Controllo statistico di qualità. Introduzione

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Controllo statistico di qualità. Introduzione"

Transcript

1 Controllo statistico di qualità 1 Introduzione Un azienda vorrebbe che tutti i pezzi prodotti siano uguali: vuole cioè che la produzione sia affidabile. L affidabilità della produzione è affidata a due momenti distinti: la progettazione della produzione (off line) e il controllo che la produzione sia almeno conforme ai parametri specificati (on line). 2 1

2 I 7 strumenti del controllo statistico di qualità ESEMPIO: Una azienda farmaceutica decide di effettuare un controllo sul processo di iniezione di un farmaco, per le cure tumorali, all interno di appositi flaconi. L azienda assume come tollerabiliun quantitativo minimo di medicinale nei flaconi pari a 82 ml e uno massimo di 118 ml e in fase di progetto stabilisce un quantitativo obbiettivo (target) di 95 ml. Gli operatori addetti a tale compito hanno a disposizione le misure del contenuto dei flaconi del prodotto medicinale riportate nella tabella 3 I dati Un primo approccio al problema può essere la costruzione di un istogramma. DOMANDA: quale informazione si perde effettuando un istogramma? 4 2

3 30 Istogramma dei dati Dall istogramma si può subito notare come i dati seguano approssimativamente una distribuzione normale, con una piuttosto accentuata variabilità dei dati. Rispetto al target aziendale il processo è abbastanza centrato, ma la variabilità risulta eccessiva per cui potrebbe essere necessaria una azione correttiva sulla variabilità del processo 5 Normal plot dei dati dell esempio precedente Normal Probability Plot 0.75 Probability Data 6 3

4 Un istogramma consente di valutare la precisione del processo produttivo tramite l analisi di dispersione della distribuzione dei dati, anche in relazione ai limiti di tolleranza. 7 Dalla sovrapposizione dell istogramma con la retta del valore obbiettivo si può verificare il posizionamento del valore centrale dei dati rispetto al target assegnato 8 4

5 9 10 5

6 11 ESEMPIO 12 6

7

8

9 La carta dei 3-sigma Se dovesse essere disponibile una valutazione teorica (storica o di progetto) della varianza della popolazione e della media, usando il teorema del limite centrale σ è possibile sostituire il parametro kcon 3, per la varianza σ e per media W = si può usare quella della popolazione. n Esempio: parametro di flusso monitorato in una azienda con media e varianza nota n=

10

11

12 23 Costruire la carta di controllo della media in Matlab I dati sono in numero 12*10: ci sono 12 gruppi (i giorni) e ogni gruppo ha numerosità campionaria pari a 10. Quindi N = 120, k = 12 sottogruppi, ciascuno di taglia n = 10, i = 1,...,12. Assegnare i dati ad una matrice. i 24 12

13 Costruire la carta di controllo della media in Matlab >> x x = >> xbarplot(x,0.9973, spec, range ) >> m=mean(x ); Le medie vengono fatte sulle righe. Queste medie sono quelle plottate sulla carta di controllo. Quindi sulle ascisse si riportano i giorni (in sequenza). 25 CONF (optional) is the confidence level of the upper and lower plotted confidence limits. CONF is by default. This means that 99.73% of the plotted points should fall between the control limits if the process is in control. SPECS (optional) is a two element vector for the lower and upper specification limits of the response. SIGMAEST (optional) specifies how XBARPLOT should estimate sigma. Possible values are 'std' (the default) to use the average within-subgroup standard deviation, 'range' to use the average subgroup range, and 'variance' to use the square root of the pooled variance. OUTLIERS = XBARPLOT(DATA,CONF, SPECS,SIGMAEST) returns a vector of indices to the rows where the mean of DATA is out of control. >> xbarplot(x,0.9973, spec, range ) 26 13

14 Le linee di controllo La linea centrale è rappresentata dalla media delle medie Le linee superiore ed inferiore corrispondono a x ± z x 1 k xi k i = 1 = (1 CONF )/2 σ n range : si usa l escursione standard std : si usa uno stimatore della deviazione standard variance : si usa uno stimatore della deviazione standard pesata σ 27 >> xbarplot(x,0.9973,spec,'variance )') Questa è la carta per la media con i limiti di controlloche dipendono dalla pooled variance che sostituisce direttamente la deviazione standard

15 Opzione range 29 Con l opzione range >> xbarplot(x,0.9973,spec, range') Questa è la carta per la media con i limiti di controllo che dipendono dal range R σ d 2 per stimare σ (la variabilità del processo) 30 15

