La relatività da Galileo ad Einstein

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1 La relatività da Galileo ad Einstein Prof. Alfonso Cornia -- ITIS Vinci -- Carpi Marzo 2011 Cominciamo con una tabella, che ci aiuta a collocare complessivamente gli argomenti che affronteremo: 1610 circa relatività galileiana Galileo Gran navilio Le leggi della meccanica sono invarianti per tutti i sistemi di 1905 relatività ristretta 1915 relatività generale Einstein Treno Einstein Astronave e ascensore riferimento inerziali Le leggi della fisica sono invarianti per tutti i sistemi di riferimento inerziali Le leggi della fisica sono invarianti per tutti i sistemi di riferimento Da Aristotele a Galileo Un primo passaggio fondamentale è quello della transizione dalla meccanica pre-galileiana a quella galileiana. E praticamente impossibile parlare della relatività galileiana senza citare (o meglio leggere!) il celeberrimo brano della nave o, come dice Galileo, del gran navilio. Fra i meriti storici di Galileo vorrei qui citarne uno in particolare: è colui che ha meglio compreso che la rivoluzione copernicana era una straordinaria occasione per fondare su basi nuove non solo l astronomia ma la fisica e l intero sapere scientifico. Quale migliore occasione quindi della battaglia che allora si andava combattendo fra concezione eliocentrica e concezione geocentrica, fra gli ultimi seguaci di Aristotele e i nuovi scienziati ispirati dall opera di Copernico? Pag. 1

2 Galileo ha dato rilevanti contributi all affermazione del copernicanesimo; fra gli altri, quello che oggi è noto come principio di relatività galileiano. Fra le obiezioni dei sostenitori del geocentrismo, una sembrava assai convincente: il moto della Terra avrebbe delle conseguenze osservabili, del tutto in contrasto con quanto ci suggeriscono i sensi; ad esempio, un corpo lasciato cadere al suolo da una certa altezza, diciamo dall alto di una torre, non dovrebbe cadere ai piedi della torre stessa (come si può facilmente constatare), perché durante la caduta la Terra si sposterebbe verso Est sotto il corpo che sta cadendo, lasciandolo cadere più indietro. O, in modo equivalente, riprendendo un bell esempio dello stesso Galileo, se un rubinetto lascia cadere dell acqua goccia a goccia sulla stretta bocca di un vaso sottostante, la goccia dovrebbe cadere fuori dal vaso stesso che nel frattempo si è mosso. Il fatto che la goccia cada nell imboccatura del vaso è la prova, secondo i tolemaici, che la Terra è immobile. Galileo affronta il più classico dei moti relativi, quello di un veicolo nel quale si trova lo sperimentatore. E quale esempio poteva scegliere, non avendo ovviamente a disposizione i treni di Einstein e tanto meno ascensori e astronavi? Galileo pensa ad una grande nave; invita il lettore a rinchiudersi sotto coperta, cioè all interno della nave in modo che non sia possibile avere punti di riferimento esterni. Il brano del dialogo di Galileo mostra che un moto non produce necessariamente effetti dinamici osservabili: tutto si svolge sotto la stiva del gran navilio come si svolgerebbe se la stiva fosse ferma. Naturalmente nella metafora di questo brano la nave rappresenta la Terra sulla quale si trovano gli osservatori. E un colpo decisivo a chi nega ogni possibilità di moto terrestre sulla base di eventuali effetti sulla dinamica dei corpi. Il movimento e la quiete dunque non sono proprietà dei corpi ma stati relativi a qualcosa assunto come riferimento. E essenziale la precisazione che il moto della nave sia, per usare una terminologia più moderna, rettilineo e uniforme. Nella fisica di Galileo e di Newton questi sistemi di riferimento, detti sistemi inerziali, rivestono dunque un ruolo privilegiato. Possiamo quindi formulare in termini moderni il principio di relatività galileiano dicendo che Esperimenti condotti nelle stesse condizioni in un qualsiasi SR inerziale danno gli stessi risultati. Valgono per tutti i SR inerziali le stesse leggi, in particolare le stesse leggi della meccanica. Pag. 2

