Esercitazioni di Matematica Generale A.A. 2016/2017 Pietro Pastore Lezione del 19 Dicembre Studio di Funzione.

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1 Esercitazioni di Matematica Generale A.A. 2016/2017 Pietro Pastore Lezione del 19 icembre 2016 Studio di Funzione 1. Si consideri la funzione f : R R così definita f(x) 1 2 log x x 2. (a) eterminare il dominio di f ed eventuali simmetrie. Il dominio della funzione è costituito dai valori di x che rendono positivo l argomento del logaritmo e che non annullano il denominatore. Perciò bisogna risolvere il seguente sistema x > 0 x 2 0 che da come soluzione x > 0. Quindi il dominio della funzione è l intervallo (0, + ). ato che il dominio non è simmetrico rispetto all origine degli assi, la funzione non può essere né pari e né dispari. (b) eterminare il segno di f ed eventuali intersezioni con gli assi. Per studiare il segno della funzione andiamo a vedere dove essa risulta positiva e quindi risolviamo la seguente disequazione: 1 2 log x x 2 > 0. Essendo una disequazione fratta studiamo il segno di numeratore e denominatore e quindi N : 1 2 log x > 0 log x < 1 2 x < e 1/2 e : x 2 > 0 x E il grafico del segno risulta 1

2 0 e N f(x) + e quindi la funzione risulta positiva in (0, e) e negativa in ( e, + ). Per trovare le intersezioni con l asse x andiamo a risolvere il sistema y 0 y 0 y 0 y 1 2 log x x log x 0 x e e quindi la funzione interseca l asse x nel punto A( e, 0). La funzione non interseca l asse y visto che 0 non appartiene al dominio. (c) Calcolare i iti e il comportamento asintotico della funzione. Vediamo se la funzione ha l asintoto orizzontale. che è una forma indeterminata. 1 2 log x x + x 2, Applichiamo la regola di de l Hôpital e quindi andiamo a calcolare il ite del rapporto delle derivate 2 x x + 2x perciò anche il ite 2 x + x 1 2x 1 2 log x x + x 2 0, 1 x + x 2 0, e allora la funzione ha l asse x come asintoto orizzontale a destra. ato che esiste l asintoto orizzontale, non dobbiamo cercare quello obliquo. Vediamo se la funzione ha asintoti verticali. 1 2 log x x 0 + x , quindi x 0 è asintoto verticale destro. (d) eterminare gli intervalli di monotonia di f ed eventuali punti 2

3 estremali. Andiamo a calcolare la derivata prima della funzione. f (x) 2 x x2 (1 2 log x) 2x x 4 2x 2x + 4x log x x 4 4x log x 4x x 4 4x(log x 1) x 4 4(log x 1) x 3 e studiamo il segno per capire gli intervalli in cui la funzione risulta crescente o decrescente. obbiamo allora risolvere la seguente disequazione 4(log x 1) x 3 > 0. Essendo una disequazione fratta studiamo il segno di numeratore e denominatore e quindi N : log x 1 > 0 log x > 1 x > e : x 3 > 0 x > 0. Il grafico del segno risulta 0 e N f (x) + quindi la funzione risulta decrescente (derivata prima negativa) in (0, e) e crescente (derivata prima positiva) in (e, + ). Per x e la derivata prima si annulla e quindi abbiamo un punto estremale. In particolare, osservando il grafico del segno si ha un minimo relativo. ato che f(e) 1 2 log e e e 2 1 e 2 3

4 il minimo relativo è nel punto m (e, 1e ) 2. (e) eterminare gli intervalli di convessità di f ed eventuali punti di flesso. Andiamo a calcolare la derivata seconda della funzione f (x) 4 x x3 4(log x 1) 3x 2 x 6 4x2 12x 2 log x + 12x 2 x 6 12x2 log x + 16x 2 x 6 4x2 ( 3 log x + 4) x 6 4( 3 log x + 4) x 4 e studiamo il segno per capire gli intervalli in cui la funzione risulta concava o convessa. obbiamo allora risolvere la seguente disequazione 4( 3 log x + 4) x 4 > 0. Essendo una disequazione fratta studiamo il segno di numeratore e denominatore e quindi N : 3 log x + 4 > 0 log x < 4 3 x < e 4/3 : x 4 > 0 x. E il grafico del segno risulta 0 e 4/3 N f (x) + dunque la funzione è concava (derivata seconda negativa) nell intervallo (e 4/3, + ) e convessa (derivata seconda positiva) nell intervallo (0, e 4/3 ). Siccome per x e 4/3 la derivata seconda si annulla, abbiamo un punto di 4

5 flesso. ato che il punto di flesso è F f(e 4/3 ) 1 2 log e4/ (e 4/3 ) 2 e 8/ e 5 8/3 3 1 e 8/3 5 3e 8/3 ( e 4/3, 5 ). 3e 8/3 (f) isegnare il grafico di f(x). A F 1 2 m 2. Si consideri la funzione f : R R così definita f(x) ex 1 x 1. (a) eterminare il dominio di f ed eventuali simmetrie. Il denominatore deve essere diverso da 0, perciò x 1 0 x 1. Allora R \ {1} (, 1) (1, + ). 5

