Compito di Fisica 2 Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni 18 Gennaio 2018

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1 Compito di Fisica Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni 18 Gennaio Una distribuzione volumetrica di carica a densità volumetrica costante = C/m 3 si estende nella regione di spazio lungo z compresa tra = e = + d / ( d = cm ) Due piani z carichi con densità superficiale -d - d costante sono posti rispettivamente in = - d e = +d (a) Determinare il valore della densità di carica superficiale perché il campo elettrostatico sia annulli nelle regioni esterne: > d e < - d Indicare quindi l espressione del campo elettrostatico e mostrare in grafico il suo andamento in funzione di (b) Calcolare il potenziale elettrostatico in tutto lo spazio e mostrarne l andamento in un grafico in funzione di Nell esercizio precedente, sia i due piani carichi con densità superficiale che la regione compresa tra = - e = + siano composti da materiale conduttore ( i due piani abbiano spessore trascurabile, mentre la lastra centrale carica positivamente abbia spessore d) All equilibrio, come è disposta la carica su di essi e come si presentano gli andamenti del campo elettrostatico e del potenziale lungo? 3 Nei due fili conduttori rettilinei e indefiniti di figura, rispettivamente di raggi R1 = 1cm ed R = cm, paralleli all asse z, con assi rispettivamente in 1 = -3cm, = + 3cm scorre stessa corrente I = A Determinare il campo magnetico da essi prodotto nei punti dell asse 4 Nel circuito di figura L1, L sono induttanze, R1, R resistenze elettriche, ed rappresenta una fem costante L interruttore T viene chiuso all istante t = 0: si determini l espressione della corrente che scorre attraverso l induttore L1 e si riportino in un grafico per t 0 gli andamenti qualitativi della corrente che scorre attraverso L1 ed L 5 Si consideri la spira conduttrice piana a forma semicircolare di figura, di raggio r = 10cm, resistenza R =1 che si muove lungo l asse di figura con velocità v costante v0 = -5m/s diretta in senso opposto all asse Per > 0 è presente un campo magnetico B = 05 T uniforme e costante, diretto come come l asse z All istante t = 0 la spira si trova in 0 = 5m Determinare, per t > 0, la potenza che è necessario impiegare per mantenere in moto con velocità costante la spira L 1 T B V 0 A X 0 R 3 L

2 Svolgimento 1 Data la geometria del problema il campo elettrostatico ha la direzione dell asse e risulta dipendere solo dalla coordinata Utilizzando il teorema di Gauss si perviene facilmente alle espressioni del campo elettrico prodotto dalla regione di carica volumetrica uniforme: E 1 () = ρ ε 0 - < < + ; E 1 () = + ; E 1 () = - e dai piani indefiniti carichi con densità superficiale in = - d, + d: E () = σ - d U E () = σ E 3 () = σ > + d U E 3 () = σ < - d < + d Il campo elettrostatico totale è quindi: E = E 1 + E + E 3 Nelle regioni esterne si ha: E = E 1 + E + E 3 = σ σ < - d E = E 1 + E + E 3 = + σ + σ > + d La condizione che in > d e < - d il campo si annulli impone quindi che: σ = Il campo elettrostatico risulta: E = 0 < - d U > + d E = < + d E = - d < - E = ρ - < < + ε 0 (b) Poniamo V(0) = 0 L andamento del potenziale elettrostatico, nella regione - < < + è dato da: 0 V() V(0) = V() = Ed = ρ V ( d ) = V ( d ) = Agli estremi della regione: < + d V() V ( d ) = d = ( d ) Otteniamo: V() = + All estremo della regione = d : V(d) = 3

3 > + d V() V(d) = 0 Otteniamo: V() = 3 - d < - abbiamo: V() V ( d ) = ( All estremo della regione = d : V( d) = 3 ) d = ( d + ) Otteniamo: V() = + + < - d V() V( d) = 0 Otteniamo: V() = 3 Nel caso i piani e la regione di carica volumetrica siano materiali conduttori, all equilibrio le cariche si distribuiscono sulla loro superficie esterna, in modo che il campo elettrostatico all interno di ogni conduttore sia nullo Per σ simmetria, avremo = -d - d su ciascuna due facce dei 4 due piani in = +d e = - d, mentre la densità di carica superficiale sarà: = + positivamente, in = e sulle facce del conduttore carico Il campo elettrostatico diviene : E = 0 < - d U > + d U - < < + ; E = + < + d, E = - d < - Conseguentemente, ponendo V(0) = 0 avremo V() = 0 per + < + d avremo: V() = Ed = ( d ) mentre nella regione > + d si ha: V() = V(d) = 4ε 0

