(ln 5)i 1 i. (c) (d) Scriviamo il numero complesso assegnato in forma algebrica:

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1 Primo parziale Test. L argomento principale del numero complesso (ln 5)i i è (a) 4 π (b) (c) (d) Scriviamo il numero complesso assegnato in forma algebrica: Risposta esatta a) ln 5 i i = ln 5 i( + i) i + i = ln 5 ( i)( + i) i = ln 5 ( + i).. Quanti sono i numeri palindromi maggiori di e minori di? (a) (b) (c) 9 (d) Si tratta di contare i numeri palindromi di quattro cifre, che hanno quindi la forma n xxn con n 9 e x 9. Risposta esatta c). La serie geometrica ( ) n x + converge se x + + (a) x > 4 (c) x > (b) x > 4 (d) x > Il termine generale della serie è positivo, quindi per assicurare la convergenza basta imporre che valga: x + x + + < quindi x + < x + + quindi x < x +. Risposta esatta (c) x x + x x 4 = 5 4. Le soluzioni del sistema lineare x x + x x 4 = x x + x + x 4 = sono (a) x = 9 (x 4 7),x = 9 (x 4 ),x = 9 (5 x 4) (b) è impossibile (c) x = 5 (x 4 7),x = 5 (x 4 ),x = 5 (5 x 4) (d) x = (x 4 7),x = (x 4 ),x = (5 x 4)

2 La matrice del sistema 5 è equivalente per righe alla matrice questo comporta che (d) sia la risposta esatta. / / 5. L inversa della matrice / / /4 è / /4 /5 9 (a) (b) (c) (d) Risposta esatta (d) ottenuta direttamente con il metodo di Gauß Jordan oppure osservando che: 9 / / 7 9 (a) 9 8 / / /4 = 8 8 / /4 /5 9 / / (b) 9 8 / / /4 = / /4 /5 9 / / (c) 9 8 / / /4 = 8 8 / /4 / La serie a termini positivi n + n (a) Converge (b) Diverge (c) Non è regolare (d) Oscilla Basta osservare che lim n n + n n 5, che la serie è convergente: (a). + n 7. lim n n lnn = = e concludere, via criterio del confronto asisntoticorbt pagina (a) Non esiste (b) (c) (d) + n Osservato che lim = e che lim n n n lnn 7 si conclude che (c) è la risposta esatta. 8. Le radici dell equazione z (5 + 5i)z ( 5i) = sono = per il teorema su limiti e operazioni RBT pagina

3 (a) i, 5 + i (b) i, 5 + i (c) i, 5 + i (d) i, 5 + i Applicando la formola risolutiva per l equazione di secondo grado troviamo: z = 5 + 5i + (5 + 5i) + 4( 5i) = 5 + 5i + 49 i + 5 i = 5 + 5i + 4 i. Ora, sfruttando la formola RBT pagina 4 in cui sappiamo che b = < e a = 4 troviamo: a a a + i b = ± + b + a + b i a 4 4 = ± + ( ) ( ) i (4) 7 7 = ± i ( ) = ± i ne consegue che: pertanto (d) è la risposta esatta. 9. La successione a n = (a) tende a per n (b) oscilla ( + sinn) n z = 5 + 5i ± (5 i) (c) è crescente (d) è decrescente ( Osserviamo che a n = + sinn ) n = x n n con 4 < x n := + sin n < Pertanto: ( ) n ( ) n < x n n 4 < allora il teorema del confronto, pagina 7 RBT porta che (a) è la risposta esatta. Domande aperte a Provare che la serie a termini positivi b Dimostrare per induzione su m N che c Si dimostri, infine n(n + )(n + ) converge. m n(n + )(n + ) = 4 n(n + )(n + ) = m(m + ) 4(m + )(m + )

4 Soluzione a Si può usare ancora una volta il criterio del confronto asintotico in considerazione del fatto che: lim n per mostrare la convergenza della serie assegnata. n(n + )(n + ) n = a Per m = l affermazione è evidentemente vera. Supponiamo che lo sia anche per un certo indice m e facciamo vedere che in tal caso si deduce la validità dell affermazione corrispondente all indice m +. Si ha: m+ m n(n + )(n + ) = n(n + )(n + ) + (m + )(m + + )(m + + ) Usando l ipotesi induttiva nel primo addendo a secondo membro, abbiamo: m+ n(n + )(n + ) = m(m + ) 4(m + )(m + ) + (m + )(m + )(m + ) Ora: [ m(m + ) 4(m + )(m + ) + (m + )(m + )(m + ) = m(m + ) + ] (m + )(m + ) 4 m + = 4 + 9m + m + m 4(m + )(m + )(m + ) (m + ) (m + 4) = 4(m + )(m + )(m + ) (m + )(m + 4) = 4(m + )(m + ) a In forza del punto precedente possiamo scrivere: n(n + )(n + ) = lim n n m= m(m + )(m + ) = lim n(n + ) n 4(n + )(n + ) = 4 a Dimostrare che esistono due valori del parametro reale a per cui il sistema seguente è impossibile (a )x + (a )x + (a + )x = (a )x + (a 4)x = a (a )x + (a 5)x + (a )x = a b Se a = si risolva, se possibile, il sistema Soluzione a Il sistema è quadrato. Il determinante della matrice incompleta vale (a )(a )(a +) dunque il sistema è determinato se a,, Se a =, a = il sistema è impossibile: in questi due casi, infatti la matrice completa del sistema è rispettivamente equivalente alle matrici: C =, C = 5/ 5/. 4

