Corso di Dinamica delle Strutture Dispense - parte #1

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1 Corso di Dinamica delle Strutture Dispense - parte # A.A Versione..2 Indice Grandezze fisiche 3. Un Esempio semplice ma non banale Il Modello di Oscillatore Semplice 5 2. Potenza & Lavoro Principio di Bilancio Energia Potenze & Energie dell oscillatore Principio di Dissipazione Principio di Dissipazione per l Oscillatore Il moto dell oscillatore Oscillatore libero 3. ζ = : moto armonico < ζ < : moto sotto-smorzato ζ = : smorzamento critico < ζ: moto sovra-smorzato Esempi: la soluzione omogenea Decremento logaritmico Oscillatore forzato 7 4. Forzante armonica Dissipazione Esempio fai da te Forzante periodica Risposta alla forzante periodica Esempio: onda quadra Analisi nel dominio della frequenza La Funzione Impulso L Impulso Meccanico La Risposta all Impulso dell Oscillatore La Funzione Gradino La Risposta al Gradino dell Oscillatore Esempio: gradino rettangolare

2 4.2 L integrale di convoluzione Esempio: convoluzione armonica Forzanti notevoli: la mezza-armonica e l urto Mezza armonica

3 Grandezze fisiche La nozione di grandezza fisica è fondamentale; tale nozione non va confusa con quella di unità di misura. Nel Sistema Internazionale di unità di misura (SI), le grandezze fisiche si dividono in sette grandezze base e numerose grandezze derivate. Le sette grandezze fisiche fondamentali del Sistema Internazionale, con le relative unità di misura, sono riportate in tabella (). Nell ambito di questo corso avremo a che fare essenzialmente con le prime tre grandezze fon- Simbolo Grandezza fisica Unità di misura Simbolo unità L lunghezza metro m M massa kilogrammo kg T intervallo di tempo secondo s I intensità di corrente ampere A Θ temperatura assoluta kelvin K n quantità di sostanza mole mol I v intensità luminosa candela cd Tabella : Le Grandezze Fisiche Fondamentali damentali (lunghezza, massa e intervallo di tempo) e con alcune grandezza derivate di notevole importanza meccanica. Per evitare di scrivere scomode combinazioni di grandezze, introduciamo dei simboli per le quattro grandezze derivate di uso più frequente, vedi tabella (2); il numero denota le grandezze adimensionali. Per indicare la grandezza fisica di una data quantità α Simbolo Grandezza fisica Definizione Unità di misura Simbolo unità F forza F = M L T 2 newton N E energia, lavoro E = F L joule J P potenza P = E T watt W ϑ angolo ϑ =arco/raggio radiante rad Tabella 2: Grandezze Fisiche Derivate useremo la notazione [α]. Ad esempio: [dv] = L n [da] = L (n ) [ω] = [rad/s] = /T volume di un corpo n-dimensionale; area di una superficie (n-)-dimensionale; radianti al secondo, ossia, velocità angolare. (). Un Esempio semplice ma non banale Sapete la differenza tra forza, lavoro, potenza, energia? Quale di queste nozioni è la più importante? Quello che probabilmente sapete è che alcune volte si paga la potenza (un aspirapolvere 3

4 potente costa di più di uno meno potente, così come un forno a microonde, oppure una automobile); altre volte si paga il lavoro (l energia elettrica, il pieno di benzina). In entrambe i due ultimi casi (energia elettrica, benzina), in realtà paghiamo per un qualcosa che saremo poi in grado di convertire in lavoro. Prendiamo un esempio più semplice e più meccanico : il signor A. deve raggiungere il quarto piano di un edificio, salendo le scale a piedi, allora: l unica forza in gioco è la forza peso F = m g, dove m è il peso di A. e g = 9.8 m/s 2 l accelerazione di gravità; indichiamo con h il dislivello da superare; allora, il lavoro necessario sarà L = F h; indichiamo con T il tempo impiegato per salire le scale; allora, la potenza sviluppata sarà P = L/T. La cosa importante da notare è che il signor A. non arriverà mai alla meta se non svilupperà, istante per istante, una certa potenza P : è la potenza che consente di compiere un lavoro. Possiamo dire che il lavoro è una nozione integrale, in quanto si riferisce ad un intero percorso; la potenza è una nozione istantanea, in quanto considera un solo istante. Riassumendo: la potenza è la nozione fondamentale della meccanica. Continuando con il nostro esempio, possiamo aggiungere che: il lavoro meccanico viene estratto dal lavoro metabolico con un efficienza η < ; il lavoro metabolico L m necessario sarà dato da L m = L/η; inoltre, il metabolismo è sensibile alla potenza sviluppata (avete sentito parlare di esercizi aerobici e anaerobici?) e quindi non è così semplice calcolare quanti calorie brucierà il signor A. per fare le sue scale. E l energia? L energia non entra in gioco in questo esempio. Nonostante la parola energia sia una delle parole di origine tecnico-scientifica più usate da tutti, la maggior parte delle cose che accadono sotto i nostri occhi non ha nulla a che fare con l energia; piuttosto, il fenomeno più importane è la dissipazione. Ed infatti, il signor A., riscendendo se scale non riacquisterà il lavoro che ha usato per salirle; anzi, dovrà spendere altro lavoro per scendere le scale. Ne spenderà però di meno perchè in nostri muscoli sono progettati per frenare e non per accelerare : avete notato che quando tornate dalla montagna impiegate meno tempo di quello che avete dedicato alla salita? Eppure il lavoro fatto è lo stesso (forza peso x dislivello): il motivo è che le gambe sono in grado di erogare una potenza maggiore quando si va in discesa. 4

5 2 Il Modello di Oscillatore Semplice k c m x = x f ela f ine f vis f ext Figura : Sinistra: schema classico del modello di oscillatore semplice. Un oggetto di massa m, vincolato a muoversi lungo l asse orizzontale, è collegato al suolo tramite una molla di rigidezza k ed uno smorzatore di viscosità c. La posizione di tutto l oggetto viene descritta dalla posizione x di un solo punto; l origine dell asse x è preso in corrispondenza della posizione di riposo della molla. Destra: schema delle quattro forze agenti sull oggetto considerato; l unica forza che possiamo controllare è quella esterna. Un oscillatore semplice è un sistema ad un solo grado di libertà, soggetto a forze di varia natura; la configurazione del sistema è descritta dalla funzione x() che associa ad ogni istante di tempo una posizione x sulla retta reale: T x() R ; (2) T = (, ) rappresenta il generico intervallo temporale. Data la descrizione del moto (2), indicheremo con un punto la derivata rispetto al tempo e con una tilde la velocità virtuale: ẋ, velocità; x, velocità virtuale. (3) Il moto dell oscillatore semplice è descritto dalle seguenti tre equazioni m ẍ() + c ẋ() + k x() = f(), bilancio delle forze, verificato T ; x() = x o, posizione iniziale, verificata per = ; ẋ() = v o, velocità iniziale, verificata per =. (4) dove la massa m, la viscosità c, e la rigidezza k sono tre grandezze scalari positive. L equazione di bilancio delle forze può essere riscritta in modo più significativo dal punto di vista meccanico, definendo: Tipo di forza Prescrizione Analisi dimensionale Forza esterna: f ext () = f(), [f] = F ; Forza elastica: f ela () = k x(), [x] = L, [k] = F/L ; Forza viscosa: f vis () = c ẋ(), [ẋ] = L/T, [c] = F T/L ; Forza d inerzia: f ine () = m ẍ(), [ẍ] = L/T 2, [m] = M ; Allora, l equazione (4) si riscrive f ine () = f ela () + f vis () + f ext (), T. (6) (5) 5