3 Le trasformazioni di Galileo Vediamo adesso di rendere più quantitative queste considerazioni. Posizione, velocità, accelerazione di un corpo hanno come è noto diverso valore a seconda di chi lo osserva. Un esempio classico è quello del passeggero che sta camminando all interno della carrozza di un treno (ma potrebbe benissimo trattarsi di una persona che si muove all interno del gran navilio di Galileo). Indichiamo con O un osservatore che si trova a terra e con O un osservatore seduto sul treno (fermo cioè rispetto al treno); i due osservatori studiano il moto di un passeggero P che si muove all interno del vagone. Supponiamo che il treno viaggi di MRU con velocità v lungo l asse x. Supponiamo anche, per semplificare le notazioni (ma la generalizzazione non è difficile) che il passeggero P si muova sul vagone lungo l asse x, di un moto qualsiasi. Se all istante t = 0 la posizione di O e quella di O coincidono, essi misureranno da quel momento per la posizione di P valori diversi; fin qui niente di speciale. C è però una precisa relazione tra i valori osservati da O e da O. Infatti all ascissa x misurata da O, per ottenere l ascissa misurata da O dovremo aggiungere il tratto nel frattempo percorso dal treno, che vale ovviamente vt. Vale quindi la relazione: x x' vt Considerando, cosa a lungo ritenuta scontata, che il tempo scorra allo stesso modo per i due osservatori, si ottengono derivando due semplici relazioni relative rispettivamente alla velocità u e all accelerazione a: u u' v a a' E di immediata verifica la relazione relativa alla velocità, con un semplice esempio numerico. Se v 20 m/ s e u 4 m/ s si ha nei due casi rispettivamente v ' 24 m/ s e v' 16 m/ s. Si possono osservare due cose: la relazione fra le velocità ci dice che le velocità si sommano e quindi, in linea di principio, assumendo un opportuno SR inerziale si possono osservare velocità arbitrariamente grandi la relazione fra le accelerazioni spiega come mai il principio di inerzia e la seconda legge di Newton valgano indifferentemente per qualsiasi SR inerziale. Pag. 3

4 Il passaggio tra le grandezze fisiche del SR O e quelle del SR O si possono condensare nelle quattro relazioni: x' x vt y' y z' z t' t che vengono chiamate trasformazioni di Galileo non perché le abbia introdotte il nostro scienziato, ma in suo onore, dato che si tratta di conseguenze immediate del principio di equivalenza che sottende l esempio del gran navilio. Il valore delle grandezze fisiche varia da un SR inerziale a un altro, mentre le leggi sottostanti valgono nella stessa forma in tutti questi sistemi, il che spiega la loro equivalenza. Tralasciando qui alcuni elementi pure importanti, mi preme mettere in luce alcuni nodi che nella seconda metà dell ottocento influenzano l emergere delle nuove idee di Einstein. I fatti nuovi sono sostanzialmente tre, ognuno di essi concettualmente molto importante, anche se è il terzo a porre con urgenza la necessità di superare la fisica newtoniana. 1. Geometrie non euclidee. 2. Critica di Mach agli enti assoluti 3. Elettromagnetismo, concetto di campo, etere cosmico Nello studio dell elettromagnetismo, a partire da Faraday si è fatto strada uno strumento ben più potente e dotato di notevoli capacità predittive: quello di campo; il campo elettromagnetico (ma anche quello gravitazionale) si è evoluto da puro strumento matematico a vero e proprio ente fisico dotato di una struttura reale: il veicolo delle interazioni fra cariche elettriche, fra correnti e fra magneti. La stessa luce diventa con Maxwell un campo elettromagnetico che si propaga ad altissima velocità. Qui però si apre un problema serio se si vuole restare all interno del meccanicismo newtoniano. Nel tentativo di conciliare il campo e.m. con la meccanica classica e di far rientrare la luce e le altre onde elettromagnetiche nella più generale classe delle onde meccaniche, la sua propagazione richiedeva l esistenza di un mezzo materiale, esattamente come accade ad esempio per il suono. Questo mezzo invisibile, imponderabile, dotato di tutti quei requisiti: viene denominato etere. Cosa c entra la questione dell etere con la relatività? Pag. 4