5 Per a =, invece si ha che il sistema è indeterminato in quanto la matrice completa del sistema è equivalente a: C = b Per a = il sistema è di Cramer. La soluzione generale per a,, è x = ( a + a ) (a )(a + ) x = 8 9 a + a (a )(a + ) (a ) x = a + in particolare se a = si trova: x = x = 4 x = 5

6 Seconda prova parziale e primo appello Test Gli esercizi sono stati proposti per la gran parte in forma parametrica, a ciascun candidato è occorsa una speciale scelta del parametro caratterizzante l esercizio.. a a x + a dx = x (a) a {( ) + ln [( ) ( + )]} (b) a {( ) + ln [( ) ( + )]} (c) a {( + ) + ln [( ) ( + )]} (d) a {( ) + ln [( + ) ( + )]} a ha valori interi Si cambia variabile ponendo x + a = u ottenendo dx = u du in modo che: a a x + a dx = x = a a u u a du = a a [ u + a ln(u a) a ln(u + a) Da qui si vede subito che (a) è la risposta esatta.. Sia f(x) = 4x + 4ax. Allora 4+4a f (y)dy = ( + a u a [ = ] a a a ) du u + a u + a ln u a u + a ] a a. (a) + a (b) 5 + a (c) 4 + a (d) + a a ha valori interi a = La funzione assegnata è invertibile essendo f (x) = 4 ( x + a ) >. Risolvendo le due equazioni f(x) =, f(x) = 4 + 4a si trova: x =, x = quindi f() f() Risposta esatta (d). f (y)dy = f() ( 4x + 4ax ) dx = 4 + 4a ( + a).. a/ a/ dx x + ax a = (a) arctana (b) arctan a a ha valori interi pari 4 Basta osservare che: x + ax a = (c) π 4 (d) lna ( x + a ) + e, successivamente cambiare variabile: y = x + a

7 per ottenere: Risposta esatta (a) a/ a/ dx a x + ax + + = dy 4 a + y. 4. La media integrale in [ a, a] di f(x) = a x vale: (a) aπ 8 (c) aπ 4 (b) aπ (d) aπ a ha valori interi Se si pone x = a y si trova: Risposta esatta (c) 5. Se f(x) = x (a) x 4 + a 4 (b) x x 4 + a 4 a a a dt t 4 + a 4 allora f (x) = a x dx = a a y dy = a π (c) x x 4 + a 4 (d) x 4 + a 4. a ha valori interi Basta applicare il corollario esposto a pagina 55 di RBT per ottenere: Risposta esatta (a) a ( π x ) sin cosxdx = a aπ ( + cosa) (a) π a aπ ( cosa) (b) π a f (x) = (x) 4 + a 4 aπ ( + sina) (c) π a aπ ( sina) (d) π a a ha valori interi Si applica la formola di integrazione per parti n. esposta a pagina 5 di RBT con che in questo caso particolare porge: sin ( π x ) a cosxdx = a α = π a, β =, [ π cosx cos ( π x a a π ) + a sin x sin ( π x )] a A questo punto basta sostituire gli estremi di integrazione per concludere che la risposta esatta è la (a) 7. L equazione di terzo grado x + x n(n + )x = a ha tre radici reali e distinte per: 7

8 (a) n ( + 4n) < a < ( + n) ( + 4n) (b) a > ( + n) ( + 4n) (c) a < n ( + 4n) (d) a > ( + n) ( + 5n) n ha valori interi Studiamo la cubica f(x) = x + x n(n + )x. Essendo f (x) = x + x n(n + ) abbiamo che x M = n è un punto di massimo relativo e x m = n è un minimo relativo. Ora essendo f(x M ) = ( + n) ( + 4n) e f(x m ) = n ( + 4n) si vede che (a) è la risposta esatta. Riportiamo il grafico relativo a n = 5 8. La funzione f(x) = x axarctan x a + ) a ln ( + x a è: (a) concava per ogni x R (b) decrescente per ogni x R (c) crescente per ogni x R (d) convessa per ogni x R a ha valori interi Si ha f (x) = x a arctan x a e, poiché l espressione di f (x) cambia segno al variare di x, in quanto se x < f (x) < mentre per x si ha f (x) le risposte (b) e (c) non possono essere corrette. Va dunque calcolata anche la derivata seconda, che è: f () (x) = che (d) è la risposta esatta. x 9. La funzione f(x) = x a + x, x x a da cui si deduce + x (a) ha minimo assoluto in x m = a (b) è crescente per ogni x (c) non è derivabile in x = a (d) è superiormente illimitata a ha valori interi ( x a Si ha f + x ) (x) = da cui si ha immediatamente l esattezza di (b). (a + x / ) 8