16 Se la dimensione campionaria è abbastanza grande (>10,12) l uso del ranger è poco efficiente per la stima della varianza. Stesse considerazioni valgono nel caso di dimensione variabile (poiché si potrebbe perdere in efficienza) [ ] 2 2 Vale che E S = σ e invece E S σ. Quindi σ non può essere valutato con S. 2 ( ) [ ] Opzione std Se X N µ, σ E S = σ c dove c è un parametro che dipende da n 4 4 n 1! 2 2 n n n n 1 c4 = e! 1 2 n 1 n 1 = ! 2 Pertanto sostituiamo E S con S ed abbiamo che [ ] 4 π k S 1 σ dove S = S c k 31 i= 1 i >> xbarplot(x,0.9973,spec,'std') Questa è la carta per la media con i limiti di controllo che dipendono dalla deviazione standard. S σ c 4 per stimare la variabilità del processo 32 16

17 REGOLE DI ZONA Per le regole di zona non c è una functionin MATLAB. Possiamo sovrapporre le linee per la lettura del grafico, usando la variabilità stimata per il processo. Se si usa una carta dell escursione: >> mean(range(x))/3.078 ans= Le linee di zona sono: x ± 7.58; x ± 2*7.58; x ± 3*7.58 Usare il comando holdon per sovrapporre le regole di zona. >> x1low=mean(mean(x))-ones(12,1)*7.58; >> x1up=mean(mean(x))+ones(12,1)*7.58; >> x2low=mean(mean(x))-2*ones(12,1)*7.58; >> x2up=mean(mean(x))+2*ones(12,1)*7.58; >> x3low=mean(mean(x))-3*ones(12,1)*7.58; >> x3up=mean(mean(x))+3*ones(12,1)*7.58; >> hold on >>plot([1:12],x1low,'-b',[1:12],x1up,'-b',[1:12],x2low,'-p',[1:12],x2up,'-p',[1:12], x3up,'-k',[1:12],x3low,'-k') >> 34 17

18 La carta della media va letta assieme ad una carta che restituisca la variabilità del campione casuale. Carta dell escursione Carta della dev.standard I limiti di controllo della carta della deviazione standard [ ] 3D[ S] E S Esiste una procedura in MATLAB per generarla >> schart(x) con D S s c 4 2 [ ] = σ 1 c 1 c Non c è una procedura per costruire la carta di controllo per l escursione. >> r=range(x) r = Calcolare la media delle escursioni: 1 k Ri k i = 1 R = [ ] Var W 2 [ ] σ Var R = d = σ σ 2 R R R = d3 R = d3 d2 σ σ σ 36 18

19 Carta dell escursione >> lcent=mean(range(x))*ones(12,1); >> lup=lcent*1.777; >> ldown=lcent*0.223; >> plot([1:1:12],range(x),'-*b',[1:1:12],lcent, '-r',[1:1:12],lup,'-g',[1:1:12],ldown,'-g') >> axis([1,12,0,45]) Carta della dev.standard >> schart(x) 37 Carta di tolleranza 120 carta di tolleranza >> hold on >> >> c2=2*ones(1,10); >> plot(c2,x(:,2),'g*-') >>

20 La carta della tolleranza è una carta sulla distribuzione della variabile che si sta monitorando. La carta della media è una carta sulla distribuzione della media campionaria della variabile che si sta monitorando. 39 La carta di controllo e il processo stocastico relativo alla produzione 40 20

21 Come si leggono le variazioni sulle carte di controllo Uno spostamento della media del processo produttivo, provoca l appariredi una anomalia sulla carta di controllo della media: anche quando tale variazione sarà minima i punti della carta di controllo reagiranno in maniera apprezzabile Una variazione nella dispersione del processo produttivo provocherà anomalie avvertibili sia sulla carta di controllo della media che su quella della escursione, che tenderanno a distanziarsi tra di loro. 41 Carte MR (moving range) Non avendo più a disposizione gruppi di misurazioni, ma singoli valori, i limiti della carta di controllo cambiano. In Matlabnon c è una procedura

22 In Matlab >> for i=1:14 mr(i)=abs(x(i+1)-x(i)); end n 1 1 MR = MRi n 1 i= 1 3 UCL = X + MR CL = X 3 LCL = X MR >> lineup=ones(15,1)*(mean(x)+3/1.128*mean(mr)); >> linedown=ones(15,1)*(mean(x)-3/1.128*mean(mr)); >> linecenter=ones(15,1)*mean(x); >> plot([1:1:15],x,'r',[1:1:15],lineup,'-g',[1:1:15],linedown,'-g',[1:1:15],linecenter,'-p') 43 Per l escursione si usano gli stessi limiti della carta dell escursione classica, sostituendo l escursione media con la media della moving average

