Appunti di Algebra Lineare. Spazi Vettoriali

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1 Appunti di Algebra Lineare Spazi Vettoriali aprile 3 La Biblioteca è una sfera il cui centro esatto è qualsiasi esagono e la cui circonferenza è inaccessibile. J. L. Borges Finzioni - La Biblioteca di Babele

2 Note: Nel secondo foglio di esercizi:. il terzo dell Esercizio.5. ha soluzione L : x + y + z 4xy 4yz 4xz.. il primo dell Esercizio 3.8 ha soluzione S X r t ( ( u. In questo foglio di esercizi: se V è spazio vettoriale e u... u h P V indicherò con L t u... u h u ciò che a lezione è stato indicato [ u... u h ]. A scanso di equivoci si tratta del sottospazio lineare # + ÿ h a iui a ˇˇˇˇˇ i P R Ď V. Si ricordi che dim L t u... u h u ď h. Indice i Ripasso di Teoria. Basi e Dimensione Sottospazi vettoriali Esercizi su Spazi Vettoriali e Dimensione 5 Ripasso di Teoria. Basi e Dimensione Ricordiamo che un sistema di vettori B t v... v n u di uno spazio vettoriale V si dice una base quando i v i sono linearmente indipendenti (LI e generano V. Essere linearmente indipendenti significa che una loro combinazione lineare a v + + a n v n dà il vettore nullo soltanto quando tutti i coefficienti a i P R sono nulli. (Un sistema di vettori è linearmente dipendente (LD se e solo se uno dei suoi vettori si scrive come combinazione lineare dei rimanenti. Generare V significa invece che ogni v P V si scrive come combinazione lineare dei v i. Se B è una base di V diciamo che dim V n cioè: la dimensione è il numero di elementi in una (qualunque base. Ad esempio dim R n n. Si noti che se ho una base B e ci aggiungo dei vettori a caso ottengo ancora un insieme di generatori per V; ma di certo perdo l indipendenza lineare; viceversa se tolgo generatori da una Qua c è l essenza base continuo ad avere vettori linearmente indipendenti ma adesso sono troppo pochi per generare tutto lo spazio. In altre parole: una base (per definizione un sistema di generatori indipendenti è delle basi Ð un sistema massimale di vettori linearmente indipendenti o equivalentemente un sistema minimale di generatori. Attenzione! Si noti che dato uno spazio del tipo W L t u... u m u il fatto che ci siano m vettori generanti non implica che dim W m. Infatti questi m vettori per definizione generano W ma nessuno ci assicura che siano LI! Potrei ad esempio poter scrivere il primo come combinazione dei rimanenti. Ciò che è certo è che dim W ď m. Per trovare una base di W bisogna individuare

3 tutti i vettori generanti che si scrivono come combinazione lineare degli altri e buttarli via. Ciò che resta è una base. Quindi per costruire una base si può agire in due modi: togliere i vettori sovrabbondanti da un insieme di generatori (dove sovrabbondanti significa: scrivibili come combinazione lineare degli altri finché non si trova un sistema LI; oppure aggiungere vettori a un sistema LI finché non si raggiunge un sistema di generatori. Una base è un insieme di vettori equilibrato nel senso che ci sono abbastanza vettori da generare tutto lo spazio ma non così tanti da ammettere relazioni di dipendenza lineare! Supponiamo di voler costruire un insieme massimale di vettori LI in V (una base dove dim V n. Scegliamo allora un primo vettore v P V. Lui da solo neanche a dirlo è LI. Come sceglierne un v che sia LI da v? Beh il secondo è sempre facile da scegliere: basta prenderlo non proporzionale al primo! Dal terzo in su non è più così evidente come sceglierlo. Tuttavia è vero questo: una volta che il terzo vettore v 3 è stato scelto si può affermare che t v v v 3 u è LI esattamente quando la matrice ( v v v 3 P R n3 ha rango 3 (cioè rango massimo. E così a salire con v 4 v 5... v n. Example.. In R la situazione è piuttosto semplice. Scelto un vettore v P R come si trova una base? Basta prenderne un altro che non sia parallelo al primo! cioè va scelto con un un altra direzione. In altre parole deve essere v ^ v. Example.. In R 3 si può fare così per trovare una base. Si sceglie un primo vettore v un secondo vettore v non parallelo al primo e si trova v 3 v ˆ v. Dovremmo ricordare per sempre il seguente fatto: tre vettori di R 3 sono linearmente dipendenti ðñ sono complanari ðñ il loro prodotto misto è nullo. In altre parole abbiamo un criterio concreto per stabilire se abbiamo in mano o meno una base di R 3 : tre vettori v v v 3 P R 3 formano una base esattamente quando il loro determinante v ^ v ^ v v v v 3 3 v v v 3 v 3 v 3 v 33. Remark.. Se in un sistema di vettori compare il vettore nullo quel sistema non è mai LI. (Perché? Remark.. Se sai che dim V n e hai n vettori allora per controllare se formano una base puoi limitarti a controllare se sono LI; oppure puoi scegliere di controllare se generano V. A tua scelta! (Perché? Remark.3. Sia n dim V. Se m ă n allora m vettori di V per quanto possano essere LI non generano V (e quindi non formano una base. Se invece m ą n allora m vettori per quanto possano generare V sono di certo linearmente dipendenti (e quindi non formano una base. Esempio: 4 vettori di R 3 sono sempre LD. Perché? Scrivete i dettagli: basta una riga! Se questa parola non è ancora stata definita si ritorni su questa frase a tempo debito. 3

