FONDAMENTI DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE

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1 DISPENSE DI: FONDAMENTI DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE Testo di riferieto E. Fuaioli ed altri Meccaica applicata alle acchie vol. e - Ed. Patro BOZZA

2 Idice. INTRODUZIONE ALLA MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE COPPIE CINEMATICHE - MECCANISMI FORZE DI ATTRITO Attrito di strisciaeto fra superfici asciutte COPPIE CINEMATICHE LUBRIFICATE LUBRIFICAZIONE LIMITE CONTATTO FRA SUPERFICI ASCIUTTE SOGGETTE A LOGORAMENTO Coppia rotoidale di spita (Pero di spita) Coppia prisatica (Pattio su superficie piaa) Ceppo puleggia (tipico dei frei a ceppo e taburo) ATTRITO DI ROTOLAMENTO LAVORI E RENDIMENTO Meccaisi i serie ed i parallelo Espressioi del redieto Moto retrogrado Relazioe fra η e η RENDIMENTO DEL PIANO INCLINATO RENDIMENTO DELLA COPPIA ROTOIDALE RENDIMENTO DELLA COPPIA PRISMATICA RENDIMENTO DELLA COPPIA ELICOIDALE CENNI ALLA TEORIA DELLA LUBRIFICAZIONE Slitta cilidrica ifiitaete luga su superficie piaa...3. I PROBLEMI DI STATICA CORPO RIGIDO SOTTOPOSTO AD UNA FORZA O UN COPPIA CORPO RIGIDO SOTTOPOSTO A DUE FORZE CORPO RIGIDO SOTTOPOSTO A DUE FORZE E UN MOMENTO ESTERNO CORPO RIGIDO SOTTOPOSTO A TRE FORZE CORPO RIGIDO SOTTOPOSTO A TRE FORZE ED UN MOMENTO CORPO RIGIDO SOTTOPOSTO QUATTRO FORZE LA RUOTA NELLA LOCOMOZIONE Ruota trasciata Ruota trasciata Ruota freata Esepio Esercizio CENTRO DI ISTANTANEA ROTAZIONE CENTRI DI ISTANTANEA ROTAZIONE DI UN MANOVELLISMO DI SPINTA CENTRI DI ISTANTANEA ROTAZIONE DEL QUADRILATERO ARTICOLATO CENTRO DI ISTANTANEA ROTAZIONE DI DUE RUOTE DENTATE...55 BOZZA

3 4. SISTEMI ARTICOLATI QUADRILATERO ARTICOLATO Studio cieatico del quadrilatero articolato Applicazioi del quadrilatero articolato MANOVELLISMO DI SPINTA Aalisi cieatica- via grafica Espressioe aalitica della velocità e dell accelerazioe del pistoe Esepi di applicazioe del aovelliso di spita STATICA DEL QUADRILATERO ARTICOLATO E MANOVELLISMO DI SPINTA MECCANISMI CON SAGOME E CAMME SAGOMA E PUNTERIA CAMMA E PUNTERIA CAMMA E BILANCIERE IMPUNTAMENTO DELLE CAMME ESEMPI DI APPLICAZIONI DEI MECCANISMI CON LE CAMME MECCANISMI CON ORGANI FLESSIBILI GENERALITÀ MODELLAZIONE DELLA NON PERFETTA FLESSIBILITÀ DELLE CINGHIE MACCHINE PER SOLLEVAMENTO CARICHI: CARRUCOLA FISSA MACCHINE PER SOLLEVAMENTO CARICHI: CARRUCOLA MOBILE MACCHINE PER SOLLEVAMENTO CARICHI: PARANCHI Parachi a tiro ivertito Parachi a tiro diretto Paraco differeziale Macchie per sollevaeto carichi: altre applicazioi PULEGGE COLLEGATE TRAMITE ORGANI FLESSIBILI Equilibrio Statico Trasissioi co cighie piae (archi di adereza e scorrieto) CALCOLO DEL COEFFICIENTE DI ATTRITO EQUIVALENTE DELLE CINGHIE TRAPEZIE RENDIMENTO DELLA TRASMISSIONE RUOTE DENTATE TRASMISSIONE DEL MOTO FRA ASSI PARALLELI RUOTE DI FRIZIONE PROFILI CONIUGATI RUOTE DENTATE CILINDRICHE AD EVOLVENTE CARATTERISTICHE GEOMETRICHE DI UNA RUOTA DENTATA CONTINUITA DEL MOTO CONDIZIONE DI NON INTERFERENZA TRA I PROFILI DENTATURE CORRETTE RUOTE DENTATE CILINDRICHE A DENTI ELICOIDALI TRASMISSIONE DEL MOTO TRA ASSI INCIDENTI RUOTE DENTATE: COSTRUZIONE E MATERIALI IMPIEGATI SCELTA E VERIFICA DEI RUOTE DENATTE...9 BOZZA 3

4 8. ROTISMI ROTISMI ORDINARI ROTISMI EPICICLOIDALI MOMENTI AGENTI SU UN ROTISMO DINAMICA DELLE MACCHINE ALTERNATIVE MASSE RIDOTTE DELLA BIELLA IN UN MANOVELLISMO ENERGIA CINETICA DEL MANOVELLISMO BILANCIAMENTO DELLE MACCHINE ALTERNATIVE MONOCILINDRICHE FORZA ROTANTE FORZE ALTERNE BILANCIAMENTO DELLE MACCHINE ALTERNATIVE PLURICILINDRICHE Motore co cilidri a tepi Motore co cilidri a 4 tepi Motore co 3 cilidri a tepi Motore co 4 cilidri a tepi Motore co 4 cilidri a 4 tepi DINAMICA DI SISTEMI LINEARI CON GRADO DI LIBERTÀ POSIZIONE DI EQUILIBRIO EQUAZIONI DI MOTO NEI SISTEMI LINEARI FORZE ELASTICHE FORZE SMORZANTI: SMORZAMENTO VISCOSO EQUAZIONI DI MOTO Coportaeto libero di u sistea co GdL co sorzaeto viscoso MOTO LIBERO Paraetri adiesioali Decreeto logaritico MOTO FORZATO Moto forzato del sistea seza l utilizzo dei ueri coplessi Moto forzato del sistea co i ueri coplessi RICETTANZA Rappresetazioe della ricettaza STRUMENTI SISMICI ISOLAMENTO DALLE VIBRAZIONI E EFFICIENZA DELLE SOSPENSIONI...66 BOZZA 4

5 . Itroduzioe alla Meccaica Applicata alle Macchie Macchia: sistea di orgai disposti i odo da copiere sotto l azioe di forze coveieteete applicate, lavoro di iteresse idustriale. Macchie: (idrauliche, teriche, elettriche, ) utilizzao eergie aturali trasforadole i lavoro eccaico. Macchie operatrici: utilizzao il lavoro eccaico prodotto da ua otrice per trasforarlo i lavoro idustrialete utile (acchie utesili, per lavorazioi varie, copressori, ). La eccaica applicata alle acchie studia ciò che è coue alle varie categorie di acchie a prescidere dai caratteri specifici di ciascua di esse. Lo studio può essere fatto da u puto di vista puraete cieatico astraedo dalle forze che producoo il ovieto o da u puto di vista diaico cosiderado il oto coe effetto delle forze ageti sulla acchia. I olti casi il problea del oto è risolto co le equazioi della statica poiché soo ulle o trascurabili le forze di ierzia (studio statico di ua acchia)... Coppie cieatiche - Meccaisi Mebri di ua acchia: soo i vari corpi che la copogoo; i geerale soo costituiti da corpi solidi che spesso possoo essere cosiderati rigidi, a si usao ache ebri elastici (olle, ) e flessibili (cighie, fui,.). I vari ebri soo collegati fra loro i odo che il ovieto di ciascuo di essi dipede dal ovieto degli altri. Questa dipedeza è dovuta alla fora geoetrica delle superfici co le quali vegoo a cotatto i sigoli ebri. Eleeto cieatico porzioe di ua superficie co la qualcu ebro viee a cotatto co u altro. Coppia cieatica isiee di due eleeti cieatici, apparteeti a ebri diversi, fra loro i cotatto. Coppie idipedeti coppie che perettoo u ovieto relativo ad u solo grado di libertà. Coppie cobaciati coppie i cotatto attraverso porzioi di superfici di area fiita. Soo possibili 3 soli tipi di coppie idipedeti e cobaciati (dette coppie eleetari): ) Coppia prisatica: oto di traslazioe (es: cilidro pistoe) ) Coppia rotoidale: oto di rotazioe (es: ceriera) 3) Coppia elicoidale: oto elicoidale (es: vite adrevite) Uo dei due eleeti della coppia può essere costituito ache da u corpo che o può essere cosiderato rigido (ad es. ua cighia); la coppia cieatica si dice i questo caso o rigida. I alcue coppie cieatiche il oto peresso è assicurato soltato dalla fora geoetrica degli eleeti che costituiscoo la coppia (accoppiaeto di fora); i altre il oto voluto ha soltato le forze che gli eleeti cieatici si trasettoo e che hao forza tale da ateere i cotatto gli eleeti stessi (accoppiaeto di forza). Le ruote detate costituiscoo u esepio tipico di coppia cieatica rigida o cobaciate co accoppiaeto di forza. Ua recete classificazioe le distigue i coppie iferiori, ossia rigide e cobaciati, e coppie superiori.si veda la Tabella a riguardo. Alcui autori chiaao coppie eleetari quelle che qui soo chiaate iferiori (vd. Lezioi di Meccaica Applicata alle acchie, Fuaioli et al.) BOZZA 5

6 Gradi di libertà Deoiazioe coppia Movieti peressi Rotazioi traslazioi elicoidali Descrizioe della coppia R (if.) Coppia rotoidale P (if.) Coppia prisatica E (if.) Coppia elicoidale RT Corpo di rivoluzioe i guida torica C (if.) Coppia cilidrica CS Cilidro etro scaalatura RE Corpo di rivoluzioe i guida elicoidale S (if) 3 Sfera etro sede sferica Sfera co pero i sede cilidrica SA 3 co scaalatura SL C.s. co scaalatura elicoidale PP (if) Piao su piao SC 3 Sfera i guida cilidrica 4 SE 3 Sfera i guida elicoidale CC Cilidro su piao 5 SS 3 Sfera su piao Tabella : Pricipali tipi di coppie cieatiche Fra le coppie superiori si copredoo i geerale ache quelle rigide e o rigide o cobaciati co accoppiaeto di forza. U sistea di ebri collegati fra loro da coppie cieatiche costituisce ua catea cieatica. La catea si dice seplice se tutti i ebri hao ua o due coppie cieatiche; si dice coposta se aleo u ebro possiede tre o più coppie cieatiche. La catea è chiusa se ogi ebro ha più di ua coppia cieatica; è aperta i caso cotrario. Ua catea cieatica i cui u ebro è cosiderato fisso costituisce u eccaiso; il ebro fisso si dice telaio. U eccaiso costituisce ua acchia o ua parte di essa che scabia lavoro eccaico co l estero; i altri terii sul eccaiso agiscoo delle forze estere che cedoo lavoro al sistea oppure assorboo lavoro da esso. I ebri sui quali agiscoo le forze che cedoo lavoro al sistea si dicoo oveti ed il corrispodete lavoro si dice otore, etre i ebri ai quali soo applicate forze che assorboo lavoro dal sistea, si dicoo cedeti ed il relativo lavoro si dice resistete. Le corrispodeti forze si deoiao otrici e resisteti. I ebri di ua acchia possoo spesso essere cosiderati corpi rigidi e quidi il loro oto può essere studiato co le equazioi cardiali della diaica del corpo rigido: cetro di assa e R Q MaG ( C oppure ) e MC KC Γ C( ω) ω ΓC( ω) puto solidale fisso L applicazioe lieare ΓO : V è detta oografia di ierzia rispetto al polo O, e la atrice B i, j, k dello spazio dei vettori associata a tale applicazioe, rispetto ad ua base ortoorale { } liberi V, è il oto tesore di ierzia (relativo al polo O ed espresso i base B), e si idica co B I O. BOZZA 6

7 Sia { Oxyz,,, } il riferieto cartesiao, otteuto applicado la base B i O: I Ixx ( y z ) ρdv; Ixy ( xy) ρdv; Ixx Ixy I xz Volue Volue B O I xy I yy I yz dove I yy ( x z ) ρdv; I xz ( x z) ρdv; Volue Volue Ixz Iyz I zz Izz ( x y ) ρdv; Iyz ( yz) ρdv; Volue Volue Occorre però cooscere tutte le forze applicate al rigido e quidi ache le forze che u ebro trasette ad u altro attraverso gli eleeti della coppia cieatica che li collega; tra queste, particolare iportaza ai fii del fuzioaeto della acchia, hao le forze di attrito, che soo difficilete valutabili co esattezza. Si ricordi che due sistei di forze S ed S si dicoo equivaleti se hao lo stesso risultate e lo stesso oeto risultate (ovviaete fissato u uico polo per il calcolo del oeto). Guardado le equazioi cardiali della diaica del corpo rigido, si vede che se due sistei di forze ageti su u rigido soo equivaleti, soo ache diaicaete equivaleti (ossia sostituibili ai fii del oto). Ciò o è vero i geerale per u corpo deforabile. Se ivece del passaggio: date le forze si trovi il oto, si vuole il passaggio: iposto il oto trovare le forze, si possoo utilizzare i procedieti grafici e/o aalitici della statica, co l artificio di aggiugere alle forze vere (o più correttaete d iterazioe ), delle forze fittizie, dette forze d ierzia, che soo ote poiché iediataete calcolabili ua volta iposto il oto!. Per ogi puto ateriale di assa che viaggia co accelerazioe a si defiisce forza d ierzia Fi a. Per u corpo rigido si trova: i R Q MaG i MC KC { Γ C( ω) ω ΓC( ω) } E duque le equazioi cardiali della diaica si possoo scrivere ella fora: i e R R i e MC MC foralete aaloga alle equazioi della statica! (Si parla di equilibrio diaico). ATTENZIONE: l equilibrio diaico vale per ogi sistea eccaico (o solo rigido), ossia i ogi sistea eccaico l isiee di forze costituito dalle forze d iterazioe estere e le forze d ierzia che si sviluppao per effetto del oto deve risultare u isiee equilibrato. Se i u eccaiso, ad u certo istate, soo assegate le accelerazioi, è duque possibile codurre u aalisi di equilibrio, coe se la cofigurazioe attuale fosse di equilibrio statico, avedo cura di applicare su di ogi ebro rigido ua forza fittizia Ma G (applicata el suo cetro di assa G) ed ua coppia di oeto { Γ ( G ω) ω ΓG( ω) }. Queste forze fittizie si potrao cosiderare orali forze estere (al ebro, così coe alla acchia) a prescidere dalla loro origie diaica. Nel caso di rigidi piai che si uovoo di oto piao, le forze di ierzia equivalgoo a Ma G applicato i G ed ua coppia I gω, dove I g è il oeto d ierzia del corpo rispetto all asse baricetrico parallelo ad ω. BOZZA 7

8 Figura : Coppie prisatiche BOZZA 8

9 Figura : Coppie rotoidali Figura 3: Coppie sferiche BOZZA 9

10 Figura 4: Coppie elicoidali.. Forze di attrito ) Attrito di strisciaeto fra superfici asciutte ) Coppie cieatiche lubrificate 3) Lubrificazioe liite 4) Cotatto fra superfici asciutte soggette a logoraeto a) Pero di spita b) Pattio su superficie piatta c) Ceppo puleggia 5) Attrito di rotolaeto 6) Lavori e redieti... Attrito di strisciaeto fra superfici asciutte A stretto rigore due superfici si dicoo asciutte quado tra gli atoi e le olecole apparteeti alle superfici i cotatto o soo iterposte olecole o atoi di altre sostaze; tali codizioi o soo ai verificate i pratica elle acchie. BOZZA

11 Figura 5: Attrito di strisciaeto di u grave su u piao Cosideriao u corpo traslate a velocità relativa vr su u supporto: sia N la copoete orale della reazioe vicolare, etre T sia la copoete tageziale, dovuta all attrito. Defiiao coefficiete d attrito (radete): ft/n. Legge di Coulob: f dipede dalla atura dei ateriali a cotatto, dalle loro codizioi superficiali ed, al più, dalla velocità relativa di strisciaeto. Se vr si parla di attrito cietico ed f è oto a priori di cosiderazioi di equilibrio, traite tabelle facilete reperibili. Se v r, si parla di attrito statico o adereza, f può assuere qualsiasi valore copreso tra ed f a (coefficiete d attrito statico o di adereza), ed il suo valore o può che essere coosciuto a posteriori di cosiderazioi di equilibrio (ovviaete codotte co l ipotesi di asseza di strisciaeto). Posto ϕ arcta f, è iediato costatare che questo è l agolo del quale ruota la reazioe vicolare reale, rispetto alla direzioe ideale (ossia orale alla superficie di cotatto). Figura 6: Esepio di aalisi cristallografica di ua ateriale Per 3 strati f dell ordie di.. 3 Per strati f dell ordie di.3. 6 (etalli diversi) Per strati f dell ordie di.8. (etalli uguali o che forao facilete soluzioi solide) BOZZA

12 Figura 7: Dipedeza di f dalla pressioe e velocità Figura 8: Dipedeza di f dalla teperatura.3. Coppie cieatiche lubrificate Quado fra gli eleeti cieatici di ua coppia viee di proposito iterposto u fluido di adeguate caratteristiche, la coppia si dice lubrificata e co il terie lubrificazioe si idica la disciplia che studia i feoei che avvegoo elle coppie lubrificate. Se gli eleeti della coppia soo separati da uo strato cotiuo di lubrificate il cui spessore, pur piccolo i seso assoluto, è otevolete aggiore della rugosità superficiale degli eleeti stessi la lubrificazioe si dice idrodiaica. Il carico che la coppia può sopportare è dovuto al capo di pressioe che si istaura all itero del lubrificate; la pressioe tuttavia o è così grade (i geere iore di 5MPa) da provocare sesibili deforazioi delle superfici che deliitao il lubrificate. BOZZA

13 Le perdite soo i questo caso i diretta dipedeza co le proprietà del fluido e i particolare co la sua viscosità. Quado il capo di sovrapressioe asce i cosegueza del oto relativo degli eleeti cieatici della coppia, si parla di lubrificazioe aturale, se ivece esso è otteuto alietado il volue ripieo di lubrificate (eato) co u fluido esso i pressioe co ezzi esteri (popa di alietazioe) si parla di lubrificazioe idrostatica o forzata. I questo secodo caso il oto relativo degli eleeti cieatici può ache essere ullo o avveire co velocità olto bassa. Nelle coppie cieatiche correttaete lubrificate, l usura degli eleeti cieatici è pressoché ulla. La lubrificazioe si dice elastoidrodiaica quado le deforazioi degli eleeti cieatici, rispetto alle diesioi del eato, soo sesibili. Essa iteressa pricipalete le coppie superiori (ruote detate, cae, etc.) e si può a sua volta distiguere i elastoidrodiaica rigida (hard) e soffice (soft) rispettivaete quado gli eleeti cieatici soo costituiti da ateriale co odulo di elasticità olto elevato o viceversa. La pria evetualità si aifesta ad esepio egli igraaggi e elle cae: lo spessore iio del etallo è dell ordie di, µ e la pressioe varia da,5 a 3 GPa, i queste codizioi la variazioe di viscosità co la pressioe o può essere trascurata. Il secodo caso si preseta essezialete elle teute quado soo preseti guarizioi i elastoero e elle coppie per protesi artificiali; lo spessore iio del eato è di circa µ ed i valori assii di pressioe dell ordie di MPa. Le variazioi del coefficiete di viscosità co la posizioe soo di uovo trascurabili. Sostazialete il problea elastoidrodiaico differisce da quello idrodiaico perché la fora del eato o è ota a priori, a dipede dal capo di pressioe. Per qualche ceo alla teoria della lubrificazioe, si veda l appedice a questa sezioe. BOZZA 3

14 Coefficiete di attrito ) Lubrificazioe idrodiaica ) Lubrificazioe elastoidrodiaica 3) Lubrificazioe liite 4) Superfici asciutte Figura 9: Valori edi del coefficiete di attrito i scala logaritica per varie codizioi di lubrificazioe.4. Lubrificazioe liite Il lubrificate se di spessore olto sottile (cetesii di µ ) o ipedisce il cotatto fra le asperità, a riduce la icrogiuzioe, provocado quidi ua riduzioe di f. Questa azioe è tato più sesibile quato più il lubrificate tede ad aderire alla superficie. L adereza è olto auetata se le olecole soo polarizzate; si forao così strati olecolari (epilaie) co gradissie resisteze allo schiacciaeto e iie allo scorrieto. Le sostaze che forao epilaie hao tuttavia spesso la caratteristica di ossidarsi alle alte teperature. No possoo quidi sostituire gli olii orali a devoo essere iscelate co esse (olii additivati). Fra queste sostaze si ricordao: a) acidi grassi che hao olecole polari a si dissociao alle alte teperature; b) coposti di P, S, Cl che forao epilaie per reazioe chiica co la superficie etallica (coposti E.P.) efficaci solo ad alte teperature BOZZA 4

15 Figura : Schea di lubrificazioe liite.5. Cotatto fra superfici asciutte soggette a logoraeto Cosegueza dell attrito fra superfici asciutte è il logoraeto, che produce i geere ua aggiore levigatezza delle superfici e quidi ua riduzioe di f (rodaggio). Quado iteressa che uo dei due eleeti atega ivariata la propria fora si costruisce l altro eleeto di u ateriale assai eo duro del prio (frei). Ipotesi di Reye : Il volue di ateriale asportato sull eleeto cieatico è proporzioale al lavoro copiuto dalle forze d attrito ageti sulle stesso eleeto cieatico. Questa ipotesi è utilizzata per deteriare la distribuzioe della pressioe ella superficie di cotatto, ua volta prevista l usura..5.. Coppia rotoidale di spita (Pero di spita) Si assue il solo pero usurato. Coereteete a quato afferato ella ota, l eleeto cieatico del ebro logorato sarà sepre piao, e duque il ateriale asportato avrà sepre altezza uifore. Lo strato usurato viee assuto tale che, ache durate il logoraeto, la coppia atega u cotatto della stessa atura!! BOZZA 5