23 Curva caratteristica operativa Diremo che il processo è in controllo statistico se per ogni t, indice dei sottogruppi, x ( LimInf, LimSup). t Regione di accettazione 45 Curva caratteristica operativa Diremo che il processo è in controllo statistico se per ogni t, indice dei sottogruppi, x ( LimInf, LimSup). α = P(rigettare H µ = µ ) 0 0 β = P(rigettare H µ µ ) 1 0 t Regione di accettazione = P( x ( LCL, UCL) µ = µ ) t = P( x ( LCL, UCL) µ µ ) t 0 0 FALSO ALLARME MANCATO ALLARME 46 23

24 Non avendo ipotesi alternative certe, immaginiamo che l ipotesi alternativa possa essere strutturata come segue: µ = µ 1 = µ 0 + kσ Se la popolazione è gaussiana, allora β = P( x ( LCL, UCL) µ = µ + kσ ) t ( µ σ ) ( µ σ ) UCL 0 + k LCL 0 + k = Φ Φ σ / n σ / n Il plot dei valori assunti da questo parametro per un opportuno valore di k, si chiama curva caratteristica operativa. σ σ Se UCL = µ 0 + L e LCL = µ 0 L, allora n n ( L k n ) ( L k n ) β = Φ Φ e quindi perdiamo la dipendenza sia dalla deviazione standard che dalla media (che magari sono incognite!). NB: Per usare le curve operative è necessario avere qualche informazione in più sulla natura del processo (ad esempio che la popolazione è gaussiana) Torniamo al nostro esempio dei flaconi. Siccome i limiti che abbiamo u- satosono di tipo σ µ 0 ± L dove L = 3, n = 10 e σ R / d2 allora si ha n ( 3 k 10 ) ( 3 k 10 ) β = Φ Φ Curva operativa >> k=[0.1:0.2:3]; >> z=normcdf(3-k.*sqrt(10))- normcdf(-3-k.*sqrt(10)); >> plot(k,z) Per k=1, vale circa 0.3 la probabilitàdi un mancato allarme Per valori di k inferiori, aumenta la probabilità di un mancato allarme

25 Spesso sui testi si incontrano famiglie di curve operative. Questo perché si cerca di capire al variare della taglia del sottogruppo come varia la probabilità di un mancato allarme ( 3 k n ) ( 3 k n ) β = Φ Φ Curve operative al variare di n n=8 n=5 n= Ogni plot corrisponde ad un valore di n. 49 Altro uso della curva operativa Nella progettazione delle carte di controllo è necessario specificare sia la dimensione del campione che la frequenza di campionamento. Più grande è il campione più è sensibile il rilevamento di una variazione all interno del processo. La pratica corrente tende a diminuire la dimensione del campione e ad aumentare la frequenza di campionamento. ( ) ( ) Si fissa β, e si cerca quel valore di z tale che Φ z Φ z = β ossia, ricordando le proprietà della gaussiana... ( z β ) 2Φ 1 = β β β β 1 β + 1 z β = Φ zβ = 3 k n 2 è possibile ricavare n Per k=1 β = 0.3 >> ((3-norminv((0.3+1)/2,0,1)))^2 n =

26 Strategia di scelta dei sottogruppi ma sono costosi! La pratica industriale corrente preferisce la prima strategia aumentando la frequenza 51 Approcci per la costruzione dei sottogruppi Approccio SNAPSHOT Quanti k? Approccio RANDOM 52 26

27 ARL (average long run) Sia T la variabile aleatoria che indica il numero di sottogruppi da estrarre prima di avere un punto fuori i limiti della carta di controllo. T ha legge... k 1...geometrica, P( T = k) = p(1 p), k = 1,2,... 1 E [ T ] = ARL, tempo medio per avere un fuori controllo p Quanto vale p? Nella carta 3-sigma, la probabilità che il processo sia in controllo statistico è data dalla legge dei 3-sigma, ossia >> normcdf(3,0,1)-normcdf(-3,0,1) ans= Quindi la probabilità che il processo vada fuori controllo è [ ] 370 >> ans= E T = Strategia six-sigma La carta di controllo può essere utilizzata per descrivere la capacità del processo di produrre all interno dei valori di specifica. Nell esempio dei flaconi prodotti per l ospedale, i limiti di specifica stabiliti in fase di progettazione erano 82 ml e 118 ml. >>h=(max(mean(x))-min(mean(x)))/4; >> c(1)=min(mean(x)); >> for i=2:5 c(i)=c(i-1)+h; end >>n=histc(mean(x),c); >>centri(1)=(c(1)+c(2))/2; >> for i=2:4 centri(i)=(c(i)+c(i-1))/2; end >>bar(centri,n(1:4)) 54 27

