dove dl del satellite nel suo moto, T il periodo di rivoluzione ed F r e la risultante delle forze sul satellite.

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1 PRIMA PROVA SCRITTA PARZIALE 31 mazo 3 compito A COGNOME NOME NOTA: questo foglio deve essee estituito; e obbligatoio giustificae le isposte. 11 domande: 3 punti a domanda + da a 3 punti pe la chiaezza delle spiegazioni Esecizio 1 Una sbaa (di lunghezza L e massa M note) e incenieata senza attito in un suo estemo C. La sbaa e fema in una posizione veticale, con il cento di massa piu alto ispetto a C. Al tempo t= le viene data una piccola spinta in modo che inizi a uotae. Si calcoli, quando ha effettuato una otazione di π/: 1.1 la velocità angolae della sbaa; 1. la componente oizzontale dell acceleazione del cento di massa della sbaa; 1.3 la componente veticale dell acceleazione del cento di massa della sbaa. Esecizio In un punto A=(-L/,,) e fissata una caica +Q, ed in un punto B=(L/,,) e fissata un alta caica +Q. Una paticella di massa M e caica q> e vincolata a muovesi senza attito sull asse x..1 Si calcoli l enegia potenziale U(x) della paticella in funzione di x (posizione della paticella) e si disegni il gafico di U in funzione di x (pe x <L/).. Che velocita ha la paticella in x= se e patita da fema dalla posizione x=l/4?.3 Si dica se il moto e : a) amonico, b) peiodico, c) unifomemente acceleato, d) ettilineo unifome, e) nessuno dei pecedenti. Esecizio 3 Si considei un satellite geostazionaio di massa M. 3.1 Dimostae che il aggio dell obita e di cica 4 km. R( T / ) 3. Si calcolino F dl R() e T / F dt dove dl e lo spostamento infinitesimo del satellite nel suo moto, T il peiodo di ivoluzione ed F e la isultante delle foze sul satellite. T / 3.3 Si calcolino V T / dt e V dt dove V e la velocita del satellite. Consiglio pe le domande 3. e 3.3: si tenga pesente il significato fisico degli integali. Esecizio 4 Si considei una pallina di massa M in un fluido, sottoposta alla foza di gavita e ad una foza di attito viscoso kv. 4.1 Si calcoli V (t) se la pallina pate da fema al tempo t=. 4. Si calcoli la potenza sviluppata dalla sola foza di gavita al tempo t.

2 PRIMA PROVA SCRITTA PARZIALE 31 mazo 3 compito B COGNOME NOME NOTA: questo foglio deve essee estituito; e obbligatoio giustificae le isposte. 11 domande: 3 punti a domanda + da a 3 punti pe la chiaezza delle spiegazioni Esecizio 1 Un cilindo cavo all inteno (la massa e disposta solo sulla supeficie lateale) di massa M e aggio R otola senza stisciae su un piano inclinato di un angolo θ ispetto ad un piano oizzontale, patendo da femo. 1.1 Quanto vale la velocita del cento di massa del cilindo, quando esso si e abbassato di una quota H? 1. Quanto vale l acceleazione del cento di massa del cilindo? 1.3 Quanto vale la foza di attito statico sul punto di contatto fa cilindo e piano? Esecizio Una massa M e vincolata a muovesi senza attito su una etta (asse x) oizzontale nella egione x <d/. La massa e fissata con due molle identiche, ciascuna di costante elastica k e lunghezza a iposo tascuabile, al punto A (posto in x = -d/) ed al punto B (posto in x = +d/)..1 Si calcoli l enegia potenziale U(x) della massa in funzione di x (posizione della massa) e si disegni il gafico di U in funzione di x.. Che velocita deve avee la massa in x=, affinche possa aggiungee il punto B?.3 Se la massa si tova in B al tempo t= con velocita nulla, si calcoli x(t) pe t>. Esecizio 3 Si considei il modello classico dell atomo di idogeno in cui l elettone uota di moto cicolae unifome a distanza R da un potone (che si considea femo) con 34 un momento angolae L = h = Js. 3.1 Si calcoli R. 3. Si calcolino le quantita m ( L V ) R / h e ω ( ω R ), dove R e la posizione dell elettone ispetto al potone, V e ω sono la velocita e la velocita angolae ed m e la sua massa. 3.3 Si calcoli K/U, appoto fa enegia cinetica ed enegia potenziale (si ponga l enegia potenziale elettostatica nulla a distanza infinita). Consiglio pe le domande 3. e 3.3: fae attenzione ai segni. Esecizio 4 Si considei un blocco di massa M che si muove su un piano xy oizzontale. Un uomo esecita una foza F u = ( F,) costante sul blocco, che e anche soggetto alla foza di attito dinamico (coefficiente µ D ). 4.1 Si calcoli al tempo t= l acceleazione del blocco se al tempo t= la sua velocita vale V ) = V,. Pe t> l acceleazione e costante? ( ( ) 4. Si calcoli al tempo t= l acceleazione del blocco se al tempo t= la sua velocita V ( ) =, V. Pe t> l acceleazione e costante? invece vale ( )

