PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA (C.L. Fisica)

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1 19 Dicembre 2003! k k k$ 1) Data la matrice A= # 0 k 1& " 0 1 1% a) Dire per quali valori del parametro k la matrice è invertibile, discutere il sistema AX = b,! x$! 1$ dove X= # y& mentre b == # 1&. " z% " k% b) Si dica per quali valori di k la matrice A 2 è triangolare. 2) Data la matrice " % $ ' B= $ !1' $ ', # 1!1 4 1!3& a) calcolare il rango di B; b) calcolare una base ortonormale {u,v,w} per R 3, quando i u e v sono paralleli al primo ed al secondo vettore colonna di B. 3) Considerati il punto A (2,1,2) ed il vettore v = 2i + 2k, sia r la retta per A e parallela a v. Scrivere le equazioni della sfera e della circonferenza tangente alla retta r nel punto A ed aventi centro sull'asse x. 4) Ridurre a forma canonica e riconoscere la quadrica di equazione - x 2 + 3y 2 + 2yz + 3z 2-4x + 6 y + 2z = 0. 5) Consideriamo i vettori u = (a,1,1), v = (1,-1,a), w = (1,2,-a) ed e = (-a,1,1). a) dire per quali valori del parametro a il vettore e è una combinazione lineare dei vettori u,v,w b) Sia f: R 3 R 3 l'applicazione lineare definita da f(e 1 ) = u, f(e 2 ) = v, f(e 3 ) = w. Determinare: 1) per quali valori del parametro a il vettore e appartiene a Im f; 2) la matrice associata a f rispetto alle basi canoniche; 3) una base di Ker f e una base di Im f; 4) gli autovalori e gli autovettori di f (per il valore a = -1 del parametro).

2 14 Gennaio ) Data la matrice! 2k 2 k$ A= # 1 k k& " 0 0 k% a) Dire per quali valori del parametro k la matrice è invertibile e trovare l inversa b) Discutere il sistema AX = b,! x$! 0 $ dove X= # y& mentre b == # 1 &. " z% " 2k% c) Si dica per quali valori di k la matrice A è simmetrica. 2) Si trovino le equazioni delle sfere di raggio r=5 che tagliano il piano di equazione cartesiana x-y- 2z=1 secondo una circonferenza di raggio 3 e centro C (5,2,1). 3)

3 13 Febbraio 2004! 2k 8 0$ 1) Data la matrice A= # 1 k 0& " k k k% a) Dire per quali valori del parametro k la matrice è invertibile e trovare l inversa.! x$! 0 $ b) Discutere il sistema A# y& = # 1 &. " z% " 2k% c) Si dica per quali valori di k la matrice A 2 è simmetrica. 2) Sia f l'endomorfismo di R 4 al quale, rispetto alla base canonica, è associata la matrice: A = Errore. h,k R. i) Determinare i parametri h e k in modo che i vettori u(4,2,0,0) e v(0,1,0,-1) siano autovettori associati rispettivamente agli autovalori λ= -2 e µ = 4. ii) Assegnati ad h e k i valori precedentemente calcolati, trovare una base per il nucleo e per l'immagine di f, trovare gli autovalori e gli autospazi. 3) Ridurre a forma canonica e riconoscere la conica di equazione 4 x x y + 2x y + 5 = 0. 4) Scrivere l'equazione della sfera con centro nel punto C(1,0,1) tangente al piano di equazione 3x - 2y + 6z = 0. 5) Sono date le rette r = {x = 0,,y = 1, s = {x + 4z - 2 = 0,,y + 1 = 0 e il piano π; y = 2. i) Trovare i punti della retta s equidistanti da r e dal piano π. ii) Scrivere le equazioni delle Sfere aventi centro sulla retta s e tangenti sia al piano π, sia alla retta r.

