CAPITOLO 6 CAMPI MAGNETICI

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1 CAPITOLO 6 CAMPI MAGNETICI

2 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Interazione magnetica Magnetismo: proprietà osservata fin dall antichità in alcuni minerali (es. MAGNETITE) di attirare la limatura di ferro

3 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Interazione magnetica Proprietà di attrazione non uniforme Localizzata in determinate parti del magnete POLI DEL MAGNETE

4 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Interazione magnetica Osservazioni sperimentali (Gilbert XVI secolo) 1. Come per le forze di natura elettrostatica: Un magnete GENERA UN CAMPO MAGNETICO Forza attrattiva o repulsiva POLI POSITIVI e POLI NEGATIVI I poli di UNO STESSO MAGNETE sono sempre di SEGNO OPPOSTO Non ci sono cariche elettriche in azione!

5 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Interazione magnetica Osservazioni sperimentali (Gilbert XVI secolo) 2. Una bacchetta di ferro immersa nel campo magnetico generato dalla magnetite si MAGNETIZZA Si ottiene dunque un magnete artificiale o calamita Se molto piccolo: Ago magnetico

6 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Interazione magnetica Osservazioni sperimentali (Gilbert XVI secolo) 3. Ago magnetico si comporta come un DIPOLO MAGNETICO che lasciato libero si orienta nella direzione e verso del campo magnetico TERRESTRE esistente in quel punto Polo NORD: si orienta verso il nord geografico, segno POSITIVO Polo SUD: segno NEGATIVO

7 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Interazione magnetica Osservazioni sperimentali (Gilbert XVI secolo) 4. Interazione tra poli dello stesso segno: REPULSIVA; Interazione tra poli di segno opposto: ATTRATTIVA Per poli puntiformi (es. sbarra lunga e sottile): Andamento della FORZA MAGNETICA risulta inversamente proporzionale al quadrato della distanza

8 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Interazione magnetica Osservazioni sperimentali (Gilbert XVI secolo) 5. Esperimento della calamita spezzata: I poli magnetici sembrano esistere sempre a COPPIE di egual valore e segno opposto Non esiste il MONOPOLO magnetico (polo magnetico isolato), ma esistono solo DIPOLI MAGNETICI Differenza fondamentale tra forza elettrica e magnetica!

9 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Interazione magnetica Osservazioni sperimentali (Gilbert XVI secolo) 6. I granelli di limatura di ferro si dispongono in modo ORDINATO lungo linee REGOLARI Ciascun granello magnetizzato diventa dipolo magnetico e si orienta parallelamente al campo magnetico stesso LINEE DI CAMPO MAGNETICO

10 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Interazione magnetica Vettore campo magnetico: Verso: dal polo Sud al polo Nord Proprietà delle linee di campo magnetico analoghe a quelle del campo elettrostatico Punto: campo uscente Croce: campo entrante S magnetico N geografico x x x x x S geografico

11 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Elettricità e magnetismo Osservazioni sperimentali 1. Un filo percorso da corrente elettrica produce un campo magnetico (Oersted XIX secolo) La limatura di ferro evidenzia le linee di campo attorno al filo i 2. Due fili percorsi da corrente interagiscono tra loro (Ampère XIX secolo) Le azioni magnetiche sono una manifestazione dell interazione tra cariche elettriche in MOVIMENTO i 1 i 2 i 1 i 2 F F F

12 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Forza magnetica su una carica in moto Si studiano prima gli effetti di un campo magnetico esterno su particelle cariche in movimento (particelle isolate o correnti) Una carica di massa m e carica q in moto con velocità v e immersa in un campo magnetico risente della forza di Lorentz: F = q v Modulo della forza: F = q v senθ Forza perpendicolare sia a v che a No componente tangenziale Forza sempre centripeta Forza compie sempre lavoro nullo L energia cinetica della particella in moto SI CONSERVA +q q F F θ θ v v

13 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Forza magnetica su una carica in moto Forza magnetica ORTOGONALE a Contrariamente a quanto succede per il campo elettrico, in cui la forza elettrostatica risulta PARALLELA a E Unità di misura del campo magnetico Tesla (T), 1 T Gauss (G) = 10 4 T (meno utilizzata) UNITÀ DI MISURA T

14 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Forza magnetica su un conduttore percorso da corrente Densità di corrente in un conduttore F Ԧj = n e v d n = N/τ: n o elettroni liberi per unità di volume e: carica elementare v d : velocità di deriva Se il conduttore è immerso in un campo magnetico, ciascun elettrone risente della forza di Lorentz: F = e v d i ds dove τ = Σds Nel caso di un conduttore filiforme di lunghezza ds (orientato come Ԧj) e sezione Σ ottengo la forza magentica risultante: df = i ds SECONDA LEGGE ELEMENTARE DI LAPLACE Direzione: perpendicolare a ds e a (regola della mano destra) Modulo: : df = i ds senθ La forza non dipende dal segno dei portatori ed è proporzionale alla corrente

