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1 Matematica 3 Dipartimento di Matematica ITIS V.Volterra San Donà di Piave Versione [05-6]

2 Indice I Numeri e Funzioni Numeri 3. Premessa Tipi di numeri Proprietà fondamentali Uguaglianze e disuguaglianze Equazioni e disequazioni Equazioni algebriche Una disgressione sui grafici Disequazioni e sistemi di disequazioni algebriche Equazioni e disequazioni con modulo Equazioni e disequazioni irrazionali Esercizi riassuntivi Appendici 6. Cosa e dove Naturali e Interi Reali Numeri interi e calcolatori Numeri reali e calcolatori Funzioni 9 3. Introduzione Definizioni Grafici Tipi di funzioni Operazioni Proprietà notevoli II Funzioni Trascendenti 5 4 Funzioni trascendenti Introduzione Funzioni esponenziali e logaritmiche Potenze ad esponente naturale, intero e razionale Potenze ad esponente reale Funzione esponenziale elementare Funzione logaritmica Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche elementari [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

3 INDICE ii 4..6 Esercizi sulle equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche elementari Esercizi vari sulle funzioni esponenziali e logaritmiche Funzioni goniometriche Introduzione alla goniometria Richiami geometrici Archi associati (per seno e coseno) Archi associati (per tangente e cotangente) Funzioni inverse Equazioni e disequazioni goniometriche elementari Formule goniometriche Formule di addizione e sottrazione Formule di duplicazione Formule di bisezione Formule di prostaferesi Formule di Werner Formule razionali in tangente Esercizi sulle identità goniometriche Esercizi introduttivi di goniometria Esercizi sulle equazioni e disequazioni goniometriche elementari Esercizi sulle equazioni e disequazioni goniometriche Esercizi vari Esercizi riassuntivi proposti III Geometria Analitica 00 5 Geometria analitica 0 5. Il piano cartesiano Esercizi proposti Le rette Equazioni lineari Relazioni e formule Esercizi proposti Le trasformazioni Simmetrie Traslazioni Cambio di scala Rotazioni Esercizi proposti Le coniche Introduzione La parabola La circonferenza L ellisse L iperbole Esercizi proposti I vettori del piano Segmenti orientati R [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

4 INDICE iii 7 I numeri complessi Forma algebrica Forma trigonometrica ed esponenziale IV Contributi 93 [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

5 Parte I Numeri e Funzioni [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

6 Un elenco completo dei numeri reali: ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, )0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

7 Capitolo Numeri. Premessa Scopo di questo capitolo è di presentare le proprietà fondamentali dei numeri reali. Per capire bene la loro importanza e in cosa differiscono dagli altri numeri è necessario confrontarli tutti assieme e verificarne le proprietà. I numeri reali sono il fondamento su cui costruiremo la quasi totalità delle conoscenze matematiche del triennio. In questo e nel prossimo capitolo ci occuperemo delle proprietà fondamentali dei reali e della loro esistenza. Allo studente potrà sembrare strano che ci si debba preoccupare dell esistenza di numeri che si usano in continuazione; in effetti l argomento è delicato e riguarda un pò tutta la matematica; in fondo in questa disciplina si parla continuamente di oggetti che non hanno alcuna esistenza reale: sono pure costruzioni del pensiero; allora che senso può avere parlare di esistenza? ci occuperemo più estesamente di questo nel prossimo capitolo.. Tipi di numeri Sono noti dal biennio i numeri naturali indicati con N N = {0,,... } i numeri interi indicati con Z (dal tedesco Zahl, numero) Z = {,, 0,,,... } i numeri razionali indicati con Q Q = { m n m, n Z, n 0} si noti che non li abbiamo elencati ordinatamente come nel caso di N e Z anche se questo è possibile. I numeri reali indicati con R dei quali non possiamo dare una elencazione o una definizione precisa ora; ci accontentiamo - almeno per ora - di pensare che contengano tutti i numeri di cui abbiamo avuto la necessità di parlare come le radici o π. Possiamo pensare che questi insiemi numerici siano l uno contenuto nell altro - come dire, inscatolati - N Z Q R poichè i positivi di Z coincidono con N e le frazioni del tipo m coincidono con Z mentre R si può pensare come unione di Q e degli irrazionali. Matematicamente sarebbe più corretto dire che l uno contiene una immagine dell altro ma pensarli direttamente come sottoinsiemi non ha conseguenze decisive. Appendice A. Alcuni studenti avranno già una nozione più precisa di numero reale. [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

