GEOMETRIA 1 Autovalori e autovettori

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1 GEOMETRIA 1 Autovalori e autovettori Gilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini 2018/2019 Gilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini (2018/2019) GEOMETRIA 1 1 / 28

2 index Matrici rappresentative "semplici" 1 Matrici rappresentative "semplici" 2 Autovalori e autovettori 3 Il polinomio caratteristico 4 Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica Gilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini (2018/2019) GEOMETRIA 1 2 / 28

3 Matrici rappresentative "semplici" Siano V e W spazi vettoriali f.g. sul campo K con n = dim(v), m = dim(w) e sia f : V W un applicazione lineare. PROBLEMA - Esistono basi B di V e C di W tali che la matrice rappresentativa di f in queste basi sia "particolamente semplice", ossia di elementi a ij = 1 se i = j = 1,... k, a ij = 0 in tutti gli altri casi, ovvero sia della forma A = ( Ik O O O Anzitutto, perché ciò sia possibile è necessario che sia k = dim(im(f )) (il rango della matrice rappresentativa coincide con la dimensione dell immagine dell applicazione). Se k = dim(im(f )) la risposta è SÌ. Per il teorema nullità + rango, si ha dim(ker(f )) = n k. Sia inoltre {v k+1,..., v n } una base di ker(f ) (se n > k) e la si completi ad una base B = {v 1,..., v k, v k+1,..., v n } di V. ). Gilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini (2018/2019) GEOMETRIA 1 3 / 28

4 Matrici rappresentative "semplici" Allora {f (v 1 ),..., f (v k )} è una base di Im(f ). Si completi tale base ad una base C = {f (v 1 ),..., f (v k ), w k+1,... w m } di W. La matrice rappresentativa di f rispetto a tali basi ha la forma richiesta. Ad esempio, per f : R 3 R 2 definita da ( ) xy ( ) 2x y f = z z, ) ( ) ( ) si può prendere B = {(,, } e ( ) ( ) 1 01 C = { 0, }. Gilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini (2018/2019) GEOMETRIA 1 4 / 28

5 index Autovalori e autovettori 1 Matrici rappresentative "semplici" 2 Autovalori e autovettori 3 Il polinomio caratteristico 4 Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica Gilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini (2018/2019) GEOMETRIA 1 5 / 28

6 Autovalori e autovettori Endomorfismi diagonalizzabili Siano ora V f.g. con dim(v) = n e f : V V un endomorfismo. PROBLEMA - Esiste una base B = {v 1,..., v n } di V tale che la matrice A rappresentativa di f rispetto a tale base (sia in dominio che in codominio) sia diagonale A = λ λ λ n? Se la risposta è affermativa l endomorfismo f viene detto diagonalizzabile e la base B viene detta diagonalizzante. OSSERVAZIONE - I vettori di una base diagonalizzante verificano: f (v j ) = λ j v j, j = 1,..., n Gilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini (2018/2019) GEOMETRIA 1 6 / 28

7 Autovalori e autovettori Un vettore non nullo v V, λ K tale che f (v) = λv. v 0 viene detto autovettore per f se esiste Lo scalare λ (che è univocamente associato a v) viene detto autovalore relativo all autovettore v. Una immediata conseguenza delle considerazioni fatte sopra è il TEOREMA - Un endomorfismo f è diagonalizzabile se e solo se esiste una base di V interamente costituita da autovettori di f. Sia λ è un autovalore di f. Consideriamo l insieme A λ (f ) degli autovettori di f relativi a λ. L insieme V λ (f ) = A λ (f ) {0} è un sottospazio di V (verificarlo) detto autospazio relativo all autovalore λ. ilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini (2018/2019) GEOMETRIA 1 7 / 28

8 Autovalori e autovettori Qualche esempio nel caso di Vect O (R 2 ) OSSERVAZIONE - Un autovettore, nel caso dei vettori geometrici, è un vettore trasformato in un vettore parallelo. Riflessione rispetto alla retta r. Gilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini (2018/2019) GEOMETRIA 1 8 / 28