15 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Forza magnetica su un conduttore percorso da corrente Nel caso di un filo conduttore indeformabile di lunghezza finita percorso da una corrente stazionaria, si ottiene Q F = i P ds P e Q: estremi del filo può variare in modulo, direzione e verso, ma è costante su ciascuna SEZIONE del filo

16 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Forza magnetica su un conduttore percorso da corrente Casi particolari interessanti: F 1. Filo rettilineo e costante: F = i Ԧl Modulo: F = i l senθ i l 2. Filo curvo in un piano e costante F = i PQ Q La forza sul filo non dipende dalla sua forma, ma solo dai punti iniziale e finale P ds

17 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Esercizio 6.1 In un circuito chiuso a forma di semicirconferenza di raggio R fluisce una corrente di intensità i. Il circuito è contenuto nel piano xy con il tratto rettilineo PQ parallelo all asse x ed è immerso in un campo magnetico uniforme parallelo all asse y. 1. Calcolare la forza magnetica sul tratto rettilineo e su quello curvo. y i R x P O Q

18 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Momenti meccanici su circuiti piani In generale, si consideri la forza magnetica come una FORZA RISULTANTE di un sistema di forze applicate in punti diversi Può provocare uno spostamento (Teorema del moto del centro di massa) Inoltre, il sistema di forze può avere MOMENTO RISULTANTE non nullo Può provocare una rotazione Consideriamo CIRCUITI PIANI RIGIDI percorsi da corrente e immersi in CAMPO MAGNETICO UNIFORME FORZA RISULTANTE NULLA Il circuito non si sposta e non si deforma MOMENTO RISULTANTE può essere DIVERSO DA ZERO Rotazione del circuito

19 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Momenti meccanici su circuiti piani Spira rettangolare PQRS di superficie Σ = ab orientata secondo u n e percorsa da una corrente i, immersa in un campo magnetico uniforme θ: angolo tra u n e P F 1 F 4 i Q a F 1 M θ u n x F 2 S i M u n θ R i F 3 b b senθ F 2

20 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Momenti meccanici su circuiti piani Spira rettangolare PQRS di superficie Σ = ab orientata secondo u n e percorsa da una corrente i, immersa in un campo magnetico uniforme θ: angolo tra u n e P F 1 F 4 i Q a F 1 M θ u n x F 2 S i M u n θ R i F 3 b b senθ F 2

21 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Momenti meccanici su circuiti piani Si definisca il MOMENTO MAGNETICO della spira m = i Σ u n Il momento MECCANICO vale dunque M = m = i Σ u n Relazione valida per qualunque spira piana M tende a far ruotare la spira in modo che m diventi parallelo e concorde a Modulo: M = i Σ senθ Se la spira è composta da N avvolgimenti sovrapposti: Relazione va moltiplicata per N Se m : M = 0 θ = 0 equilibrio STAILE, θ = π equilibrio INSTAILE Analogia con il dipolo elettrico per cui M = p E

22 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Momenti meccanici su circuiti piani Si consideri un asse di rotazione parallelo a M e si supponga di SPOSTARE la spira dalla posizione di equilibrio stabile di un angolo θ piccolo Il momento meccanico della spira vale M = msenθ mθ Segno indica che il momento richiama la spira verso la posizione di equilibrio Ricordando il teorema del momento angolare M = dl = Iα = I d2 θ dt dt 2 I: momento d inerzia della spira rispetto all asse di rotazione Si ritrova quindi l equazione del moto armonico d 2 θ dt 2 + ω2 θ = 0 Pulsazione ω = m I Definizione operativa di e periodo T = 2π I i Σ delle piccole oscillazioni

23 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Momenti meccanici su circuiti piani Energia POTENZIALE per il dipolo magnetico: U P = m = m cosθ = i Σ cosθ Analogia con il dipolo elettrico per cui U e = p E Relazione tra momento meccanico ed energia potenziale: M = du P dθ = m senθ Forza su un dipolo magnetico m orientato parallelamente ad un campo magnetico variabile = x u x F(x) = m d dx Se m concorde a m si sposta nel verso in cui aumenta

24 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Effetto Hall Si consideri una sottile lamina conduttrice di sezione Σ = ab percorsa da corrente di intensità i (e densità Ԧj) diretta lungo l asse x ed immersa in campo magnetico diretto lungo l asse y z y a + + Q E H b E el Ԧj x P

25 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Effetto Hall Su ciascun portatore agisce la forza di Lorentz F = e v D Tale forza NON è di natura elettrostatica! Nel grafico precedente, tale forza è diretta lungo l asse z Si definisce campo elettrico DI ORIGINE MAGNETICA detto CAMPO DI HALL E H = F e = v D = Ԧj n e Campo NON CONSERVATIVO, ma ELETTROMOTORE E H diretto come la forza, lungo l asse z Se e > 0 (portatori positivi): Verso E H concorde all asse z Se e < 0 (portatori negativi): Verso E H discorse all asse z Deflessione nel moto delle cariche Accumulo di cariche di segno opposto sulle facce ortogonali a E H L accumulo di cariche da origine ad un campo elettrostatico E el che si oppone all accumulo (e sarà quindi di verso opposto a E H )