8 .3 Proprietà fondamentali 4 Naturalmente questi insiemi sarebbero poco interessanti se non vi fossero definite anche le operazioni di somma e prodotto. Non parliamo delle operazioni di sottrazione e divisione poichè - come sappiamo - si possono pensare inglobate rispettivamente nella somma e nel prodotto. La sottrazione a b la pensiamo come una abbreviazione 3 della somma a + ( b) e la divisione a b come abbreviazione4 del prodotto a b..3 Proprietà fondamentali Le proprietà più importanti delle operazioni sono le seguenti 5 : a + (b + c) = (a + b) + c Associativa della somma (P.) a + 0 = 0 + a = a Elemento neutro della somma (P.) a + ( a) = ( a) + a = 0 Esistenza opposto (P.3) a + b = b + a Commutativa della somma (P.4) a(bc) = (ab)c Associativa del prodotto (P.5) a = a Elemento neutro del prodotto (P.6) aa = a a = Esistenza inverso (P.7) ab = ba Commutativa del prodotto (P.8) a(b + c) = ab + ac Distributiva (P.9) Dove a, b, c sono numeri qualsiasi e a 0 nel caso P.7; inoltre i numeri 0 e sono unici 6. Queste prime 9 proprietà sono quelle che ci permettono di risolvere i problemi di natura algebrica cioè quelli legati alle equazioni o ai sistemi di equazioni. Per affrontare i problemi di natura analitica - di cui ci occuperemo nel seguito - diventano altrettanto centrali le proprietà legate alle disuguaglianze (<, >,, ). Indichiamo con P l insieme dei numeri positivi, intendendo con ciò che possano essere naturali, interi, razionali o reali. Le proprietà che risultano centrali sono: Legge di tricotomia Per ogni numero a, vale una sola delle seguenti: a = 0 a P a P (P0) (i) (ii) (iii) Se a P e b P, allora a + b P Chiusura per la somma (P) Se a P e b P, allora ab P Chiusura per il prodotto (P) Le proprietà sopraelencate non valgono tutte negli insiemi N, Z 7. Valgono però negli insiemi Q, R e questo ci dice che l insieme di queste proprietà non è sufficiente per distinguere l insieme Q dall insieme R; in altre parole, per distinguere i razionali dai reali bisogna introdurre una ulteriore proprietà 8. 3 Avendo definito i numeri negativi. 4 Avendo definito il reciproco. 5 Notiamo che - come d abitudine - non si usa il puntino per indicare il prodotto. 6 Per chi ama le perversioni: il fatto che 0 andrebbe esplicitamente asserito; non vi è modo di dimostrarlo usando le altre proprietà. 7 Per esercizio si scoprano quelle che non sono valide trovando dei controesempi. 8 L ulteriore assioma sarà introdotto in un capitolo successivo. [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

9 .4 Uguaglianze e disuguaglianze 5 Definiamo ora le relazioni di disuguaglianza: Definizione.3.. a > b se a b P a < b se b > a a b se a > b o a = b a b se a < b o a = b Come si può notare, tutte le usuali relazioni di disuguaglianza sono definibili a partire dalla definizione dell insieme P. In particolare sottolineiamo che a > b è solo un altro modo di dire che b < a e che possiamo usare a b quando sappiamo che uno dei due a < b o a = b è vero ma non entrambi ecc..4 Uguaglianze e disuguaglianze Altre relazioni di uguaglianza importanti che non dobbiamo assumere come postulati ma che possiamo dimostrare: R 0 = 0 = 0 (.) Legge annullamento del prodotto a, b R ab = 0 a o b = 0 (.) Il significato di 0 0 (.3) a, b R ( a)b = (ab) a( b) = (ab) (.4) a R a 0 /(/a) = a (.5) a, b R a, b 0 /(ab) = (/a)(/b) (.6) a R a 0 /( a) = (/a) (.7) Relazioni di disuguaglianza: La relazione (e anche la ) è un ordinamento totale (.8) Riflessiva R Antisimmetrica siano, R se e allora = Transitiva siano,, z R se z allora z Totalità dell ordine oppure Il termine totale che compare nella proprietà indica che tutti i numeri sono confrontabili e questo si deduce dalla P0 (Tricotomia). La relazione < (e naturalmente anche la >) è pure un ordinamento totale; in questo caso però bisogna sostituire la proprietà Riflessiva con la Irriflessiva: R < è falsa. Le relazioni, si dicono disuguaglianze in senso debole mentre le <, > si dicono disugaglianze in senso forte. Nel seguito useremo indifferentemente tutte le relazioni (<, >,, ) secondo la convenienza del momento. Ulteriori proprietà e regole di calcolo con disuguaglianze: Proposizione.4.. Siano,,, R. Se e allora + +. L ultima disuguaglianza è forte se e solo se almeno una delle altre due lo è. [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

10 .4 Uguaglianze e disuguaglianze 6 La proposizione resta vera se sostituiamo la relazione con una qualsiasi delle altre (naturalmente sempre la stessa). Dimostrazione. Per la definizione.3. da si ha P oppure = 0 e da si ha P oppure = 0. Per la proprietà P si ha + P cioè + ( + ) P oppure + ( + ) = 0 che per definizione significa + < + oppure + = + e quindi + +. Analogamente per le altre disuguaglianze. Questa proposizione dice che le disuguaglianze dello stesso verso possono essere sommate membro a membro. La stessa cosa non si può dire per le moltiplicazioni: ad esempio da e 3 si ottiene 6 evidentemente falsa. Il comportamento delle disuguaglianze rispetto alla moltiplicazione è riassunto nelle seguenti proposizioni: Proposizione.4.. Siano,, z R. Se e z > 0 allora z z; se z < 0 allora z z. Analogamente per i casi < e >. Dimostrazione. Se e z > 0 allora z P e per la definizione.3. si ha P oppure = 0. Quindi per la proprietà P si ha ( )z = z z P o z z = 0 e quindi z < z o z = z da cui z z. Se e z < 0 allora z P e si ha P oppure = 0. Quindi ( )( z) = (z z) = z z P o z z = 0 (anche per.4). Perciò z < z o z = z e in definitiva z z. Analogamente per le altre disuguaglianze. In particolare dalla.4. con z = si ottiene la regola: se si cambiano i segni ad ambo i membri di una disuguaglianza questa si inverte. Proposizione.4.3. Siano,,, R. Se 0 e 0 allora. Analogamente per i casi < e >. Dimostrazione. Primo caso: supponiamo > 0. Allora per e la proposizione precedente si ha: ; e se > 0 da si ottiene ; quindi = e per transitività (.8). Se invece = 0 allora anche = 0 (dimostrarlo) e quindi = 0 e = 0 da cui la tesi. Secondo caso: sia = 0 allora anche = 0 (dimostrarlo) e quindi = 0. Il prodotto è = 0 se uno dei due è = 0 (.), altrimenti è > 0: in ogni caso 0 =. Analogamente per le altre disuguaglianze. Proposizione.4.4. Siano, R. Se 0 e 0 allora 0. Se 0 < e 0 < allora 0 <. Se < 0 e < 0 allora 0 <. Se < 0 e 0 < allora < 0. Osservazione: La proposizione.4.4 esprime la nota regola dei segni: ++ = +, = +, + =, + =. Proposizione.4.5. R 0. Se 0 allora > 0. I quadrati sono positivi. Proposizione.4.6. R se > 0 allora / > 0. Se < 0 allora / < 0. Definizione.4.. Si dice valore assoluto di R il = 0 0 Questa definizione sottolinea che > 0 se < 0. Osserviamo anche che il valore assoluto ha significato solo se sono presenti numeri negativi e quindi gli opposti dei numeri (non in N) e che non ha il significato di numero senza segno, ma semplicemente il numero o il suo opposto. Utile sottolineare che è sempre positivo salvo il caso = 0. Il fatto più importante che riguarda il valore assoluto è: Teorema.4. (Disuguaglianza triangolare)., R + + [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

