CORSO DI MATEMATICA II Prof. Paolo Papi ESERCIZI. 1). Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi di V sono sottospazi vettoriali. (a) V = R 3.

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1 CORSO DI MATEMATICA II Prof Paolo Papi ESERCIZI ) Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi di V sono sottospazi vettoriali (a) V = R 3 () W = {(x,,x 3 ) x,x 3 R} (2) W 2 = {(x,,x 3 ) x,x 3 R} (3) W 3 = {(x,x 2,x 3 ) x x 2 + x 3 =} (4) W 4 = {(x,x 2,x 3 ) x 2 x x 2 3 =} (5) W 4 = {(x,x 2,x 3 ) x 2 + x x 2 3 =} (b) V = M nn (R) () U = {A V t AA= I n } (2) U 2 = {A V t A = A} (3) U 3 = {A V t A = A} (4) U 4 = {A V t A = 2A} (5) U 5 = {A V tr(a) =} (6) U 6 = {A V tr(a) =} (7) U 7 = {A V a =} (8) U 8 = {A V n qualsiasi elementi sono nulli} (9) U 9 = {A V n fissati elementi sono nulli} () U = {A V a a 22 =} () U = {A V a ij = i j} (2) U 2 = {A V a ij = i<j} (c) V = R n [t] () Z = {p V deg(p) =n 2} (2) Z 2 = {p V deg(p) n 2} (3) Z 3 = {p V deg(p) <n 2} (4) Z 4 = {p V p(5)=} (5) Z 5 = {p V p()=,p()=} (6) Z 6 = {p V p()=,p ()=} (p (x) = dp dx ) 2) Nell esercizio precedente si ponga n = 3; si determinino generatori lineari per i sottoinsiemi di V che sono sottospazi 3) Nell esercizio ) si ponga n = 3; si determinino basi per i sottoinsiemi di V che sono sottospazi

2 4) Si determinino basi per lo spazio delle soluzioni dei sistemi lineari omogenei la cui matrice dei coeffcienti è A = 2, A 2 = 2 3 2, A 3 = ) Stabilire in ogni caso se gli insiemi di vettori v,v 2, sono linearmente dipendenti o indipendenti () V = R 2, v =(, 3), v 2 =(2, 4), v 3 =(, ) (2) V = R 3, v =(,, 3), v 2 =( 2, 3, 4), v 3 =(4,, ) (3) V = R 4, v =(,,, ), v 2 =(,,, ) (4) V = R 4, v =(, 2, 3, 4), v 2 =(, 2,, ),v 3 =(,,, ), v 4 =(,,, ( 2), v 5 ) =(,,, ( ) ) 2 (5) V = M 22 (R), v =,v 2 2 =,v 4 3 = (6) V = T 2 + 2, v =,v 2 2 =,v 4 3 = v 4 = (7) V = S3, v = 2 2 2,v 2 = ( 2 ) ( ) 2 (8) V = sl(2) v =,v 2 =,v 3 = v 4 = (9) V = R 2 [t], v = t +2t 2,v 2 =+t 6) Si considerino gli insiemi di vettori v,v 2, dell esercizio 5; si determini, in ciascun caso, una base di v,v 2, 7) Si considerino gli insiemi di vettori v,v 2, dell esercizio 5, parti 3,7,9 Si completino tali insiemi ad una base di V 8) Si considerino i seguenti sottospazi di R 3 : W = {(x, y, z) R 3 x y + z =}, U = (a) Si determinino basi per W, U (b) Si provi che R 3 = W U { { } 2x + y z = (x, y, z) R 3 y + z =

3 9) Nello spazio vettoriale R 4 si consideri il sottospazio S generato dai vettori w =(,t,, ), w 2 =(,,t, ), w 3 =( 2, 2, 2, ), t R Si determini la dimensione di S al variare del parametro t ) Siano W,W 2 R 3 i sottospazi costituiti dalle soluzioni dei sistemi lineari omogenei associati alle matrici A,A 2 nell es 7) Si calcoli una base per W W 2 e una base per W + W 2 ) Si dimostri il teorema di Grassmann: se U, W sono sottospazi di dimensione finita di uno spazio vettoriale V, allora dim(u + W )+dim(u W )= dim(u)+dim(w ) [Suggerimento: si consideri una base di {v,,v k } di U W e la si completi a una base di U tramite vettori u,,u s e a una base di W tramite vettori w,w t Si provi che {v,,v k,u,,u s,w,w t } è una base di U + W ] 2) Supponiamo che det(a) = 4: quanto vale det(a t AA )? 3) Calcolare il rango delle matrici seguenti 2 3, , ) Risolvere con l eliminazione di Gauss e con il metodo di Cramer i sistemi lineari le cui matrici complete sono: 2 3, , ) Si calcolino, se esistono, le inverse delle matrici seguenti 2, , ) Stabilire quali delle applicazioni seguenti sono lineari () F : R 3 R 3, F((x,x 2,x 3 ))=(x 2,x 2 x 3,x x 3 ) (2) F : R 3 R 3, F((x,x 2,x 3 ))=(x x 2,x 2 x 3,x x 3 ) (3) F : R 3 R 3, F((x,x 2,x 3 ))=(x x 2,x 2 x 3,x x 3 ) (4) F : R 3 R 4, F((x,x 2,x 3 ))=(x x 2,x 2,x x 3 + x 2,x 2 )

