PRIMA PROVA INTERMEDIA DI STATISTICA (COD /6045/5047/4038/371/377) 26 ottobre 2015 COMPITO D

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1 FIRMA DELLO STUDENTE Cognome PRIMA PROVA INTERMEDIA DI STATISTICA (COD. 3000/6045/5047/4038/37/377) 26 ottobre 20 Nome Numero d matrcola Corso d Laurea Cod. corso COMPITO D A fn della valutazone s terrà conto solo ed esclusvamente d quanto rportato negl appost spaz. S rchede una tracca dello svolgmento dell eserczo e de calcol effettuat per rspondere alle domande Al termne della prova, è OBBLIGATORIO consegnare l presente foglo ed l foglo d brutta (DI CUI NON SI TERRÀ CONTO AI FINI DELLA VALUTAZIONE).

2 ESERCIZIO (punt 0) Adventureland è un pccolo parco dvertment con 0 attrazon. S rportano d seguto alcune caratterstche d ogn attrazone: N numero attrazone CM altezza mnma n centmetr per poter accedere all attrazone P/H numero d passegger per ora ANNO anno d naugurazone dell attrazone N CM P/H ANNO Somma a) S costrusca la dstrbuzone d frequenze della varable CM, calcolando frequenze assolute, percentual e cumulate. Un bambno alto 35 cm a quante attrazon può accedere? b) Dopo aver calcolato 5 numer d sntes della varable P/H, s costrusca l box-plot relatvo alla stessa varable. Qual è la forma della dstrbuzone? Sono present attrazon outler? Se sì, qual? Gustfcare adeguatamente le rsposte. c) Rappresentare la varable P/H attraverso un stogramma con 3 class d ampezza costante. d) Che cosa è l coeffcente d varazone? Dopo averne fornto la defnzone, se ne llustrno gl mpegh attraverso un caso concreto. a) CM Freq. assolute Freq. percentual Freq. perc. cumulate % 30% % 70% 30 0% 80% % 00% Totale 0 00% Dalla dstrbuzone d frequenze s deduce che un bambno alto 35 cm può accedere a 8 attrazon b) P/H: sequenza ordnata 00, 200, 200, 250, 250, 300, 350, 400, 500, 699 Mn 00 Poszone quartle: 0.25( + ) N à Q N à Me N à Q Poszone medana: ( ) 5 Poszone 3 quartle: ( ) 8 Max 699

3 BOX PLOT P/H Mnmo Quartle Medana 3 Quartle Massmo 00 0 Numero passegger/ora Dal grafco e da numer d sntes possamo evncere che la forma della dstrbuzone è asmmetrca postva o oblqua a destra, n quanto sono soddsfatte le tre condzon: Medana < Meda Me-Q < Q 3 -Me Q -Mn < Max-Q 3 Per verfcare la presenza d outler, occorre calcolare le sogle oltre le qual le osservazon sono da consderars anomale. Sogla nferore: Q.5( Q3 Q ) 200.5( ) à non sono present outler nferor. Sogla superore: Q3 +.5( Q3 Q ) ( ) à non sono present outler superor. Il massmo, 699, è sotto la sogla, se pur d poco. c) Per determnare l ampezza delle class occorre calcolare l range delle osservazon: Range Max Mn Per avere tre class ad ampezza costante, l ampezza w sarà par a S può dunque costrure la seguente tabella con la dstrbuzone d frequenze. [x ;x + ) f p w c [00;300) [300;500) [500;700) D seguto s rporta l dsegno dell stogramma. Sull asse delle ordnate è possble ndcare, n alternatva alla denstà d frequenza, la frequenza assoluta o la frequenza relatva, poché le class sono ad ampezza costante.