11 .4 Uguaglianze e disuguaglianze 7 Dimostrazione. Procediamo per casi: Caso 0, 0: allora abbiamo + 0 e quindi, per definizione, + = + = + e vale proprio l uguaglianza. Caso 0, 0: allora + 0 e quindi + = (+) = ( )+( ) = + e di nuovo vale l uguaglianza. Caso 0, 0: in questo caso dobbiamo dimostrare che +. Si presentano due casi: se + 0 allora dobbiamo far vedere che + cioè che sarà certamente vero perchè 0 e quindi 0. Nel secondo caso se + 0 dobbiamo dimostrare che cioè che è certamente vero dato che 0 e quindi 0. Caso 0, 0: la dimostrazione è identica alla precedente scambiando i ruoli di e. Osservazione: Il teorema ci dice che il modulo della somma non è uguale alla somma dei moduli; dalla dimostrazione si vede che lo è solo nel caso che i numeri abbiano lo stesso segno: entrambi positivi o entrambi negativi. Negli altri casi vale la disuguaglianza stretta come si vede negli esempi seguenti. Esempi.. π + ( 3) = π 3 < π + 3 = π ( ) = < + = = + 3 = = = Il prodotto e il quoziente si comportano molto meglio: Proposizione.4.7., R si ha = (il modulo del prodotto è uguale al prodotto dei moduli). Se 0 allora anche = (il modulo del quoziente è uguale al quoziente dei moduli). Terminiamo il capitolo con una considerazione generale: è sensato chiedersi perchè si dimostrano tutte queste proprietà dei numeri che sembrano (e sono) ovvie e perchè si è scelto di assumere come proprietà indimostrate (assiomi) le P. - P che sono altrettanto ovvie. La risposta non è semplice e coinvolge questioni molto complesse e profonde che non sono affrontabili in un corso di studi secondario; non in tutta generalità perlomeno. Lo studente impara a conoscere i numeri e a lavorarci sin dalle scuole elementari ma il problema di stabilire cosa i numeri veramente sono resta una questione incerta 9. Anche in questo corso impareremo ad usare i numeri e a conoscerne ulteriori proprietà ma con una consapevolezza maggiore: ci renderemo conto che, anche non sapendo bene cosa sono i numeri, certamente dovranno avere le proprietà P. - P. Vedremo anche che quelle proprietà non sono sufficienti per risolvere tutti i problemi che siamo in grado di porci e che dovremo estenderle in modo decisamente innovativo. 9 Come dice V.A.Zorich in Mathematical Analiss I : I numeri in matematica sono come il tempo in fisica: tutti sanno cosa sono ma solo gli esperti li trovano difficili da capire. [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

12 .4 Uguaglianze e disuguaglianze 8 Esercizi Esercizio.4.. Dimostrare le proprietà delle uguaglianze (.4). Esercizio.4.. Dimostrare le proprietà delle disuguaglianze (.8). Esercizio.4.3. Dimostrare la proposizione.4.5. Esercizio.4.4. Dimostrare la proposizione.4.6. Esercizio.4.5. Dimostrare la proposizione.4.7. [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

13 .5 Equazioni e disequazioni 9.5 Equazioni e disequazioni In questo paragrafo useremo le proprietà e gli assiomi dei numeri razionali e reali per risolvere alcune equazioni e disequazioni algebriche, razionali, irrazionali e con moduli. Naturalmente, in alcuni casi, si tratterà di un ripasso di nozioni già viste nel biennio..5. Equazioni algebriche Esempio.5.. esempio.5. Una disgressione sui grafici Lo studente ha già usato i grafici per rappresentare le soluzioni delle disequazioni e dei sistemi di disequazioni algebriche incontrate nel biennio. Illustriamo le convenzioni che assumiamo nel tracciare i grafici. Grafico di intersezione. Viene usato quando si risolve un sistema di disequazioni o quando la disequazione porta ad un sistema equivalente come nel caso delle frazionarie 0. O Assumiamo di tracciare una linea che rappresenta l asse delle sulla quale fissiamo gli estremi degli intervalli calcolati. Tracciamo una linea continua (una per ogni disequazione) che rappresenta gli intervalli dove la singola disequazione è soddisfatta. Infine tratteggiamo l area che rappresenta l intersezione di tutte le soluzioni delle disequazioni. Grafico dei segni. Viene usato quando si risolve una disequazione in cui compaiono prodotti o quozienti in cui il segno complessivo della disequazione dipende dai segni dei singoli fattori. 7 5 O + + Assumiamo di tracciare una linea che rappresenta l asse delle sulla quale fissiamo gli estremi degli intervalli calcolati. Tracciamo una linea continua (una per ogni fattore) che rappresenta gli intervalli dove il fattore è positivo e una linea tratteggiata dove il fattore è negativo. Infine indichiamo, applicando la regola dei segni, con segni + e le zone corrispondenti. Per maggiore chiarezza cerchiamo con un circoletto i segni nelle zone che rappresentano soluzioni della disequazione. In entrambi i tipi di grafico assumiamo di congiungere con linee verticali gli estremi degli intervalli ai corrispondenti valori sull asse delle : con linea continua se l estremo è compreso, altrimenti con linea tratteggiata. Ricordiamo che, in molti casi, può essere necessario tracciare più grafici per la stessa disequazione o sistema e non è escluso che si debba tracciare, per lo stesso problema, grafici di entrambi i tipi. 0 O delle modulari e irrazionali come si vedrà presto. [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