9 Autovalori e autovettori Nella riflessione rispetto alla retta r gli autovettori sono i vettori di r (con autovalore 1) e i vettori ortogonali a r (con autovalore 1). Gilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini (2018/2019) GEOMETRIA 1 9 / 28

10 Autovalori e autovettori Proiezione ortogonale sulla retta r. Nella proiezione ortogonale sulla retta r gli autovettori sono i vettori di r (con autovalore 1) e i vettori ortogonali a r (con autovalore 0). Gilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini (2018/2019) GEOMETRIA 1 10 / 28

11 Autovalori e autovettori Rotazione di un angolo α attorno O. Se α non è congruo a 0 o a π (mod. 2π), la rotazione di un angolo α attorno O non ammette autovettori. Gilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini (2018/2019) GEOMETRIA 1 11 / 28

12 Autovalori e autovettori Matrici diagonalizzabili Le nozioni di diagonalizzabilità, autovalori, autovettori introdotte per gli endomorfismi si trasferiscono alle matrici quadrate: una matrice quadrata n n A è diagonalizzabile se lo è l endomorfismo L A : K n K n ; un autovettore di A è un vettore non nullo x K n tale che A x = λx; lo scalare λ viene detto autovalore della matrice A. Ricordando la nozione di matrici simili introdotta nella seconda parte di queste note, si ha (verificarlo): Una matrice quadrate n n A è diagonalizzabile se e solo se è simile a una matrice diagonale. Gilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini (2018/2019) GEOMETRIA 1 12 / 28

13 Autovalori e autovettori Sia f un endomorfismo di V f.g., con dim(v) = n. Problema: ricerca (se esiste) di una base di autovettori. TEOREMA - Se λ 1,..., λ k sono autovettori di f distinti tra loro, e v 1,..., v k sono autovettori relativi a λ 1,..., λ k (rispett.), allora i vettori v 1,..., v k sono linearmente indipendenti. Dimostrazione Per induzione su k. Se k = 1, v 1 è l.i. in quanto non nullo. Supponendo vero il risultato nel caso di k 1 autovalori, dimostriamolo nel caso di k autovalori. Supponiamo che sia ( ) a 1 v 1 + a 2 v a k v k = 0 a 1,..., a k K. Gilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini (2018/2019) GEOMETRIA 1 13 / 28

14 Autovalori e autovettori Applicando f a entrambe i membri di ( ) si ottiene ( ) a 1 λ 1 v 1 + a 2 λ 2 v a k λ k v k = 0. Moltiplicando entrambe i membri di ( ) per λ k si ottiene ( ) a 1 λ k v 1 + a 2 λ k v a k λ k v k = 0. Sottraendo membro a membro ( ) da ( ) si ottiene a 1 (λ 1 λ k )v 1 + a 2 (λ 2 λ k )v a k 1 (λ k 1 λ k )v k 1 = 0. Per l ipotesi di induzione allora deve essere: a 1 (λ 1 λ k ) = a 2 (λ 2 λ k ) =... a k 1 (λ k 1 λ k ) = 0, e quindi, trattandosi di autovalori distinti tra loro, a 1 = a 2 = = a k 1 = 0 a k = 0. COROLLARIO - Se f ha n = dim(v) autovalori distinti, allora è diagonalizzabile. ilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini (2018/2019) GEOMETRIA 1 14 / 28

15 index Il polinomio caratteristico 1 Matrici rappresentative "semplici" 2 Autovalori e autovettori 3 Il polinomio caratteristico 4 Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica Gilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini (2018/2019) GEOMETRIA 1 15 / 28

16 Il polinomio caratteristico Sia f un endomorfismo di V (dim(v) = n). OSSERVAZIONE - λ K è un autovalore di f se e solo se esiste v ker(f λid V ), v 0. OSSERVAZIONE - Se λ K è un autovalore di f allora si ha V λ (f ) = ker(f λid V ). In particolare, se λ = 0 è un autovalore per f, allora V 0 (f ) = ker(f ). Sia ora B una base di V e A = M B B (f ) la matrice rappresentativa di f rispetto alla base B. λ K è un autovalore di f se e solo se f λid V non è un isomorfismo se e solo se A λi n non ha rango massimo se e solo se det(a λi n ) = 0 Gilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini (2018/2019) GEOMETRIA 1 16 / 28