16 P R f coefficiete di attrito(il cotatto è a secco) r raggio p pressioe di cotatto, assuta per sietria dipedete da r solaete α rotazioe h spessore parte usurata i ua rotazioe relativa α π r dr h volue di ateriale asportato sulla coroa circolare di raggio r Dall ipotesi del Reye applicata sulla coroa : fp π r drα π r dr h c p pressioe (iversaete proporzioale al raggio, adaeto iperbolico) r r c costate da calcolare Dall equilibrio alla traslazioe verticale è possibile calcolare il valore di questa costate. Ciò fatto, applicado l eq. di equilibrio alla rotazioe, si calcola il valore della coppia ecessaria a ateere i rotazioe i oto uifore il pero. R R P P eq. traslazioe verticale : P pπrdr πc dr c pr () π ( R R) π ( R - R ) r R R R R R R eq. rotazioe : M a fpπrdr π fc rdr π fcr ( R ) Ma fp f PR edio R R Gli stessi risultati valgoo pure el caso di u iesto a frizioe oodisco. P P Frizioe oodisco BOZZA 6

17 .5.. Coppia prisatica (Pattio su superficie piaa) Il pattio trasla sul piao ed ha diesioe a ella direzioe di traslazioe (lughezza) e diesioe b (profodità) ella direzioe ortogoale. Sia x la coordiata logitudiale fissata sul pattio. X P Part e usurat a b dx dx h h h a Coereteete alla ota il profilo d usura ha adaeto lieare: hh x hh h h x h co ed x [, a] a a h Assuta la p fuzioe della sola coordiata x, utilizziao l ipotesi di Reye su di ua porzioe rettagolare di cotatto, a coordiata x, e di area ifiitesia b dx, avedo supposto ua traslazioe relativa X. x ( bdxfpxx ( ) hxdxb ( ) ) px ( ) hx ( ) px ( ) ch a c coe al solito la costate c viee deteriata ipoedo alla distribuzioe di pressioe di equilibrare la forza P che pree i due corpi. a a x a P bp( x) dx cb dx cb a a Eq. i dir. orale al piao d appoggio: P P x c p( x) ab( ) ab( ) a a a x a a Eq. dei oeti: Px bp( x) x dx bc x dx bc 3 x a a 3 Duque fissata la forza P, è fissata la distribuzioe di pressioe; fissata la distaza x, è fissato e duque il rapporto h/ h. N.B.: x deve essere i [ a/3, a /3], altrieti la pressioe si atiee positiva soltato su ua porzioe della superficie (si ha, cioè, ua riduzioe della superficie di cotatto). È ifie possibile calcolare la forza ecessaria a ateere i oto uifore il pattio: a Eq. traslazioe i direzioe x: T f pdx f P.5.3. Ceppo puleggia (tipico dei frei a ceppo e taburo) Il ceppo si accosta al taburo, traslado i ua direzioe detta direzioe di accostaeto di ua quatità h peressa dall usura del ceppo stesso. BOZZA 7

18 Puleggia h O Direzioe di accost aeto R hcosθ L altezza dello strato usurato i posizioe agolare ϑ, (riferita alla direzioe di accostaeto), vale h cosϑ. Si assue ua profodità uitaria. Il volue del ateriale asportato i corrispodeza di u eleeto Rd θ, idividuato dalla posizioeϑ, dopo ua rotazioe relativa Ω, è Rdϑ h cosϑ ; per l ipotesi di Reye si ha : Rdϑh cos ϑ fp( ϑ) RdϑRΩ p( ϑ) cosϑ p( ϑ) c cosϑ voluediaterialeasportato i rotazioe relativaω lavorodelle forzedi attrito La direzioe di accostaeto o coicide i geerale co la direzioe della risultate azioi radiali p, é co l asse di sietria del ceppo. F p delle Direzioe geerica Direzioe di accostaeto δ/ β α Retta di azioe di F p O γ Bisettrice Quest ultio è preso coe origie della coordiata agolare α. Si vuole calcolare γ, ossia l agolo che idividua la direzioe della risultate delle azioi di pressioe. Per farlo basta osservare cheγ idividua tale direzioe se e solo se proiettado tutte le azioi di pressioe i direzioe ortogoale a quest ultia, si ottiee u valore ullo. I forule: δ δ δ siδ δ psi ( α γ ) Rdα cr δ cos( α β) si ( α γ ) dα tgγ tgβ ( ) Α δ siδ (duque la direzioe delle azioi di pressioe è fissata ua volta fissato l agolo d abbracciaeto e la direzioe di accostaeto). BOZZA 8

19 D altra parte, proiettado tutte le azioi di pressioe sulla retta di agolo γ, si deve trovare il valore della risultate F p : δ Fp δ pcos( α γ ) Rdα cr δ cos( β γ ) siδ cos( β γ ) ( Β). Duque le azioi di pressioe p( ϑ) ccosϑ equivalgoo ad ua forza diretta secodo l agolo γ idividuato traite la relazioe (A), e di odulo deteriato dalla relazioe (B). Aalogaete a quato succedeva egli esepi precedeti, da cosiderazioi di equilibrio si può ricavare questa forza ed utilizzare la relazioe (B) per trovare la costate c, e duque la distribuzioe di pressioe. Calcoliao la forza equivalete alle azioi d attrito: è evidete che la loro risultate varrà T ff p e sarà diretta ortogoalete alla direzioe idividuata dall agolo γ ; ioltre sarà applicata ad ua distaza d da O tale che: δ δ 4si( ) ( ) fp ϑ R dϑ Td ffpd d R cosγ δ δ siδ oeto freate M f Si idichi co K la itersezioe delle rette d azioe di T ed F p : è iediato otare che al variare di γ, tale puto descrive ua crf. di diaetro l 4Rsi( δ ) ( δ si δ) giacete sull asse di sietria del ceppo, passate per O. Tale crf è detta del Roiti o ausiliaria ed è tracciabile o appea si cooscao le caratteristiche geoetriche della coppia. Si oti che al variare di γ (ossia al variare della posizioe di K sulla crf.), la risultate delle azioi orali e tageziali di scabio passa sepre per u puto P apparteete alla crf. ausiliaria: difatti l agolo alla circofereza OKP è ivariate, valedoϕ arcta f, duque o varia la lughezza dell arco sotteso OP, ossia la posizioe di P. Noto ϕ, possiao localizzare P (evideteete riae la ideteriazioe su quale seipiao cotega P, a il problea è facilete aggirabile sfruttado la coosceza del seso di rotazioe della puleggia). Ifie pree sottolieare che la direzioe di accostaeto è deteriata dalla coppia co cui il ceppo è vicolato al telaio. A) coppia prisatica: la direzioe d accostaeto è deteriata dalla direzioe della traslazioe peressa. BOZZA 9

20 B) coppia rotoidale: ogi atto di oto del ceppo si può cosiderare la coposizioe di ua rotazioe itoro al cetro O della puleggia, iesseziale all accostaeto, ed ua traslazioe (che deteria la direzioe d accostaeto) i direzioe ortogoale ad (O O ), dove O siboleggia il cetro di rotazioe del ceppo, difatti: P solidale al ceppo : dp ωceppodt ( P O) ωceppodt ( P O) ωceppodt ( O O) C) ceppo flottate (ceppo icerierato ad ua leva, a sua volta icerierata al telaio): si lascia al lettore per esercizio (si utilizzi l equilibrio al ceppo, il puto P, e la relazioe tra γ e β )..6. Attrito di rotolaeto I caso di corpi perfettaete rigidi i rotolaeto relativo, il cotatto dovrebbe localizzato su u puto (o lugo ua liea), per cui passa il copoete orale della reazioe vicolare ed il copoete tageziale dovuto all adereza (attrito statico!) che ipedisce lo strisciaeto. I realtà ogi solido è elastico, ed il cotatto avviee su ua superficie di area fiita. Nel caso di corpo perfettaete elastico il diagraa delle pressioi è couque sietrico e duque le azioi di pressioe equivalgoo couque ad ua azioe orale passate per il cetro della ruota. I realtà, iposto il rotolaeto, esistoo diversi fattori (il pricipale è la o perfetta elasticità) che fao spostare i avati el seso del oto il cetro delle pressioi, di ua lughezza u detto paraetro d attrito volvete ( < u< c). BOZZA

21 Duque le azioi di pressioe equivalgoo ad R passate per il cetro della ruota e coppia che si oppoe al rotolaeto M a Ru. Il lavoro dissipato per uità di percorso è : dla M adϕ M a ds M a Ru. ds ds ds r r r dl ds u Defiiao coeff. d attrito volvete o di rotolaeto: fv. R r Nota: il coefficiete d attrito volvete è praticaete lo stesso i codizioi statiche e cietiche..7. Lavori e redieto Facciao alcue distizioi i erito alle forze applicate ai ebri di ua acchia. Dalla eccaica razioale distiguiao i ATTIVE e VINCOLARI. Tra le prie, alcue copioo lavoro positivo e si dicoo otrici, altre lavoro egativo e si dicoo resisteze utili ( vicere le quali è, i ultia aalisi, lo scopo della acchia), per distiguerle dalle resisteze passive che ivece soo le copoeti o ideali delle reazioi vicolari e dissipao lavoro (ossia copioo lavoro egativo iutile ). Le copoeti ideali delle reazioi vicolari ivece o copioo lavoro (assuedo di trattare sistei a vicoli fissi) 3. Il ebro al quale è applicata la forza otrice si dice ovete e cedete quello al quale è applicata la resisteza utile. I u deteriato itervallo di tepo la forza otrice copirà u lavoro L, la resisteza utile assorbirà u lavoro L r e le resisteze passive u lavoro L p. Essi soddisfao alla seguete equazioe: L[ t, ] [, ] [, ] ( ) ( ) t L L E t E t r t t p t t c c che esprie il Teorea delle Forze Vive (i lavori soo presi i odulo). Se ell itervallo di tepo [ t, t ] : E c costate, si parla di fuzioaeto a regie assoluto. Se ivece il secodo ebro di cui sopra è ullo, poiché E c (t) è ua fuzioe T-periodica e l itervallo di tepo cosiderato corrispode ad u periodo, si parla di regie periodico. Data ua acchia a regie, si defiisce redieto eccaico: Lr η L poiché L p sarà sepre η <. Lp Alla differeza η si dà i oe di fattore di perdita (sepre aggiore di ) L Quado il redieto di regie assoluto o è ivariate rispetto all itervallo di tepo i cui i lavori vegoo calcolati, ha seso defiire il redieto istataeo: Lrtt [, dt] Wr () t poteza assorbita da resisteza utile all' istate t ηi () t L [, ] W ( t) poteza erogata da forza otrice all' istate t tt dt ed il redieto edio: t t W () t dt η () t W () t dt η r i t t edio t t W () t dt W () t dt t t 3 Per la precisioe, i vicoli ideali sviluppao reazioi che copioo lavoro virtuale ullo, quale che sia il sistea di spostaeti virtuali applicati al sistea: è oto che se il sistea è a vicoli fissi, ogi spostaeto reale può essere assuto coe u particolare spostaeto virtuale. BOZZA

22 N.B.: i pratica, a parte oti artificiosi di essu iteresse applicativo, u eccaiso è a regie assoluto, solaete quado lo è ogi suo ebro..7.. Meccaisi i serie ed i parallelo Meccaisi i serie Più eccaisi si dicoo i serie quado il cedete di oguo è il ovete del successivo Il redieto dell itera serie è Lr L L r r r L L r η... ηη... η L L L L L 3 Meccaisi i parallelo Più eccaisi si dicoo disposti i parallelo quado il oto è trasesso da u ovete a più eccaisi diversi o viee couicato da più eccaisi ad u solo cedete L Lr Lr... L r r η L L L... L η L η L... η L L L... L (edia poderata dei redieti, co pesi i lavori otore).7.. Espressioi del redieto Cerchiao ua espressioe alterativa per il calcolo del redieto istataeo dei eccaisi ad g.d.l, che torerà olto utile i fase applicativa: aettiao sia ota la forza resistete utile all istate t: Q, etre della forza otrice P, sia ota la sola retta d azioe: è ovvio che il suo odulo (e verso) è deteriato da cosiderazioi di equilibrio (diaico!!). Nella cofigurazioe attuale del eccaiso vale: W () cos r t QvQ ϑq ηi () t W() t PvPcosϑP Se lo stesso atto di oto fosse copiuto seza perdite, deteriereo u valore P che soddisfa: Pv P cosϑp QvQcosϑQ, a allora utilizzado quest ultia relazioe, la espressioe precedete diviee: P η i () t. P BOZZA

23 .7.3. Moto retrogrado Cosideriao ua acchia fuzioate a regie, i cui è assegata la forza resistete Q, etre della forza otrice sia assegata la sola retta d azioe: coe oto il suo odulo P deriva da cosiderazioi di equilibrio. Suppoiao ivece che i quella stessa cofigurazioe il oto stia avveedo i seso iverso, ossia Q è otrice, e si deterii acora traite cosiderazioi di equilibrio il valore P. Il redieto del eccaiso el caso di oto ivertito si chiaa redieto di oto retrogrado: W r () t Pv PcosϑP Pv PcosϑP P η W () QvQcos Q Pv Pcos t ϑ ϑp P Qualora risulti η < la acchia o aette oto retrogrado o, coe si dice, la acchia è ad arresto spotaeo, ossia el caso la forza otrice cali di itesità la acchia o può fuzioare i seso ivertito. N.B.: a be guardarla, la forula precedete suggerisce ua aiera rapida per trovare il redieto di oto retrogrado quale? Si vedao gli esepi Relazioe fra η e η Wp W p η η W W η Wp W W p W W r p Wr ; posto η W W W W W W η η ( k ) p p p k η k L η p si ha Lp η k η e duque: k Si oti che η < η < : poiché usualete k, ciò iplica approssiativaeteη <.5, k ossia le acchie ad arresto spotaeo hao basso redieto..8. Redieto del piao icliato Facedo l equilibrio i direzioe ortogoale a quella della reazioe R, si ha (si poga ϕ arctg f ): se( α ϕ ) Pse( β ϕ) Qse ( α ϕ) P Q se ( β ϕ ) e, el caso ideale: se( α ) P Q se β ( ) BOZZA 3

24 P η P ( ) ( β ϕ) α( β ϕ ϕ β) ( ) seα se se se cos se cos f ctgβ η se α ϕ seβ seβ seα cosϕ seϕ cosα f ctgα Il redieto di oto retrogrado può essere calcolato, dopo aver deteriato P. Si troverà che allo stesso risultato si poteva perveire ivertedo il redieto di oto diretto e cabiado sego all attrito, (ossia scabiado f co f ). f ctgα η f ctgβ Si oti che, essedo β > α si ha che η < α < ϕ. Il oto retrogrado è possibile se α ϕ, ache se per iescarlo dovrà essere α > ϕ. a.9. Redieto della coppia rotoidale L attrito radete fa sì che la reazioe del vicolo realizzato dalla coppia rotoidale passi tagete al cosiddetto circolo d attrito, ossia ua circofereza cocetrica al pero, di raggio: ρ R si ; p ϕ se ϕ << ρ Rp taϕ Rp f raggio pero Si cosideri il redieto del pero che ruota iteraete alla sua sede, sottoposto alle forze d iterazioe co la sede stessa (che, per quato detto sopra, equivalgoo ad ua forza tagete al circolo d attrito), alla forza resistete Q assegata ed alla forza otrice P, di cui è ota solaete la retta d azioe. Applicado l equilibrio dei oeti itoro ad H, si coclude che la reazioe vicolare R deve passare per H. Dovedo essere ache tagete al circolo d attrito, si hao due possibili rette d applicazioe per questa forza; coe al solito l ideteriazioe è superata guardado al caso ideale ed osservado il seso di rotazioe. La retta è quella tratteggiata ella figura su riportata. Co queste iforazioi è possibile chiudere il triagolo dei vettori e trovare la soluzioe graficaete. Aaliticaete, si ha: eq. delle forze( utilizzado tr. Carot): R P Q PQ cosθ eq. dei oeti : Rρ Qb Pa Si hao due equazioi elle due icogite R e P, e duque co u po di aipolazioi algebriche il sistea è risolubile. Qui siao iteressati ad ua soluzioe seplificata: Dall equilibrio dei oeti è possibile calcolare P i fuzioe di Q e R: P(QbR ρ )/a. No coettereo u grosso errore se valutereo P sostituedo R (odulo della reazioe vicolare el caso ideale) ad R. BOZZA 4

25 Qb Qb b b R P Q PQcos θ ( ) Q ( ) Qcosθ Q cosθ a a a a duque: Qb R ρ Qb ρ P Q b b cosθ a a a a a P da cui η P ρ cosθ a b ab etre η ρ cosθ a b ab.. Redieto della coppia prisatica Le rette d azioe delle reazioi dei collari coe al solito si trovao osservado il verso dei copoeti ideali dal caso ideale e che il verso delle copoeti d attrito è tale da opporsi al oto. La soluzioe grafica si riduce al baale problea statico delle quattro forze. Risolviaolo i aiera aalitica. Ipoedo l equilibrio i direzioe ortogoale a quella delle due reazioi vicolari: Pcos( α β) Qcos( β ϕ) P cos α Q cos β cos β cos( α ϕ) cos β ( cosα cosϕ siα siϕ) f tgα η cos β ϕ cosα cosα cos β cosϕ si β siϕ f tgβ ( ) ( ) Queste espressioi o soo valide quado le reazioi soo discordi. BOZZA 5

26 .. Redieto della coppia elicoidale Sia α l icliazioe dell elica 4 edia (l itersezioe tra il filetto ed il cilidro coassiale co la vite e raggio r ), sia ϑ l agolo che le geeratrici dell elicoide forao co u piao orale all asse della vite e h sia il passo della vite. Ipotesi fodaetale: a) Il carico Q è assiale. b) Le diesioi assiali del filetto soo piccole, così da poter supporre ua distribuzioe di pressioe uifore lugo ua geeratrice. Pertato è lecito cosiderare, aziché forze per uita di superficie, forze per uità di liea (elica edia): p df dl Riferiaoci a rotazioe della vite di u agolo π, i codizioi di regie. Dal teorea delle forze vive: L L L M π Qh L r p p 4 Per defiizioe l elica è ua liea che si sviluppa su ua superficie cilidrica e che taglia le sue geeratrici co agolo costate. Ogi puto del filetto, el oto relativo vite-adrevite, descrive u elica. L itersezioe tra il filetto ed u cilidro coassiale alla vite è u elica. BOZZA 6

27 Qh Lp da cui M. π Per valutare L, facciao alcue cosiderazioi. p Sviluppiao su u piao il tratto percorso durate ua rotazioe u puto apparteete all elica edia. Notiao che taα h π r, etre la lughezza di tale tratto è h siα. Duque il lavoro L L hf p hf perduto è: Lp dl pdl siα siα, dove L è la lughezza della porzioe di elica edia O O iteressata al cotatto vite-adrevite. L itegrale che appare i questa forula, è facilete ricavabile dalla iposizioe dell equilibrio i direzioe assiale: L L L Q Q p cosγdl fpsiαdl p dl cosγ f siα O O O L fh Qh f Qh e duque: M Qh pdl Mo π siα π siα ( cosγ f siα). π Calcoliao il redieto: siα cosα f M o siαcosγ f si α cosγ cosα η M f si cos cos cos f α α γ α f ctgα siα( cosγ f siα) cosγ f tgα cosα η co f f si oti ϑ f f f ctgα cosγ Poedo ϕ arcta f f tg tg tg tg tg α tg ϕ η α α α α. tgα f tgα tgϕ tg ( α ϕ ) tg ( α ϕ ) Co il oto procedieto è iediato ricavare: η tgα BOZZA 7

28 Si oti che γ è deteriato ua volta fissati α e ϑ, difatti: si cosideri u puto P sull elica edia, la geeratrice dell elicoide, la tagete all elica edia e la azioe di pressioe passati di lì idividuao direzioi a due a due ortogoali. Poiao u riferieto co origie i P, asse z parallelo all asse della vite, asse x radiale ed y di cosegueza. Scopoiao i questa tera i versori che idividuao tali direzioi: T [ cosϑ si ϑ] (geeratrice) T [ cosα si α] (tagete) T 3 [ cos β cos β cos γ] (azioe di p.) 3 cosθ cosβ siθ cosγ ipoedo: 3 cosαcosβ siαcosγ 3 3 cos β cos β cos γ Dalla pria vale cos β cosγ taϑ, dalla secoda cos β cosγ taα ; itroducedo ella terza si ha ( ϑ tg ) / cosγ tg α. Se ϑ (viti a filetto rettagolare) α γ Se ϑ > γ > α. Assegati f, ϑ η η( α), il cui grafico o è, i teoria, facilete tracciabile poiché taα η dipede da α, ache traite la dipedeza di ϕ da α a se α è piccolo: ta( α ϕ ( α)) f f taϕ f cosα ta ϑ ta α si αsi ϑ cosϑ cosϑ, e duque si può assuere costate su α e iediataete calcolabili poiché f, ϑ soo assegati. taα A questo puto è facile tracciare il diagraa di ηα ( ) e vedere che ha u assio ta( α ϕ ) π ϕ per α. 4 Co la stessa ipotesi seplificativa è iediato costatare che il diagraa di η ( α) si ottiee da quello di η( α ), ritardadolo di u agolo ϕ. Dal diagraa si ota che η < per α < ϕ (vite irreversibile), così coe era iediato desuere dalla espressioe geerale di η. BOZZA 8

29 .. Cei alla teoria della lubrificazioe Le coppie cieatiche lubrificate soo coppie i cui viee di proposito iterposto del fluido opportuo tra gli eleeti cieatici. Cosideriao il oto di u fluido viscoso etro u volue (eato) i cui ua diesioe è olto iore delle altre due. Il volue è duque defiito, istate per istate, (visioe Euleriaa) da due fuzioi: y B y B (x,z) e y A y A (x,z). Le due superfici soo i oto rispetto al riferieto, e soo duque defiite su ogi puto delle due superfici le velocità: cb ub( xzi, ) vb( xz, ) j wb( xzk, ) c u( xzi, ) v( xz, ) j w( xzk, ) A A A A che soo assegate. Si ipotizza: il fluido è di Newto-Stokes 5, oogeeo, icopriibile e co viscosità costate. 5 U fluido si dice di Newto-Stokes se è caratterizzato dalla seguete relazioe tra sforzi τ ij e gradiete della velocità c (τ ij è la copoete sull asse di riferieto geerico x j della tesioe applicata alla faccetta fluida ortogoale all asse x i ): τ c c i j ij p δ µ ij ( ) ( c) ij xj xi 3 µ i δ ( i j). Si ricordi la defiizioeδij! ( i j) BOZZA 9