28 In che modo? Basta calcolare P( X < 82) + P( X > 118) ipotizzando che... X N(98.6,7.51) che sono le stime trovate con la carta di controllo per µ e σ. >> inf=( )/7.51; >> sup=( )/7.51; >> 1-(normcdf(sup)-normcdf(inf)) ans= p=1-diff(normcdf(spec,mean(mean(x)),7.51)) Ossia circa lo per cento (184 parti su ) di flaconi prodotti cadranno al di fuori delle specifiche, stante la produzione osservata e monitorata dalla carta di controllo. Più in generale indichiamo con TL x TU x p = e P( X < TL ) + P( X > TU ) = Φ 1 ˆ σ + Φ ˆ σ 55 Il valore minimo p lo si ha quando la media coincide con il centro dell'intervallo di TU + TL tolleranza me =. 2 e >> x=[90:0.1:110]; >> y=normcdf(88,x,7.51)+ (1-normcdf(112,x,7.51)); >> plot(x,y) Il valore effettivo di non conformi deve essere tale che p < p dove p è il e T T livello di difettosità tollerabile TL TU e questo valore minimo vale pmin = 2Φ 2 ˆ σ 56 28

29 INDICE DI CAPACITA DEL PROCESSO Altro modo per misurare l indice di capacità del processo è il cosidetto PCR (process capability ratio) : TU TL C p = 6σ Si noti che 6 σ è la definizione di base della capacità del processo. In genere la deviazione standard non si conosce e quindi va stimata dai dati (carta dell'escursione) R d 2 (S-chart) S c 4 57 Andamento indice PCR Se il processo non è centrato, avere PCR>1 non garantisce che il processo produca la quasi totalitàdei prodotti entro i limiti di specifica (è capace di farlo, ma non è detto che lo faccia) Ci vuole un indice che tenga conto della centratura. C pk TU µ µ TL = min, 3σ 3σ Da solo, non basta! 58 29

30 Relazioni tra i due indici 59 Un impiegato esce di casa tutti i giorni alle 8.00 e deve entrare al lavoro alle Per raggiungere l ufficio in auto ha due possibilità: attraversare la città, o seguire un percorso di campagna, più lungo ma meno trafficato. Per decidere quale sia il percorso più conveniente, misura il tempo di percorrenza più volte su entrambi i percorsi e trova che attraversando la città impiega mediamente 25 minuti, mentre per il percorso in campagna occorrono in media 28 minuti. Quale percorso gli conviene seguire? Vecchia risposta: l uomo dovrebbe scegliere il percorso cittadino, che in media è più veloce Risposta Sei Sigma: la medianon è un indicatore significativo per questo studio. Infatti l impiegato è penalizzato quando arriva in ritardo, ma non ha alcun beneficio quando arriva in anticipo. L uomo definirebbe come difettosi i percorsi che richiedono più di 30 minuti di viaggio. Quindi si deve analizzare l intera distribuzionedei dati nei due casi, riportata in figura. Come si vede, il percorso cittadino presenta una forte variabilità dei dati, perché è molto influenzato (oltre che poco prevedibilmente) dal traffico; il percorso di campagna invece richiede un tempo praticamente costante. Visto l alto numero di difetti nel caso del percorso cittadino, è evidente che quello di campagna è preferibile dal punto di vista dell impiegato

31 Il six-sigma program della Motorola anni 80 Obbiettivi: USL LSL > 12σ { USL LSL} min µ, µ > 4.5σ C C p pk > 2 e > 1.5 In Matlab >> spec=[82 118]; >> [p,cp,cpk]=capable(vec,spec) p = cp= cpk= Cp< 1, quindi il processo non è capace (ossia rientra nei limiti specificati) Cpk< 1, il processo non è centrato rispetto alla media Cosa descrive p? La capacità che il processo produca entro i limiti specificati 61 Carta p Si basa sulla percentuale di pezzi non conformi nel sottogruppo monitorato. La numerosità campionaria dei sottogruppi può essere non costante. La numerosità campionaria deve essere elevata. Perché? La v.a. binomiale (e di Bernoulli) gioca un ruolo fondamentale

32 D La percentuale di pezzi non conformi è data da pˆ =, dove D ha legge... n...binomiale di parametri n e p. I limiti di controllo sono: p(1 p) p ± 3 (se np > 5, n(1- p) > 5 D è approx. gaussiana) n Se p non è nota, si può sostituire con una stima p k 1 Di num.pezzi non conformi p = pi dove pi = = k n n i= 1 Il MATLAB non ha una procedura per la costruzione della carta p 63 Esempio: Un concentrato di succo d'arancia è congelato e imballato in lattine di cartone da 180ml. Queste lattine sono costruite usando una macchina che avvolge il cartone e poi lo appoggia su un pannello inferiore in metallo. Ispezionando una lattina, possiamo stabilire se, quando è piena, si può avere una perdita del succo dalla cucitura laterale o dal pannello inferiore. Tale non conformità può comportare un sigillo improprio sulla guarnizione laterale oppure sul pannello inferiore. Vogliamo costruire una carta di controllo per migliorare la percentuale di lattine non conformi prodotte dalla macchina. A questo scopo vengono selezionati 30 campioni di n = 50 lattine ciascuno, ogni mezz ora su 3 periodi della giornata in cui la macchina è sempre in funzione. >> d d = Columns 1 through Columns 18 through