3 PRIMA PROVA SCRITTA PARZIALE 31 mazo 3 compito A Taccia della soluzione Esecizio Ponendo lo zeo dell enegia potenziale nella posizione oizzontale l enegia iniziale e solo potenziale (di valoe MgL/) e quella finale solo cinetica ( I ω / ) ; imponendo la consevazione dell enegia meccanica si ottiene ω = 3g / L. 1. La componente oizzontale dell acceleazione del cento di massa della sbaa e l acceleazione centipeta, il cui modulo vale a oiz = ω L / = 3g /. 1.3 La componente veticale dell acceleazione si ottiene dalla seconda equazione cadinale con τ = I α = MgL /, da cui a vet = α L / = ( MgL / )( L / ) /( ML / 3) = 3g / 4. Esecizio.1 L enegia potenziale e la somma dei contibuti dovuti alle due caiche e vale kqql /( L / 4 x ). Il suo gafico (in ascisse e ipotato x/l, in odinate U/(kQq/L)) e : Coulomb Coulomb Applicando la consevazione dell enegia meccanica si ottiene 1/ MV = U ( L / 4) U () = kqq / L 16 / 3 4 = 4 / 3 kqq / L, da cui ( 8kQq) /( L) V = 3..3 Il moto e : b) peiodico. ( )( ) ( ) Esecizio Imponendo che la foza gavitazionale poduca l acceleazione centipeta necessaia pe mantenee il satellite in obita e che il peiodo T sia pai a 1 giono = 864 s si ottiene = 3 R grt T / 4π 4 Km, dove R T e il aggio della tea (63 Km). 3. Il pimo integale e nullo peche e la vaiazione di enegia cinetica fa t = e t = T/, che e zeo peche la velocita e costante (in altenativa basta ossevae che la foza e lo spostamento sono sempe pependicolai); il secondo integale e pai alla diffeenza di quantita di moto fa questi due istanti; poiche la velocita cambia segno passando da t P = MV = a t = T/ l integale vale ( ) ( ).

4 3.3 Il pimo integale e lo spostamento compiuto in mezzo peiodo, pe cui vale R k ), dove kˆ e un vesoe, nel piano dell obita, pependicolae alla velocita iniziale; il secondo integale e pai alla lunghezza della taiettoia pecosa in un semipeiodo, che e mezza ciconfeenza, pe cui vale πr. Esecizio Il moto e unidimensionale, pe cui l equazione del moto si puo scivee in foma scalae. La velocita soddisfa l equazione M dv / dt = Mg kv la cui soluzione, con la condizione iniziale V() = e V () t = ( Mg / k) [ 1 exp( kt / M )]. P = F V = M g / k 1 exp kt / M. [ ] 4. La potenza si ottiene dalla elazione ( ) ( )

5 PRIMA PROVA SCRITTA PARZIALE 31 mazo 3 compito B Taccia della soluzione Esecizio La velocita V del cento di massa si ottiene dalla consevazione dell enegia meccanica notando che all istante iniziale l enegia e solo potenziale e vale MgH ed all istante finale e solo cinetica e vale 1/ MV + 1/ Iω = MV, dove si e sostituito V = ωr e I= MR. Si icava quindi V = gh. 1. Il punto di contatto (C) e l asse istantaneo di otazione, pe cui τ = I C α. Il modulo del momento vale MgR sinϑ ; con il teoema di Steine si ottiene I C = 3/ MR, da cui ( ) α = g sinϑ / R e a = g sinϑ / (dietta in discesa). 1.3 Dalla seconda equazione della cadinale della dinamica si ottiene Ma = Mg + N + Fs, dove N e la eazione nomale al piano inclinato e F S e la foza di attito; poiettando questa equazione nelle diezioni paallela e pependicolae al piano inclinato si icava F S = Mg sinϑ / (dietta in salita). Esecizio.1 L enegia potenziale della massa e la somma dei contibuti delle due molle e vale: U x = k x + d / 4. Il suo gafico (l ascissa e in unita d, l odinata in unita kd ) e : ( ) ( ) Elastica Elastica Dalla consevazione dell enegia meccanica si ottiene: MV / U ( L / ) U ( ) =, da cui V = d k / M..3 L equazione del moto e M& x = kx, peche le molle agiscono sulla massa in veso concode. La soluzione di questa equazione, con le condizioni iniziali x ( ) = d / e V ( ) = e x () t ( d / ) cos( kt / M ) =.

6 Esecizio Imponendo che la foza di Coulomb poduca l acceleazione centipeta necessaia pe mantenee l elettone in obita e fissando il valoe del momento angolae si ottiene 11 R = h / mke = 5. 1 m. 3. Poiche V, R e L sono mutuamente pependicolai, si ottiene L = RmV = h ; tenendo poi conto dei segni del podotto vettoiale si icava che il appoto vale 1. Il podotto vettoiale ( R 3 ω ω ) e l acceleazione centipeta e vale Rˆ V / R = Rˆ h / m R. Il modulo di questa gandezza e m/s. 3.3 In un moto cicolae sotto l azione di una foza dipendente dall inveso del quadato della distanza, l enegia cinetica e la meta del modulo dell enegia potenziale; poiche quest ultima e negativa, K/U = -1/. Esecizio La foza a t = e dietta lungo l asse x, pe cui a( ) = ( F / ) ˆ M µ d g x. Essendo la foza d attito dinamico dietta sempe in veso opposto alla velocita ed essendo la velocita iniziale dietta anch essa lungo x, non si ha mai acceleazione lungo l asse y, pe cui a () t e costante pe t >. 4. In questo caso la foza a t = ha due componenti: F / M lungo l asse x e µ d g lungo l asse y, pe cui: a( ) = ( F / ˆ ˆ Mx µ d gy). Poiche l acceleazione a t = non e paallela alla velocita iniziale, la velocita negli istanti successivi cambiea sia in modulo che in diezione; cambiea di conseguenza anche la diezione della foza di attito dinamico, pe cui l acceleazione pe t > non saa costante.