4 ISTOGRAMMA PH Denstà d) Il Coeffcente d varazone è una msura d varabltà relatva che esprme lo scarto quadratco medo come una percentuale della meda. S utlzza per confrontare la varabltà d dverse varabl e non s utlzza se la meda è vcna a zero. In caso d popolazone: cv 00% σ µ In caso d campone: s cv 00% x Se la varable X ha uno scarto quadratco medo pù elevato rspetto a Y, cò non sgnfca che X ha una varabltà pù elevata, poché lo scarto quadratco medo dpende dall untà d msura della varable. Percò occorrerà confrontare due coeffcent d varazone, dvdendo cascuno scarto quadratco medo per l valore assoluto della meda d cascuna varable. La varable con varabltà maggore sarà quella con coeffcente d varazone pù elevato. Esempo: consderando le due varabl X Età del vstatore e Y Durata della vsta, se l coeffcente d varazone par al 60% per X e al 90% per Y, la varable Durata della vsta ha varabltà maggore rspetto alla varable Età del vstatore. ESERCIZIO 2 (punt 6) L ottovolante d Adventureland ha 20 post, d cu 2 n prma fla. I post vengono assegnat casualmente ad ogn gro. a) Qual è la probabltà d trovars n prma fla almeno una volta dopo 5 gr sull ottovolante? b) Quant gr occorre fare sull ottovolante per aspettars d fare gro n prma fla? c) Sapendo che l ottovolante n meda mpega 58.4 second per ogn gro, con una devazone standard d 0.8 second per verfcarne l corretto funzonamento vene calcolato l tempo medo d 63 gr, ottenendo una meda d 58 second. Costrure l ntervallo d accettazone per la meda camponara utlzzando z 3. Qual concluson s possono trarre? a) Poché post vengono assegnat casualmente ad ogn gro, la dstrbuzone d probabltà adatta a descrvere la stuazone n esame è la dstrbuzone bnomale. Chamando X l numero d gr n prma fla su 5, X è una varable aleatora con dstrbuzone bnomale, con parametr n 5 e p 2/ X ~ Bn(5;0.). Per rspondere alla domanda devo calcolare: P ( X ) P( X 0) Ossa:

5 n x n x P( x) p ( p) per x 0,,..., n x P( X 0) p(0) P( X ) % b) In consderazone che: E(X)np Per sapere quant gr occorre fare sull ottovolante per aspettars d fare gro n prma fla occorre rsolvere la seguente equazone per trovare n: n 0. n 0 c) L ntervallo d accettazone per la meda camponara ha la seguente forma:. a.( x) ( Nel nostro caso: µ ± zα 2 σ ) X 0.8. a.( x) (58.4 ± 3 ) (58.4 ± ) (58.4 ± ) ( ; ) 63 Conoscendo meda e varanza d una popolazone, se la meda camponara appartene all ntervallo d accettazone allora possamo accettare l fatto che l campone provenga da quella popolazone. Nel caso n esame la meda camponara, 58 non appartene all ntervallo d accettazone, percò non è verosmle che l campone sa stato estratto dalla popolazone ndcata. L ottovolante non funzona correttamente. ESERCIZIO 3 (punt 6) Al fne d prevedere l numero d vstator gornaler (y) sulla base della temperatura meda del gorno (x), s costrusce un modello d regressone lneare. In un campone d gorn feral estv, sono stat rlevat l numero d vstator e la temperatura meda n grad centgrad, d cu s rportano d seguto alcun rsultat: x 382; y ; x ; x ; y y a) S determnno valor de coeffcent della retta d regressone (nterpolante) che spega l numero d vstator gornaler attraverso la temperatura meda del gorno. b) S fornsca un nterpretazone per cascuno de due coeffcent ottenut. c) Se doman fosse prevsta una temperatura d 27 grad centgrad, quale sarebbe la prevsone del numero d vstator d Adventureland? E se la temperatura fosse d grad? Commentare rsultat ottenut. a) Y numero d vstator gornaler, X temperatura meda del gorno 382 x y s xy