6 Notiamo che le ultime tre definizioni di forza che appaiono in (5) rappresentano delle relazioni costitutive, ossia, delle prescrizioni che legano il moto alla forza; ad esempio, la prescrizione per la forza d inerzia può essere letta nel seguente modo: prendere il moto x(), derivarlo due volte rispetto al tempo, e infine moltiplicare il risultato per lo scalare m che rappresenta la massa del sistema. La prescrizione per la forza viscosa f vis ci dice che tale forza è proporzionale alla velocità (con il segno meno); la prescrizione per la forza elastica f ela ci dice che tale forza è proporzionale allo spostamento e si oppone ad esso. Notiamo infine che queste tre forze dipendono linearmente dal moto; per tale motivo la soluzione del problema (4) si ricava senza problemi, ed il modello di oscillatore viene detto semplice. Tali tre forze descrivono in modo dettagliato cosa avviene al punto materiale sotto esame, e non possono essere controllate dallo sperimentatore; per tale motivo due di esse, le forze f ela ed f vis, vengono definite forze interne, dove con l aggettivo interne ci si riferisce al modello, ossia, descritte nell ambito del modello: f in = f ela + f vis. (7) L unica forza su cui possiamo agire per controllare il moto del punto è dunque f ext e per tale motivo si usa l aggettivo esterna. 2. Potenza & Lavoro Tra le nozioni fondamentali della meccanica vi è quella di potenza. Tale nozione è una nozione istantanea, ossia, considera il corpo ad un dato istante, e coinvolge simultaneamente sia il moto del corpo che le forze che agiscono su di esso. Nel caso dell oscillatore semplice, la potenza è definita dal prodotto forza per velocità: P(v()) = f() v(), { v() = ẋ() potenza (effettiva); v() = x() potenza virtuale. (8) Osservazione: la notazione P(v()) allude al fatto che la potenza dipende dalla velocità v(); per semplificare la notazione scriveremo anche P(v), oppure solo P() per evidenziare la dipendenza dal tempo. Una volta definita la potenza, possiamo introdurre il lavoro elementare dl(v) compiuto dalla potenza P(v) nell intervallo di tempo elementare d dl(v) = P(v) d = f v d = f ds, (9) dove ds = v d rappresenta uno spostamento elementare. Il lavoro è una nozione integrale che prende in considerazione un intervallo finito di tempo: L(v()) = dl(v(t)) = P(v(t)) dt = f(t) v(t) dt. () Anche in questo caso possiamo distinguere tra lavoro (effettivo) e lavoro virtuale a seconda che si integri una potenza od una potenza virtuale. Confrontando le due definizioni precedenti, si nota che la potenza spesa al tempo dipende solo da ciò che accade a quel tempo; al contrario, il lavoro compiuto al tempo dipende da tutto il moto, dall istante iniziale = all instante considerato. Si noti che la (9) equivale a dire che la derivata temporale del lavoro è la potenza L = P. 6

7 Data la classificazione delle forze (5), compresa la nozione di forze interne, definiamo le rispettive potenze: P ine (v()) = m ẍ() v(), potenza d inerzia; P vis (v()) = c ẋ() v(), potenza viscosa; P ela (v()) = k x() v(), potenza elastica; () P in (v()) = (f ela + f vis ) v(), potenza interna; P ext (v()) = f ext v(), potenza esterna. 2.2 Principio di Bilancio L equazione di bilancio delle forze (6) discende da un principio di bilancio del tutto generale che viene espresso per il tramite della potenza o del lavoro; in questo secondo caso, prende il nome di Principio dei Lavori Virtuali. Il principio di bilancio, espresso in termini di potenze, richiede che: P ine ( x) = P in ( x) + P ext ( x), x velocità virtuale. (2) E semplice verificare che la tale richiesta, dovendo valere per ogni velocità virtuale, equivale alla equazione di bilancio delle forze (6). 2.3 Energia La potenza è una nozione fondamentale e del tutto generale: ad ogni processo meccanico è sempre associata una potenza; al contrario, l energia è una proprietà peculiare, e solo alcuni processi meccanici ammettono un energia. Un processo è detto energetico se esiste una funzione scalare, detta energia, la cui derivata temporale risulti uguale alla potenza: d energia = potenza ; (3) d in tal caso si dice che la potenza può essere espressa tramite un differenziale esatto. Unendo la definizione di energia e la relazione che sussiste tra potenza e lavoro, possiamo scrivere d d energia = potenza = lavoro. (4) d d Calcolare il lavoro compiuto durante un intervallo di tempo diventa molto semplice: non abbiamo bisogno di conoscere la legge di evoluzione temporale del moto, né di svolgere materialmente l integrale (9), ma basta calcolare la variazione che subisce l energia tra l istante iniziale e quello finale: Lavoro = potenza d = 2.4 Potenze & Energie dell oscillatore d d energia d = energia( ) energia( ). (5) Possiamo chiederci se le potenze () in gioco nel modello di oscillatore ammettano un energia; la risposta è positiva per la potenza delle forze d inerzia e di quelle elastiche, mentre è negativa 7

8 per le forze viscose; per quanto riguarda le forze esterne, la domanda rimane in sospeso fin quando tali forze non verranno specificate. Abbiamo: K(x()) = m ẋ() ẋ(), 2 energia cinetica; E(x()) = 2 k x() x(), energia elastica. (6) Osservazione: le notazioni K(x()), E(x()) alludono al fatto che l energia dipende dal moto x() (incluse le sue derivate); per semplificare la notazione scriveremo anche in questo caso K(x), oppure K() per evidenziare la dipendenza dal tempo; lo stesso per E. Osservazione: al contrario della potenza e del lavoro, che possono essere effettivi o virtuali, l energia considera sempre e solo il moto effettivamente realizzato; si noti ad esempio che nelle () compare sia il moto effettivo x() (o le sue derivate) che una generica velocità v(), mentre nelle (6) compare solo il moto effettivo (o le sue derivate). Per verificare che le (6) siano delle energie, calcoliamone le derivate rispetto al tempo: K(x) = 2 m ẍ() ẋ() + 2 m ẋ() ẍ() = m ẍ() ẋ() = Pine (ẋ), Ė(x) = 2 k ẋ() x() + 2 k x() ẋ() = k x() ẋ() = Pela (ẋ). (7) Dunque, a meno del segno, le due derivate temporali forniscono la potenza effettiva spesa dalle forze d inerzia ed elastiche. 2.5 Principio di Dissipazione Il principio di dissipazione dichiara che la variazione temporale di energia cinetica ed interna del sistema è sempre minore od uguale alla potenza spesa dalle forze esterne: K(x) + Ė(x) Pext (ẋ), qualunque sia il moto realizzato x(). (8) Tale principio ha un significato meccanico immediato: qualunque sia il sistema con cui abbiamo a che fare, e qualunque sia il moto che realizziamo applicando delle forze esterne, una parte della nostra potenza (la potenza esterna) non sarà utilizzata per variare l energia del sistema. In termini integrali ciò significa che il lavoro esterno fatto durante un intervallo di tempo non sarà tutto immagazzinato nel sistema sotto forma di energia, ma una parte di esso andrà perso. In particolare, in assenza di forze esterne, avremo: K(x) + Ė(x), qualunque sia il moto realizzato x(); (9) ossia, l energia immagazzinata nella configurazione iniziale può al massimo essere conservata (=), altrimenti, diminuirà con il tempo (<). Utilizzando il principio di bilancio (2), possiamo rappresentare la potenza esterna come differenza tra potenza d inerzia ed interna, P ext = P ine P in, e riscrivere il principio di dissipazione nel seguente modo K(x) + Ė(x) Pine (ẋ) P in (ẋ), qualunque sia il moto realizzato x(). (2) Inoltre, essendo K(x) = P ine (ẋ), possiamo semplificare ulteriormente la richiesta: Ė(x) + P in (ẋ), qualunque sia il moto realizzato x(). (2) 8

