ESEMPI DI TRACCIAMENTO DIAGRAMMI DI BODE E NYQUIST
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- Valeria Messina
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1 ESEMPI DI TRACCIAMENTO DIAGRAMMI DI BODE E NYQUIST Eempio : Bode 3( + j. ( + j Puti di rottura / τ /.5 / τ /.5 cotributi elemetari G 3 G ( + j. G ( + j cotributo elemetare G ( j 3 G ( (. cotributo elemetare 3 Diagramma di Bode - Modulo Diagramma di Bode - Modulo Diagramma di Bode - Fae Diagramma di Bode - Fae
2 Eempio : Bode 3( + j. Puti di rottura / τ /.5 / τ /.5 G 3 + G cotributo elemetare cotributi elemetari ( + j. ( + j 3 - G ( + j Diagramma di Bode - Modulo Sommado i vari cotributi i ottiee il diagramma aitotico compleivo Diagramma di Bode - Modulo Diagramma di Bode - Fae 5-3 Diagramma di Bode - Fae Eempio : Bode ( + 5 G ( 6 ( + ( + j 5 j( + j zero /5 poli, 3 G 4 Puti di rottura / τ /5. / τ /.5 cotributi elemetari G G j G (+ j G3 ( + j Modulo - G rad/ G3 G G
3 Eempio Bode ( + 5 G ( ( + ( + j j( + j zero /5 poli, Sitema a fae miima Puti di rottura / τ /5. / τ /.5 cotributi elemetari G G j G (+ j G3 ( + j grad 9 - Diagramma di Bode - G G G 5 Eempio Bode ( 5 G ( ( + ( j j( + j zero + /5 poli, - -9 Il diagramma del modulo è idetico a quello dell eempio!!! G G 3 G 6 Puti di rottura / τ /5. / /.5 / j G ( j G 3 τ G ( + j
4 Diagramma di Bode termie triomio jζ ζ + jζ M log + ζ M log + 4 Il modulo preeta u maimo e: ζ < /.77 MODULO Il valore della frequeza el puto di maimo modulo ed il valore del modulo teo oo: r M r / ( ζ ζ ζ diagrammi aitotico del modulo M log log M log ζ M log M r ζ.6 ζ.7 ζ.8 ζ.9 ζ ζ. ζ. ζ.3 ζ.4 ζ.5 decade - - / diagrammi del modulo < / emiretta < / emiretta log( / Queto diagramma aitotico coicide co quello aitotico relativo ad ua COPPIA di poli reali i - 7 FASE Diagramma di Bode termie 4: jζ + diagrammi aitotico fae ϕ ata( ζ / ϕ ( ata( π/ + ϕ ( ata( π/ ϕ ata( π π < ζ > Sfruttado la relazioe tg(α+πtg(α, i ha che per > + la fae viee tralata di π. lo copo è di otteere u diagramma cotiuo a ζ ϕ ata / ζ. ζ. ζ.3 ζ.4 ζ.5 Approimazioe lieare a tratti della fae a+ ζ.6 ζ.7 ζ.8 ζ.9 ζ 4.8 a ζ 8 a /
5 Eempio 3 Bode (. W ( + ( + ( ( + W (. 4 ( + ( + + (+ j W j4 ( + j + jζ + Puti di rottura (zeri: / τ. / τ Puti di rottura (poli 3. Modulo dd ζ Sitema a fae miima ec Eempio 3 Bode (. W ( + ( + ( ( + W (. 4 ( + ( + + (+ j W j4 ( + j + jζ + Puti di rottura (zeri: / τ. / τ Puti di rottura (poli 3. ζ Approimazioe lieare della fae del termie triomio retta - /decade itoo a Sitema a fae miima
6 Eempio 3 Bode W ( + j j Approimazioe lieare della fae del termie triomio co correzioe dipedete da ζ jζ + / τ. / τ Puti di rottura (zeri: Puti di rottura (poli - 3. ζ..63 Approimazioe delle fai co correzioe + ζ ζ / Eempio 4 Bode (. W ( + ( + ( +. ( + W (. ( + ( + jζ + Puti di rottura (zeri: / τ. Puti di rottura (poli / τ ζ W (+ j + 3. Gradi