14 .5 Equazioni e disequazioni Disequazioni e sistemi di disequazioni algebriche Ricordiamo che il polinomio di secondo grado a +b+c assume valori positivi o negativi in funzione del valore del discriminante = b 4ac; per la precisione se a > 0, cosa a cui possiamo sempre ricondurci eventualmente cambiando tutti i segni, e > 0 allora il polinomio è positivo esternamente all intervallo delle soluzioni e negativo internamente; se = 0 allora il polinomio è sempre positivo tranne nell unica radice; se < 0 allora il polinomio è sempre positivo. Esempio.5.. Risolvere la disequazione (3 ) + 3 < 5 ( ) per quanto detto, le soluzioni sono: < < 0 = = 5 > 0 = ± 5 6 = = < <, in intervalli: ] 8 3, [. Esempio.5.3. Risolvere il sistema di disequazioni ( + 5) > 3( + ) > 3( ) + + > 0 tutte le disequazioni sono di secondo grado, quindi semplifichiamo e calcoliamo i discriminanti + 0 > > 3( ) 3 = 8 = 7 < 0 per quanto detto si ha = ± 4 3 = ± formula ridotta ( 5) < 0 disequazione spuria R riportiamo su un grafico di intersezione < 0 5 < 0 3 = 8 = 7 < 0 = = 3 = 0 = 5 R = 6 = 4 > 0 = 5 > 0 3 = 8 = 7 < 0 < < 3 0 < < 5 R O 3 5 quindi le soluzioni sono: < < 3, in intervalli: ], 3[. Ricordiamo che le disequazioni di grado superiore al secondo si risolvono cercando di scomporre in fattori il polinomio della disequazione normalizzata. Poi si studierà il segno dei vari fattori e si riporterà in un grafico dei segni. Analogamente per le disequazioni frazionarie. Esempio.5.4. Risolvere la disequazione di terzo grado < 0 osserviamo che il polinomio si annulla per = e quindi è divisibile per il binomio +. La divisione ci consente di scrivere = ( 5 + 6)( + ) = ( 3)( )( + ) riportiamo su un grafico dei segni i tre fattori ottenuti Ridotta in forma normale con lo 0 a destra. T. del resto. trinomio di secondo grado [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

15 .5 Equazioni e disequazioni O quindi le soluzioni sono: < < < 3, in intervalli: ], [ ], 3[. Esempio.5.5. Risolvere la disequazione frazionaria ( + ) 3 ( ) 3 + > osserviamo che numeratore e denominatore sono rispettivamente differenza e somma di cubi e quindi si scompongono nel modo seguente ( + ) 3 ( ) 3 + > ( + )(( + ) + ( + ) + ) ( + )(( ) ( ) + ) > ( ) ( 3 + 3) > > > 0 studiamo i segni di numeratore e denominatore. N > 0 per > 0. D > 0: osserviamo che = 9 = 3 < 0 e quindi D > 0 R. Riportando in grafico dei segni O + quindi le soluzioni sono: > 0, in intervalli: ]0, + [. [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

16 .5 Equazioni e disequazioni Esercizi.. Alcuni esercizi su disequazioni e sistemi di disequazioni algebriche. > 3(9 ) 5 < ( + 4)( + 5) > > 5 < 3 7 ( )( 3)( + ) < 0 (3 < < 3) ( < < > 3) 3. < 3 + ( < 3 > ( < = ) ( 3 ) ( 0 < 4 ) (0 < 5 4 < 3 ) ( ) [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

17 .5 Equazioni e disequazioni Equazioni e disequazioni con modulo Ricordiamo la definizione di modulo o valore assoluto di un numero reale: = 0 0 Equazioni. Ci proponiamo di risolvere l equazione f() = k con f() espressione nella variabile e k R. Si presentano tre casi: Se k < 0, allora l equazione è impossibile, poiché, come già detto, 0, R. Se k = 0, allora l equazione con modulo è equivalente alle equazioni ±f() = 0 cioè alla f() = 0 Se k > 0, allora l equazione con modulo è equivalente alla coppia di equazioni che si risolvono separatamente. ±f () = k Esempio.5.6. Risolvere l equazione Per quanto detto si ha 4 = 5 4 = 5 cioè = = 5 cioè = 5 4 Osserviamo che l equazione in esame è solo apparentemente di primo grado; se così fosse avrebbe una sola soluzione come ben noto. Se pensiamo ai possibili valori della espressione 4, cioè alla funzione 3 f() = 4 ci rendiamo conto che potrà assumere due volte il valore 5. 5 f() = Come si vedrà nel capitolo sulle funzioni. [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

