il significato di quantità di merce (surplus) trasportata ad una destinazione fittizia n-sima senza costo da ciascun nodo origine i. Il problema può scriversi come 6

63 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n. 6 Il problema dei trasporti standard minimizza z m i n j c ij ij n j ij a i i...m m i ij b j j...n ij 0 i...m j...n sottole ipotesi a i b j a i 0 b j 0 c ij 0 c in 0 6

64 6 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n. 6 La matrice A dei coefficienti dei vincoli diventa Con l ( ) n-vettore riga I (n) matrice identità nn (n) (n) (n) I I I l l l A

65 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n. 6 Risultati teorici Teorema. Il problema del trasporto ammette sempre una soluzione ammissibile. Ogni soluzione è limitata. Dim. I valori ij =a i b j /a i costituiscono una soluzione. Inoltre ij min(a i b j ). Teorema. La matrice A ha rango (m+n-). 65

66 Matematica Computazionale Ottimizzazione a.a. 0- Lezione n. 6 Teorema. La matrice A è unimodulare cioè tutte le sottomatrici quadrate di A hanno determinante uguale a 0 oppure + oppure. Corollario. Se i valori a i e b j sono numeri interi i valori delle soluzioni di base sono anch essi interi. Esiste pertanto un programma di base con valori interi. 66