30 il oto è supposto laiare (ipotesi geeralete accettata data la sottigliezza dello spessore del eato e l elevata viscosità cieatica νµ/ρ - dove µ è la viscosità diaica o assoluta e ρ è la desità -, che riducoo il uero di Reyolds 6 ). Soo ote dalla fluidodiaica le equazioi di govero del oto di u fluido di Newto-Stokes a desità e viscosità costati: eq. cotiuità : i( c) () dc eq. quatità di oto : ρ ρ F p µ c () dt dove c ui v j wk è la velocità, p la pressioe, F è il capo di forze di assa e l operatore i j k. x y z Scriviao le equazioi per copoeti: u v w () x y z e seplificado dalla secoda, per le ipotesi fatte, le forze di ierzia e trascurado le forze gravitazioali - quelle di assa: p u u u µ ( ) x x y z p v v v () µ ( ) y x y z p w w w µ ( ) z x y z Da cosiderazioi sugli ordii di gradezza (si veda ad esepio la teoria dello strato liite) è possibile ostrare che è lecito trascurare la derivata parziale della pressioe rispetto a y e le derivate secode delle copoeti di velocità rispetto a x e z. I defiitiva le equazioi di govero del oto del fluido si possoo scrivere: u v w () x y z p u µ x y p (). y p w µ z y Queste equazioi, opportuaete cobiate, coducoo ad ua uica equazioe alle derivate parziali, detta equazioe geeralizzata di Reyolds, la cui risoluzioe perette di cooscere il coportaeto di u gra uero di coppie cieatiche lubrificate. Per la sua effettiva deteriazioe si riada a testi specializzati. Vediao, ivece, di applicare la () e la (), ella loro ultia fora, per studiare alcui casi particolari. 6 Per l espressioe si riada a testi specializzati, si sappia che fisicaete è u uero che esprie il rapporto tra il peso delle forze di ierzia ed il peso delle forze d attrito viscoso. La sua trasizioe verso elevati valori coporta il passaggio da regie laiare a regie turboleto. BOZZA 3

31 ... Slitta cilidrica ifiitaete luga su superficie piaa Il ebro A è solidale al riferieto oxyz e deliitato da ua superficie cilidrica co le geeratrici ortogoali al foglio; per seplicità suppoiao A fisso, etre il ebro B, deliitato da ua superficie piaa, trasla co velocità Ui. Suppoiao gli eleeti cieatici ifiitaete lughi i direzioe z. è evidete che co questa posizioe il problea diviee bidiesioale, ossia tutte le gradezze o dipedoo dalla coordiata z. I particolare si ha pp(x) e dalla pria di () abbiao: u dp dp u y cy c y µ dx µ dx a vale che, detta h l altezza del eato: u-u per y e u per yh. Ipoedo queste due codizioi, si trova che: c U dp y U dp c h u y( y h) U( ) : h µ dx µ dx h Dobbiao acora utilizzare l equazioe della cotiuità, u v div c. x y Dal teorea della divergeza 7 cosegue che questa equazioe ipoe che la portata voluetrica i direzioe x per uità di profodità q x (x) o dipeda dalla sezioe x alla quale la isuro: h( x) dqx d ( x) u( x, y) dy dx dx. Dai calcoli eerge che: h( x) h( x) h dp y dp y y y qx ( x) u( x, y) dy ( y yh) U( ) dy h U y µ dx h µ dx 3 h 3 dp h dqx d 3 dp U dh qx ( x) h U ( x) h dx dx dx dx dx h Ipoedo l ultia espressioe uguale a zero si trova: 7 V div c dv c da V BOZZA 3

32 d 3 dp dh h U 6µ dx dx dx (è ua fora particolare della equazioe di Reyolds). d dp dh dp dh dp 6 U c Duque si ha: µ µ µ dx dx dx dx dx dx h h x x itegrado 8 tra e x: p( x) p() 6µ U dx c dx 3 h h (p()p a e p(a)p a ), si trova: 3 3 h 6 U h 6 U dx c 3 ; Si ottiee il capo di sovrapressioe (rispetto alla p. atosferica): e sfruttado le codizioi al cotoro a a dx h pa ( ) p() pa pa 6µ U dx c dx c 3 6µ U. a h h dx 3 h x x * 3 h h p( x) p 6µ U dx 6µ Uh dx a a * h h * rappreseta fisicaete l altezza del eato corrispodete ad u puto di stazioarietà (i * dp h h particolare u puto di assio) delle pressioi: difatti 6µ U * 3 si aulla per x x, dx h tale che h(x * )h *. Si può diostrare che il capo di sovrapressioi è ovuque positivo se h(x) è ua fuzioe crescete. Calcoliao la risultate per uità di profodità - delle sovrapressioi che agiscoo su B: B a ( ( ) ) P p x p dx a Ovviaete la forza risultate per uità di lughezza che verrà applicata i direzioe verticale al ebro A sarà vettorialete opposta alla P B e co la stessa retta d azioe. Deteriiao proprio la retta d azioe della P B, idividuado la sua eccetricità e rispetto alla ezzeria: 8 Da u puto di vista di foraliso ateatico, l itegrale adrebbe scritto utilizzado ua variabile uta diversa da x, visto che questo è ache u estreo di itegrazioe l iportate è capirsi!! BOZZA 3

33 a a PB e x( p( x) pa) dx ; le azioi tageziali ageti su B valgoo: u v τ yz ; τ ; y yx µ y y x y y v Ricordado che la copoete v è ovuque ulla per y ( ) e sostituedo l espressioe di x y u: * * τ µ dp U dp U h h U 4h 3h yx yy ( h) y h h6 U U y 3 y dx h µ dx h µ µ µ µ µ h h µ h y e duque le azioi tageziali dao risultate (per uità di profodità): a * 4h 3h TB µ U dx h. Si hao casi particolari a secoda della fora di h(x). Cosideriao il caso i cui ache il pattio è deliitato da ua superficie piaa (a o parallela all altro eleeto!...vedreo dopo che questa codizioe è ipropoibile): hh hh h( x) h x h( x) poedo Co tale posizioe, si ha: a a h a x * a h h h a dx dx 3 x a Calcoli altrettato seplici perettoo di trovare il valore della sovrapressioe i ciascu puto del eato. Successivaete possiao deteriare l itesità della portaza, la sua retta d azioe, la resisteza dovuta agli attriti viscosi. I risultati cui si perviee soo i segueti: BOZZA 33

34 6µ Ua x x x x x p( x) pa k(, ) dove k(, ) ( ) h a a a a a a PB 6 µ U ( ) dove ( ) l( ) h ψ ψ ( ) a 4 6 TB µ U ϑ( ) dove ϑ( ) l( ) h ( ) [ 6( )]l( ) 3 ( ) e aε( ) dove ε( ) [( )l( ) ] µ U ϑ( ) Si defiisce coefficiete d attrito ft B /P B e si trova che vale λ( ) dove λ( ). PB 6 ψ( ) Nella figura successiva, a siistra è riportato l adaeto del fattore diesioale k(, x/a) i fuzioe di x/a, per diversi valori del paraetro, etre a destra soo tracciate le fuzioi λ, ε, ψ, θ rispetto ad. È evidete l opportuità che sia prossio ad, ifatti per ell itoro di è elevata la capacità portate e basso il coefficiete d attrito. Si oti che i caso di facce piae parallele, è ullo, così coe ulla è la portaza che e segue! I alcui casi applicativi lo schea sopra riportato deve essere odificato ipoedo al pattio o più la possibilità di traslare i direzioe ortogoale al piao (pattio ad icliazioe fissa), besì la possibilità di potersi orietare, ruotado attoro ad u puto fisso O, così coe evideziato i ella figura sottostate (pattio oscillate). Per l equilibrio dell isiee eato-slitta, è evidete che la liea d azioe della portaza dovrà passare per O. Fissare la retta d azioe vuol dire fissare l eccetricità e duque fissare ε: i defiitiva è fissato, e duque soo fissati, per costruzioe, ache tutti i paraetri adiesioali BOZZA 34

35 sopra esposti, ed è facile dedurre il coportaeto della coppia lubrificata al variare delle codizioi di ipiego; ad esepio fissata ψ si ha ua relazioe tra h, a, P B,µ ed U. Traite questa relazioe si può verificare che l altezza h sia sepre aggiore di ua data soglia (dipedete da errori di plaarità delle superfici deliitati il eato e la loro rugosità), tale che sia evitato il cotatto diretto tra le asperità delle superfici stesse. Si oti ifie che il puto O o può essere esso i ezzeria, poiché i diagrai ci ostrao che i tal caso la portaza è zero. È da rilevare, ifie, che é il pattio ad icliazioe fissa é il pattio ad icliazioe obile possoo essere utilizzati coteporaeaete ei due sesi di oto del ebro B. Difatti se il pattio è ad icliazioe fissa, etre i u seso di oto esso è caratterizzato da profilo crescete, ell altro è caratterizzato da profilo decrescete (e seguirebbe u capo di sovrapressioi egative!); se il pattio è orietabile, etre i u seso è ad eccetricità positiva, ell altro è ad eccetricità egativa (e seguirebbe ua portaza egativa!). Il caso pattio su superficie scheatizza casi applicativi frequeti, coe quelli rappresetati da cuscietti reggispita (ad icliazioe fissa o variabile) riportati ella seguete figura. Ovviaete ad essi o si può applicare brutalete la teoria sopra esposta, per l evidete isoddisfazioe di ipotesi fodaetali, pria tra tutte la ifiità profodità della coppia cieatica. Esistoo i letteratura tecica dei coefficieti correttivi che perettoo di estedere la validità dei risultati otteuti i precedeza alle coppie di larghezza fiita. Fio adesso abbiao studiato il caso i cui ua portaza asce i cosegueza del oto relativo tra i due ebri (sostetazioe fluidodiaica). Studiao adesso u caso di coppia lubrificata a sostetazioe fluidostatica (o forzata), i cui la capacità portate è cosegueza dell alietazioe estera di lubrificate i pressioe el eato. Cuscietto reggispita a lubrificazioe forzata Iazitutto riscriviao le equazioi () a pagia 8 i coordiate cilidriche (r, θ, y): BOZZA 35

36 p vr µ r y p dove c v r ir v i v θ θ y iy y velocità velocità velocità radiale tageziale assiale p v θ µ r θ y Toriao al caso del pero di spita che ruota co velocità agolare ω, e, coe si vede dalla sezioe riportata ella seguete figura, porta all estreità ua parete piaa, ortogoale all asse dell albero, liitata da due raggi R ed R. Attraverso u foro, viee iviato lubrificate sotto pressioe etro u pozzetto di raggio R ricavato ell estreità dell albero. Il lubrificate viee alietato co pressioe p costate a ezzo di u circuito idraulico o visibile i figura. Attraverso il foro di alietazioe di piccolo diaetro, la pressioe del lubrificate cade dal valore p, all igresso del forellio, al valore p etro il pozzetto. Cosiderazioi di sietria assiale (pp(r)) perettoo di scrivere: p v r p vθ µ ; ; µ r y y y Dalla terza abbiao che vθ c(, r θ ) y c(, r θ ), a ipoedo le codizioi al bordo: v ev r ωr θ y θ ω, si ha: v y. y h θ h Dalla pria equazioe abbiao: vr p dp vr dp y c (, r θ ) y µ r µ dr y µ dr dp vr y c(, r θ) y c(, r θ) µ dr Ipoedo le codizioi al bordo (velocità radiale ulla per y e yh), si deteriao facilete c e c. Si ottiee: dp v r y( y h) µ dr. Dobbiao utilizzare acora l equazioe di cotiuità, che, coe già visto, esprie la coservazioe della assa. Per u fluido icopriibile essa iplica che la portata voluetrica etrate i u certo volue di cotrollo deve eguagliare la portata uscete. Se prediao coe volue di cotrollo u cilidro coassiale al pero, dobbiao iporre che la portata voluetrica uscete dalla superficie laterale eguagli la portata Q etrate dal foro di adduzioe. BOZZA 36

37 h h dp π r dp 3 Q c da ( vrir vθi θ) da vrir da vr πrdy y( y h)πrdy h µ dr 6µ dr Sup. lat. Sup. lat. Sup. lat. Da cui: dp 6 Q 6 Q p() r lr C 3 3 dr µ µ πrh πh, a p(r)p a per r R da cui 6µ Q C pa l R, per cui il 3 π h capo di sovrapressioi ha il seguete adaeto: 6µ Q R pr () pa l 3 π h r. Si oti che questa relazioe è valida solo per r [ R, R ], a o per r [, R ], perché detro il pozzetto o valgoo più alcue ipotesi fodaetali. Detro il pozzetto la pressioe p si può riteere approssiativaete costate e, per cotiuità, uguale a p(r ) che ricavo dalla relazioe di cui sopra. I defiitiva vale che: 6µ Q R l [ 3 per r R, R] π h r pr () pa 6µ Q R l per r [, R 3 ] π h R Il carico P sopportabile dal pero, per effetto del capo di sovrapressioi, è: R R π R R ( pr () pa) πrdr ( p pa) πr ( pr () pa) πrdr ( p pa). R R l R Per il calcolo del oeto ecessario a ateere i oto uifore il pero, si possoo trascurare le azioi tageziali all itero del pozzetto (dove è piccola la velocità del fluido): R 4 4 vθ rω πω R R τ θ µ µ M πrτ θrdr µ y h. h R. I problei di statica Co problei di statica si itede ua serie di problei legati alla idividuazioe delle forze che ategoo u deteriato corpo o sistea di corpi rigidi ella loro posizioe di equilibrio. Alcui problei possoo cosistere ella deteriazioe delle reazioi vicolari i u corpo co (zero) gradi di libertà sottoposto a forze ote (a tali problei sarao affrotati più approfoditaete el corso di Scieza delle Costruzioi). La aggior parte dei problei di eccaica applicata cosisterà ivece el deteriare l apiezza di ua forza (o di u oeto), di cui è ota la retta di applicazioe, i aiera che l itero eccaiso, teoricaete labile (co aleo u grado di libertà), possa trovarsi i codizioi di equilibrio. Co problei di cietostatica si itede ivece idicare quella serie di problei che richiedoo l idividuazioe delle forze o oeti i grado di ateere u deteriato corpo o sistea di corpi rigidi i oto co velocità costate. Se ifatti la velocità riae costate, l accelerazioe è BOZZA 37

38 ulla coe le forze di ierzia, e le equazioi cardiali della statica e della diaica vao a coicidere. Per la risoluzioe di tali problei adottereo esclusivaete la via grafica teedo coto che ua forza può essere cosiderata u vettore. Dire l itero eccaiso è i equilibrio coporta che ogi sigolo ebro deve essere i e R equilibrio, per ciascu corpo devoo valere le equazioi cardiali della statica e M Poiché verrao affrotati esclusivaete sistei piai, le equazioi cardiali, ua volta scelto u adeguato sistea di riferieto co assi x e y sul piao del oto (e asse z orale ad esso), si riducoo alle sole equazioi scalari: equilibrio alla traslazioe ella direzioe x; equilibrio alla traslazioe ella direzioe y; equilibrio alla rotazioe (attoro alla direzioe z) rispetto ad u polo geerico. Queste tre equazioi devoo essere coteporaeaete verificate affiché u corpo possa dirsi i equilibrio. Vale la pea di ricordare che el caso dei corpi rigidi le forze possoo essere traslate lugo la propria direzioe seza deteriare variazioi ella soluzioe del problea. La traslazioe i direzioe parallela (alla direzioe della forza stessa) dovrebbe essere copesata dall itroduzioe di u oeto co le segueti caratteristiche: odulo pari al prodotto del odulo della forza e della distaza tra le due rette di azioe (tra quella origiale e quella successiva alla traslazioe); verso opposto a quello del oeto geerato dalla forza traslata calcolato rispetto ad u qualsiasi puto apparteete alla retta della direzioe origiale. Poiché l itroduzioe di tale coppia di copesazioe risulta spesso di difficile copresioe, ei problei che verrao affrotati i seguito le forze sarao uicaete traslate lugo la loro direzioe. Nei segueti problei cosiderereo solo corpi o sistei di corpi rigidi collegati tra loro traite coppie ideali (prive di attrito). Si ricorda ifie che ei problei di statica la fora dei corpi rigidi o iflueza i alcu odo la soluzioe. Se le forze applicate al corpo e il tipo e le posizioi dei vicoli soo le edesie, il fatto che u corpo rigido sia u asta, ua patata, ua sfera o assua ua qualsiasi altra fora geoetrica (regolare oppure o) o ha la iia iportaza... Corpo rigido sottoposto ad ua forza o u coppia! U corpo sottoposto ad ua sola forza o coppia o ulle o può ai essere i equilibrio : se fosse sottoposto ad ua uica forza diversa da zero, la pria equazioe cardiale (equilibrio alla traslazioe) o potrebbe essere verificata. Neache la secoda equazioe cardiale (equilibrio alla rotazioe) sarebbe soddisfatta se coe polo per il calcolo dei oeti si scegliesse u qualsiasi puto o apparteete alla retta di azioe della forza; se fosse sottoposto ad u oeto diverso da zero, la pria equazioe cardiale (equilibrio alla traslazioe) sarebbe verificata, a la secoda (equilibrio alla rotazioe) o sarebbe ovviaete soddisfatta. BOZZA 38

39 F M y y x x.. Corpo rigido sottoposto a due forze Se u corpo rigido è sottoposto SOLO a due forze, codizioe ecessaria e sufficiete perché esso sia i equilibrio è che le due forze costituiscao ua coppia di braccio ullo, le due forze devoo cioè avere lo stesso odulo, la stessa direzioe e verso opposto. P F y F -F x Ovviaete è verificata la pria equazioe cardiale della statica: e R F F F ( F). Ache la secoda equazioe cardiale della statica è verificata e () () M o M o M o F ( P ) F ( P ) ifatti se coe polo O si sceglie u puto apparteete alla retta di azioe delle due forze, etrabe le forze hao rispetto ad esso oeto ullo, essedo ullo il braccio b delle due forze; se coe polo O si sceglie u puto o apparteete alla retta di azioe delle due forze, etrabe le forze hao rispetto tale polo il edesio braccio b, foriscoo oeti opposti. Quidi se u corpo è sottoposto a due sole forze: se si coosce copletaete ua delle due forze (odulo, direzioe, verso e retta di applicazioe), si può autoaticaete cooscere ache l altra (uguale i odulo, direzioe e retta di applicazioe a co verso opposto); se o si coosce essua delle due forze a si cooscoo i due puti di applicazioe (siao P e P ) (situazioe che accade spesso i corrispodeza selle coppie rotoidali), è chiaro che la direzioe e la retta di applicazioe sarao facilete idetificabili ella retta che cotiee il segeto P P..3. Corpo rigido sottoposto a due forze e u oeto estero Se u corpo rigido è sottoposto a due forze ed u oeto estero, codizioe ecessaria perché sia soddisfatta la pria equazioe cardiale della statica è che le due forze costituiscao ua coppia: e R F F F ( F) BOZZA 39 P

40 Affiché sia soddisfatta la pria equazioe cardiale della statica, il oeto geerato dalla coppia (il cui di odulo sarà pari al prodotto del odulo di ua qualsiasi delle due forze per il braccio idipedete dal polo O), dovrà equilibrare il oeto estero M. e () () M o M o M o M F ( P ) F ( P ) M e ache F b M co b b -b, i odulo F F M/b M F -F F y b x O b b Ache cabiado la posizioe del polo O il valore della coppia delle due forze o cabia poiché la loro risultate è ulla. Se viceversa la risultate delle forze estere o fosse stata ulla, al variare del polo (se da O si spostasse O ) il valore del loro oeto varierebbe coe il prodotto tra la risultate delle forze e la distaza tra i due poli calcolata i direzioe orale alla risultate R (OH ). L equazioe vettoriale dei oeti diveta, facedo riferieto alla figura seguete: ( e) ( e) M M R OH. o' o F 3 R F y F x O H I pratica si ha che se la pria equazioe cardiale della statica è verificata e se si verifica la secoda per u particolare polo O, allora la secoda equazioe cardiale della statica sarà verificata ache rispetto ad ogi polo O O. Quidi, per u sistea così sollecitato: Se si coosce copletaete ua forza (sia F ) e il oeto estero M, si ricavao subito odulo direzioe e verso dell altra forza (sia F, che avrà stesso odulo e direzioe a verso opposto). La retta di applicazioe della secoda sarà parallela a quella della pria e a distaza b pari al rapporto dei oduli del oeto estero e delle forze (bm/f ). Tra le due rette di azioe che soddisfao tale codizioe si sceglie quella che cosete di realizzare l equilibrio alla rotazioe del corpo. Se si coosce copletaete oeto estero M, e siao oti i puti di applicazioe delle due forze uitaete alla direzioe di ua di loro il problea è couque facilete risolvibile. Dovedo le due forze essere equilibrate, allora dovrao costituire ua coppia (e quidi le due direzioi sarao le edesie). Cooscedo i due puti di applicazioe, si idividuao quidi ache le rette di azioe. Dalla coosceza del oeto M e del braccio O BOZZA 4

41 b delle due rette di azioe appea idetificate si trova subito il odulo coue delle due forze pari al rapporto tra oeto applicato e braccio (F F M/b). Riae da idividuare i versi delle due forze, a questa è ua operazioe olto seplice i quato basta fare i odo che la coppia geerata dalle due forze sia opposta al oeto applicato..4. Corpo rigido sottoposto a tre forze Se u corpo rigido è sottoposto a tre forze, codizioe ecessaria perché la risultate delle forze sia ulla è che si chiuda il cosiddetto triagolo delle forze. I pratica deve verificarsi ache graficaete la seguete relazioe: e R F F F3. Per verificare tale relazioe basta predere ua qualsiasi delle tre forze (sia F ), traslare ua secoda forza (sia F ) fio a portare la sua origie sul vertice della pria; si trasla poi il ache la terza forza (sia F 3 ) fio a portare la sua origie sul vertice della secoda precedeteete traslata. Se l origie del vettore rappresetate la pria forza (F ) e il vertice del terzo (F 3 ) coicidoo, le tre forze hao costruito u triagolo (e più i geerale ua figura geoetrica chiusa). I questo caso il sistea di forze ha risultate ulla, e quidi è soddisfatta la pria equazioe cardiale della statica. O F F F y F 3 F 3 x F R Si diostra ioltre che codizioe ecessaria perché il oeto risultate sia ullo (che diveta ache codizioe sufficiete se si è già verificata la costruzioe del triagolo delle forze) è che le forze devoo essere icideti i u uico puto 9 O. Ifatti se tutte e tre le forze passao per lo stesso puto O, è evidete che rispetto ad esso hao tutte oeto ullo per cui la secoda equazioe cardiale della statica sarebbe baalete verificata. Al cotrario, se per assurdo le tre le forze o passassero per lo stesso puto, basterebbe osservare che rispetto al polo O, puto di icotro tra le rette di applicazioe di due forze (siao F e F ), il oeto della terza forza (F 3 ) è o ullo. Ache il oeto risultate delle tre forze rispetto ad O, sarebbe duque o ullo; quidi rispetto a O la secoda equazioe cardiale della statica o sarebbe verificata ed il corpo o potrebbe quidi essere i equilibrio. 9 Il puto O può essere ache iproprio, el qual caso si avrebbe che le tre forze sarebbero parallele, e il triagolo delle forze degeererebbe i tre segeti allieati sulla stessa retta. BOZZA 4

