Algebra lineare e geometria AA Soluzioni della simulazione

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1 Algebra lineare e geometria AA Soluzioni della simulazione QUIZ Q1. Sia A R nn una matrice che ammette l autovalore λ 0 con molteplicità algebrica k. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) rk(a) < k; (b) rk(a) n k; (c) rk(a) < n k; (d) rk(a) k. La molteplicità geometrica di un autovalore è limitata da quella algebrica: m g (λ) m a (λ). Se A ammette l autovalore λ 0 con m a (0) k allora m g (0) k. Quindi k m g (0) dim Ker(A 0I n ) Ker(A) n rk(a). Q2. Sia R[x] n lo spazio dei polinomi in x a coefficienti reali di grado minore o uguale a n e si consideri l applicazione lineare (a) f è iniettiva; (b) f è suriettiva; (c) dim(ker f) 1; (d) dim(im f) 1. f : R[x] 3 R[x] 1 tale che f(p(x)) d2 p(x) + p(0). dx2 Rispetto alle basi standard (1 x x 2 x 3 ) e (1 x) la matrice associata all applicazione f è ( 2 ) che ha rango 2. Quindi l immagine ha dimensione 2 la mappa f è suriettiva e ha un nucleo di dimensione

2 Q3. Si consideri la famiglia di coniche rappresentata dall equazione x 2 + kxy + y 2 + kx 1 0. (a) Esiste un valore di k per cui l equazione rappresenta un iperbole equilatera; (b) non esiste nessun valore di k per cui l equazione rappresenta una parabola; (c) non esiste nessun valore di k per cui l equazione rappresenta una conica degenere; (d) esistono infiniti valori di k per cui l equazione rappresenta una circonferenza reale. Le matrici associate alle coniche della famiglia sono 1 k/2 k/2 B k k/2 e A k k/2 0 1 ( ) 1 k/2 k/2 1 con det(b k ) 1 0 quindi la conica non è mai degenere indipendentemente dal valore del parametro k. Osserviamo anche che det(a k ) 1 k 2 /4 quindi la conica è una parabola per k ±2 un ellisse per 2 < k < 2 e un iperbole per k < 2 e k > 2. In tutti questi casi però gli autovalori di A k sono 1 ± k quindi essi sono uguali solo per k 0 cioè esiste un solo valore di k per cui l equazione rappresenta una circonferenza ma non esistono valori per cui l equazione rappresenta un iperbole equilatera. Q4. L intersezione tra la sfera S di equazione x 2 + y 2 + z 2 2x + 2y 2 e il piano π di equazione x + y z (a) è una circonferenza reale; (b) è una una circonferenza completamente immaginaria; (c) è ridotta ad un unico punto; (d) non esiste né reale né immaginaria. La sfera S ha raggio ρ 1/ e centro C (1 ) che ha distanza d(c π) 1/ 3 dal piano π quindi d(c π) < ρ e l intersezione è una circonferenza. 2

3 Q5. Si consideri lo spazio vettoriale R 23 delle matrici 2 3. (a) Esistono 4 matrici non nulle M i R 23 i tali che R 23 L(M 1 M 2 M 3 M 4 ); (b) per ogni scelta di M 1 M 2 M 3 M 4 R 23 non nulle si ha dim(l(m 1 M 2 M 3 M 4 )) 4; (c) esistono 7 matrici non nulle M i R 23 i tali che R 23 L(M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 ); (d) per ogni scelta di M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 R 23 non nulle si ha R 23 L(M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 ). Lo spazio delle matrici 2 3 ha dimensione quindi sicuramente non può essere generato da 4 matrici e la (a) è falsa. altra parte 4 matrici non nulle possono anche essere dipendenti tra loro quindi in generale lo spazio da loro generato ha dimensione 4 e la (b) è falsa. Per lo stesso motivo non è detto che qualsiasi insieme di 6 matrici generi lo spazio R 23 di dimensione 6 cioè la (d) è falsa. La (c) invece è vera perchè ad esempio data una qualsiasi base di R 23 aggiungendo una settima matrice combinazione lineare delle prime 6 si ottiene la 7-upla richiesta. Q6. Se il sistema lineare AX B di m equazioni in n incognite ammette almeno due soluzioni diverse allora: (a) l insieme delle soluzioni forma un sottospazio vettoriale di R n ; (b) rk(a) m; (c) rk(a) n; (d) il sistema lineare ammette infinite soluzioni. Un sistema lineare può non ammettere soluzioni (incompatibile) ammetterne una unica ( 0 gradi di libertà) oppure ammetterne infinite ( k gradi di libertà k > 0). Quindi se ne ammette più di una ne ammette infinite e la risposta giusta è la (d). Osserviamo che la (b) e la (c) sono senza senso perché non sappiamo nemmeno quale tra m ed n sia maggiore e invece la (a) è vera solo in caso di sistema omogeneo. Se il sistema non è omogeneo l insieme delle soluzioni non può essere un sottospazio vettoriale perché non contiene lo 0 R n. 3