4 V() V ( d ) = V() = - d < - abbiamo analogamente: ( ) d = ( d + ) In = - d : V( d) = Infine, nella regione < - d abbiamo: V() = V( d) 3 Per determinare il campo magnetico prodotto da ciascuno filo utilizziamo la legge di Ampere: B ds = µ 0 I c utilizzando come linea di calcolo una circonferenza con centro sull asse del filo e coassiale al filo stesso e raggio r Nel caso r sia inferiore al raggio del filo, la corrente concatenata è solo una parte della corrente totale che in esso scorre Per esempio per il filo 1: I c1 = J 1 = I 1 r La circuitazione di B per la simmetria del problema è pari a Br quindi si ottiene: B 1 = µ 0 I 1 π r; B = µ 0 I π r Per r maggiore I o uguale al raggio del filo, vale la legge di Biot-Savart: B 1, = µ 1, 0 Per descrivere il πr campo magnetico nei punti lungo l asse, consideriamo innanzitutto che in tali punti il campo magnetico risulta avere sempre direzione dell asse Se entrambe le correnti scorrono lungo z B in verso entrante, abbiamo che il campo magnetico è B 1 diretto come in figura, cambiando verso nei punti dove passano gli assi dei fili, 1, e Inoltre per il filo 1 vale: r = e per il filo 1 r = 1 quindi, B B sommando i campi magnetici dovuti ai due file, 1 abbiamo: 4ε 0 < 1 R1 B() = µ 0I π ( 1 1 ) 1 R1 < < 1 + R1 1 + R1 < < R R < < + R B() = µ 0I π ( ) B() = µ 0I π ( 1 ) B() = µ 0I π ( ) > + R B() = µ 0I π ( 1 1 ) 4 Nel circuito consideriamo la seconda legge di Kirchhoff per le maglie: ( + )I 1 I = ε L 1 di 1 dt ; I 1 + ( + R 3 )I = L di dt Per t= 0 chiudiamo il circuito, le correnti a t = 0 sono nulle: I1(0)=0, I(0) = 0 Inoltre, sempre a t = 0 non c è caduta di potenziale sulle resistenze, avremo perciò: [ di 1 ] = ε ; [ di ] dt 0 L 1 dt 0 come un corto circuito, quindi: I 1 ( ) = = 0 All infinito avremo inoltre che le induttanze si comportano ε + R3 R+R3, I ( ) = I 1 ( ) +R 3

5 Per determinare l espressione della corrente che scorre in R1, L1, utilizziamo la relazione generale: I 1 (t) = I 1 ( ) (I 1 ( ) I 1 (0))e t τ Con le considerazioni fatte precedentemente diviene: I 1 (t) = I 1 ( ) [1 e t τ] Facendone la derivata e con le condizioni già viste per t = 0 determiniamo : di 1 = I 1 ( ) dt τ e t/τ e quindi, per t = 0 [ di 1 ] = ε = I 1 ( ) τ = dt 0 L 1 τ qualitativi di I1 e I sono mostrati in grafico L 1 Gli andamenti + R3 R+R3 I 1 I 1 ( ) I I ( ) t t 5 Quando la spira si trova tutta all interno della regione di campo magnetico, essa si muove di moto rettilineo uniforme e non deve essere impiegata potenza esterna per mantenere la velocità costante Questo avviene nell intervallo di tempo per t < t0=0/v0=5s Successivamente, il diametro AB si verrà a trovare nella regione dove non è presente campo magnetico, e per un certo intervallo di tempo il moto della spira provocherà la variazione del flusso del campo magnetico concatenato alla spira In questo caso la forza elettromotrice indotta che produce il passaggio di corrente nella spira è: ε ind = vb ds = v 0 B con 0 r Il tratto può essere riferito alla coordinata ( negativa ) del punto medio del segmento AB: = r per < - r Nel caso la velocità venga mantenuta costante applicando una forza esterna, abbiamo: = v0 ( t0 - t ) e quindi: = r v 0 ( t 0 t ) ε ind = v 0 B r v 0 ( t 0 t ) La corrente che scorre nel circuito è : I(t) = v 0B R r v 0 ( t 0 t ) La potenza che deve essere mantenuta a spese della forza esterna, solo nell intervallo di tempo t0 < t < t0 + r/v0, è quindi: P(t) = ε ind I = 4(v 0B) (r v 0 ( t 0 t ) ) R