4 1) Sia S: R 3 R 3, l' applicazione lineare definita da S(x,y,z) = (2 k x + y + k z, 8 x +k y + k z, k z) R. Si determini: 15 Marzo 2004 a) Per quali valori di k la trasformazione lineare S : R 3 R 3 risulta suriettiva e per quali valori è iniettiva. b) una base di Ker S, e una base di Im S, c) la matrice associata a S, rispetto alle basi canoniche; 2) Si scrivano l'equazione cartesiana e le equazioni parametriche della superficie generata dalla rotazione della curva attorno alla retta di equazioni x =0, y=0. r = {x(t) = 1 + r cost,y(t) = 1 + r sent,z(t) = r at 3) In uno spazio vettoriale reale V di dimensione 3 riferito alla base B = {e 1,e 2,e 3 } sono dati i vettori u = 2e 1 + 4e 2 - e 3, v = e 1 + 2e 2, w = e 1 - e 3. a) Verificare che {u,v,w} sono una base di V e determinare le componenti, rispetto ad essa, del vettore x = 3 e 1 - e 2 + 2e 3. b) Trovare la matrice, relativa alla base B, dell'endomorfismo f di V per cui w è un autovettore relativo all'autovalore -1, mentre L(u,v) è l'autospazio relativo all'autovalore 1. c) Verificare che f 2 = Id. 4) Siano r) {x - y - z - 1 = 0,x + 2y - z + 2 = 0 s) {3x - y + 3z + 3 = 0,- 2y + 2 = 0 due rette dello spazio. a) Verificare che sono sghembe. b) Determinare la distanza tra le due rette.

5 1) Sia S: R 4 R 4, l' applicazione lineare definita da Si determini: S(x,y,z,t) = (x + k y k z + 2 t,k y 3 z + 2 t,(k-2) z +3 t, 2 t) a) la matrice associata a S, rispetto alle basi canoniche k R. 21 Aprile 2004 b) per quali valori di k la trasformazione lineare S risulta suriettiva e per quali valori è iniettiva; c) una base di Ker S, e una base di Im S. 2) Studiare la conica di equazione 8 x 2 8 x y + 4 x + 4 y + 10 = 0. 3) Sia P, l'ulteriore intersezione della parabola y 2 = x con la generica retta r, uscente dal suo vertice e sia R l'intersezione di r con la retta x = y + 1. Determinare e studiare il luogo descritto dal punto M di intersezione della parallela all'asse x per P con la parallela all'asse y per R. 4) Sia E lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a due a) Determinare un polinomio p(x) E tale che p(-1) = 1, p(0) = 0 e p(1) = 0; b) Determinare un polinomio q(x) E tale che q(-1) = 0, q(0) = 1 e q(1) = 0; c) Determinare un polinomio r(x) E tale che r(-1) = 0, r(0) = 0 e r(1) = 1. d ) verificare che i polinomi p,q,r trovati costituiscono una base per E.

6 21 Maggio ) Sia f: R 2 R 3, l' applicazione lineare definita da f(1,2)=(5,-1,4) f(-1,1) = (1,1,-1) i) trovare la matrice di f, rispetto alle basi canoniche, ii) iii) trovare Ker(f) e Im(f), l applicazione è iniettiva?, suriettiva? trovare f!1 (3,-1,3), f!1 (1,0,2), f!1 (2,h,3), 2) Sia P, l'ulteriore intersezione della parabola 4 y 2 = x con la generica retta r, uscente dal suo vertice e sia R l'intersezione di r con la retta 2 x = y + 1. Determinare e studiare il luogo descritto dal punto M di intersezione della parallela all'asse x per P con la parallela all'asse y per R. 3) Sia E lo spazio vettoriale dei polinomi nell indeterminata x di grado minore o uguale a due a) Determinare un polinomio p(x) E tale che p(1) = 0, p(0) = 1 e p(- 1) = 0; b) Determinare un polinomio q(x) E tale che q(1) = 1, q(0) = 0 e q(-1) = -1; c) Determinare un polinomio r(x) E tale che r(1) = 3, r(0) = 1 e r(-1) = 1. d ) verificare che i polinomi p,q,r trovati costituiscono una base per E. 4) Scrivere l equazione della conica avente il centro nel punto C(2,1), un vertice nel punto V(2,4) e passante per il punto O(0,0).