4 (5) F : M 2 (R) M 2 (R), () a b a d b c F = c d c b a d + c b (6) F : S + 2 R4 () a b F = b c b b b a c (7) F : R 2 [t] R 3 [t], F(a + a t + a 2 t 2 )=a t +(a a 2 + a )t 3 (8) F : R 2 [t] R 3 [t], F(a + a t + a 2 t 2 )=a (9) F : R 2 [t] R 3 [t], F(a + a t + a 2 t 2 )=k, ove k è una costante reale 7) Determinare Ker(F ), Im(F ) per quelle, fra le applicazioni definite nell esercizio 6, che sono lineari In tali casi, dopo aver fissato basi B, C per il dominio e il codominio di F, determinare C[F ] B 8) Sia F : R 4 R 4 l applicazione lineare definita da F ((x,x 2,x 3,x 4 ))=(x 2x 2 + x 4,x 4 x 3,x 2 x 3,x +3x 2 x 3 ) Sia B la base canonica di R 4 e sia C = {(, 2, 3, 4), (, 2, 3, 4), (,, 3, 4), (,,, 4)} Dopo aver verificato che C è una base di R 4, determinare B[F ] B, B[F ] C, C[F ] B, C[F ] C 9) Provare che esiste un unico operatore lineare F : R 3 R 3 tale che Ker(F ) ha per base i vettori (,, ), (,, ) e tale che F ((,, ))=(2, 3, 4) Determinare la matrice di F rispetto alla base canonica di R 3 presa come base di partenza e di arrivo Dire, infine, se il vettore (, 2, 3) appartiene a Im(F ) 2) Sia T 4 + lo spazio delle matrici 4 4 triangolari superiori a coefficienti reali Esiste un applicazione lineare suriettiva f : R 9 T 4 +? Esiste un applicazione lineare iniettiva g : T 4 + R 7[t]? Sia S 4 + lo spazio delle matrice reali simmetriche 4 4 Costruire, se esiste, un isomorfismo h : T 4 + S+ 4 2) Si considerino i seguenti sottospazi di R 3 : { { } 2x + y z = W = {(x, y, z) R 3 x y + z =}, U = (x, y, z) R 3 y + z =

5 (a) Si determinino basi per W, U (b) Si provi che R 3 = W U (c) Si determini la matrice associata all operatore π : R 3 R 3 definito da π(w + u) =w, w W, u U rispetto alla base canonica di R 3 presa come base di partenza e di arrivo 22) Nello spazio vettoriale R 4 si consideri il sottospazio S generato dai vettori w =(,t,, ), w 2 =(,,t, ), w 3 =( 2, 2, 2, ), t R a) Si determini la dimensione di S al variare del parametro t b) Per t = si costruisca un applicazione lineare suriettiva f : R 4 R 2 tale che Kerf = S 23) Sia f : R 4 R 4 l operatore lineare tale che f =, f =, f f =, = a) Si scriva la matrice che rappresenta l operatore f rispetto alla base canonica di R 4 b) Si determinino basi per Kerf eimf 24) Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione 3 e sia B = {v,v 2,v 3 } una base di V ; sia poi W lo spazio delle matrici simmetriche 2 2 () Si provi che esiste un unico operatore lineare F : V W tale che F (v + v 2 + v 3 )=, v 3 KerF, F(v v 2 )= 2 3 (2) Si trovi {( la matrice ) ( di F ) rispetto ( a)} B scelta come base di partenza in V e B =,, scelta come di base di arrivo in W ;

6 25) Sia V lo spazio vettoriale delle matrici quadrate reali 2 2 Si considerino i seguenti sottospazi { } { { } a b a b ka 2b +2c + d = W = b = c =, U c d k = c d b + c + d = (k è un parametro reale) () Determinare dim U k al variare di k (2) Determinare dim (W + U k ) al variare di k; nel caso k = determinare una base di W + U (3) Determinare i valori di k per cui V = W U k 26) Si considerino i seguenti sottospazi di R 4 : U = 2, V = 9, () Si provi che U = V e si determinino equazioni cartesiane per tale sottospazio (2) Sia W = {(x,x 2,x 3,x 4 ) R 4 x + x 2 + x 3 + x 4 =}; si determini una base per U W 27) Sia V lo spazio vettoriale delle matrici quadrate reali 2 2 Si consideri l operatore lineare F : V V definito da x x F ( 2 x4 x )= 2 x 3 x 4 kx 3 kx (k è un parametro reale) Determinare la dimensione del nucleo e dell immagine di F al variare di k 28) Sia V lo spazio vettoriale delle matrici reali simmetriche 2 2eW k il sottospazio di V generato dalle matrici A = k,a k 2 = 3 k,a k 3 3 = k + k + k + k + (k è un parametro reale) (a) Determinare la dimensione di W k al variare di k Esiste un valore di k per cui A,A 2,A 3 sono linearmente indipendenti?