42 O F y F 3 x F Soo olti i casi applicativi i cui si avrà a che fare co u corpo sottoposto a tre forze, e olte le cosiderazioi che potrebbero essere tratte dalle regole pratiche su idicate (triagolo delle forze e icideza delle rette di azioe). No si ritiee é utile é facile trattare estesivaete e i via teorica tutti i casi applicativi coessi a tale schea (di cui peraltro si farà largo uso egli esercizi, svolti e proposti ache durate le lezioi). Tuttavia il caso più ricorrete sarà quello i cui delle tre forze: ua (sia F ) è copletaete ota; di u altra (sia F ) è ota la retta di azioe; dell ultia (sia F 3 ) è oto il puto di applicazioe. I questo caso si prosegue coe segue:. deve dappria essere idividuata la retta di azioe della terza forza F 3. Per fare ciò si prolugao le rette di azioe delle forze F e F fio a che si icotrao i u puto O. Per l equilibrio ai oeti ache la forza F 3 dovrà passare per O e, essedo già era oto il puto di applicazioe P 3, la retta di applicazioe passa per i puti P 3 e O. y dir F O dir F x F P 3 dir F (appl F 3 ). trovate le tre rette di azioe è ecessario chiudere il triagolo delle forze. Si parte dalla forza ota F e si trasla sul vertice la retta di azioe di ua forza (sia F ) e sull origie la retta di azioe dell altra (sia F ). BOZZA 4

43 y dir F O dir F F x F dir F 3 dir F P 3 dir F (appl F 3 ) 3. Per chiudere il triagolo bisoga fare i odo che la soa vettoriale F F F3 sia pari a zero quidi bisogerà fare i odo che il vertice di ciascu vettore coicida co l origie di u altro (i vettori devoo ordersi la coda ) ed ioltre il vertice della forza F 3 deve coicidere co l origie di F. F F F 3 dir F 3 dir F.5. Corpo rigido sottoposto a tre forze ed u oeto Se u corpo rigido è sottoposto a tre forze ed u oeto, è chiaro che NON potrà essere i equilibrio se le tre forze soo icideti. La tecica che si usa è di solito quella di soare due delle tre forze e ridursi ad u caso più seplice e già oto (Caso 3). M O F F y F F b F F F dir F 3 x F F 3 dir F Ache i questo caso soo olti i casi applicativi i cui si potrebbe avere a che fare, e quidi o verrao trattati tutti gli aspetti ad esso coessi, tuttavia u caso abbastaza ricorrete è quello che segue: Il oeto M è copletaete oto; ua forza (sia F ) è copletaete ota; BOZZA 43

44 di ua forza (sia F ) sia ota la retta di azioe; dell altra forza (sia F 3 ) sia ota la direzioe. I questo caso si prosegue coe segue:. Poiché le direzioi soo già ote è sufficiete trovare i oduli, i versi e la retta di azioe della F 3. Se la forza F è ota, allora per l equilibrio alla traslazioe la soa (F F ) dovrà forire u vettore opposto alla F 3 (ovvero ache F F F3 ). Calcolado questo triagolo delle forze (si può fare visto che si cooscoo tutte le direzioi, e odulo e verso di ua delle forze) si possoo calcolare oduli e versi di tutte le forze M O F F F F b F F F -F 3 y F x F 3 Mb F 3. Rispetto al puto O, dove si può pesare applicata la soa (F F ), le due forze hao oeto ullo quidi sarà il oeto della forza F 3 a dover equilibrare il oeto applicato M. Da questa osservazioe si ricava il braccio b della forza F 3 e quidi la sua retta di azioe..6. Corpo rigido sottoposto quattro forze Se u corpo rigido è sottoposto a quattro forze, è chiaro che NON si potrà usare la tecica del triagolo delle forze. Si potrà couque utilizzare l artificio di soare le forze a due a due per ridursi al caso più seplice possibile: quello di u corpo sottoposto a due sole forze. Si ricorda che della soa di due forze di cui sia ota la sola retta di azioe o si può cooscere a priori praticaete ulla (odulo, direzioe, verso), trae che idividuare uo dei puti della sua retta di azioe (che quidi può essere preso coe puto di applicazioe della soa): tale puto è dato dall itersezioe delle rette di azioe delle rette che si vao a soare. dir (F 3 F 4 ) y O O dir (F F ) x dir F 3 F dir F 4 dir F Tra i vari casi, sicuraete il più ricorrete è quello i cui: Tale puto può essere ache iproprio, tale caso si verifica quado le rette soo tra loro parallele. BOZZA 44

45 ua forza (sia F ) è copletaete ota; delle altre forze (siao F, F 3 e F 4 ) sia ota la retta di azioe. dir (F 3 F 4 ) F F O dir (F F ) F 3 F 4 O F dir F 3 y dir F 4 dir F F 4 F 3 x F 3 F 4 I questo caso si prosegue coe segue:. Si prolugao le rette di azioe di F e F fio ad icotrare il puto di itersezioe O i cui può pesarsi applicata la loro soa;. Si prolugao le rette di azioe di F 3 e F 4 fio ad icotrare il puto di itersezioe O i cui può pesarsi applicata la loro soa; 3. Il sistea di quattro forze si è ridotto alle due forze (F F ) e (F 3 F 4 ), di cui si coosce il puto di applicazioe. Poiché due forze per farsi equilibrio devoo costituire ua coppia di braccio ullo, uedo i puti O e O si ottiee la direzioe della retta di azioe coue alle due forze (F F ) e (F 3 F 4 ); 4. Basta a questo puto chiudere i due triagoli delle forze che corrispodoo alle due segueti relazioi vettoriali, ciascua coteete 3 terii: F F (F 3 F 4 ); (F F )F 3 F 4 ; 5. Si iizia dalla relazioe F F (F 3 F 4 ), di cui si coosce copletaete u terie e le rette di azioe degli altri, co cui si può costruire u triagolo da cui ricavare il terie (F 3 F 4 ); 6. Idividuato quidi il terie (F 3 F 4 ) basta trovare le due forze F 3 e F 4, ote i direzioe, la cui soa è pari il terie già ricavato al puto precedete. BOZZA 45

46 .7. La ruota ella locoozioe.7.. Ruota trasciata ω ω F F ρ C F F F a) δ b) Figura : Ruota trasciata, a) caso ideale, b) caso reale. Sulla ruota agiscoo due sole forze: o la reazioe F che il veicolo applica alla ruota (corpo ), ella coppia rotoidale co asse passate per il puto C e ortogoale al piao della figura; o la forza di cotatto F. Affiché u corpo, sotto l azioe di due sole forze, sia i equilibrio è ecessario che queste due forze abbiao la stessa retta d azioe, lo stesso odulo e verso opposto. o La forza F i codizioi ideali passa per l asse di rotazioe della coppia rotoidale, i codizioi reali però, a causa dell attrito, sarà tagete a ua circofereza co cetro i C e raggio ρ r siϕ (circolo d attrito, r è il raggio del pero e φ l agolo d attrito). o La forza F i codizioi ideali passa per il puto di cotatto geoetrico tra ruota e strada, i codizioi reali, a causa della o perfetta deforabilità dei ateriali, il puto di applicazioe sarà spostato rispetto al puto di cotatto geoetrico di ua quatità δ (paraetro di attrito volvete). Utilizzado queste iforazioi è possibile deteriare la direzioe delle forze scabiate (vedi figura). F F F t Figura : Copoete orale e tageziale della forza di cotatto. BOZZA 46

47 La forza di cotatto F può essere scoposta i ua copoete orale F e ua tageziale F t F t. Se il rapporto tra le due copoeti è iferiore al coefficiete di attrito statico f s la ruota F rotola seza sulla strada, viceversa se Riassuedo: F t o < f F o F F t > f s s la ruota o slitta; la ruota slitta..7.. Ruota trasciata F F t > f s la ruota slitta. ω ω C C ρ C F b F F b F δ a) b) Figura 3: Ruota otrice, a) caso ideale, b) caso reale. Sulla ruota agiscoo due forze e ua coppia: o la reazioe F che il veicolo applica alla ruota (corpo ), ella coppia rotoidale co asse passate per il puto C e ortogoale al piao della figura; o la forza di cotatto F ; o la coppia otrice C. Ache i questo caso si possoo fare le segueti cosiderazioi per deteriare le direzioi delle due forze: o La forza F i codizioi ideali passa per l asse di rotazioe della coppia rotoidale, i codizioi reali però, a causa dell attrito, sarà tagete a ua circofereza co cetro i C e raggio ρ r siϕ (circolo d attrito, r è il raggio del pero e φ l agolo d attrito). o La forza F i codizioi ideali passa per il puto di cotatto geoetrico tra ruota e strada, i codizioi reali, a causa della o perfetta deforabilità dei ateriali, il puto di applicazioe sarà spostato rispetto al puto di cotatto geoetrico di ua quatità δ (paraetro di attrito volvete). Affiché la ruota sia i equilibrio è ecessario che sia verificata la seguete uguagliaza: C F b BOZZA 47

48 F F Figura 4: Copoete orale e tageziale della forza di cotatto. Ache i questo caso, F t o se < f s la ruota o slitta; F o se F F t > f s la ruota slitta Ruota freata F t ω ω C f C f b C b ρ F F F F δ a) b) Figura 5: Ruota freata, a) caso ideale, b) caso reale. Sulla ruota agiscoo due forze e ua coppia: o la reazioe F che il veicolo applica alla ruota (corpo ), ella coppia rotoidale co asse passate per il puto C e ortogoale al piao della figura; o la forza di cotatto F ; o la coppia freate C f. Per defiire le direzioi delle due forze si possoo fare le stesse cosiderazioi viste per la ruota traiata e otrice. Affiché la ruota sia i equilibrio è ecessario che sia verificata la seguete uguagliaza: C f F b BOZZA 48

49 .7.4. Esepio Si cosideri il veicolo riportato i figura 6. La ruota ateriore è trasciata, la ruota è otrice. Sul veicolo è applicata ua forza orale Q e ua forza tageziale T, el puto A del veicolo. Soo assegati per ciascua delle ruote i raggi dei corrispodeti circoli d attrito e il paraetro dell attrito volvete. È possibile deteriare facilete la risultate R delle forze Q e T. Direzioe del oto 3 T A R Q Figura 6: Dati dell esepio. Si aalizza l equilibrio del veicolo e delle due ruote. Il sistea è i equilibrio sotto l effetto di tre forze: la forza R e le due forze di cotatto F e F. La direzioe della F può essere deteriata, dato che la ruota è trasciata, i accordo a quato visto i precedeza. Per quato riguarda la F, a priori è oto solo il puto di applicazioe. La direzioe della F può però essere deteriata teedo coto del fatto che, per avere l equilibrio alla rotazioe del veicolo, è ecessario che le tre rette d azioe si itersechio i u puto (figura 7). Direzioe della F Direzioe della F Figura 7: Direzioi delle forze di cotatto. Ua volta deteriate le tre direzioi è possibile deteriare i oduli delle tre forze (figura 8). Cooscedo il odulo della F è ifie possibile deteriare il odulo della coppia otrice C (figura 9): C F b BOZZA 49

50 R F F F R F Figura 8: Calcolo delle forze di cotatto. ω C 3 F 3 b F δ Figura 9: Equilibrio della ruota otrice Esercizio La figura seguete rappreseta u otociclo i salita; aettiao trascurabile l ierzia delle ruote e del otociclista (tato è vero che è trasparete ); sia M la assa del telaio del otociclo, sia G il cetro di assa del telaio ed a l accelerazioe del sistea. Si deterii, i aiera grafica, la coppia otrice che è ecessario il telaio applichi alla ruota posteriore. BOZZA 5

51 Sul telaio, oltre alle forze vicolari ed alla reazioe alla coppia otrice, agirao le segueti forze estere: le forze reali di gravità equivaleti a Mg applicata i G; le forze di ierzia equivaleti a Ma applicata i G. Copoedo queste forze troviao la forza Q applicata i G. A questo puto il problea diviee statico. Risolviaolo pria el caso ideale, aullado le cause di perdita (attrito radete cietico, attrito volvete) e o l attrito adesivo che perette il rotolaeto ruota-strada!!. Idichiao co il pedice t il coplesso telaio-otociclista, p la ruota posteriore, a ruota ateriore, O la strada. Si oti che per l equilibrio della ruota ateriore è subito iediata la retta d azioe delle R oa e R ta che passa per il puto di cotatto teorico C a ed il cetro della ruota. Facedo u bilacio delle icogite è iediato costatare che è subito applicabile l equilibrio al sistea coplessivo (problea delle tre forze). Successivaete è facilete risolubile l equilibrio della ruota posteriore, da cui si deteria la coppia otrice M (estera alla ruota, a itera al sistea coplessivo!!) BOZZA 5

52 Risolviaolo adesso el caso reale. La procedura è aaloga al caso ideale. La differeza sta el fatto che le rette d azioe delle reazioi della strada sulle ruote passao per u puto spostato i avati di u rispetto ai puti di cotatto teorici e che le reazioi del telaio sulle ruote traite le coppie rotoidali devoo essere tageti ai circoli d attrito (si suppogoo uguali paraetri dell attrito volvete ed uguali circoli d attrito per le due ruote). Cosiderado l equilibrio della ruota ateriore, sottoposta a R oa e R ta, si ha ua iizialete ua duplice possibilità per la loro coue retta d azioe, subito chiarita rifacedosi al caso ideale e ricordado che la scelta opportua è quella per cui l attrito ostacola il oto. A questo puto è iediato fare l equilibrio del sistea coplessivo, ricavare R oa, e co questo, traite l equilibrio della ruota posteriore, ricavare la coppia otrice, evideteete più grade rispetto al caso ideale. BOZZA 5

53 3. Cetro di istataea rotazioe Cosideriao il oto piao istataeo di u corpo A idividuato da ua rotazioe co velocità agolare ω attoro ad u asse ortogoale al piao del oto e dalla traslazioe di u suo puto co velocità V P. La velocità di u qualuque puto S del piao è data dalla forula fodaetale dei oti rigidi: V S V P ω ( SP) Esiste u puto C sulla orale a V P codotta per P che ha velocità ulla, tale puto è chiaato cetro istataeo di rotazioe. Scrivedo la velocità di P rispetto a C si ha: V P ω ( PC) V P la distaza x tra P e C è data da x ω Se coosciao il puto di istataea rotazioe e la velocità agolare del oto rigido coosciao la direzioe della velocità i ciascu puto di u sistea eccaico. Ifatti V ω CS S Figura : Utilità del Cetro di Istataea Rotazioe Nota la velocità di puto P e il cetro istataeo di rotazioe è possibile deteriare la velocità di qualsiasi puto del corpo M, vedi figura. La deteriazioe del cetro di istataea rotazioe è particolarete iteressate ello studio dei sistei articolati, per il calcolo delle velocità e il tracciaeto delle traiettorie. I particolare se si vuole studiare il oto di u ebro rispetto ad u altro è opportuo idividuare il cetro di istataea rotazioe el oto relativo. 3.. Cetri di istataea rotazioe di u aovelliso di spita Coosciao le direzioi delle velocità del puto A (perpedicolare alla aovella) e del pistoe (traslazioe orizzotale). Pertato tracciado le orali alle direzioi delle velocità idicate per i puti A e B, il puto C 3 idividua il cetro di istataea rotazioe del oto relativo della biella itoro al telaio. BOZZA 53

54 Figura : Cetro di istataea rotazioe della biella del aovelliso di spita 3.. Cetri di istataea rotazioe del quadrilatero articolato Cosideriao u quadrilatero articolato coe quello rappresetato sotto. Si tratta di u dispositivo co grado di libertà. Figura : Cetro di istataea rotazioe della biella del quadrilatero articolato I puti O e O soo i cetri di rotazioe delle aste e 3. L'asta ha u oto di istataea rotazioe attoro al puto C 4 che è il cetro di rotazioe del ebro rispetto al ebro 4 (telaio), lo si trova sepliceete cosiderado che le traiettorie dei puti A e B della biella soo ortogoali ad O A e O B. I oto aalogo si può deteriare C 3 il cetro di istataea rotazioe del ebro 3 el suo oto rispetto al ebro. A proposito dell'utilità della deteriazioe del puto C 3 si osserva che etre il puto C 4, ha, ell'istate cosiderato velocità ulla, el puto C 3 la velocità relativa dei ebri e 3 è ulla. ω3 OC 3 3 ω OC 3 ω3 OC 3 da cui: ω OC 3 3 Noto C 3 si può deteriare il rapporto tra le velocità agolari dei ebri icerierati al telaio, tale rapporto è positivo, cioè le velocità di rotazioe soo cocordi, se il cetro di rotazioe è estero al segeto O O, etre è egativo, cioè le velocità soo discordi, se il cetro di rotazioe è itero al segeto O O BOZZA 54

55 3.3. Cetro di istataea rotazioe di due ruote detate Cosideriao u eccaiso forato da due ruote detate. Figura 3: Cetro di istataea rotazioe delle ruote detate Per trovare il cetro di istataea rotazioe del oto relativo, iagiiao di fissare la ruota e deteriiao C cioè il cetro del oto del ebro rispetto al ebro, che si trova el puto di itersezioe delle orali alle traiettorie dei puti O e M, ossia el puto di itersezioe della retta per O O co la orale i M ai profili coiugati. I particolare risulta: ω OC ω OC Ache i questo caso la coosceza di C perette di deteriare il rapporto tra le velocità (rapporto di trasissioe), essedo poi C itero a O O le velocità agolari soo discordi.! Si ricordi il teorea delle catee cieatiche, che risulta utile per lo studio dei oti rigidi piai : Nel oto piao di due corpi rigidi i e j idicado co C i : cetro d istataea rotazioe di i; C j cetro d istataea rotazioe di j; C ij cetro d istataea rotazioe relativa di i rispetto a j; C i C j C ij devoo essere allieati (i caso cotrario o è possibile oto relativo). BOZZA 55

56 4. Sistei articolati U sistea articolato è u eccaiso forato da u certo uero di ebri (aste) collegati fra loro da coppie eleetari. I sistei articolati possoo essere: piai: se gli assi di tutte le coppie soo paralleli fra loro. sferici: se gli assi di tutte le coppie soo icideti i puto. geerali: se gli assi delle coppie soo couque sghebi. Il ebro fisso costituisce il telaio. Se il eccaiso ha u solo grado di libertà sussiste la seguete relazioe: uero di coppie rotati a 4 a aste 4.. Quadrilatero articolato È il più seplice sistea articolato, possiede 4 coppie rotoidali e cosegueteete 4 aste. Sia AD il lato fisso (telaio); i lati adiaceti AB e CD si chiaao aovella o bilaciere a secoda che essi possao copiere u itera rotazioe attoro all asse della coppia che li collega al telaio, oppure copiao ua corsa liitata ad u settore. Il lato opposto al telaio prede il oe di biella (BC). B c C b d A a D Figura 4: Schea cieatico del quadrilatero articolato Il quadrilatero articolato è coueete usato per trasforare u oto rotatorio cotiuo (oveteaovella) i u oto rotatorio alterato (bilacierecedete). Regola di Grashof Idicate co a e b le lughezze dei lati aggiore e iore di u quadrilatero co c e d le lughezze degli altri due lati si calcolio le soe ab e cd. se: ab>cd il quadrilatero ha solo bilaceri; ab<cd il quadrilatero ha: o bilaceri se fuge da telaio il lato opposto al più corto; o aovelle se fuge da telaio u lato adiacete a quello più corto. abcd il quadrilatero diviee u parallelograo articolato e ha sepre due aovelle. BOZZA 56

57 4... Studio cieatico del quadrilatero articolato S V CB B C V C Figura 5: A V B ω Quadrilatero articolato: velocità dell asta AB D Dalla forula fodaetale dei oti rigidi poiché l asta AB ruota itoro ad A, la velocità del puto B risulta: V ω B A B ( ) di odulo V B ω BA Per procedere ella risoluzioe grafica utilizziao adesso la seguete covezioe:! rappresetiao le velocità a eo di ω e ruotate di π el seso del oto cosicché la velocità del puto B è rappresetata dal segeto orietato BA V B ( A B) ω Il puto C ruota itoro al puto D, la sua velocità sarà perciò diretta coe CD. Ioltre tale velocità può essere cosiderata ache coe la soa vettoriale tra la velocità del puto B e la velocità della biella itoro a B V C V B V CB, si può quidi scrivere. V C V B V CB ω ω ω La velocità reale di C rispetto a B è ortogoale al segeto BC, può essere quidi rappresetata co u vettore diretto coe BC. La precedete equazioe vettoriale può essere risolta graficaete coe riportato i figura 5: V V V CB ( B S); C ( A S); B ( A B) ; ω ω ω Aalogaete si procede per trovare la velocità di u puto rigidaete collegato alla biella. Ifatti si può scrivere la velocità di u qualsiasi puto P sia rispetto ad B sia rispetto C, cioè: V P V B V PB ; ω ω ω V P V C V PC ; ω ω ω La V PB ha la direzioe di PB, la V PC ha la direzioe del segeto PC; idicado co T l itersezioe tra la direzioe PB e la parallela a PC codotta per S, vedi figura 6, si ha: V V V PB ( B T); PC ( S T); P ( A T) ; ω ω ω BOZZA 57

58 P S V CB VPC T V P V C V PB V B B C Figura 6: A Quadrilatero articolato: velocità del puto P della biella BC D Passiao poi a deteriare le accelerazioi dei puti del quadrilatero. Suppoiao per seplicità che il oto della aovella sia uifore ( ω. ), l accelerazioe di B avrà perciò la sola copoete cetripeta: a ( ) B ω B A! Le accelerazioi si riportao scalate rispetto a ω, a i direzioe e verso reali. il vettore a B sarà quidi dato dal segeto orietato BA, cetripeto verso A. L accelerazioe del puto C è espriibile rispetto a B co: t ac ab acb acb La copoete orale VCB acb è ota, ha itesità acb, dato che il valore di V CB è oto, si CB SM idividua sulla biella il puto K tale che KB, co verso cetripeto da K a M. La PM copoete tageziale risulta perpedicolare i K a tale segeto. D altra parte l accelerazioe di C si può espriere ache rispetto al puto D co: t ac acd acd la copoete orale VCD a CD è ota e di itesità acd, rappresetata graficaete dal CD SA segeto orietato WA, la copoete tageziale è perpedicolare. CD Coe ostrato i figura 7 l accelerazioe di C è data dal segeto orietato JA. C W a CD a CD t a B B a C a CB D A Figura 7: Quadrilatero articolato: accelerazioe del puto C! Le velocità e le accelerazioi trovate e rappresetate soo quelle covezioali. K a CB t J BOZZA 58