33 I valori da plottare sulla carta sono le percentuali di non conformità >> p=d/50 p = Columns 1 through Columns 11 through Columns 21 through I limiti sono >> mean(p)+3*sqrt(mean(p)*(1-mean(p))/50) ans = >> mean(p)-3*sqrt(mean(p)*(1-mean(p))/50) ans = >> cent=mean(p)*ones(1,30); >> upp=(mean(p)+3*sqrt(mean(p)*(1-mean(p))/50))*ones(1,30); >> low=(mean(p)-3*sqrt(mean(p)*(1-mean(p))/50))*ones(1,30); >> plot(k,p,'b*-',k,low,'r-',k,upp,'r-',k,cent,'g-') >> title( P-chart ) P chart Nuovo operatore Nuova partita di cartone Il campione 15 e 23 sono fuori controllo statistico: questi vanno monitorati. Rieffettuiamo il grafico della carta eliminando questi campioni

34 Costruiamo un nuovo vettore d1, che contiene la difettosità registrata, eliminando i due valori critici. >> d1(1:14)=d(1:14) >> d1(15:21)=d(16:22) >> d1(22:28)=d(24:30) E ripetiamo tutta la procedura P chart Sottogruppo 20 (no. 21 nel vecchio campione) Questa è la carta senza aver eliminato i sottogruppi 15 e 23 ma con i limiti upper and lower calcolati al secondo giro: 0.5 P chart Se non si ritiene significativa la causa che ha portato al fuori controllo statistico nel sottogruppo 21, allora per future ispezioni si mantengono questi come limiti della carta di controllo

35 Supponiamo che siano stati campionati altri 24 sottogruppi: per monitorare il processo usiamo i limiti di controllo che sono stati calcolati prima. d2=[9,6,12,5,6,4,6,3,7,6,2,4,3,6,5,4,8,5,6,7,5,6,3,5]; P chart >> cent2= mean(p1)*ones(1,24); >> low2= low1(1)*ones(1,24); >> upp2= upp1(1)*ones(1,24); >> plot(k2,p2,'b*-', k2,low2,'r-',k2,upp2,'r-', k2,cent2,'g-') Il processo è in controllo statistico. Ma se mettiamo tutti i dati assieme 0.5 P chart Cambiamento della macchina per imballaggio? Possiamo dire con maggiore precisione se le percentuali di non conformità sono effettivamente diverse? 70 35

36 H : p = p H : p > p La regione critica risulta: 1 1 n p + n p Z > z0.05 p(1 p) + dove p = n1 n2 n1 + n p (senza sottogruppi 15 e 23) p n =?, n =? 1 2 p p Di 301 pi 28 i= 1 28 i= Di 133 pi 24 i= i= = = = = = = Pertanto si rigetta l'ipotesi nulla......e facendo i conti si ha p = e la regione critica (0.0241, ) 71 Visto che c è stato un miglioramento nella produzione, si ricalcolano anche i limiti di controllo >> hold on >> lcent1=ones(24,1)*mean(d2/50); >> lup1=ones(24,1)*(mean(d2/50)+3*sqrt(mean(d2/50)*(1-mean(d2/50))/24)); >> llow1=ones(24,1)*(mean(d2/50)-3*sqrt(mean(d2/50)*(1-mean(d2/50))/24)); >> plot([31:1:54],d2/50,'-b*',[31:1:54],lcent1,'-g',[31:1:54],lup1,'-r, [31:1:54],llow1,'-g') 0.6 New P-chart

37 Il limite inferiore è negativo!! Quindi bisogna prendere il limite inferiore pari a 0. * Se pè piccolo, nva scelto grande!! Ad esempio per p=0.01, abbiamo n=500 (media almeno 5)!! * Siccome lo shift da p vale δ =3 2 ( 1 ) 3 n = ( 1 p) p δ p p n δ = 0.04, p = 0.01 n = New P-chart ( ) 1 p p 9(1 p) * p 3 > 0 n > n p p = 0.05 n = Carta np Si lavora non con la percentuale dei pezzi non conformi, ma con il numero di pezzi non conformi. D La percentuale di pezzi non conformi è data da pˆ =, dove D ha legge......binomiale di parametri n e p. Si lavora con D N( np, np(1- p)) I limiti della carta di controllo sono dunque: np ± 3 np(1 p) Tornando all esempio di prima p viene sostituito con p n 74 37