17 Il polinomio caratteristico Il polinomio P A (t) = det(a ti n ) = det viene detto polinomio caratteristico di A. a 11 t a a 1n a 21 a 22 t... a 2n.... a n1 a n2... a nn t OSSERVAZIONE - Se A = M B B (f ) e B = MC C (f ) sono matrici rappresentative dello stesso endomorfismo rispetto a basi diverse, allora Infatti P A (t) = P B (t). det(b ti) = det(c 1 AC ti) = det(c 1 AC tc 1 IC) = det(c 1 (A ti)c) = det(c 1 ) det(a ti) det(c) = det(a ti). In particolare, per t = 0, si ha anche det(b) = det(a). Gilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini (2018/2019) GEOMETRIA 1 17 / 28

18 Il polinomio caratteristico Per questo motivo il polinomio det(a ti n ) viene anche detto polinomio caratteristico di f e denotato con P f (t) e il determinante di A viene anche detto determinante di f e denotato con det(f ). OSSERVAZIONE - Il polinomio caratteristico P f (t) ha grado n, ha coefficiente direttore ( 1) n, ha termine noto P f (0) = det(f ), le sue radici in K sono gli autovalori di f. OSSERVAZIONE - Se K = C, tutte le radici di P f (t) C[t] sono in K e pertanto sono autovalori di f. Se invece K = R, allora solo le radici reali di P f (t) sono autovalori. ilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini (2018/2019) GEOMETRIA 1 18 / 28

19 Il polinomio caratteristico Ricerca degli autovalori e autovettori Sia f un endomorfismo di V (dim(v) = n). Per cercare autovalori e autovettori di f ; Si considera una base B di V e si costruisce la matrice A = M B B (f ) rappresentativa di f rispetto alla base B. Si calcola il polinomio caratteristico P A (t) e si determinano le sue radici λ 1,..., λ k K che sono gli autovalori di f. Per ciascuno degli autovalori λ i si risolve il sistema lineare (A λ i I)x = 0 Le soluzioni non nulle x del sistema (A λ i I)x = 0 sono le coordinate, nella base B degli autovettori relativi a λ i. Gilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini (2018/2019) GEOMETRIA 1 19 / 28

20 Il polinomio caratteristico Esempi (n = ( 2) ) a11 t a det 12 a 21 a 22 t = t 2 (a 11 + a 22 )t + det(a) (n = ( 3) ) a11 t a 12 a 13 det a 21 a 22 t a 23 = t 3 + (a 11 + a 22 + a 33 )t 2 a 31 a 32 a 33 t ( ) ( ) ( ) a11 a (det 12 a11 a a 21 a + det 13 a22 a 22 a 31 a + det a 32 a )t + det(a). 33 In generale P A (t) = ( 1) n t n +( 1) n 1 σ 1 t n 1 + +( 1) n i σ i t n i + tσ n 1 +σ n, ove σ i è la somma dei minori principali (ossia aventi come diagonale parte della diagonale di A) di A. In particolare σ 1 = a 11 + a a nn viene detta traccia di A e σ n = det(a). Gilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini (2018/2019) GEOMETRIA 1 20 / 28

21 index Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica 1 Matrici rappresentative "semplici" 2 Autovalori e autovettori 3 Il polinomio caratteristico 4 Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica Gilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini (2018/2019) GEOMETRIA 1 21 / 28

22 Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica Ricordo che una radice α K di un polinomio p(t) K[t] si dice avere molteplicità m > 0 se p(t) = (t α) m q(t), con q(α) 0, ovvero m è il massimo degli l tali che (t α) l sia un fattore di p(t). Abbiamo visto che un autovalore λ di f è necessariamente una radice in K del polinomio caratteristico P f (t) di f. Si dice molteplicità algebrica m a (λ) dell autovalore λ la sua molteplicità come radice del polinomio P f (t). Se λ è un autovalore di f, l autospazio V λ (f ) non è lo spazio nullo. Si definisce molteplicità geometrica m g (λ) dell autovalore λ la dimensione dell autospazio V λ (f ). Gilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini (2018/2019) GEOMETRIA 1 22 / 28