7 29) Sia V lo spazio vettoriale delle matrici reali simmetriche 2 2 ef : V V l operatore lineare: a b a c b+ a f= b c b + a b+ c { } (a) Determinare la matrice A di f rispetto alla base,, assunta come base di partenza e di arrivo in V (b) Determinare basi per Ker(f) eperim(f) 3) Si consideri l operatore lineare F : R 3 R 3 F ( x 4x y ) = ky + z z 3x +2ky +2z (k è un parametro reale) Determinare i valori di k per cui F è diagonalizzabile 3) Si consideri l operatore lineare L : R 3 R 3 determinato dalle seguenti condizioni: L( ) =, L( ) = 2 2, L( ) = (a) Determinare la matrice A di L rispetto alla base canonica C di R 3 assunta come base di partenza e di arrivo in R 3 (b) Determinare la matrice B di L rispetto alla base B =,, assunta come base di partenza e di arrivo in R 3 (c) Si dica se L è diagonalizzabile su R 32) Si cosideri l operatore lineare F : R 3 R 3 F ( x x + x 3 x 2 ) = 2x +2x 2 + x 3 x 3 x + x 3 (a) Determinare la matrice A di F rispetto alla base,, presa come base di partenza e di arrivo in R 3 (b) Determinare basi per Ker(F ) e per Im(F ) Stabilire se F è diagonalizzabile

8 33) Sia V lo spazio vettoriale delle matrici reali quadrate 2 2 triangolari superiori Si consideri l operatore lineare F k : V V x x F k ( 2 2x kx )= 2 x 3 k(x 2 + x 3 ) ove k è un parametro reale (a) Determinare i valori di k per cui F k è un isomorfismo (b) Determinare i valori di k per cui F k è diagonalizzabile su R 34) Sia V = R 2 [t] lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 2eW lo spazio delle matrici reali simmetriche 2 2 Sia F : V W l applicazione lineare p() p() F (p(t)) = p() p(2) (a) Determinare { la( matrice ) di ( F rispetto )} a {,t,t 2 } presa come base di partenza in V e,, presa come base di arrivo in W (b) Stabilire se F è un isomorfismo (c) Calcolare F 35) Dati i vettori di R 4 v =, v 2 =, v 3 =, v 4 = sia U il sottospazio di R 4 generato da v,v 2 e W il sottospazio R 4 generato da v 3,v 4 (a) Determinare la dimensione e una base per U W (b) Determinare la dimensione ed equazioni cartesiane per U + W 36) Sia F : R 4 R 3 l applicazione lineare definita da F ( x x 2 x 3 x 4 ) = x + x 3 3x 3 x 4 x 2

9 (a) Si scriva la matrice di F rispetto alla base standard di R 4 presa come base di partenza in R 4 eab =,, presa come base di arrivo in R 3 (b) Determinare una base per Ker(F ) e una per Im(F ) (c) Si determini F ( ) 37) Sia V lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 2 Si consideri l operatore lineare F : V V, F (a + a t + a 2 t 2 )=a +(a 2 a )t +(a +2a 2 )t 2 (a) Scrivere la matrice A di F rispetto alla base {,t,t 2 } presa come base di partenza e di arrivo in V (b) Calcolare autovalori e autovettori per A (c) Dire se F è diagonalizzabile 38) Si consideri l operatore lineare F : R 4 R 4 definito da F ( x x 2 x 3 x 4 ) = x 2 x x 3 + x 4 x 3 + x 4 (a) Determinare gli autovalori di F e dire se F è diagonalizzabile (b) Determinare gli autovettori di F (c) Determinare una base per il sottospazio W di R 4 somma degli autospazi di F 39) In V = R 4 si considerino il sottospazio U generato dai vettori 3 6 2,,, 4 { x + x 2 3x 4 = e il sottospazio W formato dalle soluzioni del sistema x x 3 x 4 =

10 (a) Determinare basi per U e W (b) Determinare una base per U + W e la dimensione di U W (c) Completare la base di U + W determinata nella parte (b) a una base di R 4 ; determinare, rispetto a tale base, le coordinate del vettore 4) Sia V lo spazio vettoriale delle matric simmetriche 2 2 Si consideri l applicazione lineare F : R 4 V determinata dalle condizioni seguenti: F ( ) =,F( ) =,F( ) =,F( ) = (a) Scrivere la matrice {[ A di F rispetto ] [ alla ] [ base canonica ]} di R 4 presa come base di partenza e alla base,, presa come base di arrivo in V 2 (b) Calcolare F ( ) 3 4 (c) Determinare basi per Ker(F )eperim(f) 4) Si consideri l operatore lineare F : R 3 R 3 definito da F ( x x 2 ) = x + x 2 x + x 3 x 3 x 2 + x 3 (a) Determinare gli autovalori di F e dire se F è diagonalizzabile (b) Determinare gli autovettori di F (c) Determinare una base di R 3 rispetto alla quale la matrice di F è diagonale

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