4 . Sottospazi vettoriali Un sottoinsieme non vuoto W Ď V di uno spazio vettoriale V è detto sottospazio vettoriale se risulta uno spazio vettoriale per le operazioni (somma vettoriale e prodotto scalare per vettore rispetto a cui V è spazio vettoriale. In altre parole W deve contenere tutte le combinazioni lineari formate a partire dai propri elementi. Precisamente: Un insieme non vuoto W Ď V è sottospazio vettoriale di V Per ogni u v P W si ha u + v P W e per ogni λ P R si ha λ u P W õ õ Per ogni u v P W e per ogni λ µ P R si ha λ u + µ v P W Consiglio pratico: Quando vi chiedete se un sottoinsieme W Ă V è sottospazio di V la prima cosa da fare (perché in genere è molto veloce è controllare se il vettore nullo sta in W. Se non ci sta W non può essere sottospazio infatti un sottospazio è in particolare uno spazio vettoriale quindi contiene per forza il vettore nullo. [Se però lo contiene non si può ancora concludere che sia sottospazio!] Esercizio svolto. Controllare se il sottoinsieme " ( * a W a b b ˇˇˇˇ a b P R Ă R è sottospazio. In caso affermativo trovarne una base e la dimensione. Soluzione. Osservazioni iniziali: siccome R ha dimensione 4 se W è sottospazio di certo avrà dimensione ă 4 cioè al più 3. Infatti se fosse 4 avremmo W R che è chiaramente falso perché non tutte le matrici sono della forma prescritta da W. Chiediamoci se W è sottospazio. Ci sono due cose da verificare: se la somma di matrici di W sta in W e se uno scalare moltiplicato una matrice di W è ancora una matrice di W.. Per quanto riguarda la somma: ( ( ( a a a + a + a b b a b b (a b + (a b b + b ( a + a (a + a (b + b b + b P W.. Per quanto riguarda il prodotto scalare per vettore: ( ( ( a λa λa λ P W. a b b λ(a b λb λa λb λb 4

5 Quindi W è sottospazio. Troviamone una base. Notiamo anzitutto che possiamo scrivere il suo generico vettore come ( ( ( a a +b. a b b looomooon loooomoooon L ultima equazione ci dice che M N generano W. Questo implica che dim W ď. Ma siccome M N sono LI formano una base e quindi dim W. Perché M N sono LI? Perché l unica loro combinazione lineare che dà il vettore nullo (la matrice nulla! è quella in cui i coefficienti sono tutti nulli. Infatti a ( + b ( ( ðñ M ( a a b b N ( ðñ a b. Remark.4. Si noti che le soluzioni di un equazione differenziale formano sempre uno spazio vettoriale. Infatti la somma di soluzioni è soluzione e una soluzione moltiplicata per una costante è una funzione che risulta ancora soluzione dell equazione data. Ad esempio mostriamo che l insieme S t f P C (R f f u Ă C (R è un sottospazio vettoriale: se λ P R e f P S allora λf P S perché (λf λf λ(f (λf (λf. Similmente se f g P S allora (f + g f + g f + g (f + g. Esercizi su Spazi Vettoriali e Dimensione Esercizio... Tre vettori di R possono essere linearmente indipendenti?. Tre vettori di R generano sempre tutto R? E quattro? Esercizio.. Qual è la dimensione di R mn lo spazio delle matrici a m righe e n colonne? E mn Scriverne una base. Esercizio.3. Sia V R[t] l insieme dei polinomi a coefficienti in R nell indeterminata t. Mostrare che V è uno spazio vettoriale di dimensione infinita su R e scriverne una base. (Sì è una base infinita. Come si scrive? Esercizio.4. Sia V R [t] l insieme dei polinomi di grado ď a coefficienti in R nell indeterminata t. Mostrare che V è uno spazio vettoriale di dimensione 3. (Più in generale convincersi del fatto che dim R n [t] n +. Dopodiché per ciascuno dei seguenti sottoinsiemi di V si dica se è linearmente indipendente se genera tutto V se ne è una base: (i A t + t t + t + 3t + t u; (ii B t + t 3 + t + t + t u; (iii C t 3 + t t t + t u; (iv D t 3 t + t 5 + t + 3t t + 4t u. LD quindi NON BASE. Perché quindi? LI quindi BASE. Perché quindi? LI ma NON BASE. Perché ma? Esercizio.5. In V R si consideri il sottospazio " ( ( ( A L 3 3 Sono 4 ñ Sono... quindi... ( * Ď V. 5