38 25 Np chart Se le taglie dei sottogruppi sono diverse, una tecnica molto diffusa consiste nel k 1 sostituire a n la media campionaria delle taglie n = ni k i = 1 75 Effettuare un grafico della curva caratteristica operativa β = P( p ( LCL, UCL) p = p ) i = P( D ( nlcl, nucl) p = p ) i 1 1 Usando la cdf binomiale β = P( D (2.62, 20.51) p = p ) i 1 >> p=[0.01:0.02:1]; >> app=binocdf( ,50,p)- binocdf(2.6214,50,p); >> plot(p,app) Con gli stessi ragionamenti si possono calcolare gli altri parametri che abbiamo incontrato nelle precedenti lezioni Curva caratteristica per P-chart

39 Carta c Misura il numero di difetti in un lotto controllato. Il campionamento deve essere costante. E utile quando vi è da controllare un materiale con un flusso di produzione continuo (rullo di tessuto o un cavo elettrico). La non conformità è da esprimersi per unità da definire (difetti al m^2, etc.) Il lotto è inscindibile. 77 La v.a. che conta il numero di difetti per unità di misura è......una v.a. di Poisson I limiti della carta di controllo sono c ± 3 c dove c è la costante di Poisson. In mancanza di un valore teorico per c si utilizza la media campionaria. Esercizio: Si riporta il numero di non-conformità osservato in 26 campioni prodotti in una successione di 100 circuiti stampati (100 circuiti stampati = 1 lotto). >> c=[21,24,16,12,15,5,28,20,31, 25,20,24,16, 19,10,17,13,22,18, 39,30,24,16,19,17,15]; >> central=mean(c) = 19.67; >> upp=central+3*sqrt(central)=32.97; >> low=central-3*sqrt(central)=6.36; Esercizio: eliminare il campione 20 e 6 e rifare la carta di controllo C chart

40 Nell esempio precedente, è stato preso in considerazione un solo lotto. Tuttavia questo tipo di scelta non è statisticamente significativa. Sarebbe meglio ispezionare più lotti, perché c è maggiore possibilità di incontrare non conformità. Ad esempio potremmo essere interessati ad ispezionare 2 lotti e mezzo, ossia 250 circuiti. Carta U Si calcola il numero di non conformità totale e lo si rapporta al numero di lotti esaminati. Siccome x rappresenta il num. di pezzi non conformi totali, è una v.a. di Poisson, di cui x / n rappresenta la media campionaria. x u = n u = u 3 u n 79 1 rotolo=50 m^2 di tessuto La tabella riporta il numdi difetti. Num. Num. m^2 Num.dif. Num.Di rotoli ispez =500/ =400/ Totale u = u u ± 3 m k 1 con m = ni k i =

41 I valori della linea blu sono il numero di difetti diviso il numero di lotti esaminati (ultima colonna). >> punt=[14/10,12/8,20/13,11/10,7/9.5,1,21/12,16/10.5,19/12,23/12.5]; >> taglie=[10,8,13,10,9.5,10,12,10.5,12,12.5]; >> cent=ones(10,1)*153/107.5; >> lineup= ones(10,1)*(153/ *sqrt(153/(107.5*mean(taglie)))); >> linedown= ones(10,1)*(153/ *sqrt(153/(107.5*mean(taglie)))); >>plot([1:10],punt, b-*,[1:10],cent, g-,[1:10],lineup, r-,[1:10],linedown, r- ) 81 Limiti carte Shewhart Caratteristica principale delle carte di Shewhartè che nel metodo di calcolo del valore della statistica da inserire nella carta di controllo, esse fanno uso unicamente dell informazione sul processo contenute nel solo ultimo istante di osservazione, ignorando tutti quelli precedenti. Ciò rende la carta di Shewartrelativamente insensibile alle piccole variazioni del livello del processo (di ampiezza in genere non superiore a 1.5 volte la deviazione standard) Carte CUMSUM (cumulative sum) = somme cumulate Carte EWMA (Exponential Weighted Moving Average) = medie mobili pesate esponenzialmente

42 Queste due carte funzionano bene nei confronti di piccoli salti di livello mentre non reagiscono così velocemente come la carta di Shewarth per salti di livello elevato. Può quindi risultare utile combinare l uso della carta di Shewartcon questi due tipi di carta. Shewart chart Esempio: i dati che andiamo ad 14 esaminare sono stati costruiti al 13 seguente modo. I primi 20 sono stati selezionati da una popolazione gaussiana di media 10 e deviazione standard 1. I rimanenti 10 sono stati selezionati da una 10 popolazione gaussiana di media 9 11 e di deviazione standard 1. Questi ultimi si possono 8 pensare come selezionati da un 7 processo che è andato fuori controllo statistico La carta della media non segnala subito la variazione! 83 Nella carta CUMSUM si effettua il grafico di i ( ) ( ) S = x µ = x µ + S i j 0 i 0 i 1 j= 1 >> s(1)=x(1)-10; >> for i=2:30 s(i)=s(i-1)+(x(i)-10) end carta cumsum Quali sono i limiti di controllo? Utile per misurazioni uniche. Altrimenti si usa la media campionaria dei sottogruppi

