6.5. La compressione
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- Letizia Ruggeri
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1 6.5. La comreione rofondimenti I materiali iotroi Mentre alcuni materiali (come l acciaio) hanno un uguale comortamento a trazione e a comreione (ono cioè «materiali iotroi») altri (come le ghie, il legno ecc.) i comortano in modo divero. d eemio, la ghia reite meglio a comreione che a trazione (e ertanto avrà una adm a comreione ueriore alla adm a trazione) mentre il legno i comorta in modo ooto L influenza della temeratura Un cao articolare di comreione è illutrato in igura 1. La trave è incatrata alle etremità; non è oggetta ad alcuna forza eterna ma olo a un incremento ( DT ) di temeratura. Dal momento che la dilatazione termica (Dl) T che l 0 ne conegue viene imedita dai due incatri, la trave è oggetta a uno tato di comreione. L allungamento ( Dl) T rodotto dall incremento di temeratura ( DT ) vale: ( Dl) T a l 0 DT IGUR 1 Sollecitazione di comreione dovuta a un incremento di temeratura ( DT ). (+ DT ) ove: a è il «coefficiente di dilatazione termica lineare» del materiale di cui è cotituita la trave (er l acciaio è: a 0, ) C Ma l allungamento ( Dl) T è imedito dalla reazione R orizz dei vincoli (igura 2); il mancato allungamento ( Dl) R vale erciò: Dovendo eere: ( Dl) R R orizz l 0 E riulta: ( Dl) T (Dl) R a l 0 DT R orizz l 0 E da cui i ottiene: a DT R orizz E e quindi: a DT E R orizz Ricordando che il raorto: MLGUTI-ZO - IL UOVO PRICIPI DI MECCIC E MCCHIE LUIDO - CPPELLI EDITORE 1 R orizz
2 rareenta la tenione interna (), i ricava infine: a DT E (1) ( Dl) R IGUR 2 (Dl) T allungamento dovuto all incremento DT di temeratura ( Dl) R accorciamento imoto dalla reazione vincolare R orizz (+ DT ) (+Dl) T R orizz La condizione di icurezza è verificata quando riulta: a DT E adm (2) el notro cao, trattandoi di incremento ( DT ) di temeratura, la tenione aiibile è quella di comreione. Se i foe invece verificata una diminuzione di temeratura (DT ), la trave arebbe tata aoggettata a una ollecitazione di trazione; in tal cao la adm arebbe tata quella di trazione I reciienti cilindrici oggetti a reione interna Un cao articolare di trazione i ha ulle areti dei reciienti cilindrici oggetti a reione interna (igura 3) (eemio: tubi all interno dei quali corre un fluido in reione). Oervando che la forza, che tende a earare il tubo di igura 3a nei due emitubi di igura 3b, è la riultante delle ole comonenti verticali (in quanto quelle orizzontali i annullano recirocamente, eendo uguali e oote), ea uò erimeri (igura 3c) con la relazione: L [] ove: reione del fluido (in acal); diametro interno del tubo (in metri); L lunghezza aiale del tubo (in metri). 1 vert 1 orizz 1 orizz 1 vert (a) (b) IGUR 3 Reciiente cilindrico oggetto a reione interna. (c) vert 2 MLGUTI-ZO - IL UOVO PRICIPI DI MECCIC E MCCHIE LUIDO - CPPELLI EDITORE
3 IGUR 4 Detto (in metri) lo eore della arete, la coeione tra i due emitubi viene eercitata tramite le due uerfici (evidenziate con il colore in igura 4), ciacuna delle quali ha area: 1 L [m 2 ] 1 1 L Le tenioni interne () che i viluano er contratare l azione di ditacco dei due emitubi uno dall altro dovranno valere, er la condizione di equilibrio (3): σ 2 1 o MPa D ovvero: σ L cioè: σ i (3) 2 L 2 La condizione di icurezza imone, come emre, che ia verificata la relazione: adm La tenione aiibile arà quella a trazione, e i tratta di un tubo oggetto a reione interna; a comreione, e i tratta di un coro cilindrico cavo oggetto a reione eterna. La relazione (3) uò criveri, elicitando : (4) 2 σ Se i otituice a la adm i ottiene