6 . Trovare una base e la dimensione di A. dim A. Mostrare che (? 3 +? P A. 3 ed esprimerla nella base scelta. Esercizio.6. In V R 3 [t] si consideri il sottoinsieme A t a + bt + (a + bt 3 a b P R u Ă V.. Mostrare che A è sottospazio vettoriale di V.. Trovare una base e (quindi la dimensione di A. dim A Esercizio.7. Si consideri il sottospazio " ( ( 3 W L. Trovarne una base e la dimensione. dim W ( 3. Esprimere nella base trovata. ( * Ă R. Esercizio.8. In R 4 abbiamo i sottoinsiemi $ a & W a /. a 3 a a 3 Ă R 4 % a 4 ˇ /- $ 3 & W L % /. 6 Ă R 4. /-. Mostrare che sono sottospazi.. Trovarne una base e la dimensione. dim W 3 dim W 3 3. Si può aggiungere alla base trovata per W un vettore di W in modo da ottenere una base di R 4? Sì trovare un esempio. 6

7 Esercizio.9. In R 4 abbiamo i sottoinsiemi $ a & W a /. a 3 a a 3 + a 4 Ă R 4 % a 4 ˇ /- $ a & W a /. a 3 a + a 4 + Ă R 4. % ˇ /- a 4 Dire quale è sottospazio e trovarne una base. W è sottospazio (dimostrarlo!. E perché W no? Esercizio.. Sia V uno spazio vettoriale su R e siano H K Ă V due sottospazi. Consideriamo l insieme S t u + v u P H v P K u Ď V.. Mostrare che S è sottospazio di V. Questo sottospazio è detto la somma dei sottospazi H e K e si scrive S H + K.. Mostrare che dim (H + K ď dim H + dim K. Di fatto si ha dim (H + K dim H + dim K dim (H X K. 3. La somma S H+K è detta diretta quando HXK t u. Mostrare che la somma S è diretta se e soltanto se ogni vettore di S si scrive in modo unico come somma di elementi di H e K. La somma diretta si indica con S H K. 4. Mostrare che dim(h K dim H + dim K. Esercizio.. Mostrare che in R 3 due sottospazi W W di dimensione non sono mai in somma diretta. Trovare un esempio di sottospazi V V Ă R 3 tali che dim V dim V e V V R 3. Esercizio.. Consideriamo quattro vettori di R 4 u u 3 3 u 3 u 4.. Formano una base di R 4? (Basta controllare se generano R 4 o se sono LI... No. Trovare la dimensione di W L t u u u e W t u 3 u 4 u. 3. Trovare una base di W + W. 4. Trovare la dimensione di W + W e dire se tale somma è diretta. dim 3 quindi NO 7

8 5. Calcolare esplicitamente W X W. W X W R u 3 Esercizio.3. Consideriamo quattro vettori di R 3 u 4 u u 3 3 u I primi tre formano una base? Se ne trovano tre che formano una base? No. Sceglierne due indipendenti e trovarne un terzo (diverso da tutti e quattro! in modo da formare una base di R Trovare le dimensioni di W [ u u ] W [ u u 3 ] W 3 [ u 3 u 4 ] W 4 [ u u 3 ] W 5 [ u u u 4 ]. 4. Calcolare W + W W + W 3 W + W 4 W X W 4. Esercizio.4. Sia dato u 3 P R 3. Trovare una base B t u u u 3 u di R 3 contenente u. Scegliere un vettore w P R 3 e scriverlo nella base B. Cioè: si devono trovare gli (unici scalari α α α 3 P R tali che w α u + α u + α 3 u3. Rifare la stessa cosa con un altro vettore eventualmente scegliendo un altra base. Esercizio.5. Rifare da capo l esercizio di prima ma in R 4 e partendo dal vettore u P R4 (Ovviamente adesso la base B dovrà avere 4 elementi! 8