9 La parte che sarebbe necessaria per verificare l uguaglianza è detta dissipazione, e può essere definita nel seguente modo: D = (Ė(x) + Pin (ẋ)) ; allora, possiamo riscrivere il principio di dissipazione nel seguente modo: D + Ė(x) + Pin (ẋ) =, D, qualunque sia il moto realizzato x(). (22) Osservazione: Il principio di dissipazione nella forma (22) fornisce indicazioni su come si debbano modellare la dissipazione D e la potenza interna P in : qualunque scelta costitutiva per le due grandezze deve soddisfare il principio. Nella sezione seguente vedremo come la scelta di P in per il modello di oscillatore soddisfi il principio. 2.6 Principio di Dissipazione per l Oscillatore Verifichiamo ora che il modello di oscillatore soddisfi il principio (22) (se ciò non fosse vero, il modello sarebbe sbagliato), e vediamo come è fatta la dissipazione D. Nel nostro caso la potenza delle azioni interne è la somma di due contributi, uno elastico ed uno viscoso: D + Ė(x) + Pela (ẋ) + P vis (ẋ) =, D, qualunque sia il moto realizzato x(). (23) Inoltre, essendo Ė(x) = Pela (ẋ), e P vis (ẋ) = c ẋ ẋ, possiamo scrivere: D = P vis (ẋ) = c ẋ ẋ, D, qualunque sia il moto realizzato x(). (24) Dunque la dissipazione è dovuta alle sole forze viscose, ed il principio è sempre verificato (D ) in quanto c > e ẋ ẋ (zero solo nel caso di velocità nulla); inoltre, la dissipazione è una caratteristica del sistema e prescinde dalla presenza di forze esterne. Data la (24), e tenuto conto del principio di bilancio (2), e della nozione di energia (7), possiamo scrivere: K(x) + Ė(x) + D = K(x) + Ė(x) Pvis (ẋ) = K(x) + Ė(x) + Pela (ẋ) P ine (ẋ) + P ext (ẋ) (25) = P ext (ẋ). Quest ultima rappresentazione ci dice che una parte della potenza spesa dalle azioni esterne contribuisce a variare l energia del sistema, mentre un altra parte viene dissipata (si ricordi che D ). Nel caso di forze viscose nulle abbiamo c = e dunque D = : la (25) dice che la potenza delle azioni esterne viene tutta impiegata per variare l energia del sistema; in particolare, se il sistema è libero, ossia, in assenza di azioni esterne, si scopre che l energia rimane costante nel tempo: K(x) + Ė(x) = d (K(x) + E(x) ) = K(x) + E(x) = costante. (26) d Il risultato (26) viene chiamato Principio di Conservazione dell energia; 2.7 Il moto dell oscillatore Il moto dell oscillatore semplice è descritto dalla funzione x(), soluzione del sistema (4) che riscriviamo per comodità: m ẍ() + c ẋ() + k x() = f ext (), bilancio delle forze, verificato T ; x() = x o, posizione iniziale, verificata in = ; ẋ() = v o, velocità iniziale, verificata in =. 9 (27)

10 La soluzione del sistema (27) viene affrontato utilizzando una tecnica piuttosto semplice che qui riassumiamo:. L equazione di bilancio delle forze (27) è una equazione lineare che conviene riscrivere in forma compatta, mettendo in evidenza l operatore lineare L che descrive l equazione: L x() = f(), T, con L = m d2 d 2 + c d d + k. (28) 2. Si cercano le auto-funzioni dell operatore lineare, ossia quelle funzioni che vengono trasformate in se stesse, a meno di una costante: L ϕ() = cost ϕ(), T. (29) Tutte le funzioni del tipo ϕ() = u exp(λ ), con u, λ costanti, verificano la (29); in particolare abbiamo: L ϕ() = ( m λ 2 + c λ + k ) ϕ() (3) 3. Le auto-funzioni sono il punto di partenza per costruire le soluzioni dell equazione omogenea, ossia, per risolvere il caso con forzante nulla: L x() =, T L ϕ() = ( m λ 2 + c λ + k ) ϕ() =, T. (3) L equazione (3) deve essere verificata ad ogni istante; allora, abbiamo due sole possibilità: soluzione banale con auto-funzione nulla: ϕ() = u exp(λ ) = u =, soluzione interessante con auto-funzione non nulla: m λ 2 + c λ + k =. (32) 4. La soluzione generale x g è la somma della soluzione omogenea x om, corrispondente a forzante nulla, e della soluzione particolare x f, che risolve il caso con forzante f: Inserendo x g nella (28) si ottiene infatti x g () = x om () + x f (). L x g = L (x om + x f ) = L x f = f. La ricerca della soluzione generale x g = x om +x f va dunque sempre fatta in due passi: la ricerca di x om e di x f. La soluzione omogenea x om è completamente caratterizzata dall equazione algebrica di secondo grado (32) 2, detta equazione caratteristica, e la sua ricerca viene effettuata una sola volte per tutte. Al contrario, non esiste una rappresentazione generale per x f, e la sua ricerca va fatta caso per caso. Nel seguito verrà mostrato come si caratterizza x om ; quindi, descriveremo il moto dell oscillatore soggetto a forze esterne, considerando problemi con difficoltà crescente: ) forzante armonica; 2) forzante periodica; 3) forzante impulsiva; 4) forzante generica.