7 18 Giugno ) Sia W lo spazio vettoriale dei polinomi della variabile x a coefficienti reali di grado 2; e V lo spazio vettoriale dei polinomi della variabile x a coefficienti reali di grado 3. Consideriamo l'applicazione f: V W definita da Dove P'(x) è la derivata di P(x) rispetto a x. f(p(x)) = P'(x) + 3P(x). a) Verificare che l'applicazione f è lineare; dire se è iniettiva, suriettiva, biiettiva; b) verificare che i polinomi p 1 (x) = 1 + x, p 2 (x) = 1 - x, p 3 (x) = x 2 - x 3, p 4 (x) = x 2 + x 3 ; costituiscono la base B di V; c) verificare che i polinomi q 1 (x) = 2 + x, q 2 (x) = x + x 2, q 3 (x) = x - x 2, costituiscono la base C di W; d) determinare la matrice di f rispetto alle basi B e C. 2) Sia f: R 4 R 4 l'applicazione lineare rappresentata, rispetto alla base canonica, dalla matrice! k $ #-6 4 h 3& A = h,k R # 1 h 0-1 & " 6-2 k 0% a) Determinare il valore dei parametri h e k in modo che il vettore u(1,-1,-4,2) appartenga a Ker f. b) Assegnati ad h e k i valori di cui al punto a), trovare una base per Im f e una base per Ker f. c) Determinare gli autovalori e gli autovettori di f. 3) Si studi la conica C di equazione (cioè se ne determini il tipo, il centro, gli assi i vertici e gli eventuali asintoti) 3x 2 + y 2-12x + 6y + 12 = 0. Si determini poi l'equazione della iperbole γ avente come asintoti gli assi della conica C, e passante per il punto A(3,0). 4) Di un triangolo ABC sono noti il punto A( - 1, 2), il punto medio M(0,1) di AB ed il baricentro G(1,1). Trovare: a) le coordinate di B e C, b) le equazioni delle circonferenze iscritta e circoscritta. 5) Verificare che le tre altezze di un triangolo formano fascio.

8 9 Luglio ) Sia W lo spazio vettoriale dei polinomi della variabile x a coefficienti reali di grado 2.Consideriamo l'applicazione f: W W definita da f(p(x)) = P'(x) + 3P(x). Dove P'(x) è la derivata di P(x) rispetto a x. a) Verificare che l'applicazione f è lineare; dire se è iniettiva, suriettiva, biiettiva; b) verificare che i polinomi q 1 (x) = 2 + x, q 2 (x) = x + x 2, q 3 (x) = x - x 2, costituiscono la base C di W; d) determinare la matrice di f rispetto alla base C. 2) Sia f: R 4 R 4 l'applicazione lineare rappresentata, rispetto alla base canonica, dalla matrice! k $ #-6 4 h 3& A = h,k R # 1 h 0-1 & " 6-2 k 0% a) Determinare il valore dei parametri h e k in modo che il vettore u(2,-2,-8,4) appartenga a Ker f. b) Assegnati ad h e k i valori di cui al punto a), trovare una base per Im f e una base per Ker f. c) Determinare gli autovalori e gli autovettori di f. 3) Si studi la conica C di equazione (cioè se ne determini il tipo, il centro, gli assi i vertici e gli eventuali asintoti) 3x 2 - y 2-12x + 6y + 12 = 0. Si determini poi l'equazione della iperbole γ avente come asintoti gli assi della conica C, e passante per il punto A(3,0). 4) Di un triangolo ABC sono noti il punto A( - 1, 2), il punto medio M(0,1) di AB ed il baricentro G(1,1). Trovare: a) le coordinate di B e C, b) le equazioni della circonferenza circoscritta. 5) Verificare che le tre mediane di un triangolo formano fascio.

9 27 Settembre ) Sia W lo spazio vettoriale dei polinomi della variabile x a coefficienti reali di grado 2.Consideriamo l'applicazione f: W W definita da f(p(x)) = P'(x) + 3P(x). Dove P'(x) è la derivata di P(x) rispetto a x. a) Verificare che l'applicazione f è lineare; dire se è iniettiva, suriettiva, biiettiva; b) verificare che i polinomi q 1 (x) = 2 + x, q 2 (x) = x + x 2, q 3 (x) = x - x 2, costituiscono una base di W; d) determinare la matrice di f rispetto alla base usuale dei polinomi.; e) determinare gli autovalori e gli autovettori di f. 2) Sia f: R 4 R 4 l'applicazione lineare rappresentata, rispetto alla base canonica, dalla matrice! k $ #-6 4 h 3& A = h,k R # 1 h 0-1 & " 6-2 k 0% a) Determinare il valore dei parametri h e k in modo che il vettore u(2,-2,-8,4) appartenga a Ker f. b) Assegnati ad h e k i valori di cui al punto a), trovare una base per Im f e una base per Ker f. c) Determinare gli autovalori e gli autovettori di f. 3) Si studi la conica C di equazione (cioè se ne determini il tipo, il centro, gli assi i vertici e gli eventuali asintoti) 3x y 2-12x + 6y + 12 = 0. Si determini poi l'equazione della iperbole γ avente come asintoti gli assi della conica C, e passante per il punto A(3,0). 4) Verificare che le tre mediane di un triangolo formano fascio.