5 Parlare di movimento della luce e di tutti i corpi attraverso l etere significa ammettere che questa fantomatica sostanza possa essere assunta come sistema immobile ed assoluto di riferimento. Nel 1887 utilizzando un metodo interferometrico Michelson e Morley realizzarono un esperimento in grado di rilevare l eventuale moto della Terra rispetto all etere: l idea era quella di sfruttare la natura ondulatoria della luce e in particolare il fenomeno dell interferenza, riconducendo così la misura degli intervalli temporali agli spostamenti delle frange di interferenza. Risultato: l esperimento non rilevò alcuna differenza nel tempi di percorrenza. E adesso arriva Einstein La relatività ristretta Einstein pubblica nel 1905 un articolo dal titolo Sull elettrodinamica dei corpi in moto sulla rivista Annalen der Physik. All epoca ha 26 anni e lavora all ufficio brevetti di Berna. Non ha dunque incarichi né titoli accademici: le idee esposte in questo articolo sono il frutto di una riflessione in gran parte solitaria. La ricostruzione storica secondo la quale Einstein sarebbe stato ispirato per la relatività ristretta dall esito dell esperimento di Michelson di 20 anni prima è stata in gran parte abbandonata dagli storici e risulta priva di qualsiasi fondamento. Lo stesso Einstein afferma che a quel tempo non conosceva l esperimento di Michelson-Morley e in ogni caso non lo avrebbe considerato decisivo nella fase di elaborazione della teoria, anche se l esperimento viene citato nella parte iniziale del suo articolo del Quale è allora l ispirazione che ha guidato Einstein? Einstein era affascinato dall elettromagnetismo di Maxwell, in particolare dall introduzione del concetto di campo e dalla concezione della luce come fenomeno elettromagnetico. Tuttavia (come abbiamo visto), nonostante i trionfi dell e.m. maxwelliano si poneva un problema di fondo, legato alla propagazione delle onde e.m. La concezione prevalente alla fine dell 800 è quella della propagazione di una perturbazione di un mezzo che permea tutto lo spazio, al quale era stato dato il nome di etere. Sarebbe il riconoscimento dell esistenza di un SR assoluto, in contraddizione con lo spirito della relatività galileiana. Indipendentemente dai risultati sperimentali di Michelson, l idea di fondo di Einstein è che non ha senso pensare in termini di moto assoluto, Pag. 5