l ereione utilizzabile in ede di rogetto: min 2 σ adm (5) Strutture cotituite da ate collegate tra loro; untoni e tiranti 30 B = 30 k Una truttura comota da ate collegate tra loro tramite cerniere è chematizzata in igura 5. Le ate B e CD ono aoggettate, er effetto dell alicazione del carico ulla cerniera B, da forzi aiali la cui determinazione uò eere effettuata comonendo nelle direzioni delle ate tee, come illutrato in igura 6. C IGUR 5 Riulta ertanto: co 60 co 60 2 tg tg ,5 MLGUTI-ZO - IL UOVO PRICIPI DI MECCIC E MCCHIE LUIDO - CPPELLI EDITORE 3
4 IGUR 6 B ( 1 ) ( 2 ) C Come è evidenziato in igura 6 la forza 2 one in trazione l ata B; invece la forza 1 one in comreione l ata BC. L ata B, tea, viene erciò chiamata «tirante»; l ata BC, che è comrea, è detta «untone». Pertanto l ata B verrà rogettata (o verificata) a trazione, l ata BC a comreione. ota Bene Il untone BC, eendo una truttura nella, otrebbe erò infletteri lateralmente er effetto del carico aiale 1 (fenomeno del «carico di unta»). Per evitare ciò, la ezione dei untoni viene oortunamente maggiorata. Progettazione di tiranti e untoni Si uonga di dover rogettare, er la truttura di igura 6, ate di ezione quadrata, in acciaio avente R eh 250 / ; le loro ezioni verranno calcolate come egue: ata B (tirante): min ,5 311, 76 B σ adm 166,67 eendo: σ adm R ,67 1, 5 1, 5 Eendo oi: b 2 (ove b è il lato del quadrato) riulta: b min B min B valore che arrotonderemo rudentemente a 20. ata BC (untone): min 1 BC σ adm 311, 76 17, , da cui: b min BC min BC ,97 valore che maggioreremo a 30, trattandoi di un ata nella oggetta a comreione aiale. Il valore maimo della forza 2 che l ata B uò oortare in condizioni di icurezza vale: 2max σ adm B 166, Di coneguenza i avrebbe una forza max che vale: max 2max tg tg ,49 k 4 MLGUTI-ZO - IL UOVO PRICIPI DI MECCIC E MCCHIE LUIDO - CPPELLI EDITORE
5 ESERCIZI Eercizi volti Eercizio 1 Calcolare la tenione interna che i origina in una trave in acciaio UI E S 235, incatrata alle etremità e oggetta, er tutta la ua lunghezza, a un ricaldamento di 60 C; verificarne inoltre la condizione di icurezza. dottando la relazione (1) i ottiene: a DT E 0, C 60 C , 2 ove: a 0, C E = / Eendo inoltre, er l acciaio UI E S 235: adm R 235 1, , 5 i ha: 151, Pertanto la truttura oera in condizioni di icurezza. adm Eercizio 2 Determinare l entità dello balzo termico che uò tollerare una trave in acciaio UI E S 185, incatrata alle etremità. Utilizzando l ereione (1) i ha: Ponendo adm riulta: DT a E DT 123 adm a E 0, C 48, 81 C MLGUTI-ZO - IL UOVO PRICIPI DI MECCIC E MCCHIE LUIDO - CPPELLI EDITORE 5
6 eendo, er l acciaio UI E S 185: adm R 185 1, 5 1, 5 a 0, E C Eercizio 3 Determinare il valore della tenione interna che inorge nelle areti di un reciiente cilindrico avente diametro interno 25 cm, eore delle areti 0,5, in acciaio con carico unitario di rottura R m 450 / ; in tale reciiente è racchiuo un ga avente la reione di 4 bar; verificare inoltre la reitenza del reciiente teo. Utilizzando la relazione (3) i ricava: Pa 0, 25 m 2 0, ( ) m Pa 100 MPa 100 eendo: 4 bar = Pa in quanto: 1 bar 10 5 Pa 25 cm 0,25 m 0,5 (0, ) m 1 MPa 10 6 Pa 1 Per il cao in eame, er maggiore icurezza adotteremo un coefficiente di icurezza rietto alla rottura molto elevato, ari cioè a 4. Si ottiene allora: adm R m , 5 Riultando: la truttura riulta verificata , 5 adm Eercizio 4 Calcolare lo eore di un tubo del diametro interno 50 cm, in acciaio UI E /2 - P 295 aendo che la reione del fluido che corre al uo interno è 3 bar. L acciaio UI E /2 - P 295, utilizzato er reciienti in reione, aette un carico unitario di nervamento (ueriore): R MLGUTI-ZO - IL UOVO PRICIPI DI MECCIC E MCCHIE LUIDO - CPPELLI EDITORE