6 Per verificare se f è una funzione pari dobbiamo vedere se f( x) f(x). f( x) e x 1 x 1 f(x), quindi la funzione non è pari, ossia il suo grafico non è simmetrico rispetto all asse y. Per verificare se f è una funzione dispari, ossia se il grafico della funzione è simmetrico rispetto all origine degli assi, dobbiamo vedere se f( x) f(x). f(x) ex 1 x 1 ex 1 x + 1 f( x), quindi la funzione non è nemmeno dispari. presenta simmetrie. Allora il grafico di f non (b) eterminare il segno di f ed eventuali intersezioni con gli assi. Risolviamo la disequazione x 1 > 0. Essendo una disequazione fratta studiamo il segno di numeratore e denominatore N : > 0 x R : x 1 > 0 x > 1 allora il grafico sarà 1 N f(x) + e quindi la funzione è positiva per x > 1 e negativa per x < 1. Per trovare le intersezioni con l asse x andiamo a risolvere il sistema y 0 y 0 y 0 y ex 1 x x R

7 non ci sono intersezioni con l asse x. Per trovare l intersezione con l asse y andiamo a risolvere il sistema x 0 y ex 1 x 1 x 0 y e 1 1 x 0 y 1 e ( e troviamo il punto A 0, 1 ). e (c) Calcolare i iti e il comportamento asintotico della funzione. Vediamo se la funzione ha asintoti orizzontali. x x 1 e 0 0 da cui segue che y 0 è asintoto orizzontale a sinistra. Per quanto riguarda x + si ha x + x 1 e si tratta dunque di una forma indeterminata. Applicando la regola di de l Hôpital si ha e quindi anche e+ + x x + x 1 + e non c è asintoto orizzontale a destra. Andiamo alla ricerca dell asintoto obliquo per x +. Calcoliamo m f(x) 1 x + x x + x 1 1 x x + x 2 x + + e applicando di nuovo de l Hôpital per due volte si ha x + 2x 1 + x + 2 7

8 perciò non c è neanche l asintoto obliquo. Vediamo se la funzione ha un asintoto verticale per x 1, valore escluso dal dominio. x 1 x e allora x 1 è asintoto verticale; in particolare si evince dal grafico del segno che x 1 + x 1 + x 1 x 1. (d) eterminare gli intervalli di monotonia di f ed eventuali punti estremali. Andiamo a calcolare la derivata prima della funzione f (x) ex 1 1 (x 1) 1 (x 1) 2 ex 1 (x 1 1) (x 1) 2 ex 1 (x 2) (x 1) 2 e studiamo il segno per capire gli intervalli in cui la funzione risulta crescente o decrescente. (x 2) (x 1) 2 > 0. Studiamo il segno dei fattori presenti nella frazione e quindi N 1 : > 0 x R N 2 : x 2 > 0 x > 2 : (x 1) 2 > 0 x E il grafico del segno risulta 1 2 N 1 N 2 f (x) + 8

9 Perciò la funzione risulta crescente (derivata prima positiva) in (2, + ) e decrescente (derivata prima negativa) in (, 1) (1, 2). Inoltre f (x) 0 se x 2 e quindi si ha un punto estremale di ascissa x 2. al segno della derivata prima si deduce che si tratta di un minimo relativo con ordinata pari a f(2) e e. (e) eterminare gli intervalli di convessità di f ed eventuali punti di flesso. Andiamo a calcolare la derivata seconda della funzione f (x) [ex 1 1 (x 2) + 1](x 1) 2 (x 2) 2(x 1) 1 (x 1) 4 (x 1){[ex 1 (x 2) + ](x 1) (x 2) 2} (x 1) 4 ex 1 (x 2 + 1)(x 1) (2x 4) (x 1) 3 ex 1 [(x 1) 2 (2x 4)] (x 1) 3 ex 1 [x 2 2x + 1 2x + 4)] (x 1) 3 ex 1 (x 2 4x + 5) (x 1) 3 e studiamo il segno per capire gli intervalli in cui la funzione risulta concava o convessa Studiamo il segno di tutti i fattori (x 2 4x + 5) (x 1) 3 > 0. N 1 : > 0 x R N 2 : x 2 4x + 5 > 0 : (x 1) 3 > 0 x 1 > 0 x > 1. Per quanto riguarda il fattore N 2 passiamo all equazione associata e si ha x 2 4x ( 4) 2 4(1)(5)

10 e siccome il è negativo la parabola si trova tutta al di sopra dell asse, quindi il trinomio è sempre positivo. Il grafico del segno risulta 1 N 1 N 2 f (x) + dunque la funzione è concava (derivata seconda negativa) nell intervallo (, 1) e convessa (derivata seconda positiva) nell intervallo (1, + ). La derivata seconda non è mai nulla perché i fattori al numeratore sono sempre positivi e quindi non ci sono punti di flesso. (f) isegnare il grafico di f(x). m 1 e A 2 10