9 Domande aperte. Tracciare il grafico della soluzione dell equazione differenziale: y (x) = 4a x a 4 y(x), a < x < a, x4 y() =. a ha valori interi Si tratta di una equazione differenziale lineare omogenea. Seguendo RBT pagina 9 scriviamo, usando anche il metodo dei fratti semplici: x A(x) = 4a t x ( a 4 t 4 dt = t a + t + a t ) a + t dt [ ] t=x = ln t a + ln t + a ln(a + t ) t= = ln(a x) + ln(a + x) ln(a + x ) lna lna + lna = ln a x a + x. Si rammenti che è stata assegnata la limitazione a < x < a, quindi la soluzione dell equazione differenziale assegnata è: Pertanto, da: y(x) = e A(x) = e ln a x a +x = a x a, a < x < a. + x y (x) = 4a x (a + x ) si deduce che y(x) ha un massimo (per ora) relativo in x = il cui corrispondente estremo è M = y() =. Poi essendo: y (x) = 4a ( x a ) (a + x ) abbiamo due flessi simmetrici (d altronde la funzione ottenuta è pari!) in corrispondenza di x ± = ± a. Trattandosi di una funzione positiva, nel suo dominio di definizione la funzione assume minimo assoluto dove si annulla, vale a dire in x a = a e in x a = a. Per il Teorema di Weierstraß abbiamo poi che il massimo relativo x è in effetti assoluto.. (a) Determinare per quali valori dei parametri a, b, c R la funzione definita per casi: { ln ( + αx + x ) se x, f(x) = a + bx + cx se x <, 9

10 è due volte derivabile con continuità in R α ha valori interi pari 4 Affinché una funzione definita per casi sia continua e derivabile due volte è indispensabile che i due polinomi osculatori di ordine, ottenuti per x > e per x < siano coincidenti. Per quanto riguarda x < qui la funzione è già in forma polinomiale, quindi il polinomio osculatore del secondo ordine coincide con la funzione stessa: q(x) = a + bx + cx. Invece, se x > abbiamo f(x) = ln( + αx + x ) da cui f() =, f () = α, f () () = α. Pertanto il polinomio osculatore è p(x) = αx + α x. Dunque è facile concludere, applicando il principio di identità dei polinomi, che deve essere a =, b = α, c = α dovendosi imporre q(x) = p(x). Con lo scopo di far capire che in questo modo le funzioni si attaccano dolcemente riportiamo il grafico con α = 4 in cui il rosso è usato per x < e il blu per x > (b) Se f : R R è una funzione continua e tale che f() si calcoli: lim x x x x f(t)dt f(t)dt Trattandosi di una forma indeterminata del tipo / si può ricorrere alla regola di de l Hospital- Bernoulli valutando il quoziente delle derivate (ovviamente si deve far uso anche del teorema fondamentale del calcolo) troviamo: ( x ( x f(t)dt x ) ) = f(t)dt f(x) + f( x) f(x) quindi: lim x x x x f(t)dt f(t)dt f(x) + f( x) f() + f() = lim = =. x f(x) f()

11 Totale Test I test seguenti sostituiscono i tests 4, 5 e del parziale x x + x 4 x 4 = 7 4. Il sistema lineare x x + x + x 4 = 4 5 x + 4 x + x + x 4 = (a) è indeterminato (b) è impossibile (c) è risolto da x =, x =, x =, x 4 = 5 (d) è risolto da x =, x =, x =, x 4 = Si vede che per x =, x =, x =, x 4 = 5 il primo membro della prima equazione vale -5, analogamente per x =, x =, x =, x 4 = il primo membro della prima equazione vale -: questo basta per escludere i casi (c) e (d). Dunque il sistema va studiato. La matrice del sistema è equivalente alla matrice a scala: ma questo basta per affermare che (a) è esatta. In alternativa si poteva calcolare il determinate del minore di ordine : det = 5 4 per ottenere la medesima conslusione. 5. Il determinante della matrice a a a a a a (a) vale 9 se a = (b) vale 8 se a = (c) vale 9 se a = (d) vale 8 se a = Si ha: quindi (c) è esatta.. La serie n 7 n det a a a a a = a ( + a + a ) a

12 (a) converge e la sua somma è 7/4 (b) converge e la sua somma è /4 (c) diverge (d) converge e la sua somma è /4 Ci si riconduce ad una serie geometrica di ragione /7: Risposta esatta (b). n 7 n = n 7 n = ( ) n = 7 7 = 4.