6 seguendo in questo l impostazione di Mach che, ricordiamo, aveva espresso una dura critica al concetto newtoniano di spazio assoluto, da lui considerato una mostruosità concettuale. Non a caso Einstein ad un certo punto della sua autobiografia scientifica afferma: E stato Mach a scuotere la fede dogmatica nella meccanica newtoniana. E la relatività di TUTTI i fenomeni fisici, di quelli e.m. esattamente come quelli meccanici, il principio di guida per la relatività einsteiniana. In sostanza, Einstein rileva che se valgono le trasformazioni di Galileo allora non è possibile che valga la relatività per tutti i fenomeni fisici, dato che la velocità della luce varrebbe c nel SR dell etere e c v in un altro sistema di riferimento. Sarebbe così possibile con esperimenti e.m. discriminare la quiete assoluta dal moto assoluto, cosa non possibile con esperimenti di meccanica. Per assicurare la relatività per qualunque fenomeno fisico non resta che imporre che c sia costante in qualunque SR inerziale e rinunciare alle trasformazioni di Galileo. Dunque sono due i capisaldi di quella che in seguito verrà chiamata relatività ristretta: la velocità della luce nel vuoto (c) è la stessa per ogni SR inerziale in due SR in MRU uno rispetto all altro tutte le leggi di natura sono rigorosamente identiche e non è possibile distinguere il moto uniforme assoluto o la quiete assoluta. Questi due postulati comportano delle conseguenze sconvolgenti per la fisica newtoniana e in misura ancora maggiore per il senso comune. Non valgono più, come abbiamo detto, le trasformazioni di Galileo che lasciano il posto a nuove formule di conversione per le coordinate spaziali (x, y, z) e, novità assoluta, per la variabile temporale t. Einstein arriva ad adottare le stesse trasformazioni di Lorentz, ma stavolta il significato fisico è ben diverso: per Lorentz si tratta di una scelta in qualche modo di comodo per far quadrare gli esperimenti e salvare il concetto di etere per Einstein queste trasformazioni implicano una radicale modifica delle nostre concezioni sullo spazio e sul tempo: viene negata la nostra concezione del tempo come entità assoluta, che scorre allo stesso modo per tutti. Non approfondirò, perché ci porterebbe troppo lontano, tutte le conseguenze della relatività ristretta: mi interessa qui mostrare cosa ha comportato questa teoria nella nostra concezione complessiva della realtà fisica. Fra le conseguenze della relatività ristretta ricordo quelle relative Pag. 6

7 alla misura e alla percezione del tempo. Con il celebre esempio del treno, Einstein dimostra che due eventi che sono simultanei nel SR del treno non lo sono per un osservatore a terra e viceversa. Dunque lo scorrere del tempo e la stessa simultaneità non sono un dato assoluto, ma sono relativi all osservatore. In realtà allora quella che chiamiamo relatività è una descrizione dei fenomeni fisici che distingue nettamente fra: grandezze fisiche relative al SR (lunghezza, velocità, intervallo di tempo, simultaneità, campo elettrico, campo magnetico ecc.) grandezze fisiche invarianti, in qualche modo assolute perché indipendenti dal SR (velocità della luce, distanza fra due eventi, campo elettromagnetico ecc.) Con la relatività ristretta, Einstein ha finalmente risposto ad una domanda che si poneva già da tempo: Perché la natura si comporta in un modo per i fenomeni meccanici e in un altro per quelli e.m.? Adesso possiamo dire che tutti i fenomeni fisici sono gli stessi in qualunque sistema di riferimento inerziale. La relatività generale Potrebbe accontentarsi, è già lo scienziato più famoso del mondo. Ma c è ancora qualcosa che non lo soddisfa: Perché la natura si comporta in modo privilegiato proprio per i SR inerziali? Perché i SR inerziali e proprio essi sono equivalenti mentre non lo sono quelli non inerziali?. E questa la domanda attorno alla quale, per circa un decennio, lavora per arrivare infine alla stesura della relatività generale. Einstein aveva già dimostrato il carattere relativo della velocità, ma gli dava fastidio il carattere in qualche modo assoluto della accelerazione, l ultimo ostacolo ad un pieno dispiegamento del principio di relatività. Scrive nel 1907, quando ancora lavora all Ufficio brevetti di Berna: E concepibile che il principio di relatività valga anche per sistemi di riferimento che siano accelerati uno rispetto all altro?. E l inizio di un duro lavoro che lo porterà ad elaborare una teoria relativistica della gravitazione. Galileo parlava di navi, la relatività ristretta di treni, qui si parlerà di astronavi e di ascensori. Pag. 7