11 3 Oscillatore libero Iniziamo considerando il sistema (27) in assenza di forzanti esterne; in questo caso il moto è innescato da condizioni iniziali non nulle. Come detto, la ricerca di soluzioni ci porta a risolvere l equazione caratteristica (32) 2 : solo alcuni valori di λ sono ammissibili, e il tipo di moto dipende proprio da tali valori. L equazione caratteristica viene riscritta nel seguente modo m λ 2 + c λ + k = λ 2 + c m λ + k m = λ2 + 2 ζ ω λ + ω 2 =, (33) che evidenzia i due parametri importanti che caratterizzano la risposta del sistema: k c ω =, pulsazione naturale; ζ = m 2 ω m = c 2, fattore di smorzamento. (34) k m Le soluzioni della equazione caratteristica (33) 3, scritte in termini di ζ ed ω sono due, a cui corrispondono due auto-funzioni: ( λ,2 = ζ ± ) ζ 2 ω ϕ,2 () = u,2 exp(λ,2 ). (35) La soluzione x om può allora essere scritta come combinazione lineare delle due auto-funzioni: x om () = u exp(λ ) + u 2 exp(λ 2 ) ; (36) le costanti u,2, che in generale saranno complesse e coniugate, sono determinate dalle condizioni iniziali. La natura del moto dipende dal valore del termine sotto radice ζ 2. Infatti, sia ζ che ω sono numeri reali maggiori od uguali a zero, e le soluzioni λ,2 possono essere raggruppate in 4 casi: ζ = : le radici sono immaginarie coniugate e il moto è puramente oscillatorio; < ζ < : le radici sono complesse coniugate; la parte reale dà smorzamento, quella immaginaria oscillazioni; ζ = : le radici sono reali e coincidenti; questo caso separa i moti con oscillazioni da quelli senza; ζ > : le radici sono reali e distinte; il moto è smorzato senza oscillazioni. 3. ζ = : moto armonico Il caso più semplice è quello in cui lo smorzamento è nullo (c = ζ = ); l equazione caratteristica fornisce m λ 2 + k = λ 2 + k m = λ2 + ω 2 =, λ,2 = ±i ω. (37) Abbiamo dunque due radici complesse e coniugate, con parte reale nulla; la soluzione completa del problema omogeneo può essere scritta come combinazione lineare delle due auto-funzioni: x om () = u exp(i ω ) + u 2 exp( i ω ) ; (38)

12 le costanti u,2, che in generale saranno complesse e coniugate, sono determinate dalle condizioni iniziali. La soluzione (38) ammette altre due rappresentazioni che si ricavano a partire della fondamentale formula di Eulero exp(± i α) = cos(α) ± i sin(α), α R. (39) Ponendo nella (38) u,2 = (a i b)/2, e usando la (39), si ottiene la prima rappresentazione cercata x om () = a i b [cos(ω ) + i sin(ω ) ] + a + i b [cos(ω ) i sin(ω ) ] 2 2 = a cos(ω ) + b sin(ω ). La (4) è la soluzione generale del problema omogeneo (27) in assenza di forze viscose: l aggettivo generale si riferisce al fatto che abbiamo risolto solo la prima delle tre equazioni del modello di oscillatore, senza tener conto delle altre due equazioni che esprimono le condizioni iniziali; l aggettivo omogeneo, invece, allude al fatto che abbiamo considerato forze esterne nulle. Una seconda rappresentazione della soluzione (38) si ottiene a partire dalla (4), utilizzando la seguente relazione trigonometrica (4) cos(α β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β). (4) La (4) consente di riscrivere la soluzione facendo comparire una sola funzione trigonometrica x om () = A cos(ω φ), con A = a 2 + b 2, φ = arctan(b/a), (42) e per tale motivo il moto viene detto armonico; quest ultima rappresentazione è molto utile in quanto mette in evidenza l ampiezza A e la fase φ del moto. I parametri importanti che caratterizzano il moto armonico sono i seguenti: k ω =, pulsazione naturale; m T = 2 π ω, periodo; f =, frequenza. (43) T Il valore delle costanti a e b, ovvero il valore di A e φ, sono determinati dalla condizioni iniziali; allo scopo, conviene usare la rappresentazione (4) che fornisce x om () = a cos(ω ) + b sin(ω ) = x o, a = x o, ẋ om () = a ω sin(ω ) + b ω cos(ω ) = v o. b = v o ω. (44) E importante notare che il valore delle costanti si trova risolvendo un problema lineare di due equazioni in due incognite; tale fatto è del tutto generale, e tipico dei problemi differenziali lineari ordinari. La (44) si riscrive infatti [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] cos(ω ) sin(ω ) a a xo = =. (45) ω sin(ω ) ω cos(ω ) b ω b Dunque, la soluzione del problema omogeneo (27) in assenza di forze viscose si scrive: v o x om () = x o cos(ω ) + v o ω sin(ω ) = A cos(ω φ), con A = x 2 o + (v o /ω) 2, φ = arctan ). ω x o ( vo (46) 2

13 3.2 < ζ < : moto sotto-smorzato In questo caso l equazione caratteristica (33) ha due radici complesse e coniugate, che conviene riscrivere nel seguente modo λ,2 = ζ ω ± i ω d, con ω d = ω ζ 2 ; (47) la pulsazione ω d, più piccola della pulsazione naturale ω, viene detta pulsazione smorzata. La soluzione omogenea del problema sotto-smorzato è data da x om () = exp( ζω ) [ u exp(i ω d ) + u 2 exp( i ω d ) ]. (48) Il termine tra parentesi quadre è del tutto analogo alla soluzione armonica (38); ripetendo quanto fatto per quel caso, possiamo riscrivere la (48) come segue x om () = exp( ζω ) [ a cos(ω d ) + b sin(ω d ) ] = A exp( ζω ) cos(ω d φ), con A = a 2 + b 2, φ = arctan ( ) b. a (49) La (49) rappresenta un moto oscillatorio di pulsazione ω d e fase φ, la cui ampiezza decade esponenzialmente con legge A exp( ζω ); è immediato verificare le seguenti due proprietà A exp( ζω ) x om () A exp( ζω ), lim x om() =, (5) ossia, le oscillazioni del moto sono comprese tra le due curve ±A exp( ζω ), e l ampiezza tende a zero al passare del tempo. La velocità del moto armonico smorzato si ottiene derivando rispetto al tempo la (49) ẋ om () = exp( ζω ) [ ( a ζ ω + b ω d ) cos(ω d ) (a ω d + b ζ ω) sin(ω d ) ] = A exp( ζω ) [ ζ ω cos(ω d φ) + ω sin(ω d φ) ] ; (5) la velocità si annulla negli istanti che verificano la condizione sin(ω d φ) arctan( ζ) + φ = ζ =. (52) cos(ω d φ) ω d Le costanti a, b, ovvero, A, φ, che compaiono nella (49) si determinano dalle condizioni iniziali x om () = exp( ζ ω ) [ a cos(ω ) + b sin(ω ) ] = x o, ẋ om () = exp( ζω ) [ ( a ζ ω + b ω d ) cos(ω d ) (a ω d + b ζ ω) sin(ω d ) ] = v o, (53) ossia, in forma matriciale [ ζ ω ω d ] [ a b ] = [ xo v o ] a = x o, b = v o + ζ ω x o ω d. (54) 3