4 Q7. Nello spazio con fissato sistema di riferimento ortogonale siano date le rette r : {x 2y 3z e s : {x + y + z 2x y + z 1 0. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) r e s sono complanari; (b) r e s sono perpendicolari; (c) r e s sono parallele; (d) r e s sono sghembe. Mettendo a sistema i 4 piani che generano le due rette otteniamo la matrice che ha determinante non nullo quindi le rette sono sghembe. Q8. Sia B (u 1 u 2 u 3 u 4 ) unase ortonormale di R 4 e si consideri il sottospazio W {x R 4 x u 4 0. (a) (u 1 u 2 u 3 u 4 + u 1 ) è unase ortonormale di R 4 ; (b) dim W 3; (c) (u 2 u 3 u 4 + u 1 ) è unase di W ; (d) u 4 W. Il sottospazio W è formato da tutti i vettori di R 4 che sono ortogonali al versore u 4 ; se volessimo scriverne le equazioni esplicitamente supponendo che u 4 (α β γ δ) avremmo W {x R 4 αx 1 + βx 2 + γx 3 + δx 4 0 cioè W è un sottospazio di R 4 definito da un unica equazione lineare quindi ha dimensione 3. Un altro modo di vedere la stessa cosa è che per definizione di base ortonormale u 1 u 4 u 2 u 4 u 3 u 4 0 quindi u 1 u 2 u 3 sono 3 vettori indipendenti in W e di fatto ne sono una base. Osserviamo anche che né u 4 né u 4 + u 1 appartengono a W quindi la (c) e la (d) sono banalmente false. Infine se B (u 1 u 2 u 3 u 4 ) è unase ortonormale allora u 1 (u 4 + u 1 ) 0 quindi anche la (a) è falsa. 4

5 ESERCIZIO Sia R 22 lo spazio vettoriale delle matrici 2 2 a coefficienti reali e sia R[x] 2 lo spazio vettoriale dei polinomi p(x) a coefficienti reali di grado minore o uguale a 2. Si consideri l applicazione lineare ( ) f : R 22 R[x] 2 tale che f ax 2 + (b + c)x + d. (a)[1 punto] Calcolare la matrice associata ad f rispetto allase: B (( ) ( ) ( ) ( e allase: ( 1 x x 2) di R[x] 2. )) di R 22 Si ha che dim R 22 4 e dim R[x] 2 3 quindi la matrice M B (f) è la matrice 3 4 le cui 4 colonne sono le coordinate delle immagini degli elementi dellase B rispetto allase. Calcoliamo ( ) [ ( )] f x 2 f ( 1) Quindi la matrice cercata è ( ) f x ( ) f x ( ) f 1 [ f [ f [ f ( )] ( )] ( )] 0 1 M(f) B 1 0 (0 ) (0 ) (1 ). (b)[2 punti] Calcolare dim Im(f) e trovare unase di Im(f) fatta di elementi di R[x] 2. Si ha che dim Im(f) rk(m B (f)) 3 quindi l applicazione è suriettiva. Come base possiamo quindi prendere stessa oppure scegliere 3 colonne indipendenti di M B (f) e scriverle come polinomi cosa che comunque ci darebbe una permutazione degli elementi della stessase ). 5

6 (c)[2 punti] Calcolare dim Ker(f) e trovare unase di Ker(f) fatta di elementi di R 22. Si ha che dim Ker(f) 4 rk(m B (f)) 1 in particolare l applicazione non è iniettiva. Per trovarne unase scriviamo esplicitamente il nucleo come { ( ) ( ) Ker(f) f 0 { ( ) R 22 ax 2 + (b + c)x + d 0 { ( ) R 22 a b + c d 0 { ( ) (( R 22 a 0 b 0 L )). (d)[2 punti] Calcolare f 1 (p(x)) dove p(x) x. Per calcolare la retroimmagine di un punto è sufficiente ( trovare ) un particolare elemento e farne la somma col nucleo. Ad esempio osserviamo che f x quindi possiamo scrivere f 1 (x) { ( ) + Ker(f). Volendo la somma si può esplicitare: { ( ) f 1 (( )) (x) + L { ( ) ( ) ( R 22 { ( ) ( ) R 22 { ( ) + λ λ R. λ 0 ( + λ λ 0 ) ( + λ ) λ R ) λ R 6