18 .5 Equazioni e disequazioni 4 Consideriamo l equazione con modulo più generale f () = g () con f () e g () espressioni nella variabile. Essa è equivalente all unione dei sistemi misti { f() 0 f() = g() { f() 0 f() = g() Esempio.5.7. Risolvere l equazione Per quanto detto si ha { 0 ( ) = + = + { 0 = + vale a dire { + = 0 { = 0 = { + = 0 { = = Le soluzioni quindi sono = e = 0. Osservazione: Il fatto che la soluzione = compaia in entrambi i sistemi (ma nell unione viene contata una sola volta) dipende dalla definizione di modulo che abbiamo dato: lo zero compare due volte, sia come numero positivo che come negativo; come sappiamo 0 = 0, l opposto di 0 è 0 stesso e questo è l unico numero che ha questa proprietà. Disequazioni. Consideriamo la disequazione con modulo f () < k con k R. Risulta se k 0, la disequazione risulta impossibile; se k > 0, allora la disequazione risulta equivalente al sistema di disequazioni { f () > k f () < k Per la disequazione con modulo con k R, risulta f () k se k < 0, allora la disequazione è impossibile: se k = 0, allora la disequazione è equivalente all equazione f () = 0 [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

19 .5 Equazioni e disequazioni 5 se k > 0, allora la disequazione è equivalente a k f() k che è equivalente al sistema di disequazioni { f () k f () k Nel grafico abbiamo disegnato la f() completa e la parte negativa ridisegnata positiva in corrispondenza a f(). Si può constatare che i valori di che soddisfano la f() k sono quelli compresi fra l asse e la retta ad altezza k cioè quelli che, dopo aver esplicitato il modulo, sono compresi fra le rette ad altezza k e k. f() f() k k Esempio.5.8. Risolvere la disequazione Si ha vale a dire { { = 4 ± 9 = 4 ± 3 = 4 ± 3 = 4 ± 3 Riportando in grafico di intersezione: { { { = 7 = = = 4 3 O [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

20 .5 Equazioni e disequazioni 6 Le soluzioni sono: In intervalli: [, 4 3] [4 + 3, 7]. Più in generale, le disequazioni con modulo f () < g () e f () g () sono equivalenti rispettivamente ai sistemi di disequazioni { { f () > g () f () g () e f () < g () f () g () Esempio.5.9. Risolvere la disequazione Si ha vale a dire Risolviamo la prima disequazione frazionaria: > < < < { 7 +5 > 7 +5 < > > 0 Numeratore: = 3 ± 6 = 3 ± 4 = 7, =. Quindi N > 0 per < 7 >. Denominatore: + 5. Quindi D > 0 per > 5. Riportando in grafico dei segni: 7 5 O + + Soluzioni: 7 < < 5 >. Risolviamo la seconda disequazione frazionaria: < < < > 0 Numeratore: = ± 3 < 0. Quindi N > 0 R. Denominatore: + 5. Quindi D > 0 per > 5. Riportando in grafico dei segni: 5 O + Soluzioni: > 5. Riportiamo le soluzioni delle due disequazioni in un grafico di intersezione: [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

21 .5 Equazioni e disequazioni O Le soluzioni finali sono: >. In intervalli: ], + [. Sia data la disequazione con modulo con k R, risulta f () > k se k < 0, allora è verificata per tutti i valori di nel dominio di f (); se k = 0, allora è verificata per tutti i valori di nel dominio di f (), esclusi quelli per cui f () = 0; se k > 0, allora la disequazione è equivalente a f () < k f () > k Quest ultimo caso si capisce bene se si tiene presente il grafico.5.4. Per la disequazione con k R, risulta f () k se k 0, allora è verificata per tutti i valori di nel dominio di f (); se k > 0, allora la disequazione è equivalente a Consideriamo, più in generale, le disequazioni f () k f () k f () > g () e f () g () ragioniamo sulla prima: ricordando la definizione di modulo { { f() 0 f() < 0 e f () > g () f () > g () analogamente per la seconda. Esempio.5.0. Risolvere la disequazione 4 < Osserviamo che il C.E. è 4 e che il denominatore è sempre positivo per i valori consentiti. Possiamo quindi moltiplicare per 4. Per quanto detto risulta < 4 4 > { > e { 4 < > [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

22 .5 Equazioni e disequazioni 8 cioè { 4 + < 0 { 4 = 8 < 0 { Le soluzioni sono 3 < <. In intervalli: ] 3, [. e e { < 4 e + + < 0 { < 4 = ± 5 = ±5 { < 4 3 < < Può capitare di dover risolvere equazioni o disequazioni con più di un modulo. In questi casi basterebbe applicare più volte le soluzioni discusse in precedenza; questo procedimento conduce, nella maggioranza dei casi, ad una situazione molto complicata in cui è facile commettere errori di calcolo; per questo decidiamo di scomporre l equazione-disequazione in più sistemi equivalenti usando la definizione di modulo. Vediamo due esempi. Esempio.5.. Risolvere l equazione = + Riportiamo in grafico di segni i due moduli che compaiono nell equazione: O Come si vede le zone sono tre: 0, 0, ; scriviamo i corrispondenti sistemi misti per le tre zone: { { { = + = + = + { 0 = indeterminata Soluzioni finali: 0, in intervalli: [0, + [ { 0 = 0 = 0 0 = 0 Esempio.5.. Risolvere la disequazione < + + Riportiamo in grafico di segni i due moduli che compaiono nell equazione: O { = impossibile + Come si vede le zone sono tre:,, ; scriviamo i corrispondenti sistemi per le tre zone: { { + < { < 0 Soluzioni finali: >, in intervalli: ], + [ + < + + { > < { < + + { 0 < 3 R [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

23 .5 Equazioni e disequazioni 9 Esercizi Alcuni esercizi sui moduli = 3. 7 = 3. 5 < 3 ] 5, [ > 5 ( < 7 3 > in intervalli: ], 7 3 [ ], [) > 5 ( 0, ], [ ] 3, 3 [ ], + [) 3 4 ( 0, ]0, ] [4, + [) + + < < R [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