14 3.3 ζ = : smorzamento critico Questo caso si verifica quando la viscosità c assume un valore, detto critico, pari a c cr = 2 m ω = 2 k m; l equazione caratteristica (33) ha due radici reali coincidenti λ,2 = ω. (55) La soluzione omogenea del problema con smorzamento critico è data da x om () = exp( ω ) [ a + b ]. (56) La (56) rappresenta un moto che avviene senza oscillazioni, la cui ampiezza decade esponenzialmente con legge exp( ζω ), e con velocità ẋ om () = exp( ω ) [ a ω + b ( ω ) ]. Le costanti a, b si determinano al solito dalle condizioni iniziali; in forma matriciale abbiamo [ ] [ ] [ ] { a xo a = x o, = (57) ω b b = v o + ω x o. v o Il caso ζ = segnala il confine tra i moti oscillatori e quelli senza oscillazioni; il moto con smorzamento critico è quello che, a parità di condizioni iniziali, tende più velocemente alla posizione stazionaria. 3.4 < ζ: moto sovra-smorzato In questo caso l equazione caratteristica (33) ha due radici reali e distinte che conviene riscrivere nel seguente modo λ,2 = ζ ω ± ω d, con ω d = ω ζ 2 ; (58) La soluzione omogenea del problema sovra-smorzato è data da x om () = exp( ζω ) [ a exp(ω d ) + b exp( ω d ) ]. (59) La (59) rappresenta un moto che avviene senza oscillazioni, la cui ampiezza decade esponenzialmente; come al solito, le costanti a, b si determinano dalle condizioni iniziali. 3.5 Esempi: la soluzione omogenea Consideriamo il sistema (27) non forzato, e cerchiamo la soluzione omogenea nei 4 casi esaminati, assumendo come condizioni iniziali x o =, ẋ o = v o > ; abbiamo ζ = ) x om () = v o ω sin(ω ), < ζ < ) x om () = v o ω d exp( ζ ω ) sin(ω d ), ω d = ω ζ 2, ζ = ) x om () = v o exp( ω ), (6) < ζ) x om () = v o ω d exp( ζ ω ) sinh(ω d ), ω d = ω ζ 2. Si ricordi che sinh(α) = [exp(α) exp( α)]/2. Alcuni esempi sono disegnati nelle figure 2 e 3. 4

15 x om.4.2 ζ = ζ =.2 ζ = ζ =.5 x om.4.2 ζ = 3 ζ = 2 ζ = Figura 2: Andamento nel tempo delle soluzioni (6) (sinistra), e del solo caso sovrasmorzato (destra), per diversi valori di ζ e con v o =, ω = ± v o exp( ζ ω ) x om () x om Figura 3: Andamento nel tempo della soluzione sotto-smorzata (6) 2 racchiusa dall inviluppo ± v o exp( ζ ω ); ζ =.2, v o =, ω = Decremento logaritmico Il coefficiente di smorzamento ζ può essere stimato sperimentalmente misurando due ampiezze x om () e x om ( + T ) in due istanti separati tra loro da un periodo T ; dalla (49) segue infatti: x om () x om ( + T ) = exp( ζ ω ) cos(ω d φ) exp[ ζ ω ( + T )] cos[ω d ( + T ) φ]. (6) Ponendo T pari al periodo di un ciclo, T = 2 π/ω d, abbiamo cos[ω d ( + T d ) φ] = cos(ω d φ + ω d T ) = cos(ω d φ + 2 π) = cos(ω d φ) ; (62) dunque, possiamo scrivere il rapporto x om ()/x om ( + T ) nel seguente modo x om () x om ( + T ) = exp( ζ ω ) = exp(ζ ω T ). (63) exp[ ζ ω ( + T )] Infine, ricordando che T = 2 π/ω d = 2 π/(ω ζ 2 ) si scopre che l argomento dell esponenziale si riscrive in funzione della sola incognita ζ. Si definisce decremento logaritmico il logaritmo del 5

16 rapporto x om ()/x om ( + T ), ossia ( ) xom () δ = log x om ( + T ) = ζ ω T = 2 π ζ ζ 2. (64) Per determinare il valore dello smorzamento è sufficiente misurare le ampiezze del moto in due istanti qualsiasi separati dall intervallo T, calcolare il logaritmo del loro rapporto e ottenere ζ dalla (64) ζ = δ (2 π) 2 + δ 2 = δ 2 π + O(δ2 ). (65) Nel caso di smorzamento molto piccolo, si ottiene una stima più attendibile misurando due ampiezze del moto in due istanti qualsiasi separati da un intervallo multiplo del periodo, ad esempio n T ; abbiamo allora x om () = exp(n ζ ω T ), (66) x om ( + n T ) ed il decremento logaritmico δ è dato da δ = ( ) n log xom (). (67) x om ( + n T ) Ad esempio, sapendo che l ampiezza di un moto è diminuita del 5% dopo 5 oscillazioni, possiamo calcolare δ = ( ) 5 log xom () = ( ) x om ( + n T ) 5 log xom () = log 2 =.386, (68).5 x om () 5 da cui, usando l approsimazione lineare, si ottiene ζ δ 2 π =.386 =.22. (69) 2 π.4.2 x om x() x( + T ).2 T = 2 π/ω d Figura 4: Misurando l ampiezza dell oscillazione in due istanti separati dall intervallo T = 2 π/ω d è possibile calcolare il coefficiente di smorzamento ζ. 6

17 4 Oscillatore forzato Ci occupiamo ora di descrivere il moto dell oscillatore soggetto a forze esterne, considerando problemi con difficoltà crescente: ) forzante armonica; 2) forzante periodica; 3) forzante impulsiva; 4) forzante generica. Riscriviamo qui per comodità il problema da risolvere m ẍ() + c ẋ() + k x() = f ext (), bilancio delle forze, verificato T ; x() = x o, posizione iniziale, verificata in = ; ẋ() = v o, velocità iniziale, verificata in =. (7) Come già detto, la risposta generale x g di un sistema forzato è data dalla somma della soluzione omogenea x om, corrispondente a forzante nulla, e della soluzione particolare x f, che risolve il caso con forzante f: x g () = x om () + x f (). Inserendo la funzione x g nel sistema (7), si ottiene m ẍ f () + c ẋ f () + k x f () = f ext (), bilancio delle forze, verificato T ; x om () + x f () = x o, posizione iniziale, verificata in = ; ẋ om () + ẋ f () = v o, velocità iniziale, verificata in =. (7) Dunque, la soluzione dell omogenea x om scompare dall equazione differenziale, ma rimane nelle condizioni iniziali: le costanti di integrazione a, b dell omogenea, vedi (4), vanno trovate tenendo conto anche della soluzione particolare x f. 4. Forzante armonica Consideriamo una forza esterna del tipo f ext () = k A cos(α ). (72) La costante A ha le dimensioni fisiche di una lunghezza; tale rappresentazione risulterà utile nel seguito in quanto A è l ampiezza dello spostamento che provoca la forza stazionaria f ext () = k A. Data la (72), possiamo riscrivere l equazione del moto (7) dividendo tutti i termini per la massa m, ottenendo ẍ f () + 2 ζ ω ẋ f () + ω 2 x f () = ω 2 A cos(α ). (73) Si suppone che la soluzione particolare x f sia una funzione armonica avente la stessa pulsazione α della forzante: x f () = a cos(α ) + b sin(α ) (74) Inserendo la (74) nell equazione del moto si ottiene (ω 2 α 2 ) [a cos(α ) + b sin(α )] + 2 ζ ω α [b cos(α ) a sin(α )] = ω 2 A cos(α ). (75) Eguagliando i coefficienti delle funzioni seno e coseno si ottiene un sistema lineare che permette di determinare le costanti a e b [ ω 2 α 2 ] [ ] [ 2 ζ ω α a ω 2 ] A =. (76) 2 ζ ω α ω 2 α 2 b 7