43 Exponential chart Serve a monitorare un processo che media i dati in modo che a questa media viene dato sempre meno peso, mano manoche il tempo passa Viene valutata su tutto il processo e non sui sottogruppi razionali Più sensibile ai driftnel tempo Robusta nel caso non normale 85 >>ewmaplot(x ) 11.5 Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) Chart 11 EWMA CL Sample Number Attenzione: per vettori di misurazioni uniche, il vettore dei dati va passato sotto forma di vettore colonna

44 DIAGRAMMI DI CORRELAZIONE Consideriamo 10 coppie di dati che mettono in relazione la percentuale di riuscita di un certo esperimento in laboratorio con la temperatura alla quale l esperimento è condotto. >> x=[100, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190]; >> y=[45, 52, 54, 63, 62, 68, 75, 76, 92, 88]; Il coefficiente di correlazione di Pearson esprime il grado di relazione lineare esistente tra due campioni casuali. >> r=corrcoef(x,y) E un numero adimensionale. i Assume valori tra -1 e 1. r = Uno strumento grafico utile per visualizzare il grado di dipendenza lineare esistente tra i due campioni, è lo scatterdiagram(o diagramma di dispersione). >>polytool(x,y) E una function del MATLAB che consente di approssimare i punti dello scatter-diagram con un polinomio. 87 I punti sul grafico si riferiscono alle coppie ( x, y ) La retta in verde è la retta di regressione lineare. i i I coefficienti della retta sono determinati con il metodo dei mnimi quadrati. Le rette rosse sono i limiti dell intervallo di confidenza

45 Per conoscere i coefficienti della retta di regressione: >> beta beta = La retta di regressione è y = x >> residuals residuals = Se la retta di regressione lineare è y = α x + β e si indica con y = α x + β l'ordinata sulla retta in corrispondenza del dato i esimo, il residuo i-esimo è e = y y. i i i i i 90 45

46 Riprendendo l esperimento condotto in laboratorio, detta Y la v.a. che descrive la percentuale di riuscita dell esperimento e detta X la temperatura alla quale l esperimento è condotto, si ha Y = α X + β Per effetto degli errori di misurazione yi = α xi + β + ε i ε rappresenta lo scostamento del dato sperimentale dal valore i ottenuto usando il modello lineare in assenza di bias il valore ε proviene da una gaussiana di media 0. i Adeguatezza del modello: validazione E necessario verificare che i residui provengano da una popolazione gaussiana: a) Normplot b) Test di Kolmogorov-Smirnov 91 Adeguatezza del Modello ANALISI DEI RESIDUI Normal Probability Plot >> [H,P,KSSTAT,CV] = KSTEST(residuals/standard) H = 0 Probability P = KSSTAT = Data CV = >> 92 46

47 Il coefficiente di correlazione non è una misura generale della relazione tra due variabili, ma esprime solo il grado di linearità della correlazione in un grafico a dispersione. C è un solo caso in cui, quando il coefficiente di correlazione è nullo, allora le variabili aleatorie sono addirittura indipendenti: quando X e Y sono congiuntamente gaussiane. Gaussiana (congiunta) bidimensionale Esempio : La f XY ( x, y) = 2πσ for ( x, y) R funzione densità di probabilità di una normale bivariata è : exp σ ρ 2(1 ρ ) Y X,( µ, µ ) R X Y 2, con parametri σ 2 ( x µ ) 2ρ( x µ )( y µ ) ( y µ ) X σ X 2 X > 0, σ Y σ X X σ > 0 e ρ (-1,1). Y Y + 2 Y 2 Y σ µ = E X µ = E Y Y 2 X 2 Y [ X ] [ ] [ X ] [ Y ] σ = Var σ = Var ρ ( 1,1) 94 47

Controllo statistico di qualità

Controllo statistico di qualità Controllo statistico di qualità Introduzione Un azienda vorrebbe che tutti i pezzi prodotti siano uguali: vuole cioè che la produzione sia affidabile. L affidabilità della produzione è affidata a due L

Dettagli

Controllo statistico di qualità. Introduzione

Controllo statistico di qualità. Introduzione Controllo statistico di qualità Introduzione Un azienda vorrebbe che tutti i pezzi prodotti siano uguali: vuole cioè che la produzione sia affidabile. L affidabilità della produzione è affidata a due momenti