24 .5 Equazioni e disequazioni Equazioni e disequazioni irrazionali Una equazione o disequazione si dice irrazionale se al suo interno l incognita compare almeno una volta sotto il segno di radice n-esima. Particolare attenzione 4 bisogna prestare, come vedremo, al caso in cui n è un intero pari. Equazioni. Consideriamo l equazione irrazionale n f () = g () con n > naturale, f () e g () funzioni algebriche nella variabile. Supponiamo n dispari, allora l equazione irrazionale è equivalente all equazione razionale f () = (g ()) n Non poniamo alcuna condizione su f() poichè la radice di indice dispari di un numero reale esiste sempre. Supponiamo n pari, allora l equazione irrazionale è equivalente al sistema misto razionale f () 0 g () 0 f () = (g ()) n In caso di indice pari sappiamo che la radice esiste solo se il radicando è positivo, da cui la condizione su f(); la condizione su g() si rende necessaria perchè la radice di un numero reale è sempre positiva o nulla. Esempio.5.3. Risolvere l equazione = 3 + = = 0 (6 + 4) = 0 applicando la legge di annullamento del prodotto = = 0 = 0 = ± 5 Soluzioni finali: = 0 = 3 = 4 3 Esempio.5.4. Risolvere l equazione = + 5 per quanto detto l equazione risulta equivalente al sistema misto = R 5 ( + 5) = 0 < ( 5) = 0 R 5 = 0 = 5 considerando che 5 > 5, entrambe le soluzioni sono accettabili. Soluzioni finali: = 0 = 5. 4 Lo studente ne è cosciente se ha studiato i radicali nel biennio. [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

25 .5 Equazioni e disequazioni Disequazioni. Sia data la disequazione irrazionale n f () < g () con n > naturale, f () e g () funzioni algebriche nella variabile. Supponiamo n dispari, allora la disequazione irrazionale è equivalente alla disequazione razionale f () < (g ()) n Supponiamo n pari, allora la disequazione irrazionale è equivalente al sistema di disequazioni razionali f () 0 g () > 0 f () < (g ()) n In caso di indice pari la condizione che f() 0 è la condizione di esistenza della radice. La condizione su g() si impone perchè deve essere maggione di un numero positivo o nullo. Esempio.5.5. Risolvere la disequazione < estraendo la radice cubica, le soluzioni sono: < 3 Esempio.5.6. Risolvere la disequazione 3 3 < < < per quanto detto la disequazione risulta equivalente al sistema 0 > 0 < + 0 > > 0 0 > 3 + < 0 Non abbiamo evidenziato la condizione 0 perchè già contenuta nella condizione di esistenza della radice. Risolviamo la prima disequazione: 0 Segno del numeratore: N 0 per. Segno del denominatore: D > 0 per > 0. Passando al grafico dei segni: O + + Le soluzioni sono [, 0[ [, + [. Risolviamo la terza disequazione: > 0 [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

26 .5 Equazioni e disequazioni Il numeratore è di terzo grado per cui sarà necessario scomporre il polinomio. Osservando che il esso si annulla per = sappiamo 5 che è divisibile per, da cui si deduce che = ( )( ). Non volendo usare la divisione si può osservare che = 3 ++ = ( ) ( ) ( ) = ( )( ) con lo stesso risultato. Siamo ricondotti alla Passando al grafico dei segni: ( )( ) > 0 O Riassumendo < 0 > < 0 < < > + che riportiamo in grafico d intersezione O + Soluzioni finali: > +, in intervalli: ] +, + [. Sia data la disequazione irrazionale n f () > g () con n > naturale, f () e g () funzioni algebriche nella variabile. Supponiamo n dispari, allora la disequazione irrazionale è equivalente alla disequazione razionale f () > (g ()) n Supponiamo n pari, allora la disequazione irrazionale è equivalente all unione dei sistemi di disequazioni razionali { f () 0 f () 0 g () 0 g () < 0 f () > (g ()) n i due sistemi si spiegano osservando che possiamo avere soluzioni valide sia nel caso g() < 0 che nel caso g() 0; nel primo caso basterà che la radice esista (f() 0) e sarà ovviamente maggiore di un numero negativo; nel secondo caso, con entrambi i membri positivi o nulli bisognerà anche elevare alla n. 5 Per il teorema di Ruffini. [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

27 .5 Equazioni e disequazioni 3 Osserviamo che nel secondo sistema la condizione di esistenza f() 0 è superflua dato che poi f() deve essere maggiore di una potenza pari. Quindi si avrà { { f () 0 g () 0 g () < 0 f () > (g ()) n Esempio.5.7. Risolvere la disequazione > per quanto detto la disequazione risulta equivalente ai sistemi { 0 < 0 { > { > { > { 0 > { < 0 { ( + ) < 0 Il secondo sistema non da soluzioni mentre per il primo usiamo un grafico d intersezione O Soluzioni finali:, in intervalli: [, + [. [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

28 .5 Equazioni e disequazioni 4 Esercizi Alcuni esercizi su equazioni e disequazioni irrazionali = (, 3) = (0, = = 0 () + 3 > 3 ( < ) 5 ) 6. 5 > 7 ( ) > + ( 5 < < 0) 3( ) < 5 ( 7 < ; < ) > > + ( < < 3 ) + + > 4 ( ) (5) + > ( > ) + > 0 ( ) 3 0 ( ) [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

29 .5 Equazioni e disequazioni Esercizi riassuntivi. + + > + ( ) > ( < > 3) + > ( < < 3 ; ) 4. + > 5 ( < > ) ( ) > + + > 0 ( < 0 < < > ) [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