18 Risolvendo il sistema, abbiamo a = A (α/ω) 2 ( (α/ω) 2 ) 2 + (2 ζ α/ω) 2, b = A 2 ζ α/ω ( (α/ω) 2 ) 2 + (2 ζ α/ω) 2. (77) Il valore delle costanti a, b dipende sia dalle caratteristiche del sistema ω, ζ, sia dalla pulsazione della forzante α; in particolare, il rapporto β = α/ω ha un ruolo molto importante. L ampiezza X e la fase φ del moto x f vengono dunque rappresentate come funzioni di ζ e β: X(ζ, β) = (a 2 + b 2 ) /2 = φ (ζ, β) = arctan A [ ( β 2 ) 2 + (2 ζ β) 2 ] /2, ( ) b = arctan a ( ) 2 ζ β β 2, (78) e la soluzione particolare (74) si riscrive Considerando una forza esterna del tipo x f () = X(ζ, β) cos[ α φ (ζ, β) ]. (79) è possibile ripetere tutta la procedura appena vista ed ottenere a = A f ext () = k A sin(α ), (8) 2 ζ α/ω ( (α/ω) 2 ) 2 + (2 ζ α/ω) 2, b = A (α/ω) 2 ( (α/ω) 2 ) 2 + (2 ζ α/ω) 2 ; (8) dunque, l ampiezza X(ζ, β) del moto rimane la stessa, mentre la fase sarà data da ( ) ( ) b β 2 φ 2 (ζ, β) = π + arctan = π + arctan. (82) a 2 ζ β In questo caso, per mettere in evidenza lo sfasamento, conviene rappresentare la soluzione particolare per il tramite della funzione seno; ripartendo dalla (74), si ottiene con x f () = X(ζ, β) cos[ α φ 2 (ζ, β) ] = X(ζ, β) sin[ α φ 3 (ζ, β) ], (83) ( ) β 2 φ 3 (ζ, β) = π/2 + arctan. (84) 2 ζ β Esaminiamo ora cosa accade nei casi estremi di pulsazione nulla, α =, corrispondente ad una forzante stazionaria, e di pulsazione che tende all infinito, α =, ossia, forzante estremamente veloce; dalla (83) abbiamo: α = β = X = A, φ 3 = x f () = A = cost, α = β = X, φ 3 π x f (). (85) Dunque, la costante A che abbiamo introdotto nella (72) rappresenta lo spostamento x f () prodotto da una forza esterna costante nel tempo; inoltre, anche una forzante molto veloce produce uno spostamento che tende a quello stazionario (addirittura nullo), ma in opposizione di fase. Per tale motivo viene definito il rapporto G = X/A, detto fattore di amplificazione, che 8

19 quantifica gli effetti dovuti ad una forzante armonica rispetto ad una forza di pari intensità, ma stazionaria X(ζ, β) G(ζ, β) = = A [ ( β 2 ) 2 + (2 ζ β) 2. (86) ] /2 Possiamo riassumere quanto detto con il seguente prospetto: IN: OUT: f ext () = k A cos(α ) x g () = x om () + G(ζ, β) A cos[α φ (ζ, β)], (87) f ext () = k A sin(α ) x g () = x om () + G(ζ, β) A sin[α φ 3 (ζ, β)]. G f = k A ζ = ζ =. ζ =.2 ζ =.4 ζ = 2 3 β φ 3 π π/2 ζ = ζ =. ζ =.2 ζ =.4 ζ = 2 3 β Figura 5: Andamento del fattore di amplificazione G(ζ, β) (sinistra) e della fase φ 3 (ζ, β) (destra) al variare del rapporto β, per diversi valori dello smorzamento ζ. Gli aspetti importanti della risposta di un oscillatore semplice con forzante armonica sono colti dalle seguenti nozioni: Pulsazione neutra. La pulsazione α cui corrisponde un fattore di amplificazione unitario viene detta pulsazione neutra; il corrispondente valore di β viene indicato con β n : G(ζ, β) = β n = 2 2 ζ 2. (88) Per ζ = abbiamo β n = 2; per ζ > / 2 abbiamo sempre G(ζ, β) < tranne che in β =. Pulsazione di risonanza. La pulsazione α che rende massimo il fattore di amplificazione viene detta pulsazione di risonanza ed indicata con α r ; il corrispondente valore di β viene detto rapporto di risonanza ed indicato con β r = α r /ω. Il valore β r che rende massima la risposta dipende dal coefficiente di smorzamento ζ e si trova cercando gli zeri della derivata di G(ζ, β) rispetto a β; : β G(ζ, β) = β r = 2 ζ 2. (89) Fattore di qualità. Il valore massimo del fattore di amplificazione viene detto fattore di qualità ed indicato con la lettera Q; tale massimo dipende ovviamente da ζ Q(ζ) = G(ζ, β r ) = 4 ζ ζ 2 ( 2 ζ 2 ) = + (ζ) = G(ζ, ) + (ζ). (9) 2 ζ 9

20 L ultima eguaglianza indica che, per piccoli smorzamenti, il massimo si ha in prossimità di β =. Per ζ = la risonanza si verifica quando β r =, ossia α r = ω, e comporta una amplificazione infinita; per ζ > / 2 la risposta non ha più massimi (Q < ). Pulsazioni di mezza potenza. I due valori β i in cui si verifica G(ζ, β i ) = Q(ζ)/ 2 sono detti punti di metà potenza G(ζ, β i ) = Q(ζ) ( β i = 2 ζ 2 ± 2 ) /2 ζ 2 ζ 4. (9) 2 Tale definizione discende dal fatto che la potenza assorbita dallo smorzatore è proporzionale al quadrato dell ampiezza: allora, quando la forzante ha pulsazione α i = β i ω, lo smorzatore dissipa metà potenza rispetto al massimo che si verifica per α r. Banda passante. L intervallo compreso tra i due punti β i è detto banda passante: per valori della pulsazione α α α 2, avremo G > Q/ 2. Abbiamo dalla (9) β 2 β = 2 ζ + 2 ζ 2 + o(ζ 4 ). (92) Si noti che questa nomenclatura ha origine nelle applicazioni elettriche e non meccaniche, dove l obiettivo è spesso quello di amplificare e non di smorzare. La Fig.5 riassume tutte queste nozioni per il caso specifico ζ =.3. G 3 2 Q Banda passante ζ = ζ =.3 ζ = / 2 ζ = Q/ 2 β β r β 2 / β Figura 6: Andamento del fattore di amplificazione G(ζ, β) al variare del rapporto β, per alcuni valori di ζ. La curva G(.3, β) (blu) raggiunge il massimo valore Q, indicato con un cerchio, quando β r =.955; si noti che per β compreso tra β e β 2, tale curva è sempre maggiore di Q/ 2; la fascia colorata verticale rappresenta dunque la banda passante. La curva G(/ 2, β) (rosso) decresce in modo monotono a partire da β =. 2