7 Pertanto, adottando un coefficiente di icurezza allo nervamento ari a 1,5, il carico unitario di icurezza riulterà: adm R 295 1, , 5 Si ottiene quindi, alicando l ereione (5): min Pa 0,5 m 2 adm ( ) Pa 0, m 0, 38 eendo: adm MPa ( ) Pa 3 bar Pa 50 cm 0,5 m dotteremo erciò, er maggiore icurezza, uno eore 0,4. Eercizio 5 Determinare la reione che uò aumere il fluido contenuto in un reciiente cilindrico avente diametro interno 80 cm e eore 1,5, aendo che il materiale delle areti è acciaio UI E /2 - P 265. La relazione (4) uò criveri: 2 Sotituendo alla generica la tenione interna aiibile adm i ottiene il valore della reione maima tollerabile ( adm ): L acciaio UI E /2 - P 265 è caratterizzato da un carico unitario di nervamento (ueriore) R 265. Pertanto il carico unitario di icurezza arà: La reione maima aiibile ( adm ) vale allora: adm 2 adm adm 2 adm adm R 265 1, 5 1, 5 ( ) m Pa 3 2 1, ,8 m Pa 6, 64 bar MLGUTI-ZO - IL UOVO PRICIPI DI MECCIC E MCCHIE LUIDO - CPPELLI EDITORE 7
8 Eercitazioni roote 1 Calcolare la tenione interna di una trave incatrata alle due etremità, in acciaio UI E S 185, oggetta a un raffreddamento di 45 C e verificarne le condizioni di icurezza. [dottando un coefficiente di icurezza, rietto allo nervamento, ari a 1,5 e un modulo di elaticità E ari a /, riulta: 113,4 / adm ] 2 Calcolare di quanto uò ricaldari una trave in acciaio UI E S 235, incatrata alle etremità, verificandone la reitenza. [dottando un coefficiente di icurezza rietto allo nervamento ari a 1,5 e un modulo di elaticità E ari a /, riulta: DT 62,30 C] 3 Si calcoli la tenione interna di un tubo avente diametro interno 30 cm, eore delle areti 0,1, in acciaio E /2 - P 235, aendo che vi corre internamente un fluido che oiede una reione 84 kpa. Verificare inoltre la truttura. [ 126 / ; adottando un coefficiente di icurezza relativo allo nervamento ari a 1,5, la truttura riulta verificata] 4 Determinare lo eore di un reciiente cilindrico avente diametro interno 42 cm, in acciaio E /2 - P 355, aendo che il fluido racchiuo al uo interno ha una reione 2,5 bar. [dottando un coefficiente di icurezza relativo allo nervamento ari a 1,5, i ricava: min 0,22 ; aroimando er ecceo, i uò aumere: 0,3 ] 5 Verificare il tirante B avente ezione circolare iena, diametro d 16, in acciaio con carico di rottura R m 800 /. [unto un coefficiente di icurezza alla rottura ari a 4, riulta: adm 200 /. Ottenendoi oi: B 31114, i deduce che il tirante B verifica la condizione di icurezza] C 40 B = 20 k 8 MLGUTI-ZO - IL UOVO PRICIPI DI MECCIC E MCCHIE LUIDO - CPPELLI EDITORE
9 6 Calcolare la reione maima aiibile di un fluido contenuto in un reciiente cilindrico in acciaio E /2 - P 295, avente diametro interno 65 cm e eore 0,5. [dottando un coefficiente di icurezza relativo allo nervamento ari a 1,5, i ricava: max Pa ovvero, aroimando er difetto, er maggiore icurezza: max 3 bar] 7 Con riferimento all eercizio 5, determinare il valore maimo aiibile, in condizioni di icurezza, del carico. [dottando una adm 200 /, riulta: max 25,85 k] Queiti 1. La tenione interna delle travi incatrate alle etremità e oggette a ricaldamento diende dal modulo di elaticità del materiale. V 2. arità di reione e di tenione interna, lo eore dei reciienti cilindrici oggetti a reione interna aumenta in modo inveramente roorzionale al diametro. V 3. Sicuramente reite meglio a comreione, iuttoto che a reazione, un rovino realizzato in: a legno b ferro c ghia MLGUTI-ZO - IL UOVO PRICIPI DI MECCIC E MCCHIE LUIDO - CPPELLI EDITORE 9
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