59 4... Applicazioi del quadrilatero articolato il parallelograa articolato, ovvero u quadrilatero articolato co le aste opposte di egual lughezza e sepre parallele tra loro. Figura 8: BILANCIA Figura 9: LAMPADA soo due parallelograi accoppiati: così si possoo otteere ovieti i due direzioi (si hao due gradi di libertà) a il paralleliso del ovieto è sepre garatito. Per altri esepi: BOZZA 59

60 4.. Maovelliso di spita È u eccaiso coposto da 4 ebri (aovella, biella, corsoio, guida) collegati fra loro da 3 coppie rotoidale ed coppia prisatica. Se la traiettoria rettiliea di P passa per O il aovelliso si dice cetrato, altrieti si dice deviato. Serve per trasforare il oto rotatorio uifore della aovella i oto traslatorio alterato del pistoe (e viceversa!). Per capire l iportaza di questo sistea articolato è utile ricordare che i coui otori alterativi dei veicolo a due e quattro ruote sfruttao il cieatiso eleetare biella-aovella (oocilidrici, pluricilidrici;, 4 tepi). I questa applicazioe si ha la trasforazioe del oto alterato del pistoe, dovuto allo scoppio, i oto rotatorio dell albero collegato alla aovella. I copoeti predoo il oe: A cilidro B pistoe C biella D aovella Figura 3: Schea del aovelliso di spita cetrato 4... Aalisi cieatica- via grafica Il aovelliso può essere cosiderato ua derivazioe del quadrilatero articolato che si ottiee facedo tedere all ifiito la lughezza di ua delle due bielle. Ne cosegue che tutte le costruzioi geoetriche per lo studio cieatico del quadrilatero articolato soo acora valide. Utilizzado quidi le stesse covezioi, la velocità del puto, che vale i odulo VM ω ( M O), è rappresetata dal segeto orietato MO.! N.B. Per tutta la successiva trattazioe del aovelliso le velocità e le accelerazioi soo quelle CONVENZIONALI: La velocità di P può essere espressa ella fora V P V M V PM, poiché il pistoe trasla, la velocità V P i direzioe covezioale è ortogoale alla direzioe del oto del pistoe stesso. BOZZA 6

61 La velocità di P rispetto a M ha direzioe parallela al segeto PM, dell equazioe vettoriale quidi si coosce il vettore V M copletaete, le direzioi di V PM e di V P, la risoluzioe è ostrato i figura 3. V PM S M V M V P P ω O Figura 3: Maovelliso di spita: velocità di P La velocità di u puto qualsiasi T rigidaete collegato alla biella si trova scrivedoe l espressioe sia rispetto al puto M sia rispetto al puto P VT V M VTM; VT V P VTP; i odo del tutto aalogo a quato detto per il quadrilatero articolato, si idividua il puto di itersezioe tra le direzioi TM e TP e si risolvoo graficaete le due sistea equazioi vettoriali. T S M V PM V TM V TP P V M V T V P Figura 3: Maovelliso di spita: accelerazioe di P e T Proseguiao poi co la deteriazioe delle accelerazioi. Suppoiao che la velocità agolare della aovella sia costate (ω ), l accelerazioe di M avrà perciò la sola copoete cetripeta: a ( ) M ω M O ricordado che le accelerazioi si riportao scalate rispetto a ω, a i direzioe e verso reali il vettore a M sarà dato dal segeto orietato OM. Dato che l asta PM ruota co oto o uifore, l accelerazioe del puto P è: t ap am apm apm VPM La copoete orale apm è ota, ha itesità apm, dato che il valore di V PM è oto, si PM SM idividua sulla biella il puto K tale che KM, co verso cetripeto da K a M. PM Poiché il pistoe trasla orizzotalete, la sua accelerazioe è diretta lugo la direzioe PO, per idividuare il valore basta chiudere il poligoo delle accelerazioi coe ostrato i figura 33. BOZZA 6

62 a PM M K a M P Figura 33: a PM t J a P Maovelliso di spita: accelerazioi di P O 4... Espressioe aalitica della velocità e dell accelerazioe del pistoe Co le otazioi riportate ache ella successiva figura 34: s P : spostaeto del cursore a partire dal puto orto superiore; r : raggio di aovella; l: lughezza della biella; M g l r P f O PMS s P Figura 34: Schea cieatico per la deteriazioe aalitica della velocità del pistoe sp ( r l) lcosγ rcosϕ poiché: lsiγ rsiϕ r idicado co λ si ha: siγ λ siϕ l sp r( cosϕ ) l( λ si ϕ ) derivado rispetto al tepo si ottiee l espressioe della velocità del pistoe: ds g λ siθ cosθ λ si θ V rωsiθ ω rω si dt θ ( λ si θ) ( λ si θ) Teedo coto che il paraetro λ assue geeralete valori olto iori di.., si può trascurare l espressioe λ si ϕ rispetto a, si ha quidi l espressioe seplificata della velocità: λ V rω siθ si θ derivado di uovo, si ottiee l accelerazioe seplificata ds dv λ a rω ( cosθ λ cos θ) r ω siθ si θ dt dt che el caso di oto uifore si riduce a: BOZZA 6

63 ( cos cos ) a rω θ λ θ Esepi di applicazioe del aovelliso di spita Figura 35: Motore ducati testa stretta del Figura 36: Puto GT 4 cilidro i liea a quattro tepi Figura 37: Motore oocilidrico TEMPI Le figure soo riportate a titolo di esepio di applicazioe del cieatiso, e NON di fuzioaeto dei otori BOZZA 63

64 4.3. Statica del quadrilatero articolato e aovelliso di spita Bisoga adesso cosiderare le forze applicate (itere, estere) dalle quali o si può prescidere per deteriare la soluzioe costruttiva. Studiao adesso l equilibrio dei sigoli ebri sia el caso ideale sia el caso reale, prescidedo i etrabi i casi dalle forze di ierzia. Suppoiao ota la geoetria del sistea, ota la forza Q resistete e la direzioe della P otrice capace di equilibrare la Q, e il coefficiete d attrito f el caso reale. B C α β Q A D Figura 38: Agoli caratteristici del quadrilatero articolato Per l aalisi delle forze si procede teedo coto che, poiché l itero eccaiso deve essere i equilibrio, bisoga sia i equilibrio ogi sigolo ebro; e su ciascu ebro agirao le forze estere e le forze dovute all iterazioe co gli altri ebri. Per esepio sul ebro 3 agirao la forza estera Q, copletaete ota, la forza che il telaio () fa attraverso la ceriera i D R 3 di cui sappiao SOLO il puto d applicazioe, la forza che fa il ebro attraverso la ceriera i C R 3 di cui sappiao la direzioe, poiché l asta è scarica (o sottoposta a forze estere). Quato detto per il quadrilatero articolato vale per tutti i sistei articolati. Nelle figure 39 e 4 che seguoo soo riportate le risoluzioi grafiche del quadrilatero articolato e del aovelliso di spita, per le procedure si riada ai libri di testo e alle lezioi i aula.! N.B. Dire che ogi ebro è i equilibrio sigifica che devoo valere le equazioi cardiali e R della statica e M Si aulla il oeto ipoedo che le direzioi delle forze passio per lo stesso puto, e si aulla la risultate chiudedo il triagolo delle forze, prestado attezioe al fatto che le frecce devoo essere orietate ello stesso verso. BOZZA 64

65 Figura 39: Risoluzioe grafica del quadrilatero articolato Figura 4: Risoluzioe grafica del aovelliso di spita BOZZA 65

66 5. Meccaisi co sagoe e cae La catea cieatica più seplice che cotega coppie superiori è forata da tre ebri e da tre coppie cieatiche; tali coppie cieatiche oltre a quella superiore possoo essere abedue prisatiche, abedue rotoidali, ua prisatica e ua rotoidale. puteria puteria bilaciere sagoa a) caa b) caa c) Figura 4: Schei dei eccaisi: a) sagoa-puteria b) caa-puteria c) caabilacere Questi eccaisi realizzao ua deteriata legge di oto ediate il cotatto fra superfici coiugate di fora opportua. Ogi cobiazioe tra i diversi tipi di oto e le diverse fore di ovete e cedete ha caratteristiche diverse e si presta a ua be precisa soluzioe di oto, coe paraetro coue hao la trasforazioe di u oto (rotatorio o traslatorio) UNIFORME del ovete i u oto (rotatorio o traslatorio) ALTERNO del ebro cedete, che debba uoversi secodo ua legge prestabilita. 5.. Sagoa e puteria Etrabi i ebri (ovete e cedete) hao oto traslatorio. BOZZA 66

67 V y V x Figura 4: Meccaiso sagoa-puteria Prediao il sistea di riferieto co l origie sull iizio del profilo attivo della sagoa. Ad uo spostaeto x della sagoa corrispode uo spostaeto y della puteria, siao -V e V rispettivaete la velocità di sagoa a e puteria, si ha: dy V V dx suppoedo V costate, si può ache scrivere:. 3 d y da 3 d y a V ; a V ; 3 dx dt dx Problea cieatica diretto: assegato il profilo della sagoa si deteria il oto della puteria Esepi y t t V a t t t t Figura 43: Gradezze cieatiche per: sagoa co profilo rettilieo (a siistra) e profilo rettilieo co raccordi parabolici (a destra) Se si suppoe che la sagoa abbia profilo rettilieo, la velocità V preseta due discotiuità ua all iizio e ua alla fie della corsa, i corrispodeza ci soo due picchi di accelerazioe (urti). BOZZA 67

68 Il più seplice profili che o diao ifiiti el diagraa delle accelerazioi è quello rettilieo co raccordi parabolici,u profilo di questo tipo dà luogo a delle discotiuità el diagraa delle accelerazioi che si traducoo i ifiiti el diagraa di a che possoo essere fote di feoei vibratori alle alte velocità. U tipo di profilo che o dia essua discotiuità i essuo dei diagrai corrispode a ua fuzioe y(x) di ordie superiore, che però è più coplicato e quidi richiede lavorazioi più coplicate e costose. Problea cieatica iverso:assegata la legge di oto della puteria, è ota quidi yy(t) o la V V (t), si deteria il profilo della sagoa. Le cosiderazioi fi qui svolte si riferiscoo a ua puteria a spigolo vivo, a se la puteria è a rotella o a testa sferica cosa cabia? Niete; solo che le curve cosiderate costituiscoo adesso la traiettoria del cetro della rotella, e il profilo effettivo della sagoa è defiito coe iviluppo di ua faiglia di cerchi aveti il cetro sulla curva suddetta. 5.. Caa e puteria Il ovete ha oto rotatorio, il cedete traslatorio. Supposta ota la legge delle alzate i fuzioe della rotazioe della caa y y(q) a partire dalla posizioe di riposo, si coosce ioltre il raggio della caa R e l eccetricità della caa e. La costruzioe grafica del profilo della caa è riportata i figura 44, dove viee rappresetata la caa fera e la puteria è riprodotta i posizioi successive(caa fissa e puteria che si uove su di essa co velocità -w). Per q puto di iizio delle alzate, idividuo il segeto M N, per u geerico agolo q si ha ymn-m N così per qq si avrà y y(q ) a cui corrispode il segeto M N tagete alla circofereza di raggio e. Si procede poi per vari valori dell agolo q e si trovao i corrispodeti puti M i che idividuao sul profilo della caa. ω M M e N θ N Figura 44: Due cofigurazioi successive assute dalla puteria el oto relativo rispetto alla caa La velocità del puto M apparteete alla puteria può essere vista coe soa della velocità di M apparteete alla caa più la velocità della puteria rispetto alla caa stessa; P C VM VM VPC Di V P M si coosce la direzioe, poiché la puteria trasla sulla guida, ache della V PC si sa la direzioe ifatti la caa vede la puteria strisciarle itoro e quidi la sua velocità sarà sulla tagete coue; il puto M della caa si uove di oto rigido itoro a O, quidi la sua BOZZA 68

69 velocità è ota e vale VM ω ( M O), la risoluzioe grafica della soa vettoriale è riportata i figura 45. V PC O V M C C V M P M H Figura 45: Velocità del puto M! Il puto C è il Cetro di istataea rotazioe del oto relativo tra caa e puteria, esso si trova el puto di itersezioe della retta passate per O e perpedicolare all asse della puteria (il cui cetro di rotazioe è iproprio) e della orale alla tagete coue el puto di cotatto. Per le sue proprietà, i C la velocità relativa della caa e della puteria è ulla, si ha: V ωoc P 5.3. Caa e bilaciere Sia il ovete che il cedete hao oto rotatorio. Tale eccaiso può essere studiato graficaete i odo del tutto aalogo a quato fatto per caa-puteria.si suppoe ota la legge di oto del bilaciere β β( ϑ), la distaza O O,e il profilo del bilaciere. Si cosidera la caa fera e il bilaciere che si uove su di essa co velocità agolare uguale e cotraria a quella della caa stessa (-ω ), si idividua il profilo della caa coe iviluppo delle posizioi occupate dal bilaciere. Ifatti dalla posizioe iiziale θ, corrispodete a β e al puto di cotatto M si trovao i puti di cotatto successivi M, ad ogi valore di θ corrispode u valore di b che idividua ua posizioe del bilaciere, e quidi u puto M M β ο O θ O M ω β O Figura 46: Schea cieatico equivalete al sistea caa-bilacere BOZZA 69

70 Rispetto al cetro di istataea rotazioe, la cui idividuazioe è aaloga al caso precedete e viee lasciata per esercizio allo studete, si ha OC ω OC ωe la velocità relativa el puto di cotatto V M ω ± ω CM. vale: ( ) 5.4. Iputaeto delle cae Si ha il feoeo dell iputaeto quado il oeto otore applicato alla caa o è capace di equilibrare alcua forza resistete applicata alla puteria. Studio delle forze i gioco: la forza di cotatto tra caa e puteria (R ) prescidedo dall attrito è perpedicolare alla tagete coue, le reazioi dei collari (R R ) soo icliate dell agolo φ i aiera da opporsi al oto. La puteria risulta essere u ebro rigido sottoposto a quattro forze, il puto K che serve per idividuare la risultate Q R e R R, deve essere a siistra del puto H, puto di icotro tra le direzioi delle reazioi dei collari; se fosse a destra la forza Q sarebbe diretta i seso opposto, agirebbe cioè da forza otrice. Q φ R H φ R K M R o Figura 47: Schea per la verifica dell iputaeto della caa 5.5. Esepi di applicazioi dei eccaisi co le cae Figura 48: Esepio di albero a cae BOZZA 7

71 Figura 49: Coado delle valvole desodroico (Ducati) BOZZA 7

72 6. Meccaisi co Orgai Flessibili 6.. Geeralità Si dicoo eccaisi ad orgai flessibili quelli caratterizzati dall uso di coppie cieatiche costituite da u eleeto flessibile (capace di resistere solo a sollecitazioe di trazioe) che si svolge su u ebro rigido. Queste trasissioi possoo essere classificate i base al tipo di orgao flessibile utilizzato: Tipologia Tipo Note Sez trasv. Vista log. Fui Utilizzate prevaleteete per fissaggio/sollevaeto carichi Cighie Catee Possibilità di collegare assi co iterassi elevati. No ecessitao elevata precisioe di otaggio. Soo tedezialete eo ruorose delle catee e se lavorao ad alta velocità soffroo eo I problei di usura tipici ivece delle catee lisce Molto sileziose, hao elevata flessibilità (raggi di pulegge e teditori più piccoli). Cosetoo co teditori ausiliari la trasissioe tra assi sghebi. La assia coppia trasissibile è liitata dall attrito tra puleggia e cighia. La trasissioe degli sforzi per attrito richiede elevati precarichi delle cighie che devoo essere tirate dalle pulegge per ipedire lo scorrieto. Il sicroiso tra gli assi collegati o è garatito. Tode Aaloghe alle cighie lisce soo utilizzate raraete i casi particolari (assi particolarete sghebi o più assi s collegati coteporaeaete) Trapezie Meo flessibili delle cighie lisce assicurao u elevato coefficiete d attrito (elevate coppie trasissibili) co bassi precarichi dei suppporti. Poli-V Soluzioe di coproesso tra l elevata flessibilità delle cighie lisce e la grade capacità di carico di quelle trapezie. detate Elevate coppie trasissibili, garatiscoo sicroiso degli assi collegati Garatiscoo il sicroiso tra gli assi collegati, a soo geeralete più ruorose delle cighie ed afflitte da aggiori problei di usura se fuzioati ad alta velocità. Le catee si prestao alla trasissioe di forze elevate co igobri ridotti. Forza Seplici, Robuste ella costruzioe c è ua aggiore attezioe alla realizzazioe di u elevata resisteza più che alla riduzioe dell attrito sui giuti e/o alla ottiizzazioe cieatica Poteza Maggiore cura ella realizzazioe dei collegaeti tra le aglie, riduzioe degli attriti, ottiizzazioe della fora per otteere u iserzioe sul dete della puleggia graduale e sileziosa. BOZZA 7

73 6.. Modellazioe della o perfetta flessibilità delle cighie Nella realtà essu orgao sia esso ua cighia, ua fue o ua catea risulta perfettaete flessibile. I questo caso la flessioe della cighia richiede l utilizzo di ua certa coppia. Tale effetto può essere iputabile a due diversi feoei: Elasticità: la cighia preseta ua certa resisteza alla flessioe di atura elastica e quidi dal puto di vista eergetico reversibile. Attrito/Isteresi/altre Irreversibilità: Per effetto di attriti iteri ua parte cosistete (ache la totalità) del lavoro speso per flettere la cighia o viee restituito, a dissipato prevaleteete sotto fora di calore. Le coppie equivaleti itrodotte da questi effetti fisici soo odellate spostado i puti di applicazioe delle forze otrici P e resisteti Q di ua distaza fittizia (rispettivaete p e q ). Questo artificio cosete di itrodurre delle coppie equivaleti proporzioali alle forze P e Q che perettoo di rappresetare ache graficaete gli effetti sull equilibrio statico del sistea itrodotti dalla o perfetta flessibilità degli orgai. Per odellare l attrito sulla coppia rotoidale che fa da pero alla puleggia si itroduce allo stesso odo u braccio fittizio ρ (raggio del circolo di attrito). ω ω ω R r p R r ρ q p R ρ r q CASO IDEALE P P Q ATTRITO EFFETTO ELASTICO PREVALENTE Q P PREVALENTE Q CASO IDEALE: Pr Qr P Q R (reazioe vicolare) P Q EFFETTO ELASTICO PREVALENTE: ( p ρ) ( q ρ) K ( r q ρ) P r Q r P Q Q K ( r ρ) p EFFETTO ATTRITO PREVALENTE: ( r q ρ) P ( r p ρ) Q ( r q ρ) P Q Q K ( r ρ) p BOZZA 73

74 6.3. Macchie per sollevaeto carichi: carrucola fissa R r p R ρ r q P CASO IDEALE Q P CASO REALE Q CASO IDEALE: P r Q r P Q ( r q ρ) P r Q r P Q Q K ( r ρ) EFFETTO ELASTICO PREVALENTE: ( p ρ) ( q ρ) EFFETTO ATTRITO PREVALENTE: RENDIMENTO: R (reazioe vicolare) P Q ( r q ρ) P ( r p ρ) Q ( r q ρ) P Q Q K ( r ρ) η P P K K fattore di perdita tra i rai della cighia p p BOZZA 74

75 6.4. Macchie per sollevaeto carichi: carrucola obile P Q r R CASO IDEALE P p ρ Q r v CASO REALE R CASO IDEALE: EFFETTO ATTRITO PREVALENTE: RENDIMENTO: Q P r Q r P ( r v ρ) P ( r p v) Q ( r v ρ) P Q ( r ) P K η P K I η ( retrogrado) K R (reazioe vicolare) P Q p v K Oppure: Pr ( δ ρ) V( r δ ρ) P KV ( K ) p K P Q K v V P Q 6.5. Macchie per sollevaeto carichi: parachi I parachi soo costituiti da ua serie di carrucole fisse e ua serie di carrucole obili rispettivaete otate su di u uico asse, e da ua fue che si avvolge alterativaete su di esse. Ua delle estreità della fue è libera, e ad essa è applicata la forza otrice; l altra estreità può essere fissata alla parte obile o a quella fissa. BOZZA 75

76 Paraco seplice Paraco ultiplo La pricipale classificazioe dei parachi li distigue tra parachi a tiro diretto o ivertito a secoda se la forza otrice è rivolta verso l alto (ello stesso seso dello spostaeto della parte obile), ovvero verso il basso Parachi a tiro ivertito Per seplicità di copresioe del odello, gli schei dei parachi sarao del tipo riportato i seguito, i cui le carrucole sebrao avere oguo il proprio asse di rotazioe. Tale schea o è però ai utilizzato elle applicazioi pratiche elle quali ivece tutte la carrucole della parte obile hao lo stesso asse, coe pure quelle della parte fissa (vedi figura del paraco ultiplo, sopra a destra). Gli schei soo però utili perché perettoo di copredere eglio il pricipio di fuzioaeto. Fue sulla parte obile Fue sulla parte fissa Facedo riferieto al paraco co fue collegata alla parte obile, ipoedo le codizioi per l equilibrio verticale della parte obile si ha: T T T T Q. Dalla espressioe del redieto delle sigole carrucole si ottiee ache: BOZZA 76

77 BOZZA 77 T K P T K T T K T K T T K T Dalle precedeti relazioi si ottiee duque: ) ( K K T K K T Q e quidi ache: ) ( K K K Q P. Se ci si trovasse el caso ideale, ovvero asseza di attrito ella coppia rotoidale e perfetta elasticità della fue, sarebbe K. Dalla precedete si ottiee ache (passado al liite): Q P. Il redieto del paraco ha quidi la fora: ) ( K K K P P η. Per otteere il redieto del oto retrogrado η, si itroduce ua regola pratica valida i questo caso coe i geerale: basta calcolare il reciproco della espressioe del redieto diretto η e sostituire i paraetri dipedeti dall attrito (i questo caso il coefficiete K) co il loro reciproco (i /K). Si ottiee quidi: ( ) ) ( ' ) ( ) ( K K K K K K K K K K K K P P η η η Parachi a tiro diretto Fue sulla parte obile Fue sulla parte fissa

78 Facedo riferieto al paraco co fue collegata alla parte fissa, dall equilibrio verticale della parte obile si ha: Q T T T T P. Dalla espressioe del redieto delle carrucole si ottiee ache: T T P K T K K T T K Dalle quali si ottiee: Q T e quidi ache: T ( K K K ( K ) Q K P. ) T K K Se ci si trovasse el caso ideale sarebbe K, quidi dalla precedete si ottiee (passado al liite): Q P. Il redieto del paraco ha quidi la fora: P P K ( ) K ( K ) η. Il redieto del oto retrogrado η, applicado la regola esposta i precedeza risulta: ' ( ) K( K ( K ) η. ) Paraco differeziale E il classico paraetro utilizzato dai acellai per sollevare i quarti di aiali olto pesati. E ua acchia che deve cosetire di sollevare carichi otevoli co forze olto piccole. Questa apparete qualità straordiaria è però bilaciata dal fatto che tale acchia ha u redieto piuttosto basso. E costituito da due carrucole fisse di diaetro (poco) diverso e solidali tra loro, e da ua carrucola obile disposte coe ella figura riportata a seguito. L eleeto flessibile è ua catea che igraa co la carrucola fissa di diaetro iore, che è uita di deti per evitare lo slittaeto della catea sulla puleggia stessa. La forza otrice P viee applicata al rao della catea uscete dalla puleggia fissa di raggio aggiore. Tale rao della catea riae scarico fiché o tora ad avvolgersi sulla puleggia fissa di raggio iferiore. BOZZA 78

79 BOZZA 79 Dall equilibrio alla traslazioe verticale della parte obile si ha: Q T T ; ed è ioltre ache: ) ( K T T T K Q T K T ; ) ( K Q T ; ) ( K K Q T. Dall equilibrio alla rotazioe della carrucola fissa si ha ioltre: ) ( ) ( ) ( ρ δ ρ δ ρ δ R T R P R T da cui: P R R T R R T R P R T R T ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ρ δ ρ δ ρ δ ρ δ ρ δ ρ δ ρ δ e quidi:

80 BOZZA 8. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( R R R R R K K Q R R R R R R K K Q R R R R K K Q R R K Q R R K K Q P ρ δ ρ δ ρ δ ρ δ ρ δ ρ δ ρ δ ρ δ ρ δ ρ δ ρ δ ρ δ ρ δ ρ δ ρ δ Per cooscere la forza otrice i codizioi ideali basta iporre ρδ; dalla precedete si ottiee quidi: R R Q P. Se si trascura la differeza tra i raggi R e R della carrucola fissa ei terii di attrito (R /R ) e si suppoe: K R ρ δ ; dalle precedeti si ottiee: ) ( R R K K Q P dalla quale si ottiee l espressioe del redieto: ( ) ) ( R R K K R R R R R K K Q R R Q P P η. Per quato riguarda il oto retrogrado si ha: ( ) ( ) ) ( ' K K R R K R R R K R R K R R R η. Dalla precedete si osserva che risulta η < se: > R R K.