21 Esempi ζ = : moto armonico. In questo caso abbiamo G(, β) = ; φ(, β) = per β <, φ(, β) = π per β >. (93) β2 Quindi, la soluzione particolare è in fase per β < e in opposizione di fase per β > ; quando α ω, ossia β, possiamo usare la (79) che fornisce f ext () = k A cos(α ) x g () = x om () + A β 2 cos[α φ (, β)] (94) La risonanza si ha per α = ω, e l amplificazione diventa infinita; in questo caso la formula precedente non ha più valore e la soluzione particolare è data da una oscillazione armonica la cui ampiezza cresce linearmente con il tempo: f ext () = k A cos(ω ) x g () = x om () + A 2 ω sin(ω ) (95) 4.2 Dissipazione. Utilizziamo quanto imparato nella sezione (2.6) per calcolare potenza e lavoro dissipati in un sistema sotto-smorzato ( < ζ < ), sottoposto ad una forzante armonica f ext () = k A cos(α ). La soluzione omogenea decade con il tempo; esaurito questo contributo, il sistema si muoverà a regime con legge x f e velocità ẋ f x f () = G(ζ, β) A cos(α φ ), ẋ f () = α G(ζ, β) A sin[α φ (ζ, β)]. (96) Calcoliamo ora la potenza dissipata D = P vis = c ẋ f ẋ f e la potenza esterna immessa nel sistema P ext = f ẋ f ; utilizzando la (96), possiamo scrivere Potenza dissipata = D(ẋ f ()) = c (G A) 2 α 2 sin 2 (α φ ), Potenza Esterna = P ext (ẋ f ()) = k A 2 G α cos(α ) sin(α φ ). (97) Dalla precedente espressione si vede che la potenza dissipata dipende dal quadrato dell ampiezza del moto X = G A; inoltre, per il tramite di G, dipende da ζ e β: D max = c G 2 (ζ, β r ) A 2 α 2 sin 2 (α φ ) = c Q 2 (ζ) A 2 α 2 sin 2 (α φ ). (98) Nei punti di metà potenza abbiamo D max/2 = c G 2 (ζ, β i ) A 2 α 2 sin 2 (α φ ) = 2 D max. (99) Il lavoro compiuto in un ciclo si ottiene integrando la potenza tra zero e T a = 2 π/α L d = Ta D() d = c α π (A G) 2, () L ext = Ta P ext () d = k π A 2 G sin φ. () 2

22 Per confrontare le due espressioni occorre eliminare k e sin φ da L ext ; dalla (78) otteniamo G = [ ( β 2 ) 2 + (2 ζ β) 2 ] /2 = [ ( ) β 2 2 ] /2 = sin φ 2 ζ β, (2) 2 ζ β + 2 ζ β mentre dalla (34) si ha k = m ω 2 ; utilizzando queste relazioni si ottiene L ext = k π A 2 G sin φ = c α π (A G) 2 = L d. (3) ossia, tutto il lavoro esterno fatto sul sistema viene dissipato dallo smorzatore. 4.3 Esempio fai da te Il modo migliore per comprendere il significato del fattore di amplificazione è fare un semplice esperimento utilizzando le proprie mani ed un pendolo (un filo con un peso attaccato in basso). Prendiamo un pendolo di massa m e lunghezza L e sottoponiamo il punto di sospensione ad uno spostamento armonico orizzontale η() = η o sin(α ), ad esempio, muovendo la nostra mano a destra e sinistra; in conseguenza di ciò, il pendolo assumerà un moto oscillatorio e la massa subirà uno spostamento x() rispetto la posizione di riposo. Sia θ l angolo formato dal filo rispetto la verticale, T la tensione nel filo, m g la forza peso verticale; assumendo oscillazioni piccole, possiamo dire che la tensione nel filo T è circa pari a m g, mentre la sua componente orizzontale vale circa m g sinθ, vedi Fig.(7) m g = T cos θ T, T sin θ m g sin θ, sin θ x η L. (4) L equazione di bilancio relativa al moto orizzontale, considerando anche una forza viscosa, si scrive m ẍ() + c ẋ() + m g sin θ() = m ẍ() + c ẋ() + m g L x() = m g η() ; (5) L ossia, dividendo tutto per m e ricordando che η = η o sin(α ) ẍ() + 2 ω ζ ẋ() + ω 2 x() = ω 2 η o sin(α ), ω = g L. (6) La precedente equazione è analoga alla (73): il moto del supporto η() ha lo stesso effetto di una forzante. Per tale motivo valgono gli stessi risultati della (85) che conviene ripetere qui con qualche commento: La mano si sposta: lentamente: α =, X = A, φ 3 = il pendolo si sposta insieme alla mano; velocemente: α = X, φ 3 π il pendolo rimane fermo; alla risonanza: α = ω X, φ 3 π 2 il pendolo oscilla molto. (7) Dunque, muovendo la mano con il periodo giusto è possibile innescare nel pendolo oscillazioni molto ampie anche se la mano si muove pochissimo; se il filo è lungo un metro, la risonanza dovrebbe avvenire con un periodo T = 2 π/ω 6.28/ s. 22

23 η θ L T T T cos θ T sin θ m g x L sin θ m g Figura 7: A sinistra vediamo il pendolo in condizioni di riposo, mentre a destra vediamo una generica configurazione assunta durante il moto, inclinata dell angolo θ rispetto la verticale. I due parametri η e x misurano gli spostamenti orizzontali del punto di sospensione e della massa posta in basso, rispettivamente. L ipotesi di piccoli spostamenti comporta L sin θ = x η, cos θ =. 4.4 Forzante periodica Consideriamo una forza esterna periodica di periodo T a, ossia, tale che f( + T a ) = f(). (8) L insieme delle funzioni periodiche di egual periodo, corredato delle operazioni di somma tra funzioni e di prodotto tra una funzione ed uno scalare, è uno spazio lineare: F = {f : R R, tali che f( + T a ) = f()}, insieme delle funzioni periodiche ; f(), g() F f() + g() F, somma di funzioni ; (9) α R, f() F α f() F, prodotto funzione per uno scalare. In questo spazio lineare introduciamo anche la seguente operazione di prodotto interno o prodotto scalare che associa a due funzioni uno scalare: f() g() = 2 T a +Ta f(s) g(s) ds. () Il prodotto scalare permette di definire il modulo di una funzione e di misurare la distanza tra due funzioni f() = ( f() f() ) /2, modulo di una funzione ; () d(f(), g()) = f() g(), distanza tra due funzioni. 23

24 Lo spazio delle funzioni periodiche di periodo T a è dotato di una base costituita da una funzione costante e dalle funzione armoniche seno e coseno aventi pulsazione multipla di quella fondamentale α = 2 π/t a Base: {, cos(j α ), sin(j α ) }, con j =, 2,..., α = 2 π. (2) T a Per semplificare la notazione, definiamo α j = j α, con j =, 2,... le pulsazioni multiple di α; α = α è detta pulsazione fondamentale, mentre tutte le altre sono chiamate pulsazioni superiori. Si noti che le funzioni armoniche vengono ordinate secondo la pulsazione; cos(α ) e sin(α ) sono chiamate armoniche fondamentali, le altre armoniche superiori. Si noti anche che gli elementi della base sono tutti ortogonali tra loro: infatti, per ogni i, j, abbiamo cos(α j ) = 2 T a +Ta cos(α j s) ds =, sin(α j ) = 2 T a +Ta sin(α j s) ds =, sin(α j ) cos(α i ) = 2 T a +Ta inoltre, le funzioni armoniche hanno modulo uno: cos(α j ) 2 = 2 T a +Ta sin(α j s) cos(α i s) ds = ; (3) cos 2 (α j s) ds =, sin(α j ) 2 = 2 T a +Ta sin 2 (α j s) ds =, (4) (5) Ogni funzione periodica di periodo T a può essere rappresentata come combinazione lineare di elementi della base, detta sviluppo di Fourier f() = a o 2 + [ a j cos(α j ) + b j sin(α j ) ] ; (6) j= l insieme delle costanti a o, a j, b j, con j =, 2,... viene detto spettro della funzione f, e caratterizza completamente una funzione periodica di periodo T a e pulsazione fondamentale α = 2 π/t a ; ogni costante ha le dimensioni fisiche di una forza. Lo spettro di una funzione è costituito dalle componenti della funzione data rispetto alle funzioni della base, e si trova proiettando la funzione sulla base a o = f() = 2 T a +Ta f(s) ds, a j = f() cos(α j ) = 2 T a +Ta b j = f() sin(α j ) = 2 T a +Ta f(s) cos(j α s) ds, f(s) sin(j α s) ds. (7) 24