30 Capitolo Appendici. Cosa e dove Nell insieme N possiamo risolvere equazioni ma solo entro certi limiti; ad esempio l equazione 4 = 0 ha soluzione = ma l equazione + 4 = 0 ha soluzione = che non appartiene a N; un discorso analogo vale per Z considerando le equazioni + 4 = 0 e + 3 = 0; quest ultima ha soluzione 3, un numero razionale; in generale possiamo dire che l equazione a + b = 0 ha sempre soluzione solo se può assumere valori in Q. E ragionevole chiedersi quali altri problemi possano richiedere l introduzione di nuovi numeri. Dalla geometria è noto che un quadrato con lati di misura ha diagonale di misura che deve soddisfare il teorema di Pitagora, cioè = +, vale a dire =. Questa equazione di secondo grado ha come soluzioni i numeri e che non sono razionali. Riportiamo per comodità la dimostrazione di questo fatto: Proposizione... Il numero / Q Dim. Per assurdo. Supponiamo che esistano numeri interi m e n relativamente primi, tali che = m. Elevando al quadrato si n ottiene = m n dove m e n non hanno fattori comuni e - in particolare - non sono entrambi pari. Anche m e n, di conseguenza, non sono entrambi pari perchè il quadrato di un numero dispari è dispari. Semplificando otteniamo n = m da cui si deduce che m è pari e così anche m, cioè n = (k) = 4k da cui n = k. Allora anche n e n sono pari; questa è una contraddizione perchè avevamo stabilito che m e n non potevano essere entrambi pari. = Esercizi. Naturali e Interi I numeri appartenenti ad N, chiamati comunemente numeri naturali, non soddisfano tutte le proprietà elencate nel paragrafo.. La proprietà P. certamente vale ma la P. vale solo se consideriamo 0 N ed è quello che faremo 3. Quindi per noi Cosa c entrano i dispari? Dimostrare per esercizio 3 Non tutti gli autori fanno questa scelta. N = {0,,,... } [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

31 .3 Reali 7 Le proprietà P.3 e P.7 certamente non valgono quindi considerando quanto detto nel paragrafo. e riflettendo sulle dimostrazioni delle regole elencate nel paragrafo.4, concludiamo che l insieme N è molto povero algebricamente. Tuttavia questi numeri sono importanti per molti motivi non ultimo il fatto che gran parte della matematica si fonda su di essi 4 e che li usiamo per contare, procedimento senza dubbio fra i più primitivi. Non è secondario il fatto che abbiano un ruolo centrale in molte questioni informatiche e algoritmiche 5. Lo strumento più importante che abbiamo a disposizione per fare dimostrazioni con i numeri naturali è il seguente: Principio (Induzione matematica). Sia N e P una certa proprietà dei naturali; indichiamo con P () il fatto che la proprietà P valga per il numero. Allora il principio afferma che P () è vera per tutti gli naturali se sono verificate le seguenti: P (0) è vera () se P (k) è vera, allora P (k + ) è vera () Osservazione. L enunciato sembra certamente strano e ancor più strano che lo si debba considerare un Principio. La sua utilità (anzi, indispensabilità) si potrà comprendere solo con molti esempi. Il principio è equivalente alla proprietà seguente: Principio (Buon ordinamento). Sia A N un insieme di numeri naturali non vuoto. Allora A ha un elemento minimo. L equivalenza dei due principi si può facilmente dimostrare (vedere esercizi riassuntivi) e il Buon ordinamento sembra molto più evidente e facile da accettare. Si ricordi comunque che nessuno dei due è dimostrabile usando le proprietà P.... P. Esercizio... Ogni numero naturale è pari o dispari 6. Ricordiamo che un numero si dice pari se è della forma k per un qualche intero (naturale) k e si dice dispari se è della forma k +. Buon ordinamento. Sia A l insieme dei numeri naturali che non sono ne pari ne dispari. Dimostreremo che A è vuoto. Per assurdo: sia A non vuoto; allora per il Buon ordinamento sia m A minimo che non sia ne pari ne dispari; consideriamo m, non può essere pari perchè se m = k allora m = k + e sarebbe dispari e quindi m / A; analogamente m non può essere dispari perchè se m = k + allora m = k + = (k + ) = k e sarebbe pari quindi m / A; concludiamo che m A non essendo ne pari ne dispari. Questo è assurdo perchè m < m ma m era il minimo di A. Induzione matematica. Sia P () la proprietà essere pari o dispari. Per il principio di induzione dobbiamo dimostrare che P (0) è vera: infatti 0 = 0 e quindi è pari. Dimostriamo ora la proprietà ). Supponiamo che P (k) sia vera per un qualche valore k, dobbiamo far vedere che allora è vera anche P (k + ). Siccome P (k) è vera, k sarà pari o dispari. Se k è pari allora k = h e k + = h + è dispari, quindi P (k + ) è vera. Se Se k è dispari allora k = h + e k + = h + = (h + ) = h è pari, quindi P (k + ) è vera. In ogni caso P (k + ) è vera. Esercizi.3 Reali Esercizi 4 Un famoso matematico, Kronecker, soleva dire che i numeri naturali sono creati da Dio, il resto è opera dell uomo. 5 Si veda il paragrafo.4 e il documento Laboratorio Matematica. 6 Ma non è ovvio?, dirà lo studente. [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

32 .4 Numeri interi e calcolatori 8.4 Numeri interi e calcolatori Esercizi.5 Numeri reali e calcolatori Esercizi [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