6 2 s x b n n n s n xy 2 s x x x x b0 y b x b) Il coeffcente angolare stmato, par a , ndca che, a fronte d un aumento d un grado d temperatura gornalera, s avrà un ncremento atteso del numero d vstator par a Il valore dell ntercetta non ha sgnfcato quando la temperatura gornalera sarà uguale a 0, n quanto l valore 0 non può essere nel range de valor osservat (stamo consderando un campone d gorn estv). c) Se la temperatura prevsta fosse d 27 grad centgrad, avremmo una prevsone del numero d vstator d Adventureland par a: y E se la temperatura fosse d grad avremo: y Mentre la prma prevsone può consderars attendble, n quanto 27 grad centgrad rappresentano una temperatura tpcamente estva, la seconda prevsone non è da consderars tale, poché grad centgrad non sono scuramente all nterno del range de valor osservat. ESERCIZIO 4 (punt 4) Un consulente, dopo aver analzzato alcun dat d soddsfazone rlevat su vstator del parco Adventureland, ha prodotto l seguente grafco che confronta le frequenze assolute delle due varabl: - Età del vstatore (Age): sotto 4 ann (under 4 years old) o sopra 4 ann (over 4 years old) - Soddsfatto?: sì o no. Alla luce del grafco prodotto, l consglo del consulente è quello d svluppare attvtà che convolgano pù grand, poché l loro numero d soddsfatt è mnore Under 4 years old 4 Over 4 years old no yes a) Le ndcazon del consulente sono corrette? Commentare la rsposta. b) S rtene che l grafco prodotto sa mglorable? Se sì, s specfch come e s rport la versone corretta del grafco. a) Come s può vedere nella tabella seguente, non esstono dfferenze a lvello percentuale sulla soddsfazone nelle due fasce d età e le valutazon del consulente non trovano sostegno. Le ndcazon del consulente non sono corrette. Frequenze subordnate d Soddsfatto? data l età del rspondente.

7 Soddsfatto? Età Under 4 years old Over 4 years old Sì No Totale b) Il grafco è mglorable utlzzando un altro dagramma a barre accostate che rappresent le frequenze subordnate, nell esempo della varable Soddsfatto data la fasca d età. 00% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 0% 0% 87.0% 87.% 3.0% 2.9% Under 4 years old Over 4 years old no yes ESERCIZIO 5 (punt 5) In un ndagne che ha convolto un campone d 3 vstator, s vuole analzzare la relazone tra numero d attrazon vstate e durata della vsta. La seguente tabella a doppa entrata rporta le frequenze assolute congunte. Durata della vsta Numero d attrazon vstate Tutte Fno a 2 ore ore 4 Oltre 5 ore 6 7 a) Defnre la covaranza tra due varabl quanttatve X e Y. Se la covaranza tra X e Y è par a 0, è possble sostenere con certezza che al varare del carattere X, l carattere Y non varerà? Gustfcare la rsposta. b) Qual è la percentuale d ntervstat che è rmasta oltre 2 ore e non ha vstato tutte le attrazon d Adventureland? c) Qual è la percentuale d ntervstat che non ha vstato tutte le attrazon tra ch è rmasto oltre due ore? E tra ch è rmasto fno a due ore? a) La covaranza è una msura d relazone lneare tra due varabl. Un valore postvo ndca una relazone dretta o postva e un valore negatvo ndca una relazone nversa o negatva. cov( x ; y) µ N N σ xy N N ( x µ x )( y µ y ) x y µ x y Se la covaranza è par a 0 è mpossble sostenere con certezza che al varare d X l carattere d Y non varerà: nfatt due caratter sono lnearmente ndpendent, ma potrebbero avere un altro tpo d relazone. b) La percentuale d ntervstat che è rmasta oltre 2 ore e non ha vstato tutte le attrazon d Adventureland è: (+4+6+7)/ % c) La percentuale d ntervstat che non ha vstato tutte le attrazon tra ch è rmasto oltre due ore è:

8 (+4+6+7)/( ) 42/ % La percentuale d ntervstat che non ha vstato tutte le attrazon tra ch è rmasto fno a due ore è: (36+9)/(36+9+8) 55/ %