81 Se il redieto del oto iverso η è egativo sigifica che tale oto o è possibile; si coclude quidi che se vale la precedete relazioe la acchia è ad arresto spotaeo (è questo è di grade aiuto el caso del acellaio) Macchie per sollevaeto carichi: altre applicazioi Tra le acchie per il sollevaeto esistoo acchie più o eo seplici che vegoo utilizzate sia ell idustria (idustria edile, acciaierie, idustria pesate i geere, ecc ), sia acchie di uso assai più coue, coe gli ascesori. Ache per tali acchie, di cui qui a seguito soo riportati alcui schei, sarebbe possibile calcolare sia il redieto che la riduzioe dello sforzo per il sollevaeto del carico. Tuttavia o si ritiee utile i questa sede approfodire ulteriorete l argoeto. Argao Verricello differeziale Ascesori: co verricello i basso (a siistra) e co verricello i alto (a destra) 6.6. Pulegge collegate traite orgai flessibili Si ritega valida l ipotesi che l orgao flessibile si avvolga sulle pulegge seza scorrere. Tale ipotesi risulta autoaticaete el caso di catee e cighie detate. BOZZA 8

82 Se ivece la trasissioe del oto (es. cighie lisce) avviee per attrito si suppoe che la coppia da trasettere sia tale da o provocare lo scorrieto delle cighie sulle pulegge. Il rapporto di trasissioe risulta quidi: ω R ω R ω R ω R ω ω ATTENZIONE: Per cighie e catee detate i raggi R ed R o possoo avere valori arbitrari a devoo essere ecessariaete dei ultipli del passo della detatura adottato Equilibrio Statico Si ipoe l equilibrio alla rotazioe delle cighie trascurado perdite e forze di atura dissipativa (Caso Ideale) Siao T e T le tesioi dei due rai della cighia ipoedo l equilibrio alla rotazioe si ottiee: M R T T (Equilibrio su puleggia otrice) M ( ) ( ) M R R T T (Equilibrio su puleggia resistete) M M r M R T T R R M R r T ω M r M T BOZZA 8

83 dα α Trasissioi co cighie piae (archi di adereza e scorrieto) La tesioe della cighia durate il cotatto co la puleggia varia da T a T (la tesioe sulle T T cighie varia ecessariaete per equilibrare le coppie sulle pulegge). dn Tale variazioe della tesioe delle cighie tra i fdn due rai è ricoducibile elle cighie lisce alle df forze di attrito tageziali scabiate co la superficie della puleggia. Per effetto della geoetria della trasissioe T (iterasse e diaetro delle due pulegge) la cighia abbraccia la puleggia su u arco detto di TdT abbracciaeto α. Si preda i esae u eleeto ifiitesio della cighia di apiezza dα. β γ T T Il tiro della cighia T lugo l eleeto ifiitesio varia di u dt che risulta facilete calcolabile: ( T dt)cos( dα ) T cos( dα ) fdn dt fdn Dove dn rappreseta la forza orale scabiata tra l eleeto ifiitesio di cighia e la superficie della puleggia. dn può essere calcolato a partire dall equilibrio dell eleeto di cighia i direzioe orale dn df T si ( dα ) Td α Dove df è la forza cetrifuga che agisce sulla cighia per effetto della rotazioe: v I dn Tdα df Tdα q rdα T dα r q desità lieare della cighia v velocità della cighia r raggio della puleggia Poiché la forza cetrifuga è idipedete dall arco di abbracciaeto (q, v ed r costati) si ha: I dt dt per cui risulta lecito scrivere: I I I T I I fα dt ft dα log fα T I Te T La tesioe o può variare seguedo questa legge per tutto l arco di abbracciaeto perché se così fosse si otterrebbero valori di T e T o coereti co l equilibrio alla rotazioe delle pulegge. La tesioe varia quidi co la sopra-citata legge espoeziale lugo u arco β detto di scorrieto e riae costate lugo il restate agolo γ detto di adereza. L adereza si aifesta sepre sul lato etrate della cighia (cui corrispodoo evideteete i tiri più elevati e quidi le forze orali scabiate co la puleggia più elevate). BOZZA 83

84 Evideteete al crescere della coppia trasessa cresce l apiezza dell arco di scorrieto rispetto a quello di adereza. Quidi la assia coppia trasissibile sarà quella per cui l arco di scorrieto diveta pari a quello di abbracciaeto. Dal puto di vista ateatico questo cocetto può essere espresso calcolado il valore dell arco di scorrieto al variare della coppia trasessa M: f β I M e T fb I I I fb fb M ( T T) r ( T T ) r T ( e r e ) e I M T fb r e Le relazioi sopra-esposte o soo sufficieti a deteriare β che evideteete dipede ache dal precarico T iposto ad ogi rao della cighia. Aettedo che le cighie siao perfettaete elastiche e trascurado le differeze di allugaeto sui due rai della cighia dovute ai diversi archi di scorrieto sulle due pulegge si ottiee: iposizioediuguagliaza allugaeti TT T T T T l l T ES ES l lughezza di u rao della cighia Sostituedo le due espressioi delle tesioi delle cighie sopra trovate si ottiee: f β Me T qv f β re Di solito si sceglie il valore di progetto di T i odo che risulti: T M r 6.7. Calcolo del coefficiete di attrito equivalete delle cighie trapezie Le cighie co sezioe trapezia richiedoo pulegge co ua scaalatura opportua che fuge da guida. Il cotatto avviee lugo i fiachi icliati del dete i questo odo il coefficiete di attrito equivalete risulta: I f f siψ I questo odo risulta trasettere coppie olto elevate ache co precarichi relativaete odesti della cighia per cui risulta il T viee scelto i odo che risulti verificato il M seguete criterio: T r ψ 6.8. Redieto della trasissioe Le pricipali perdite delle trasissioi a cighia soo ricoducibili essezialete ai segueti feoei: BOZZA 84

85 Vetilazioe: le cighie si uovoo ad alta velocità trasciado co se dell aria; le aggiori perdite di vetilazioe si hao per effetto dell aria che viee trasciata dalla cighia i prossiità delle pulegge. Attrito sui Peri: i forti precarichi delle cighie iducoo sui cuscietti delle pulegge forti reazioi vicolari e quidi perdite per attrito. E possibile ridurre il precarico T fio a valori estreaete bassi.65 M utilizzado galoppii teditori o speciali spray adhesio r iprover che tuttavia riducoo la vita utile della cighia ed auetao le perdite dovute alla Elasticità/rigidezza della cighia. Elasticità/Rigidezza: le cighie reali o soo perfettaete iestesibili e flessibili; la geoetria di avvolgieto della cighia reale risulta quidi diversa da quella ideale ed ua certa quota di lavoro viee dissipata durate l avvolgieto/svolgieto della cighia sulla puleggia. Il redieto di ua trasissioe a cighia può raggiugere i codizioi particolari il 95%. Si scosigliao rapporti di trasissioi aggiori di 6 per ogi stadio di pulegge collegate. Le assie velocità periferiche aesse soo ell ordie dei 5 /s. BOZZA 85

86 7. RUOTE DENTATE 7.. TRASMISSIONE DEL MOTO FRA ASSI PARALLELI Si cosiderio due assi tra loro paralleli (r e r i figura 5) e due corpi rigidi che ruotao attoro a tali assi co velocità agolari ω e ω, facciao ioltre l ipotesi che le due velocità agolari siao fra loro discordi. Figura 5: Trasissioe per assi paralleli Voledo ricavare le priitive del oto (polare fissa λ e polare obile λ ) ipoiao che il rapporto tra le due velocità agolari sia costate, ovvero: ' ω cost. ω Per otteere il oto relativo dell asse r rispetto all asse r, si iprie a tutto il sistea ua rotazioe -ω. Si otterrà così acora ua rotazioe di itesità ωω attoro ad u asse parallelo a r e r a passate per u puto C, tale da garatire la codizioe: ' ' ω OC ω O C oltiplicado abo i ebri per (O C/ω) si ottiee: ' ω OC cos t ' ω O C avedo sfruttato l ipotesi fatta i precedeza. Dal oeto che la distaza OO si atiee costate durate il oto ed è costate il rapporto tra i segeti OC e O C allora si può scrivere che: OC cost ' O C cost Allora le due polari soo date da due cilidri circolari di assi r e r e di raggi OC e O C. BOZZA 86

87 7.. RUOTE DI FRIZIONE Figura 5: Ruote di Frizioe Se ci riportiao su di u piao ortogoale alla direzioe di ω, le due polari del oto possoo essere rappresetate per ezzo di due circofereze tageti el puto C (cetro d istataea rotazioe). Materializzado tali circofereze possiao ricavare u prio esepio di trasissioe tra assi paralleli i cui i due ebri hao u oto relativo dato da u rotolaeto puro. Questo tipo di trasissioe prede il oe di ruote di frizioe. Sotto quest ipotesi, riferedoci alla figura 5, λ sia la polare fissa (base) coicidete co la ruota otrice, R sia il raggio di λ, la ruota otrice abbia ua velocità di rotazioe pari a ω ed il oeto otore sia diretto i seso atiorario, λ sia la polare obile (rulletta) coicidete co la ruota cedete, R sia il raggio di λ, la ruota otrice abbia ua velocità di rotazioe pari a ω ed il oeto resistete sia ach esso diretto i seso atiorario. Essedo il oto relativo u rotolaeto puro o vi potrà essere strisciaeto tra i due ebri, questo iplica che le velocità periferiche el puto di cotatto (C) dovrao avere uguale itesità, ovvero: R ω R ω Defiiao poi il rapporto di trasissioe tra le due ruote coe, il rapporto tra la velocità agolare della ruota cedete e la velocità agolare della ruota otrice, ovvero: ω' τ ω Sfruttado la codizioe di o strisciaeto tra le ruote si può ache scrivere: R τ R' ovvero il rapporto di trasissioe può essere espresso utilizzado solo paraetri geoetrici delle ruote di frizioe. Aalizziao adesso la coppia el caso ideale. BOZZA 87

88 Figura 5: Forze ageti sulle ruote di frizioe el caso ideale Riferedoci allo schea i figura 5 si può scrivere: M o R h N ' M r R h N dove h è u defiito coe: h f Eliiado hn si giuge all espressioe: R M o M r τ M ' r R ovvero, el caso ideale, il oeto otore è espriibile attraverso il prodotto del rapporto di trasissioe per il oeto resistete. L assuzioe che il oto relativo sia dato da u rotolaeto puro è però ua seplificazioe, i realtà si vegoo a creare delle deforazioi locali ell itoro del puto di cotatto, deforazioi dovute alla pressioe tra le due ruote; quidi il cotatto o avviee più i u puto a su di ua liea. Coe cosegueza si ha che la forza N o passa più per il cetro delle ruote di frizioe a è traslatata, parallelaete a se stessa, di ua quatità δ (figura 53), la direzioe della traslazioe dipede dal seso di rotazioe delle ruote di frizioe. Ache per il caso reale calcoliao le espressioi del oeto otore e del oeto resistete: M N δ R h N ' M r N δ R h N Dalla secoda espressioe si può ricavare N: M r N ' h R δ Sostituedo poi N ella pria espressioe si ricava il oeto otore: δ h h R δ R ' M M M R r r ' ' h R δ R δ h R Ricordado l espressioe del redieto: M o η M BOZZA 88

89 si può scrivere per la coppia di ruote di frizioe: R δ M r h ' ' η R R R δ M r h ' R R δ h ' R δ h R Figura 53: Forze ageti sulle ruote di frizioe el caso reale Le ruote di frizioe vegoo ipiegate ella trasissioe di piccole coppie (strueti di isura, otorii di ciclootori), ella trasissioe di oto sotto l azioe di forze odeste ad orgai di gradi diesioi ( ad esepio betoiere). Il difetto di ua trasissioe del oto ediate ruote di frizioe è che essa dipede dal valore del coefficiete d attrito; voledo utilizzare u tipo di trasissioe idipedete da tale coefficiete si deve riuciare ad avere u oto relativo di puro rotolaeto PROFILI CONIUGATI Dato u geerico oto piao defiito per ezzo della polare fissa λ e della polare obile λ si defiiscoo profili coiugati due curve che durate il oto piao si ategoo costateete i cotatto. Le polari stesse del oto soo due particolari profili coiugati. BOZZA 89

90 Figura 54: Defiizioe profili coiugati Per i profili coiugati vale la seguete proprietà: La orale coue ai profili coiugati el puto di cotatto passa per il cetro di istataea rotazioe C del oto piao. Se così o fosse si avrebbe il distacco o la copeetrazioe dei profili durate il oto. Vogliao adesso,date le due polari del oto ed il profilo p,tracciare il profilo p (coiugato di p ). Per fare questo usereo due diversi etodi. Figura 55: Metodo dell iviluppo Metodo dell iviluppo Questo etodo cosiste el disegare le posizioi assute dal profilo p durate il oto di rotolaeto della polare obile sulla polare fissa. La curva otteuta coe iviluppo di tutte le curve p tracciate sarà il profilo p cercato. BOZZA 9

91 Metodo dell epiciclo Cosideriao ua curva ε ed u puto P ad essa solidale e facciao rotolare la curva ε ua volta sulla polare fissa λ e ua volta sulla polare obile λ. Durate tali oti il puto P descriverà due curve p e p tra loro coiugate. Figura 56: Metodo dell epiciclo Co riferieto alla figura 56 possiao scrivere le segueti relazioi geoetriche: '' ' ' C P CP '' C P CP da cui si ricava l uguagliaza: ' ' C P CP tale relazioe idica che i puti P e P soo coiugati durate il oto. Si possoo otteere due profili coiugati ache utilizzado, al posto del puto P, ua curva µ solidale alla curva ε. Il etodo dell epiciclo ha la particolarità di poter creare delle faiglie di curve tali che presi due profili qualuque questi risultao essere fra loro coiugati. L asserto deriva dal cosiderare che il profilo p è ricavato uicaete da ε e dalla polare fissa, etre il profilo p è ricavato uicaete da ε e dalla polare obile. Variado λ (o λ) si ottiee ua uova curva p (o p) acora coiugata co p (o p ). BOZZA 9

92 7.4. RUOTE DENTATE CILINDRICHE AD EVOLVENTE Figura 57: Creazioe evolvete ruota detata Coe abbiao già detto parlado delle ruote di frizioe se si desidera avere ua trasissioe del oto idipedete dal valore del coefficiete d attrito si deve abbadoare l assuzioe di utilizzare coe profili coiugati le polari del oto e quidi riuciare ad avere u oto di puro rotolaeto. Si deve quidi utilizzare uo dei etodi visti el precedete paragrafo per geerare due profili coiugati; scegliao il etodo dell epiciclo. La curva ε (epiciclo) sia ua retta solidale ad etrabe le polari e la curva µ sia ua retta solidale a ε (figura 57). I profili che µ verrà a geerare soo evolveti di cerchio, ifatti se chiaiao β l agolo che µ fora co ε allora l agolo che la orale a µ (passate per il cetro istataeo di oto C ed idicata co γ) fora co l epiciclo sarà: π α β cost Quidi i ogi geerica posizioe la retta γ si aterrà ad ua distaza costate dal cetro O della polare fissa, tale distaza è defiita coe: ρ R cos( α ) L evoluta del oto sarà allora ua circofereza di cetro O e raggio ρ e prede il oe di circofereza di base. Co cosiderazioi del tutto aaloghe si può asserire che il profilo p è l evolvete della ' ' circofereza di cetro O e raggio ρ R cos( α ). Gli stessi profili coiugati potevao essere geerati coe traiettoria di u puto P solidale alla retta γ, durate il oto di rotolaeto di tale retta sulle due circofereze di base. I profili ad evolvete godoo poi delle segueti proprietà:. La forza trasessa dai deti, se si trascurao gli attriti, ha direzioe costate. I profili riagoo coiugati ache variado l iterasse, i questo caso cabia solo l agolo α (detto agolo di pressioe). Per l agolo di pressioe esistoo valori oralizzati pari rispettivaete a e 4.3 BOZZA 9

93 3. La ruota co u uero ifiito di deti (deoiata detiera) ha u superfici dei deti piae CARATTERISTICHE GEOMETRICHE DI UNA RUOTA DENTATA Nel seguete paragrafo dareo alcue defiizioi riguardati paraetri geoetrici caratterizzati le ruote detate. Figura 58: Geeriche ruote detate cilidriche a deti dritti, detatura estera e detatura itera Prediao, coe riferieto, la geerica ruota detata cilidrica a deti dritti riportata i figura 58. La cresta del dete è copresa etro ua circofereza, la quale prede il oe di circofereza di testa. Oltre a questa soo preseti la circofereza priitiva, traccia sul piao della ruota detata della polare del oto relativo; la circofereza di base e la circofereza di piede. Quest ultia deliita la parte iferiore del dete ed è a questo raccordata. Tutte le circofereze sopraccitate soo cocetriche. Per aggiore chiarezza si veda la seguete figura 59. Figura 59: Defiizioi circofereza di base, priitiva, di testa e di piede La distaza radiale tra la priitiva e la circofereza di testa prede il oe di addedu (geeralete idicato co a), etre la distaza radiale tra la priitiva e la circofereza di piede prede il oe di dededu (geeralete idicato co d). Si chiaa ivece altezza del dete (idicata co h) la soa dell addedu e del dededu. BOZZA 93

94 Figura 6: Defiizioe addedu, dededu e altezza dete. Le superfici laterali del dete predoo il oe di fiaco. La circofereza priitiva divide il fiaco del dete i due porzioi, u estera alla circofereza priitiva che prede il oe di fiaco addedu e u itera alla circofereza priitiva che prede il oe di fiaco dededu. Si defiisce odulo di ua ruota detata il rapporto tra il diaetro priitivo R e il uero di deti z, ovvero: R z Il valore del odulo o può essere scelto a caso a deve rietrare i uo dei valori oralizzati (UNI 454). VALORI NORMALIZZATI DEL MODULO La ora UNI prevede che siao adottati di prefereza i valori del odulo sottolieati. Ua volta defiito il odulo si può distiguere tra due diversi tipi di proporzioaeto: Proporzioaeto orale: i cui o a o d.5 o h.5 Proporzioaeto ribassato: i cui o a.8 o d o h.8 BOZZA 94

95 Figura 6: Defiizioe di vao e spessore Sulla circofereza priitiva si possoo isurare altri due paraetri geoetrici caratterizzati u dete di u ruota detata, questi soo lo spessore ed il vao. Lo spessore ed il vao soo pari a età del passo; quest ultio è defiito coe la distaza tra due profili cosecutivi isurata sulla circofereza priitiva. Figura 6: Defiizioe di passo L espressioe aalitica del passo è data da: πr p z dove R è il raggio della priitiva e z il uero di deti della ruota. Codizioe ecessaria affiché due ruote detate igraio fra di loro è che abbiao lo stesso passo. E iteressate otare che esiste u legae tra odulo e passo di ua ruota detata: πr R p π π z z BOZZA 95

96 Ma questo equivale a dire che due ruote detate igraao fra loro se hao lo stesso odulo. Voledo diostrare l asserto si cosiderio due ruote detate (ruota e ruota ) aveti la pria passo p e la secoda passo p. Affiché vi sia igraaeto deve risultare: p p a scrivedo il passo i fuzioe del odulo si ha: π π seplificado si ottiee ifie: Cosideriao la defiizioe del rapporto di trasissioe tra due ruote detate: R τ R dove R e R soo i raggi delle priitive delle ruote. Dalla defiizioe di passo si può ricavare la seguete espressioe: p z R π Quidi il rapporto di trasissioe può essere scritto coe: p z π z τ π p z z Ovvero il rapporto di trasissioe è direttaete legato al uero di deti delle due ruote detate CONTINUITA DEL MOTO Figura 63: Codizioe di cotiuità del oto Durate l igraaeto delle due ruote detate il puto di cotatto tra due geerici deti si sposta su di u segeto apparteete ad ua retta, idicata co γ, e chiaata retta dei cotatti, il segeto prede ivece il oe di arco di igraaeto, ed è deliitato dai puti N e N, itersezioi della retta γ co le circofereze di testa delle due ruote. BOZZA 96