25 Notiamo infine che il primo termine della serie rappresenta il valor medio f della funzione f() f = T a +Ta f(s) ds. (8) Infatti, il prodotto scalare di f() per la funzione costante fornisce f() = 2 T a +Ta f(s) ds = 2 f = 2 +Ta ( a o T a 2 + [... ] ) ds = a o f = a o 2. (9) Ricordiamo che una funzione viene detta pari o dispari a seconda che un cambio si segno dell argomento provochi o meno un cambio di segno del valore della funzione: j= pari: f() = f( ) ; dispari: f() = f( ). (2) L importanza di tale classificazione risiede nel fatto che, rispetto al prodotto scalare scelto, le funzioni pari e dispari sono ortogonali tra loro; indichiamo con p() e d() due funzioni rispettivamente pari e dispari: allora, centrando gli estremi di integrazione nell origine, possiamo scrivere p() d() = 2 ( Ta/2 p(s) d(s) ds = 2 ) Ta/2 p(s) d(s) ds + p(s) d(s) ds. (2) T a T a/2 T a T a/2 Utilizzando le proprietà dell integrale e delle funzioni pari e dispari, il primo addendo nel termine di destra può essere trasformato come segue Ta/2 Ta/2 p(s) d(s) ds = p( s) d( s) ( ds) = p( s) d( s) ds = p(s) d(s) ds, T a/2 T a/2 (22) Usando questo risultato nella (2) si ottiene quanto detto p() d() = 2 ( Ta/2 p(s) d(s) ds = 2 Ta/2 ) Ta/2 p(s) d(s) ds + p(s) d(s) ds =. T a T a/2 T a (23) Data l ortogonalità tra funzioni pari e dispari, la rappresentazione (6) di una funzione pari conterrà solo armoniche pari, e dunque b j = per ogni j; analogamente, per una funzione dispari avremo a j =. 4.5 Risposta alla forzante periodica A questo punto, determinare la risposta dell oscillatore ad una forzante periodica è piuttosto semplice; le considerazioni importanti da fare sono tre:. conosciamo la risposta in caso di forzante armonica, vedi (87); 2. una funzione periodica si rappresenta come somma di una costante più le varie armoniche, vedi la (6); 3. il sistema è lineare. 25

26 Dunque, la risposta ad una forzante periodica di periodo T a = 2 π/α sarà data da x f () = a o k 2 + G j [ a j cos(α j φ j ) + b j sin(α j φ 3j ) ] ; (24) j= dove G j = G(ζ, β j ), φ j = φ (ζ, β j ), φ 3j = φ 3 (ζ, β j ), β j = j α ω, (25) sono il fattore di amplificazione e la fase relativi ad ogni singola armonica. La (24) mostra che una armonica, anche di piccola ampiezza ma avente una pulsazione simile a quella di risonanza, β j β r, ha un effetto sulla risposta molto grande. Questo aspetto è molto importante soprattutto per un oscillatore con smorzamento piccolo o nullo, e quindi con fattore di qualità grande o infinito: una forzante con una piccola armonica vicino alla risonanza provoca risposte enormi Esempio: onda quadra Consideriamo la funzione periodica onda quadra, di periodo T a e ampiezza 2 A, centrata nell origine; tale funzione è definita dalla richiesta... A per T a /2 < < T a, f() = A per < < T a /2, A per T a /2 < <, A per T a < < T a /2... (26) Un esempio di onda quadra è mostrato nella Fig.(8) per il caso A =, T a = 2; si noti che tale funzione è costante a tratti, e non è definita nei punti ±i T a /2; inoltre, è una funzione dispari e dunque il suo sviluppo di Fourier conterrà solo le armoniche dispari, ossia, a i =. Il calcolo dei coefficienti b i fornisce b i = f() sin(i α ) = 2 +Ta f(s) sin(i α s) ds = 2 [ + ( )i ] A 4 A = i π, i dispari, T a i π, i pari. (27) e dunque lo spettro dell onda quadra contiene solo le costanti b i con i dispari; il suo sviluppo di Fourier fornisce f() = 4 A π j=,3,5,... j sin(α j ) ; (28) Un confronto tra l onda quadra e la sua rappresentazione di Fourier troncata alle prime tre armoniche non nulle è mostrata in Fig.(8). La risposta dell oscillatore all onda quadra sarà fornita dalla (24) adattata al caso in esame x f () = 4 A G j k π j sin(α j φ 3j ) ; (29) j=,3,5,... 26

27 Figura 8: Sopra: grafico della funzione onda quadra, con A = e T a = 2; tale funzione è costante a tratti e non è definita nei punti ±i T a /2. Sotto: grafico dell onda quadra con sovrapposta la sua rappresentazione di Fourier contenente solo le tre armoniche di ampiezze b, b 3, b 5. Un grafico molto importante si ottiene sovrapponendo lo spettro della forzante (una caratteristica dell ingresso) al fattore di amplificazione (una caratteristica del sistema): in questo modo è possibile visualizzare a colpo d occhio le armoniche che saranno amplificate oppure ridotte. La Fig.(9) si riferisce ad un oscillatore con caratteristiche ζ =.2, ω =. Lo spettro dell onda quadra la variare della pulsazione è mostrato con dei pallini blu: il primo pallino risiede nel punto (α, b ) = (π, 4/π), il secondo in (2 α, b 2 ) = (2 π, ), il terzo in (3 α, b 3 ) = (3 π, 4/(3 π)) e così via; si nota che i pallini in posizione dispari hanno valori sempre più bassi, mentre i pallini in posizione pari hanno valore nullo. La curva continua rappresenta il grafico di G(ζ, β) al variare della pulsazione, e presenta il massimo in prossimità della pulsazione naturale ω =. La terza armonica ha pulsazione 3 π 9.424, un valore molto vicino a quello della pulsazione naturale e dunque vicino alla risonanza. I quadrati rossi rappresentano lo spettro del moto x f e mostrano l effetto del fattore di amplificazione: il valore della loro ordinata è dato dal prodotto b j G(ζ, β j ). Si nota che la prima armonica, alta, viene leggermente amplificata; la seconda armonica ha valore nullo; la terza armonica, meno importante della prima, viene amplificata tanto che il suo contributo diventa paragonabile a quello della prima armonica; da qui in poi, i contributi sono trascurabili. 27