8 Chiediamoci intanto cosa significa che un corpo nelle condizioni descritte da Einstein non ha peso. Se una persona sale su una bilancia all interno di una stanza, o di un ascensore in quiete o in MRU potrà rilevare il proprio peso, che è in grado di schiacciare la molla della bilancia che sta sotto i suoi piedi. Cosa accade invece se si esegue la stessa misura all interno di un ascensore in caduta libera? La bilancia non segna nessun peso! La stessa cosa vale, e ormai ci siamo abituati dopo averlo visto più volte nelle immagini che arrivano dallo spazio, all interno di un astronave che ruota attorno alla Terra, che esattamente come l ascensore è in caduta libera all interno del campo gravitazionale della Terra. Proviamo allora a descrivere queste due situazioni secondo il modello newtoniano, ormai consolidato da parecchi secoli e ritenuto a lungo l unico possibile. Cosa dice Newton Sull ascensore in caduta libera agisce la gravità terrestre che produce un MUA (rispetto a Terra ovviamente); dunque l ascensore non è un sistema inerziale e un osservatore al suo interno è soggetto alla forza di gravità e alla forza apparente dovuta alla accelerazione dell ascensore, per cui la risultante di queste due forze è nulla. Sul satellite agisce la gravità terrestre che produce un MCU (rispetto a Terra, ovviamente). Anche in questo caso il veicolo è un sistema non inerziale e stando al suo interno la risultante della forza di gravità diretta verso il centro della Terra e della forza centrifuga dovuta al moto della navicella di equilibrano, e l astronauta appare privo di peso. Cosa dice Einstein Ecco invece come si pone Einstein di fronte allo stesso fenomeno. Prendiamo ad esempio l ascensore, ma lo stesso vale per l astronave. Ancora una volta vale il modello del gran navilio di Galileo. Un osservatore si trova all interno di un ascensore con la porta oscurata e non osserva nessun peso, né sugli oggetti all interno né su se stesso. Cosa può concludere? Prima possibile spiegazione: l ascensore o l astronave si trova lontano da masse di qualsiasi corpo celeste, la gravitazione è nulla e dunque non risente di nessuna forza. Seconda possibile spiegazione: l ascensore si trova nel campo gravitazionale della Terra ed è in caduta libera (MUA); oppure Pag. 8

9 l astronave si trova nello stesso campo gravitazionale ed è pure in caduta libera (MCU). Le due situazioni (SR in quiete lontano da campi gravitazionali e SR che accelera sotto l azione della gravità) sono indistinguibili; è, detto in modo un po semplificato, il principio di equivalenza. Lo diciamo adesso alla maniera di Galileo: E impossibile distinguere per mezzo di qualunque esperimento fisico se ci troviamo in un SR all interno di un campo gravitazionale oppure in un SR soggetto ad una accelerazione. A ben pensarci, questo principio dovrebbe esserci almeno un po familiare. Se guardiamo la scena di un astronauta che all interno della navicella solleva a mezz aria un oggetto, lo lascia andare e l oggetto resta a fluttuare senza cadere in nessuna direzione, cosa possiamo dire? Forse l astronave sta viaggiando di MRU lontano da campi gravitazionali significativi, come sta accadendo ad esempio alla sonda (senza uomini a bordo ovviamente!) Voyager. E un sistema inerziale lontano da campi gravitazionali. Oppure sta ruotando attorno alla Terra: è un sistema non inerziale che si muove in un campo gravitazionale. Sono questi, appena accennati, i contenuti della relatività generale, che Einstein ha illustrato in un fondamentale articolo del 1915, I fondamenti della teoria generale della relatività. ***** Bibliografia Elio Fabri, Insegnare relatività nel XXI secolo, La fisica nella Scuola, quaderno n. 16 John Stachel (a cura di), L anno memorabile di Einstein, Edizioni Dedalo Julian Schwinger, L eredità di Einstein, Zanichelli Dalla collana I grandi della scienza, Le Scienze: o Enrico Bellone, Galileo, n. 1 o Niccolò Guicciardini, Newton, n. 2 o Silvio Bergia, Einstein, n. 6 Pag. 9