26 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Effetto Hall Alla luce di queste considerazioni, è possibile indicare i nuovi campi elettromotore E H ed elettrostatico E el nel grafico precedente, insieme con le distribuzioni di carica sulle superfici superiore ed inferiore z y a + + Q E H e > 0 b E el Ԧj x P

27 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Effetto Hall Situazione di equilibrio E H + E el = 0 La f.e.m. del campo elettromotore Q Ɛ H = න E H dz = E H PQ = ± E H b P Segno + se e > 0, segno se e < 0 Modulo: Sonda di Hall Ɛ H = E H b = j i b b = ne ab ne Effetto Hall TRASVERSALE = i n e a Misuratori di campo magnetico: = n e a Ɛ H i = Ɛ H α dove α = i n e a

28 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Moto di una particella carica in campo magnetico Si consideri una particella di carica q e massa m in moto con una velocità iniziale v ortogonale ad un campo magnetico uniforme Forza di Lorentz (centripeta!) risulta anch essa ortogonale, e devia continuamente il moto della particella carica: F = qv = ma n = m v2 r Moto CIRCOLARE uniforme con RAGGIO DI CURVATURA costante r = mv q = p q Traiettoria: arco di circonferenza o circonferenza completa se la particella rimane entro la zona di = mv rq (definizione operativa di ) q F C v

29 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Moto di una particella carica in campo magnetico VELOCITÀ ANGOLARE della particella: ω = v r = q m ω = q m ω Sempre PARALLELA a Carica negativa Moto ANTIORARIO Carica positiva Moto ORARIO q ω ω x x x x x x + +q PERIODO del moto circolare uniforme: T = 2π ω = 2π m q In generale, se è presente una iniziale componente della velocità in direzione del campo magnetico, questa componente non viene modificata ed il moto risultante è ELICOIDALE +q x x x x x + ω x ω x x x x x x x x x x q

30 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Moto di una particella carica in campo magnetico Espressione completa della forza di Lorentz: F = q E + v Da essa si ricava la legge del moto di particelle cariche in campo magnetico in presenza contemporanea di campo elettrico Dispositivi che deducono alcune proprietà delle particelle stesse: Spettrometri, Ciclotroni, Sincrotroni, etc. Es.1: Spettrometro di massa A parità di energia cinetica e di carica: a masse diverse corrispondono velocità diverse, dunque raggi diversi. Misurando il raggio risalgo al valore del rapporto m/q

31 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Moto di una particella carica in campo magnetico qv E + v + qe V Es.2: Selettore di velocità Campi E e uniformi e ortogonali tra loro («incrociati») Se i moduli dei campi sono scelti in modo tale che E + v = 0 la forza sulla particella carica risulta nulla (F = 0) Le particelle la cui velocità soddisfa la condizione v = E non vengono deflesse e compiono un moto rettilineo uniforme I campi incrociati permettono di effettuare MISURE DI VELOCITÀ delle particelle cariche

32 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Esercizio 6.2 Un fascio di elettroni viene accelerato da fermo con una differenza di potenziale V = 500 V e inviato in una regione in cui agisce un campo magnetico uniforme, perpendicolare alla direzione di volo degli elettroni. Gli elettroni descrivono una circonferenza di raggio r = 10 cm. Determinare 1. La velocità degli elettroni; 2. Il valore del campo magnetico.

33 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Esercizio 6.3 Determinare modulo, direzione e verso di necessari a far levitare un filo di rame avente densità per unità di lunghezza ρ L = g e percorso da una m corrente i = 15 A uscente nel foglio come in figura. ii mg

34 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Esercizio 6.4 Si consideri un elettrone accelerato da una differenza di potenziale di 1 kv che si muova verso una regione compresa tra due piastre piane e parallele separate da una distanza di 20 mm. Tra le piastre esiste una differenza di potenziale di 100 V. 1. Se l elettrone entra nella regione muovendosi perpendicolarmente al campo elettrico tra le piastre, quale campo magnetico, perpendicolare sia al percorso dell elettrone che al campo elettrico, è necessario affinchè l elettrone viaggi in linea retta?

35 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Esercizio 6.5 Si consideri una bobina rettangolare di lati 12 cm e 5 cm composta da 20 spire di filo. Essa è percorsa da una corrente di 0. 1 A. È incernierata lungo un lato e montata con il suo piano formante un angolo di 33 con la direzione di un campo magnetico di modulo 0. 5 T. 1. Calcolare il momento torcente sulla bobina rispetto all asse della cerniera.