23 Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica TEOREMA - Siano V uno spazio vettoriale f.g. sul campo K, f : V V un endomorfismo e λ K un autovalore di f. Si ha 1 m g (λ) m a (λ). Dimostrazione La relazione 1 m g (λ) segue dal fatto che, essendo λ un autovalore, si ha dim(v λ (f )) > 0. Consideriamo una base {v 1,..., v } di V mg(λ) λ(f ) e completiamola a una base {v 1,..., v, w mg(λ) m... w g(λ)+1 n } di V. In tale base f è rappresentato da una matrice della forma λ λ λ o... Gilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini (2018/2019) GEOMETRIA 1 23 / 28

24 Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica Il polinomio caratteristico di f allora risulta P f (t) = λ t λ t λ t 0 t o... t = (λ t) mg(λ) q(t) (segue iteratamente dallo sviluppo di Laplace del determinante secondo la prima colonna). Pertanto si ha m g (λ) m a (λ). Gilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini (2018/2019) GEOMETRIA 1 24 / 28

25 Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica TEOREMA - Siano V uno spazio vettoriale f.g. sul campo K e f : V V un endomorfismo f è diagonalizzabile se e solo se i) tutte le radici di P f (t) sono in K; ii) per ogni autovalore λ di f si ha m g (λ) = m a (λ). OSSERVAZIONI 1) Se K = C la condizione i) è sempre verificata. 2) Se m a (λ) = 1, allora m g (λ) = 1, quindi la condizione ii) è verificata. 3) In generale, per calcolare m g (λ) : m g (λ) = dim(ker(f λid V )) = n car(a λi). Gilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini (2018/2019) GEOMETRIA 1 25 / 28

26 Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica ESEMPI ( cos(θ) sin(θ) A = sin(θ) cos(θ) ) K = R. P A (t) = (cos(θ) t) 2 + sin 2 (θ) = t 2 2cos(θ)t + 1 che ha discriminante = 4(cos 2 (θ) 1), quindi se θ 0, π non vale la i). A = ( ) P A (t) = (1 t) 3 K = R. L unica radice è λ = 1, quindi vale la i), inoltre m a (1) = 3. car(a I) = 2, quindi m g (1) = 1, per cui non vale la ii). Gilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini (2018/2019) GEOMETRIA 1 26 / 28

27 Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica A = ( ) K = R. P A (t) = t 2 (t 2) Le radici sono 0, 2, quindi vale la i), inoltre m a (0) = 2, m a (2) = 1. Ovviamente m a (2) = 1 = m g (2). car(a) = 1, quindi m g (0) = 3 car(a) = 2 = m a (0), per cui vale anche la ii) e la matrice è diagonalizzabile. Gilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini (2018/2019) GEOMETRIA 1 27 / 28

28 Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica Diagonalizzazione simultanea TEOREMA - Siano A e B due matrici diagonalizzabili in Mat n (K). Allora esiste una matrice M invertibile tale che D 1 = M 1 AM e D 2 = M 1 BM siano diagonali se e solo se A e B commutano, cioè AB = BA. Dimostrazione - Se esiste M, si ha AB = MD 1 D 2 M 1 = MD 2 D 1 M 1 = BA. Supponiamo che A e B siano diagonalizzabili e che commutino. Per quest ultima condizione, l applicazione lineare L B è un endomorfismo di ciascun autospazio di A (verificarlo). Dato che L B è diagonalizzabile, ciascun autospazio di A si scompone in autospazi di B. Per ciascun autospazio di A prendiamo una base fatta da autovettori di L B ristretta a tale autospazio. Si genera una base che per costruzione diagonalizza A e B simultaneamente. Gilberto Bini - Anna Gori - Cristina Turrini (2018/2019) GEOMETRIA 1 28 / 28