Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Laboratorio 4 - Metodi di Newton e Punto fisso

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1 Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Laboratorio 4 - Metodi di Newton e Punto fisso [1] Metodo di Newton Costruire una MATLAB FUNCTION che, dati dall utente: una funzione f una funzione f1 (derivata di f) un punto iniziale x 0 una tolleranza TOL un numero massimo di iterazioni NMAX, trovi uno zero della funzione f(x) usando il metodo di Newton x k+1 = x k f(x k) f (x k ) k = 0, 1, 2, 3,... Il programma deve fermarsi qualora almeno una delle seguenti condizioni sia soddisfatta il modulo della differenza tra il valore x k calcolato nel passo corrente e il valore x k 1 calcolato nel passo precedente è inferiore a TOL il numero totale di iterazioni effettuate è maggiore o uguale a NMAX. Si applichi il metodo alla funzione f(x) = x 2 7 con x 0 = 10, TOL= e NMAX=200. Si applichi il metodo alla funzione f(x) = sin (x 2 ) con x 0 = 1/2, TOL=10 12, NMAX=200. RISOLVERE ESERCIZIO 1 1

2 [2] Metodo di punto fisso Costruire una MATLAB FUNCTION che, dati dall utente: una funzione g un punto iniziale x 0 una tolleranza TOL un numero massimo di iterazioni NMAX, trovi un punto fisso della funzione g(x) tramite il ciclo iterativo visto a lezione x k+1 = g(x k ) k = 0, 1, 2, 3,... Il programma deve fermarsi qualora almeno una delle due seguenti condizioni sia soddisfatta La stima dell errore è soddisfacente, cioè accade che x k+1 x k < TOL il numero totale di iterazioni effettuate è maggiore o uguale a NMAX. Si applichi il metodo alle funzioni g 1 (x) = log (x) + 2 e g 2 (x) = e x 2, per i punti iniziali x 0 = 8, 1.5, 0.15 per g 1, x 0 = 5, 1, 3, 5 per g 2, TOL= 10 12, NMAX=200. In quali casi converge? Si applichi poi il metodo alle funzioni g 1 (x) = (1 p)x + 1 e g 2 (x) = x(2 px) p = 1/3, 1/2, 2/3, le quali hanno lo stesso punto fisso 1/p. La prima funzione ha un bacino di convergenza più grande (tutta la retta reale), ma la convergenza è solo lineare; la seconda funzione ha viceversa un bacino di convergenza più piccolo (l intervallo (0, 2/p)), ma la convergenza è quadratica. Per testare questo, applicare il programma ad entrambe le funzioni con entrambi i punti iniziali x 0 = 4/p e x 0 = 1/(2p) (TOL=10 12, NMAX=200). Confrontare i risultati. Converge? Quante iterazioni sono state necessarie? 2

3 [3] Combinazione di bisezione e Newton Applicare sia il metodo di bisezione (con la scelta di intervallo [ 15, 20]) che il metodo di Newton (con punto iniziale 20), entrambi con TOL = 10 12, alla seguente funzione Commentare i risultati. Sono soddisfacenti in entrambi i casi? f(x) = arctg(x). (1) Si scriva un programma che usi in successione il metodo di bisezione (toll = 0.001) e quello di Newton (toll = 1e-12) passando a Newton come valore di innesco il valore ottenuto con le bisezioni, e lo si applichi alla funzione f(x) = arctg(x) sull intervallo [ 15, 20]. 3

4 Esercizio 1. Eseguire il grafico delle seguenti funzioni negli intervalli specificati ed in seguito trovarne le radici con il metodo di Newton scegliendo opportunamente il dato iniziale x 0 : a. f(x) = sin(e x ), x [0, 2.5] b. f(x) = e x sin(x), x [ 1, 5] c. f(x) = (x 3 3x + 2)e x, x [ 3, 1.5] Esercizio 2. Si approssimi la radice r [ 1, 5] della funzione f(x) = arctg(200x) 1 ( N.B arctg atan in Matlab): utilizzando fzero; usando in successione il metodo di bisezione (toll = 0.1) e quello di Newton (toll = 1e-12) passando a Newton come valore di innesco il valore ottenuto con le bisezioni. In caso il metodo non convergesse dimezzare la tolleranza richiesta alle bisezioni sino a convergenza del metodo di Newton. Calcolare l errore assoluto sulla soluzione trovata da Newton (assumere come soluzione esatta quella ottenuta con fzero). Esercizio 3. Dato q reale positivo si calcoli 1/q trovando, con il metodo di Newton, la radice di f(x) = 1 x q (toll = 1e-16). Si verifichi, per diversi valori di q e di x 0, che la condizione di convergenza è 0 < x 0 < 2 q. Esercizio 4. (Un problema di matematica finanziaria) La funzione f(x) = B(1 + x) n R (1 + x)n 1, x > 0 x rappresenta il prestito rimanente quando si è ricevuto un prestito iniziale B, sono passati n anni ed è stato applicato un tasso di interesse x (dunque x [0, 1]), restituendo R alla fine di ogni anno. Il valore x tale che f(x ) = 0 rappresenta il tasso di interesse che vorremmo fosse applicato affinchè dopo n anni si estingua il debito. Risolvere l equazione con il metodo di Newton. Applicare il metodo usando i dati B = , R = 12000, n = 10, in altre parole simulando il caso di un prestito di euro, con restituzione di euro alla fine di ogni anno per 10 anni. Utilizzare TOL = e un punto iniziale x 0 intelligente (RISULTATO x = e 2). 4

5 Esercizio 5. (Equazione di stato dei gas) Il volume occupato da un gas V a una temperatura T e pressione p obbedisce alla legge: [ p + a ( ) ] 2 N (V Nb) = knt V a, b= coefficienti caratteristici del gas considerato N= numero delle molecole nel volume V k = JouleK 1 costante di Boltzman Esempio: per l anidride carbonica a = 0.401Pa m 6, b = m 3. Si applichi il metodo di Newton con test di arresto per calcolare il volume (in m 3 ) di N = 1000 molecole di anidride carbonica a temperatura T = 300K e pressione p = (RISULTATO V = e 2). 5