7 Eempio 4 Bode (. W ( + ( + ( +. ( + W (. ( + ( + jζ + Puti di rottura (zeri: / τ. Puti di rottura (poli / τ ζ W (+ j + 3. Gradi Eempio 5 Sitema paa tutto ( W( ( + 4 ( j W ( + j zero + / poli / Sitema a fae miima Modulo (...5 Puti di rottura (zeri: / τ / + 4 M + 4 Puti di rottura (poli: / τ / 9 ϕ ata( ata( 8 Fae(...5 Im Diagramma di Nyquit Re
8 Eempio 6 iflueza di u ritardo fiito ( + j ( + j j e τ e jτ τ Si eamia il modulo e fae del ritardo fiito j e τ τ τ rad 57.9 τ. τ.rad.57 τ τ rad 57.9 τ Magitude ( Phae (deg Bode Diagram - - Frequecy (ec j e τ j e τ 5 Il ritardo fiito o altera il diagramma dei moduli. Il diagramma delle fai è molto ifluezato dalla preeza del ritardo. Per /τ lo faameto i ritardo è di -59! RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA o POLARE (Nyquit Diagramma polare di G(jluogo dei puti co > ul piao compleo (curva giacete ul piao compleo graduata i. Su queta curva è couetudie porre delle frecce che tao ad idicare il vero di percorreza per valori creceti della pulazioe. RAPPRESENTAZIONE POLARE Im e j RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA Re[ ] + jim[ ] ( ( ( ( ( co arg ( Re G j G j G j ( ( ( i arg ( Im G j G j G j arg( G( j ( 6 Re G j Ricordado che: G(-jG(j* è poibile tracciare ache il luogo dei puti G(j co < ul piao compleo. Tale curva i ottiee come immagie peculare ripetto all ae reale del diagramma polare di G(j co >. Quidi coidereremo empre il diagramma polare o di Nyquit di G(j per - << co idicato il vero di percorreza co delle frecce per valori creceti della pulazioe.
9 Dal diagramma di Bode al diagramma di NyquiT 7 Se i dipoe dei diagrammi di Bode è coveiete cegliere u di queti u iieme di pulazioi campioe, e, facedo riferimeto alla forma polare di G(jw, i riportao i valori del modulo e della fae letti dai diagrammi d Bode ul piao compleo Eempio.( + j / ( + j/( + j/ ( + j/ Modulo Fae Diagramma di Bode Si fiao alcui valori ul diagramma di bode e i riportao el piao compleo i modulo e fae x ϕg ( Diagramma di Nyquit 5 Eempio Cotruzioe del Diagramma di Nyquit da Bode ( + j Ga W Re W + jim W j( + j G a Modulo ( Nyquit Diagram 5 [ ] [ ] G a Fae( Imagiary Axi G a Real Axi G a +
10 B 5 Eempio Cotruzioe del Diagramma di Nyquit da Bode ( j Gb W Re W + jim W j( + j G b Modulo ( 5 [ ] [ ] Nyquit G b Fae( Imagiary G b G b Real Eempio 3: Dal diagramma di Bode al Diagramma di Nyquit B W( - ( +. W ( ( Imagiary Axi ( + j j Nyquit Diagram Real Axi
11 6 Eempio 4: dal diagramma di Bode al Diagramma di Nyquit W( ( +. W + + ( ( ( + j + Nyquit Diagram g Imagiary Axi Real Axi Nota: gli ai o oo i proporzioi uguali quidi viivamete gli agoli oi coicidoo co la fae di bode + ϕ 5.9
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