97 Durate il oto del puto di cotatto dal puto N al puto N, le due priitive σ e σ rotolao su di u arco s, deoiato arco di azioe. Esiste ua relazioe tra il passo di ua ruota e la lughezza dell arco di azioe, tale relazioe prede il oe di codizioe di cotiuità del oto e si esprie aaliticaete attraverso la relazioe: s p Dove co p si è idicato il passo della ruota detata. Se o si verificasse tale codizioe (ad esepio risultasse che p > s) vorrebbe dire che i u arco di lughezza p-s o si avrebbero deti i presa e quidi il oto della ruota detata risulterebbe discotiuo, cosa che o è accettabile. Calcoliao adesso, per via aalitica le lughezze dell arco di azioe e dell arco di igraaeto. Riferedosi alla figura 64, dalle proprietà geoetriche dell evolvete di cerchio si ha che vale l uguagliaza: HL N C Cosideriao adesso le circofereze di testa e priitiva; esiste ua relazioe tra gli archi B C e HL e i raggi delle circofereze: BC R R HL ρ R cos sfruttado l uguagliaza scritta i precedeza: HL N C B C cos α cos α cos ( α ) ( α ) ( ) ( ) Figura 64: Nuero iio di deti L espressioe di tutto l arco di azioe s è data da: N N s BB cos( α ) Calcoliao adesso il valore del segeto N C. Riferedosi acora alla figura 64 idichiao il segeto N C co la variabile x. Applicado il teorea di Carot al triagolo N CO si può scrivere: π ( R a) R x xr cos α R/ ar a R/ x xr si( α ) seplificado si ottiee u equazioe di secodo grado ella variabile x: x xr si α a a R ( ) ( ) BOZZA 97

98 la quale risolta porta ad u espressioe della variabile i fuzioe uicaete del raggio della circofereza priitiva, dell addedu e dell agolo di pressioe. x NC Rsi ( α) a R( Rsi ( α) a) Per calcolare ache l espressioe della parte di segeto CN, si deve cosiderare l altra ruota ripetedo, i odo del tutto aalogo, i ragioaeti fatti i precedeza CONDIZIONE DI NON INTERFERENZA TRA I PROFILI Figura 65: Codizioe di o iterfereza tra i profili Sia P il puto di cotatto tra due deti i presa, co profilo ad evolvete di cerchio, di due ruote detate. Tale puto P, durate il oto relativo, si sposterà lugo la retta dei cotatti descrivedo u segeto. Il segeto dovrà risultare o tutto itero, oppure estero, al segeto T T, ach esso apparteete alla retta dei cotatti. Vediao perché deve valere la codizioe sopra esposta. I puti T e T soo i cetri di curvatura dei profili e quado il puto P si uove all itero del segeto T T i deti risultao etrabi avere fiachi covessi, se il puto P è ivece estero al segeto T T allora etrabi i deti avrao fiachi cocavi. Queste due tipologie di fiaco soo accettabili, o è ivece accettabile u fiaco che cabi cocavità (da cocavo a covesso o da covesso a cocavo) cosa che accadrebbe se il puto P percorresse u segeto solo i parte coteuto i T T. Ricapitolado si può euciare la codizioe di o iterfereza dei profili coe: Affiché o si abbia iterfereza tra i deti di due ruote detate durate il oto di igraaeto il puto di cotatto P tra i deti deve percorre u segeto o tutto itero o tutto estero a T T, distaza tra i cetri di curvatura dei profili isurata sulla retta dei cotatti. La codizioe di o iterfereza dei profili itroduce ache ua codizioe iia sul uero di deti di ua geerica ruota detata. Sia N N il segeto sulla retta dei cotatti percorso dal puto P, e sia C il cetro istataeo di oto delle due priitive. Per la o iterfereza dovrà risultare: CN CT CN CT BOZZA 98

99 Facciao l ipotesi che la ruota abbia diaetro aggiore e che sia realizzata co proporzioaeto orale. Sotto queste codizioi vale la disuguagliaza: CN < CN CT < CT La codizioe più gravosa per le ruote detate è: CN CT La quale ipoe u valore assio sull addedu e quidi ua codizioe iia sul uero di deti della ruota, ifatti R a k k z Quidi, per ua data priitiva, se l addedu assue u valore di assio il uero di deti deve ecessariaete assuere u valore di iio, dal oeto che soo i ua relazioe di proporzioalità iversa. Cerchiao adesso di ricavare, per via aalitica il uero di deti iio. Riferedoci alla figura 66, poiaoci i ua codizioe liite, ovvero vale la relazioe: CN CT Figura 66: Costruzioe per la deteriazioe del uero iio di deti di ua ruota Cosideriao il triagolo N CO, i questo i cateti soo espriibili attraverso le relazioi: O N a R Applichiao il teorea di Carot si ha: Svolgedo ulteriorete i calcoli si ha: O C R N C R si ( α ) π ( R a) R R ( α ) R si( α ) cos α si R BOZZA 99

100 ( α ) R ( α ) R ar a R R si R si Seplificado, si ottiee u equazioe di secodo grado ella variabile a: a Ra R si ( α ) ( R R ) Risolvedo tale equazioe si ricava l espressioe: a R R ( R R ) si ( α ) Dovedo essere: aax k ax e ricordado l espressioe del odulo, si può scrivere: kr R R R ( R R ) si ( α ) zi Il uero iio di deti è così dato da: kr zi R R R R R si α ( ) ( ) k τ τ ( τ ) si ( α ) Avedo sostituito al rapporto tra i raggi priitivi il rapporto di trasissioe. Nel caso di ruote a detatura itera si procede i odo aalogo, sostituedo τ co -τ e prededo il radicado col sego egativo, si ha così: k z i τ τ ( τ ) si ( α ) Coe ultio caso prediao i esae l igraaeto tra ua detiera e ua ruota detata (i questo caso : τ ). Figura 67: Nuero iio deti: caso detiera-ruota Dal oeto che il rapporto di trasissioe tede all ifiito o è possibile ricavare, attraverso le forule precedeti, u espressioe del uero iio di deti. Se però osserviao la figura 67 si può otare che è possibile scrivere la relazioe: a CT si( α ) a sua volta CT è espriibile attraverso la relazioe: BOZZA

101 CT R si( α ) e quidi: a R si ( α ) Procededo coe el caso di due ruote, si arriva ifie alla relazioe cercata: k z si ( α ) Si poteva giugere allo stesso risultato applicado il teorea di de l Hopital all espressioe del uero iio di deti per due ruote DENTATURE CORRETTE I questo paragrafo predereo i esae ruote detate aveti u proporzioaeto diverso da quello orale. E opportuo, se o ecessario ricorrere a ruote co detature corrette quado: La correzioe viee effettuata per evitare iterfereza durate la fase di lavorazioe di ua ruota La correzioe viee effettuata per esigeze di fuzioaeto i fase d esercizio. Le esigeze di fuzioaeto possoo essere riassute i:. evitare evetuali iterfereze.. igliorare la resisteza del dete sia a sollecitazioi di tipo flessioale sia da u puto di vista di resisteza ad usura. 3. perettere il otaggio di ruote co u iterasse prestabilito U prio esepio di correzioe di ruote detate è dato dal proporzioaeto ribassato, già ostrato i precedeza, el quale si a realizzare u dete co le segueti caratteristiche geoetriche: addedu.8 dededu altezza.8 Figura 68: Detature corrette Se si vuole creare u ruota detata, co u proporzioaeto diverso da quello orale, utilizzado sepre la stessa detiera utesile, si può pesare di traslarla di ua data quatità. Si dovrà però cotrollare che o vi sia iterfereza durate il taglio della ruota detata. Vogliao deteriare lo spostaeto assio aissibile della detiera utesile per cui o si verifichi iterfereza dovuta al taglio. Riferedoci alla figura 68 possiao scrivere, sia per la detiera sia per la ruota, i segueti valori dei paraetri geoetrici. BOZZA

102 PARAMETRI GEOMETRICI DENTIERA UTENSILE RUOTA addedu a a x a a x dededu spessore vao π s d d x d d x π π s xtg α xtg( α ) v xtg ( α ) π v xtg( α ) ( ) Dove a idica il valore liite dell addedu per il quale o si ha iterfereza, d idica il valore liite del dededu per il quale o si ha iterfereza, x idica lo spostaeto della detiera utesile, sia poi z il uero di deti iio della ruota. Coe visto i precedeza, per ua ruota, co proporzioaeto orale, che igrai co ua detiera vale la relazioe: a R si Ricordado la defiizioe del odulo: R z si può scrivere: z a si ( α ) oltiplicado abo i ebri per / si ricava ifie la relazioe: a z si ( α ). Per le ruote corrette o si avrà iterfereza se sarà verificata la codizioe: a z si ( α ) sottraedo ebro a ebro a da a si ottiee: a a z z si ( α ) Per la ruota la differeza a -a può essere scritta coe: a a x che porta alla relazioe fiale: x z z si ( α ) Quest ultia relazioe perette, el caso si abbia ua ruota co u uero di deti z (co z<z ) di calcolare lo spostaeto x della detiera utesile per evitare iterfereza durate il taglio RUOTE DENTATE CILINDRICHE A DENTI ELICOIDALI Ua ruota detata cilidrica a deti dritti può essere pesata geerata da u segeto AB, solidale al piao γ (piao dei cotatti) e parallelo agli assi dei cilidri di base. ( α ) BOZZA

103 Figura 69: Geerazioe ruote detate cilidriche a deti elicoidali Se il segeto o è parallelo agli assi a icliato (figura 69), rispetto ad essi, di u dato agolo β d (questo equivale a cosiderare il segeto MP i luogo del segeto AB),la superficie del dete o è più cilidrica a elicoidale si ottegoo quidi ruote detate cilidriche a deti elicoidali (figura 7) Figura 7: Geerica ruota detata cilidrica a deti elicoidali Tali ruote detate presetao i segueti vataggiale segueti caratteristiche: BOZZA 3

104 Il cotatto tra due geerici deti è graduale: iizia i u puto, cotiua su dei segeti e teria acora i u puto. Ciò iplica iori urti e quidi u icreeto del redieto. l tg β ; questo porta ad u L arco di igraaeto risulta icreetato della quatità ( b ) l tg( β b ) aueto dell arco di azioe di cos( α ) cotiuità del oto. ; questo porta u vataggio ella codizioe di Figura 7: Forze ageti su ua ruota a deti elicoidali Trascurado le forze d attrito l azioe S che si trasettoo due deti è ortogoale a segeto MP e può essere scoposta i due copoeti: ua N orale agli assi dei cilidri priitivi e ua T parallela agli assi dei cilidri priitivi. Solo la forza N trasette coppia, la forza T deve essere equilibrata dai cuscietti otati sull albero, per questo otivo l albero di ua ruota detata a deti elicoidali deve essere supportato da aleo u cuscietto capace di equilibrare forze assiali (es. cuscietti orietabili a sfere o a rulli coici). BOZZA 4

105 Figura 7: Defiizioe detiera elicoidale Se uo dei due cilidri degeera i u piao si ottiee la detiera elicoidale, la quale può essere vista coe ua detiera a deti dritti di cui si cosidera ua parte, deliitata da due piai paralleli icliati di u agolo β rispetto alla geeratrice dei deti. L agolo β è l icliazioe dell elica isurata sul cilidro priitivo. Il fatto che ua detiera elicoidale sia ricavabile da ua detiera a deti dritti porta al vataggio che le ruote a deti elicoidali possoo essere realizzate utilizzado le stesse detiere utesili delle ruote a deti dritti icliate di u agolo β. Esiste però ua relazioe tra gli agoli β e β b. Figura 73: Relazioe tra β e β b tra passo periferico e passo orale Sia h il passo dell elica, h risulta lo stesso sia se isurato sul cilidro priitivo sia se isurato sul cilidro di base; allora co riferieto alla figura 73 è possibile scrivere: πρ h tg β eliiado h si ha: ( ) πr h tg b ( ) β πρ πr tg ( β ) tg( β ) b BOZZA 5

106 seplificado si ha: r tg( β ) tg( β b ) ρ ricordado che: ρ r cos( α ) si può scrivere, ifie, la relazioe cercata: tg( β b ) tg ( β ). cos( α ) Esiste ache ua relazioe tra odulo orale ( ) e odulo periferico (); riferedoci alla figura 73 si può scrivere: cos( β ) 7.. TRASMISSIONE DEL MOTO TRA ASSI INCIDENTI Figura 74: Trasissioe del oto fra assi icideti Riferedoci alla figura 74 cosideriao due assi: a e a, tra loro icideti el puto O, cosideriao ache due geerici corpi rigidi ruotati, il prio co velocità ω attoro all asse a e il secodo ruotate co velocità agolare ω attoro all asse a. Vogliao deteriare le priitive del oto relativo dell asse rispetto all asse. Per far ciò itroduciao l ipotesi che il rapporto tra le velocità agolari dei due corpi sia costate, ovvero: ω cost ω Se ipriiao a tutto il sistea ua rotazioe -ω, il oto risultate sarà acora ua rotazioe, co velocità agolare Ω, il cui valore aalitico sarà dato da: Ω ω cos( α ) ω cos( α ) Varrao ioltre ache le segueti relazioi: ω si ( α ) ω si ( α ) α α α cost ω Dal oeto che si è fatta l ipotesi cost, segue: ω ( α ) ( α ) si α cost cost si α ed essedo costate ache la soa dei due agoli si arriva ifie a: BOZZA 6

107 α cost α cost quidi le priitive del oto relativo soo due coi rotodi di vertice coue O e aveti aperture ω e ω. Si può quidi pesare di predere, coe superfici coiugate, dei trochi di coo otteedo così ruote di frizioe coiche. Tali ruote di frizioe preseterao però gli stessi icoveieti visti el caso di trasissioe per assi paralleli. Figura 75: Defiizioe ruote detate coiche U sistea di ruote detate coiche può essere defiito itersecado i coi priitivi co ua sfera di cetro O (figura 75) ; le superfici dei deti si ottegoo proiettado da O due profili coiugati sferici. U sistea di detature che utilizzi il etodo dell epiciclo avrà coe profili coiugati delle evolveti sferiche otteute coe traiettorie di u geerico puto P della circofereza assia che rotola sulle circofereze di base. π U caso particolare si ha quado uo dei due coi degeera i u piao ( α ), i questo caso la ruota prede il oe di detiera piao-coica e cotrariaete al caso della detiera a deti diritti o avrà la superficie dei deti piaa a questa avrà curvatura opposta ella costa e el fiaco. Figura 76: Geerazioe ruote coiche a deti diritti Se si applica il etodo dell epiciclo utilizzado le curve ε e µ (che i questo caso coicidoo co due circofereze assie della sfera) si otterrà u profilo coiugato o coicidete co l evoluta sferica. I questo caso però le superfici della detiera piao-coica sarao piae (figura 77). BOZZA 7

108 Figura 77: Geerica ruota coica 7.. RUOTE DENTATE: COSTRUZIONE E MATERIALI IMPIEGATI Le prie ruote detate soo state realizzate i ghisa, utilizzado u processo di fusioe a oggigioro questo procedieto è stato abbadoato i quato porta ad otteere coppie di ruote olto ruorose e utilizzabili solo per velocità coteute. Detature olto precise possoo essere otteute per brocciatura a l alto costo del processo tecologico le cosiglia solo i casi olto particolari. Oggigioro si realizzao igraaggi di grade precisioe utilizzado procedieti di siterizzazioe (etallurgia delle polveri) che hao il vataggio di poter essere ipiegati ache ella produzioe i serie. Nel caso i carichi a cui debba reggere la coppia di ruote siao coteuti si possoo utilizzare ruote i ateriale plastico, realizzate per stapaggio. Oltre che ediate lavorazioi per asportazioe di truciolo si possoo realizzare detature ache attraverso deforazioe plastica (ad esepio rullatura); questi soo applicati a ruote ricavate direttaete sull albero (pigoi). Figura 78: Realizzazioe di ruote detate traite asportazioe di trucioli Noralete è coveiete realizzare le detature per asportazioe di truciolo, utilizzado apposite acchie detatrici, partedo da eleeti di rotazioe otteuti o fiiti per toritura. Nel caso si tratti di produzioe i serie il seilavorato di parteza è otteuto ediate stapaggio o direttaete dalla barra, questo per avere costi di produzioe coteuti. BOZZA 8

109 Il taglio dei deti viee eseguito quasi sepre attraverso etodi per iviluppo: durate il taglio la ruota utesile (detta ache detiera utesile) e la ruota i lavorazioe igraao fra loro, vi soo poi ache i oti di avviciaeto e di taglio. Uo dei problei delle detature è rappresetato dalle deforazioi deteriate dai trattaeti terici a cui è sottoposto il ateriale ipiegato ella produzioe. Per ovviare il ezzo più efficace è la rettifica fiale dei deti, a si deve teer presete che questo è u procedieto costoso. U etodo eo costoso per eliiare le tesioi residue, oralete utilizzato i capo autoobilistico, è la sbarratura. Tale lavorazioe viee effettuata pria dei trattaeti terici, ediate u apposita ruota utesile sbarbatrice la quale asporta u sottilissio strato superficiale. Aalizziao ora i pricipali acciai ipiegati ella costruzioe delle ruote detate. Le caratteristiche che questi devoo avere soo: Elevata resisteza all usura e alla fatica hertziaa (pittig) Elevata resisteza alla fatica per flessioe alla base dei deti Elevata resisteza all urto Buoa lavorabilità per asportazioe di truciolo Attitudie ai trattaeti terici superficiali Le faiglie di acciai coueete ipiegate soo: Acciai da ceetazioe Acciai per tepra superficiale Acciai da itrurazioe Tutti e tre questi trattaeti terici producoo strati superficiali di elevata durezza, che accrescoo la resisteza all usura. La ceetazioe seguita dalla tepra è il trattaeto più usato per otteere la ecessaria durezza superficiale della detatura. Essa cosiste i u arricchieto superficiale di carboio, per cui dopo il procedieto di tepra il dete preseta ua superficie dura, ateedo u cuore teero. Altro trattaeto usato è la carboitrurazioe. Gli acciai usati i prevaleza soo: Acciai al CrNi Acciai al NiCrMo Acciai al MNCR Acciai al CrMo Soo però largaete usati ache acciai da boifica, co trattaeto fiale di tepra superficiale, il loro ipiego è cosigliato per ruote di grade diaetro, quado i trattaeti di ceetazioe e tepra produrrebbero eccessive deforazioi. Alcui degli acciai da boifica utilizzati soo: 4NiCrMo3 4CrMo4 C43 C48 Nel caso si voglia prediligere la resisteza ad usura rispetto alla resisteza a flessioe si può utilizzare l idurieto per itrurazioe. Questo è otteuto ediate la forazioe di uo strato di itruri di alluiio, croo, vaadio e itruri di ferro. 7.. SCELTA E VERIFICA DEI RUOTE DENATTE Chiudiao questa sezioe co u esepio uerico relativo alla scelta e al diesioaeto di due ruote detate. I dati del problea soo: P 4 W poteza del otore N 5 RPM velocità di rotazioe τ /3 rapporto di trasissioe BOZZA 9

110 La pria cosa da fare è cercare u valore dell iterasse ottiale per il fuzioaeto delle due ruote. Solitaete tale valore viee deteriato per tetativi, oi fareo l ipotesi che il valore ottiale dell iterasse sia: i Ua volta oto il valore di i si può scrivere il seguete sistea elle icogite R e R, raggi delle due ruote: R R i da cui si ricava: R R R R τ 5 75 Figura 79: Coppia di ruote detate da diesioare Passiao adesso a deteriare il uero dei deti di ciascua ruota detata. Per fare questo dovreo teer coto delle codizioi di o iterfereza tra i profili e la codizioe di o iterfereza al taglio tra ruota detata e detiera utesile. Suppoiao di utilizzare ruote aveti deti co proporzioaeto orale e co agolo di pressioe pari a. La codizioe di o iterfereza tra i profili è espriibile co la relazioe: τ z τ ( τ ) si ( α ) e si applica alla ruota di raggio iore, co i dati a oi assegati si ottiee: z 5 La codizioe di o iterfereza a taglio è espriibile co la relazioe: BOZZA

111 z si ( α ) e porta a: z 8 Fissiao quidi z 8 e calcoliao il odulo: R 5. 8 z 8 questo valore del odulo o rietra fra quelli oralizzati, scegliao quidi il valore oralizzato che più si avvicia:. 5 Scelto si ricava il uero dei deti delle due ruote detate: R 5 z.5 z z 6 τ Ua volta deteriate le caratteristiche geoetriche delle due ruote passiao alle verifiche a flessioe ed a usura. La coppia C agete sulla ruota otrice è data da: 6 C P 5N π la forza scabiata da due deti è scopoibile i ua azioe radiale F ed i ua azioe tageziale T: C T N R F T tg( α ) 364N Per il calcolo della resisteza a flessioe (covezioalete si trascurao azioi di taglio e sforzo orale) si suppoe il dete assiilabile ad ua trave icastrata co carico a sbalzo, si fa ioltre l ipotesi cautelativa che vi sia ua sola coppia di deti i presa. La forula utilizzata per la verifica è la forula di Lewis espressa da: T σ a y b i cui: y è detto coefficiete di Lewis e si trova gabellato i fuzioe del uero di deti e dell agolo di pressioe. Nel ostro caso si ha: y.34 σ a è la tesioe aissibile del ateriale ipiegato per realizzare le ruote. Nel ostro caso scegliao u acciaio legato da boifica co u valore della tesioe aissibile pari a N/. Per teer coto del sovraccarico diaico si itroduce u coefficiete di riduzioe della tesioe aissibile, dato da: A δ A v dove: v π R s è il valore della velocità periferica della pria ruota; etre A è u coefficiete che può essere paria 6 o 3 rispettivaete per igraaggi precisi o poco precisi. Nel ostro caso assuiao A 6, si ha così: δ.6 BOZZA

112 b è lo spessore della ruota detata. Itroducedo questi valori ella forula di Lewis si ricava: b Ua volta deteriato lo spessore iio che garatisce la resisteza a flessioe passiao alla verifica ad usura. La forula da utilizzare è: T p a f b dove: p a è il valore aissibile della pressioe el cotatto tra i deti; per l acciaio scelto i precedeza si può porre: p a 5 N f è u coefficiete pari a: si( α ) z z f.7 E ( z z ) ell ipotesi che etrabe le ruote siao realizzate co lo stesso ateriale. E è il odulo di 5 N Youg dell acciaio e vale. Nel ostro caso si ha che: 5 f 8.6 N Itroducedo questi valori ella forula della verifica ad usura si ricava: b 9 Dovedo la ruota essere i grado di resistere ad etrabi i tipi di sollecitazioi si prede coe valore iio dello spessore: b 9 BOZZA