33 Capitolo 3 Funzioni 3. Introduzione La nozione che vogliamo studiare è quella di funzione. Lo studente ha già incontrato questa nozione in precedenza ma la sua importanza è tale che si rende necessario riprenderla e approfondirla. In futuro le funzioni saranno riprese molte volte e ancora molte volte sarà necessario approfondire questo concetto; anzi, non crediamo di esagerare se diciamo che nei prossimi tre anni ci occupero sostanzialmente di funzioni. A scopo puramente illustrativo esaminiamo alcuni esempi di funzioni. Definizione 3.. (Provvisoria). Una funzione è una regola che associa ad un certo numero un altro numero. Esempio 3... la regola che associa ad ogni numero il suo quadrato. Esempio 3... la regola che associa ad un numero positivo la sua radice quadrata. Esempio la regola che associa ad ogni numero il numero Esempio la regola che associa ad ogni numero s che soddisfa 3 s 5 il numero s s +. Esempio la regola che associa al numero il numero 5, al numero 5 il numero, a tutti i numeri diversi dai π precedenti il numero 6. Esempio la regola che associa a tutti i numeri irrazionali il numero 0, a tutti i numeri razionali il numero. Esempio la regola che associa ad un numero reale il numero 0 se nelle cifre decimali del numero compaiono un numero finito di cifre pari altrimenti. Dagli esempi emergono le seguenti osservazioni: Una funzione è una regola qualsiasi che associa numeri a numeri e non una regola per la quale esiste una espressione algebrica che la rappresenta. Non è necessario che la regola si applichi a tutti i numeri noti. In qualche caso può essere anche poco chiaro a quali numeri la regola si applichi (per es. 3..7). Sembra necessario dare un nome all insieme dei numeri per i quali effettivamente si può calcolare il valore della funzione. Tale insieme si dirà dominio. Nel prossimo paragrafo tutte le definizioni saranno raccolte in modo ordinato. [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

34 3. Introduzione 30 Le funzioni elencate sottolineano la necessità di usare una qualche notazione specifica per indicarle. In generale useremo le lettere f, g, ecc. per le funzioni e le lettere, ecc. per indicare i numeri. Il valore che la funzione associa al numero si indicherà con f() che si legge f di e che si dice anche il valore di f in o anche l immagine di. Un modo più ordinato per definire le funzioni precedenti è il seguente: Osservazione: la funzione f() = per ogni (3.) g() = per ogni 0 (3.) h() = per ogni (3.3) r(s) = s s per ogni numero s tale che 3 s 5 (3.4) + se = 5 s() = 5 se = (3.5) π 6 ad ogni altro { 0 per ogni irrazionale t() = (3.6) per ogni razionale { 0 se nelle cifre decimali del numero compaiono infinite cifre pari u() = (3.7) per ogni altro potrà essere indicata come spesso, nell indicare funzioni, si potranno usare delle abbreviazioni come, ad esempio, v(t) = t t v(t) = t t senza specificare il dominio; in questo caso è ovvio che si intende come dominio l insieme dei numeri per i quali ha senso calcolare la funzione. t Osservazione: molta attenzione va prestata al seguente fatto: le due funzioni r() = + + t() = + + sono la stessa funzione. Anche se i nomi delle funzioni e delle lettere che indicano i numeri sono diverse. Invece nel caso noi scrivessimo: r() = + + t() = dovremmo considerare diverse le due funzioni dato che il dominio non coincide. [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

35 3. Definizioni 3 Osservazione: ricordiamo anche che, nonostante sia decisamente una perversione, l uso delle lettere che abbiamo indicato rappresenta la consuetudine ma non un obbligo; quindi è perfettamente lecito definire una funzione in questo modo (e ci sono contesti in cui si fa): (f) = f + f + f in questo caso il nome della funzione è mentre i numeri si sostituiscono alla lettera f. Prima di procedere ad una più precisa definizione di funzione è necessario capire bene cosa esattamente caratterizza la nozione di funzione. Nella definizione 3.. provvisoria abbiamo parlato di regola qualsiasi che associa ad un numero un altro numero. Come precisiamo la nozione di regola? In effetti sarebbe troppo complicato restringere il significato della parola regola per ottenere l esatto intendimento dei matematici quando pensano al concetto di funzione. Alla fine, come spesso succede in matematica, quello che conta è il risultato finale: che cos è una funzione? per ogni elemento del dominio dobbiamo conoscere l elemento a cui viene associato cioè f() e quindi sostanzialmente una coppia ordinata (, f()); una funzione diventa un insieme di coppie che possiamo rappresentare, per esempio per f() = 3, con una tabella: f() = π π 3 oppure come elenco: f = {(, ), (, ), (, 3 ), ( 3, ), ( 3, ), (π, π 3 ),... } Per trovare il numero associato al numero basta scorrere l elenco e trovare la coppia (, ) e così via. Supponiamo ora di avere una funzione definita dall insieme: g = {(, 3), (, 5), (, 6), (3, 5),... } chi sarà l immagine del numero? Troviamo la coppia (, 3) ma anche la coppia (, 6) quindi non sarà possibile dire che g() = 3 e neanche che g() = 6); la funzione g non è ben definita: non è univoca. La condizione di univocità è la caratteristica più importante della nozione di funzione. Pensare alle funzioni come regole è più semplice che pensarle come insiemi di coppie ma quest ultimo modo è più rigoroso e permette di condurre più facilmente le dimostrazioni: si tratta di una definizione più astratta. Naturalmente nessuno può vietarci di pensare alle funzioni come a delle regole. Esercizi 3. Definizioni Definiamo il concetto di coppia. Definizione 3... Per coppia (a, b) si intende l insieme ordinato dei due elementi a e b, non necessariamente distinti, in cui ha rilevanza l ordine. Osservazione: è evidente che la coppia (a, b) si distingue dall insieme {a, b} perchè mentre {a, b} = {b, a} per le coppie si ha (a, b) (b, a) cioè nelle coppie è rilevante l ordine degli elementi. Inoltre, mentre la coppia (a, a) contiene effettivamente due elementi, l insieme {a, a} si riduce ad {a}. La definizione al prossimo paragrafo. [05-6] - ITIS V.Volterra San Donà di P.

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