113 8. Rotisi Soo eccaisi forati da ruote detate e coppie rotoidali, si dividoo i: Ordiari: se gli assi delle ruote soo fissi rispetto al telaio; Epicicloidali: se uo o più assi soo obili rispetto al telaio. 8.. Rotisi ordiari Figura 8: Esepi di rotisi ordiari Defiiao il rapporto di trasissioe di u rotiso ordiario coe il rapporto tra le velocità agolari del cedete e del ovete poiché u rotiso è coposto da ruote i serie si ha: ω ω ω3 ω4 ω τ... ω ω ω ω3 ω e cioè τ è dato dal prodotto dei rapporti di trasissioe delle coppie di ruote cosecutive. ω z τ ω z ω3 z τ3 ω z τ ω 3 ω ω ττ ω ωω Figura 8: Rapporto di trasissioe i u rotiso co 3 ruote BOZZA 3

114 Se gli alberi iteredi portao due ruote (es. b e c), le velocità agolari delle ruote otate sullo stesso albero soo uguali, quidi: ω ω4 ω6 ω τ... ω ω3 ω5 ω! e cioè τ è dato dal prodotto dei rapporti di trasissioe delle ruote che igraao tra loro. ω Figura 8: Schea cieatico di u rotiso ordiario co 6 ruote detate Cosideriao il rotiso riportato i figura 8, ueriao le ruote co l ordie i cui si susseguoo dal ovete () al cedete (6) ω6 ω ω3 ω4 ω5 ω6 τ ω ω ω ω3 ω4 ω5 Poiché ω ω3; ω4 ω5; e poiché ogi rapporto iteredio può essere espresso i fuzioe del uero di deti, si ha: z z3 z5 τ. z z4 z6 Se ua ruota è allo stesso tepo otrice e codotta, igraa cioè coteporaeaete co le due ruote adiaceti si chiaa ruota oziosa; o ifluisce sul rapporto di trasissioe, cabia il verso di rotazioe rispetto al caso di accoppiaeto diretto (rotiso d i figura 8). Co ua coppia di ruote detate si possoo realizzare rapporti di trasissioe copresi tra /6 e 6, per rapporti esteri a tale itervallo si ricorre a rotisi co più coppie di ruote (riduzioe di igobri e di costi).risulta ioltre opportuo suddividere il rapporto di trasissioe totale i rapporti parziali siili tra loro, otado sugli alberi veloci le coppie di ruote i cui il rapporto tra il uero di deti della ruota e del rocchetto è più elevato. 8.. Rotisi epicicloidali U esepio di rotisi epicicloidali è quello di figura 83, i cui la ruota è fissa, il ebro 3 collega gli assi delle due ruote e ruota itoro a O, la ruota quidi ruota itoro al proprio asse etre questo si sposta lugo ua circofereza di cetro O e raggio O O. BOZZA 4

115 3 Figura 83: Schea cieatico del più seplice rotiso epicicloidale I geerale i u rotiso epicicloidale o esiste il ebro fisso, azi soo eccaisi a due gradi di libertà. I ogi caso soo eccaisi caratterizzati dall aver alcui assi delle ruote obili rispetto al telaio. No si può quidi parlare di rapporto di trasissioe, a si defiisce ua relazioe tra la velocità agolari delle ruote estree e la velocità agolare del ebro a cui soo vicolati gli assi obili detto portatreo o portasatellite. Si iprie a tutto il eccaiso ua velocità agolare opposta a quella del portatreo, co questo artificio il portatreo resta fero e il eccaiso è ridotto a u rotiso ordiario. Le velocità della pria e dell ultia ruota divetao : ω ω p τ o Forula di Willis ω ω p! τ o NON è il rapporto di trasissioe del rotiso epicicloidale, a il rapporto di trasissioe del rotiso reso ordiario. Si possoo avere i segueti casi:. ruota fera. ruota fera 3. eccaiso abbia due gradi di libertà ω ) ω la forula di Willis diveta : τ o e quidi: ω p ω p portatreootore : τ o; ruota otrice : ω ; ω ω τ p o ω ) ω la forula di Willis diveta : e quidi: τ o ω p ω τo p o portatreootore : ; ruota otrice : ω τ ; ωp τo ω τo 3)se il rotiso ha due gradi di libertà la forula di Willis può essere scritta: τ o ωp ω ω ; τo τo Diao di seguito alcui esepi per capire l applicazioe della forula. Cosideriao il rotiso i figura 83, i cui il portatreo è il ovete ω τ o ω p BOZZA 5

116 per deteriare τ o, fissiao il portatreo e valutiao il rapporto di trasissioe del rotiso reso z ordiario co la ruota ovete e la cedete attraverso il uero di deti, τ o z! il eo è dovuto al fatto che le due ruote ruotao i verso opposto. Sostituedo τ o si trova il rapporto tra le velocità agolare del satellite e quella del portasatellite: ω z z ω p z Cosideriao ora il rotiso epicicloidale i figura Figura 84: Schea del rotiso epicicloidale (siistra) e del corrispodete rotiso reso ordiario (destra) ω p τ o ; ω τo z ω p z se fisso il portatreo, τ o per cui: z3 ω. z z3 Il rapporto di trasissioe del rotiso reso ordiario (sepre i figura 84, stessa catea cieatica!) co cedete ruota 3 e ovete ruota vale i valore assoluto: z τ o z3 Si può quidi otare che il rotiso epicicloidale perette di realizzare u rapporto tra cedete e ovete più piccolo del rotiso ordiario, ioltre ell epicicloidale la ruota a detatura itera è fissa, quidi risulta ua costruzioe più copatta. I rotisi co due gradi di libertà soo i geerale dei eccaisi co u ovete e due cedeti, soo chiaati ache rotisi differeziali, coe quelli riportati i figura 85. BOZZA 6

117 Figura 85: Rotisi epicicloidali differeziali Nel rotiso il ovete è il portasatellite e i due cedeti soo la ruota e la ruota 5, vale la relazioe: z z3 τ o z z5 Se z z; z3 z5; si ha τ o ω5 ω p ω5 ω forula di Willis τ o ω p ω ω p Ache per il rotiso vale quidi τ o ω3 ω p ω3 ω forula di Willis τ o ω p ω ω p I etrabi i casi quidi la velocità agolare del portasatellite o è altro che la edia aritetica tra le velocità agolari delle due ruote cedeti. Cosideriao il differeziale autoobilistico di figura 86. I rettilieo le due ruote estree hao la stessa velocità agolari, ω3 ω ωp ω3 ω, il portasatellite ruota co la stessa velocità agolare delle ruote, e il rotiso si coporta coe u ebro rigido. I curva ivece la ruota itera copie eo strada avrà perciò ua velocità iore, quella estera allo stesso tepo percorre ua strada aggiore e quidi ha velocità più alta. Figura 86: Codizioi ecessaria per u perfetto rotolaeto seza strisciaeto BOZZA 7

118 La ruota 3 tede ad accelerare, la ruota a decelerare a vale sepre ω p ω ω 3 Figura 87: Differeziale autoobilistico 8.3. Moeti ageti su u rotiso Siao M, M,M p i oeti ageti sulla pria e sull ultia ruota e sul portasatellite, prescidedo dalle perdite di poteza per attrito, si ha: Mω Mω M pωp Suppoiao di ipriere al eccaiso ua velocità opposta a quella del portasatellite: M M( ω ωp) M( ω ωp) τo M Se ivece ipriiao ua velocità opposta a quella della ruota si M τ o ha: M( ω ω) M p( ωp ω) M p τ o Poiché i rapporti tra i oeti dipedoo solo dalla catea cieatica, le relazioi trovate valgoo sia el caso di rotiso ordiari sia per rotisi epicicloidali. Cosa succede per il differeziale a ruote coiche di figura 87? M p Poiché τ o si ha: M M3 I oeti sulle due ruote estree soo uguali, il differeziale trasette alle due ruote otrici di u autovettura coppie otrici uguali. BOZZA 8

119 9. Diaica delle acchie alterative 9.. Masse ridotte della biella i u aovelliso Figura 88: Maovelliso di spita cetrato: paraetri geoetrici. I Figura 88 è riportato lo schea di u aovelliso di spita cetrato. Il puto G b rappreseta il baricetro della biella PM, idichiao co a e b le distaze del baricetro dai puti P ed M rispettivaete. Sia b la assa della biella e J b il suo oeto di ierzia rispetto ad u asse baricetrico ortogoale al piao del disego e passate per il baricetro. Per seplificare la trattazioe della diaica del aovelliso, utilizziao il cocetto di asse di sostituzioe: si sostituisce la biella co tre asse cocetrate P, M ed Gb posizioate rispettivaete sul piede di biella P, sul bottoe di aovella M e sul baricetro della biella G b. Affiché il uovo sistea sia equivalete al precedete dal puto di vista della diaica (quidi che abbia la stessa eergia cietica) si dovrà avere: P M Gb b () Pa M b Pa M b J b La pria equazioe garatisce l uguagliaza tra la assa della biella e quella del uovo sistea a asse cocetrate, la secoda garatisce l uguagliaza tra le posizioi dei baricetri dei due sistei e la terza l uguagliaza tra i oeti di ierzia. Risolvedo il sistea (si tratta di u seplice sistea algebrico di tre equazioi i tre icogite), e idicado co l la lughezza della biella (abl) si ottiee: J b P al J b () M bl J b Gb b ab Si osserva che i valori delle asse di sostituzioe dipedoo ovviaete dalla geoetria della biella, el caso i cui questa possa essere rappresetata co u parallelepipedo di lughezza l e larghezza c risulta: BOZZA 9

120 BOZZA b b b Gb b b b M P l c l c l (3) La biella può essere ache sostituita da u sistea costituito da due asse P ed M,posizioate ei puti M e P e da u oeto di ierzia fittizio J. Per calcolare i valori delle due asse e del oeto di ierzia ipostiao il seguete sistea: b M P M P b M P J J b a b a (4) Ache i questo caso si tratta di u seplice sistea algebrico di tre equazioi i tre icogite, dalla cui risoluzioe si ottiee: ab J J l a l b b b b M b P (5) Nel caso i cui la biella possa essere rappresetata per ezzo di u parallelepipedo si ottiee: 6 l J l a l b b b M b P (6) Si osserva che i questo caso il oeto di ierzia fittizio J risulta egativo. lo defiiao oeto di ierzia fittizio el seso che ad esso o corrispode ua effettiva distribuzioe di assa, si tratta di u paraetro di tipo algebrico, che può assuere ache valore egativo, cosa che o si può ai verificare per i oeti d ierzia reali.

121 9.. Eergia cietica del aovelliso I u aovelliso di spita, il pistoe si uove di oto traslatorio alterato; la aovella ruota itoro al puto O; la biella durate il oto copie ua rototraslazioe. Pertato: L eergia cietica del pistoe sarà data da: (7) T p pv p avedo idicato co p la assa del pistoe e co v p la sua velocità. Aalizzado la cieatica del aovelliso di spita è possibile verificare che: λ (8) v p rω siθ si θ rω siθ per cui l eergia cietica del pistoe sarà data da: Tp pr ω si θ () L eergia cietica della aovella sarà data da: () T J ω essedo J il oeto d ierzia della aovella rispetto all asse di rotazioe, passate per O e ω la velocità agolare. Per calcolare l eergia cietica della biella utilizziao il sistea equivalete calcolato i precedeza, costituito da due asse cocetrate e dal oeto di ierzia J : ω () Tb M r PvP J β il prio terie è dato dalla assa cocetrata M, posizioata sul puto M, la sua velocità sarà quidi pari a ωr, il secodo terie è dovuto alla assa P, posizioata sul puto P e quidi caratterizzata da ua velocità v p uguale a quella del pistoe, il terzo terie ifie è dovuto al oeto di ierzia J, co β idichiao la velocità agolare della aovella. Per il teorea dei sei risulta: si β siθ r l r si β siθ λ siθ (3) l Derivado etrabi i ebri rispetto al tepo si ottiee: β cos β λω cosθ cosθ β λω λω cosθ cos β (4) Il terie dell eergia poteziale che dipede dal oeto di ierzia J può quidi essere riscritto i questo odo: J β J λ ω cos θ J λ ω ( si θ ) (5) J λ ω J λ ω si θ Per la diostrazioe dell equazioe (8) si riada al capitolo sui sistei articolati BOZZA

122 BOZZA Il prio terie della (5) può essere cosiderato isiee all eergia cietica della aovella e della assa M (eergia cietica delle asse rotati), etre il secodo può essere cosiderato isiee alla assa del pistoe e alla assa P. I defiitiva, l eergia cietica del sistea è data da: ( ) p P p M v r J J r J T λ ω λ (6) La (.6) può essere riscritta ettedo i evideza il terie dovuto alle asse rotati e quello dovuto alle asse altere: ( ) p P p a M r a r v r J T J r J T T T T λ ω λ (7.) (7.) (7.3) Si osserva che il terie dovuto alle asse rotati risulta costate se la velocità di rotazioe ω è costate. Riscriviao la (.6) esplicitado la velocità agolare della aovella: ( ) ( ) ( ) [ ] si ω θ ω θ λ λ λ ω ω λ λ a r P p M p P p M J J r J J r J v r J J r J T (8) Avedo idicato co J r e J a (che risulta fuzioe di θ ): ( ) ( ) θ λ λ θ λ si r J J J r J J P p a M r (9.) (9.) Si osserva che, ache se la velocità agolare della aovella è costate, l eergia cietica o è costate. Questi eccaisi o possoo pertato fuzioare a regie assoluto (co eergia cietica costate), a solaete a regie periodico. Scriviao quidi l equazioe di Lagrage, prededo θ coe variabile lagragiaa: ( ) t M T T dt d θ, θ θ () Esplicitiao le derivate a prio ebro: ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ a a r a r J T J J J J dt d T dt d (.) (.)

123 A secodo ebro è presete il oeto delle forze estere o coservative, ridotto alla coordiata lagragiaa θ, suppoiao che sul aovelliso agisca ua forza F sul pistoe (ei otori alterativi è la forza sviluppata dalla cobustioe el cilidro) e ua coppia resistete τ sulla aovella (Figura 89). Figura 89: Maovelliso di spita cetrato, forze e coppie ageti sul sistea. Per ridurre la forza F alla coordiata lagragiaa θ ricordiao che: Fv C ω C p rid rid v p F () ω v p Il rapporto ω può essere deteriato co la costruzioe grafica riportata i Figura 9. Per aggiori dettagli sulla costruzioe grafica si riada al capitolo sui sistei articolati. Figura 9: Maovelliso di spita cetrato, costruzioe grafica della velocità del piede di biella. BOZZA 3

124 Riassuedo, l equazioe di oto del aovelliso risulta: ( ) θ J v a p J r J a F τ θ θ L equazioe di oto risulta o lieare per la preseza del terie J rotazioe θ e del terie a. θ 9.3. Bilaciaeto delle acchie alterative oocilidriche (3) J a, che dipede dall agolo di Figura 9: Motore alterativo oocilidrico, forze e coppie ageti sul sistea a) forza el cilidro e coppia resistete, b) forze che agiscoo sul telaio, c)forze che agiscoo sul aovelliso Le acchie alterative soo caratterizzate da alcui eleeti che si uovoo di oto rotatorio (le aovelle), altre di oto traslatorio alterato (i pistoi) e altri di oto rototraslatorio (le bielle). Abbiao visto ei paragrafi precedeti che l eergia cietica del sistea o è costate quado la velocità agolare della aovella è costate e questi sistei o possoo fuzioare a regie assoluto. Il telaio è soggetto a forze caratterizzate da u adaeto periodico e che quidi possoo geerare vibrazioi potezialete i grado di alterare la fuzioalità e l itegrità della acchia (possoo provocare, ad esepio, sollecitazioi di fatica). Obiettivo del BILANCIAMENTO delle acchie alterative è quello di ridurre più possibile oppure, ella igliore delle ipotesi aullare, le forze di tipo alterativo che dal cieatiso si scaricao sul telaio. U otore si dice quidi bilaciato quado sul telaio o si scaricao forze di tipo periodico dal cieatiso. Cosideriao quidi u otore alterativo oocilidrico, fuzioate a regie (co velocità ω di rotazioe della aovella costate). Aalizziao le forze che agiscoo sul aovelliso (figura 9 c)): ua forza F esercitata dalla pressioe el cilidro sulla testa del pistoe; BOZZA 4

125 la coppia resistete τ applicata sulla aovella; la reazioe N del cilidro sul pistoe, i asseza di attrito è ortogoale alla superficie del cilidro; la reazioe della coppia rotoidale i O, che si scopoe i ua copoete X lugo l asse del cieatiso e i ua Y ad essa ortogoale; la forza di ierzia delle asse della aovella, diretta coe MO e co odulo pari a: Fr cω (4) avedo idicato co c la distaza del baricetro della aovella dal cetro di rotazioe O e co la assa della aovella; la forza di ierzia del pistoe, diretta coe l asse del cieatiso e co odulo pari a: F ap pa p (5) avedo idicato co p la assa del pistoe e co a p la sua accelerazioe; la forza di ierzia della biella, utilizzado la scheatizzazioe descritta ei paragrafi precedeti (due asse cocetrate M e P ed u oeto di ierzia J ), può essere calcolata coe soa di tre terii: o ua copoete, diretta secodo l asse del aovelliso, co odulo pari a: F a (6) ab P o ua copoete, diretta lugo OM, co odulo pari a: Frb M rω (7) o ua coppia pari a: C β b J (8) Idichiao co il terie forze rotati la soa: Fr Fr Frb ( c M r) ω (9) e co il terie forze altere la soa: F a F ap F ab ( p P ) a p (3) Scriviao l equilibrio alla traslazioe lugo l asse del aovelliso: X F F a F r cosθ (3) Dall equilibrio i direzioe ortogoale all asse di rotazioe risulta ivece: Y N F r siθ (3) Dall equilibrio alla rotazioe si ottiee: τ J β N PO (33) Esplicitiao quidi le forze e coppie che si scaricao sul telaio (figura 9 b)): lugo l asse del aovelliso abbiao ua forza pari a: F X (34) i direzioe ortogoale all asse abbiao ivece: Y N (35) la coppia risultate scaricata sul telaio (calcolata rispetto al puto O) risulta: N PO (36) Utilizzado i risultati delle equazioi (3), (3) e (33) le forze e coppie che si scaricao sul telaio si possoo scrivere così: lugo l asse del aovelliso: F X F a Fr cosθ (37) i direzioe ortogoale all asse: Y N Fr siθ (38) coppia risultate: p BOZZA 5

126 N PO τ J β (39) Aalizziao i dettaglio la forza altera, defiita ella (3): F a ( p P ) a p ricordiao, dall aalisi della cieatica del aovelliso di spita, che l accelerazioe del pistoe può essere approssiata per ezzo della seguete espressioe: a p rω ( cosθ λ cosθ ) (4) Per cui la forza altera sarà data da: Fa ( p P ) rω ( cosθ λ cosθ ) (4) Defiiao quidi la forza altera del prio ordie: I F rω cos (4) ( ) θ a p e la forza altera del secodo ordie: II ( ) ω F r λ cosθ Risulta ovviaete che: a p P P (43) a I a F F F Per il bilaciaeto del otore, si cosiderao: le forze rotati, le cui copoeti i direzioe dell asse e i direzioe ortogoale all asse risultao fuzioi di tipo siusoidale, alla stessa frequeza della rotazioe della aovella; le forze altere, che si copogoo di due parti, la pria caratterizzata da frequeza pari a quella di rotazioe della aovella (forze altere del prio ordie), e la secoda caratterizzata da frequeza doppia rispetto a quella di rotazioe della aovella (forze altere del secodo ordie). Gli altri terii o vegoo di solito cosiderati el bilaciaeto perché: la coppia resistete τ varia i geerale durate il fuzioaeto, a co gradualità e o è i geerale di tipo oscillate, per cui o provoca sollecitazioi affaticati per il sistea; la coppia di ierzia della biella J β ha solitaete etità liitata. Aalizziao quidi coe ridurre o eliiare le forze rotati e le forze altere Forza rotate Per eliiare la forza rotate dobbiao fare i odo che risulti: c M r (44) I altre parole che il oeto statico della assa di sostituzioe della biella e di quella della aovella, rispetto all asse di rotazioe della aovella sia ullo.questo risultato può essere raggiuto spostado il baricetro della aovella dalla parte opposta rispetto ad O del bottoe di aovella M (vedi figura 9) e facedo i odo che la distaza del baricetro da O sia pari a: (45) M c' r II a BOZZA 6

127 M M r G r O c G O c Figura 9: Bilaciaeto delle forze rotati a) sistea o bilaciato: il baricetro è itero al segeto OM b) il sistea è bilaciato se il uovo baricetro G è a distaza M c' r da O La forza rotate può essere bilaciata iseredo opportui cotrappesi (spesso itegrati sull albero otore, vedi Figura 93), co ua distribuzioe di assa tale da soddisfare l equazioe (45). Figura 93: Schea di u otore oocilidrico, ell albero otore, soo evideti i cotrappesi iseriti per bilaciare le forze rotati Forze altere Cosideriao le forze altere del prio ordie: I F ( ) rω a p P cosθ (4) IC Questa forza può essere vista coe la risultate di due forze F ID a e F a co odulo pari a: F IC ID a F (46) a ( p P ) rω rotati, co velocità pari a ω e -ω rispettivaete itoro ad O (vedi Figura 94) e coicideti per θ. BOZZA 7

128 Figura 94: La copoete rotate Scoposizioe della forza altera ella copoete rotate ID cotrorotate F a IC F a IC F a e i quella può essere cosiderata isiee alla forza rotate defiita ell equazioe (9) e quidi diesioado i odo opportuo il cotrappeso sull albero otore. Per eliiare la copoete cotrorotate occorrerebbe u cotrappeso cotrorotate. Tale soluzioe coporta u albero aggiutivo, che ruota co velocità opposta a quella dell albero otore, icreetado così la coplessità progettuale, gli igobri e i costi del otore. Nei otori oocilidrici, soprattutto se di grossa cilidrata (coe ad esepio quelli ipiegati elle oto da eduro), l ipiego del cotralbero è idispesabile, a causa delle elevate asse i gioco. La forza altera del secodo ordie ha odulo pari a: ( ) rω λ cosθ II Fa p (43) P IIC e può essere vista coe la soa di due forze F IID a e F a co odulo pari a: F IIC IID F ( ) rω a (47) a p P λ rotati co velocità pari a ω e ω. Il bilaciaeto della forza altera del secodo ordie richiederebbe dei cotrappesi su alberi rotati a velocità doppia rispetto a quella dell albero otore. Il suo odulo risulta couque liitato rispetto a quello della forza del prio ordie (dato che è oltiplicato per λ, che assue valori iori di, tipicaete circa :.5). La sua frequeza risulta ivece doppia rispetto a quella della forza del prio ordie Bilaciaeto delle acchie alterative pluricilidriche Cosideriao u otore co N cilidri i liea (gli assi dei cilidri soo tra loro paralleli e allieati). BOZZA 8