Dettagli

Statistical Process Control

Statistical Process Control Statistical Process Control ESERCIZI Esercizio 1. Per la caratteristica di un processo distribuita gaussianamente sono note media e deviazione standard: µ = 100, σ = 0.2. 1a. Calcolare la linea centrale

Dettagli

Metodi Statistici di Controllo della Qualità Prof. Paolo Cozzucoli

Metodi Statistici di Controllo della Qualità Prof. Paolo Cozzucoli Programma dell insegnamento di Metodi Statistici di Controllo della Qualità Prof. Paolo Cozzucoli Corso di Laurea in Metodi Quantitativi per l Economia e la Gestione delle Aziende A.A. 2007-08 Disciplina

Dettagli

Statistical Process Control

Statistical Process Control Statistical Process Control ESERCIZI Esercizio 1. Per la caratteristica di un processo distribuita gaussianamente sono note media e deviazione standard: µ = 100, σ = 0.2. 1a. Calcolare la linea centrale

Dettagli

ANALISI GRAFICHE PER IL CONTROLLO DELLA QUALITA : ESEMPI DI APPLICAZIONI

ANALISI GRAFICHE PER IL CONTROLLO DELLA QUALITA : ESEMPI DI APPLICAZIONI ANALISI GRAFICHE PER IL CONTROLLO DELLA QUALITA : ESEMPI DI APPLICAZIONI (sintesi da Prof.ssa Di Nardo, Università della Basilicata, http://www.unibas.it/utenti/dinardo/home.html) ISTOGRAMMA/DIAGRAMMA

Dettagli

Carte di controllo per attributi

Carte di controllo per attributi Carte di controllo per attributi Il controllo per variabili non sempre è effettuabile misurazioni troppo difficili o costose troppe variabili che definiscono qualità di un prodotto le caratteristiche dei

Dettagli

Teoria e metodi del controllo statistico di un processo produttivo. Strumenti base Basi statistiche Problemi pratici

Teoria e metodi del controllo statistico di un processo produttivo. Strumenti base Basi statistiche Problemi pratici Teoria e metodi del controllo statistico di un processo produttivo Strumenti base Basi statistiche Problemi pratici Teoria e metodi del controllo statistico Introduzione Ogni processo produttivo, indipendentemente

Dettagli

Metodologie statistiche per l analisi del rischio CONTROLLO STATISTICO DI PROCESSO PER IL MONITORAGGIO DEL RISCHIO NELL INDUSTRIA ALIMENTARE

Metodologie statistiche per l analisi del rischio CONTROLLO STATISTICO DI PROCESSO PER IL MONITORAGGIO DEL RISCHIO NELL INDUSTRIA ALIMENTARE Corso di Laurea in Sicurezza igienico-sanitaria degli alimenti Metodologie statistiche per l analisi del rischio CONTROLLO STATISTICO DI PROCESSO PER IL MONITORAGGIO DEL RISCHIO NELL INDUSTRIA ALIMENTARE

Dettagli

Statistical Process Control

Statistical Process Control Statistical Process Control 1 Introduzione SPC si occupa del miglioramento della qualità. I metodi per il miglioramento della qualità possono essere applicati a qualsiasi area in una fabbrica o organizzazione

Dettagli

PRODUZIONE DI LENTI A CONTATTO

PRODUZIONE DI LENTI A CONTATTO 1 PRODUZIONE DI LENTI A CONTATTO Per monitorare il processo di produzione di un determinato tipo di lenti a contatto viene misurato, ad intervalli di tempo regolari di h 15 minuti, il diametro X (in mm)

Dettagli

CAPITOLO 10. Controllo di qualità. Strumenti per il controllo della qualità e la sua gestione

CAPITOLO 10. Controllo di qualità. Strumenti per il controllo della qualità e la sua gestione CAPITOLO 10 Controllo di qualità Strumenti per il controllo della qualità e la sua gestione STRUMENTI PER IL CONTROLLO E LA GESTIONE DELLA QUALITÀ - DIAGRAMMI CAUSA/EFFETTO - DIAGRAMMI A BARRE - ISTOGRAMMI

Dettagli

Controllo Statistico della Qualità. Qualità come primo obiettivo dell azienda produttrice di beni

Controllo Statistico della Qualità. Qualità come primo obiettivo dell azienda produttrice di beni Controllo Statistico della Qualità Qualità come primo obiettivo dell azienda produttrice di beni Qualità come costante aderenza del prodotto alle specifiche tecniche Qualità come controllo e riduzione

Dettagli

Metodologie statistiche per l analisi del rischio CONTROLLO STATISTICO DI PROCESSO PER IL MONITORAGGIO DEL RISCHIO NELL INDUSTRIA ALIMENTARE

Metodologie statistiche per l analisi del rischio CONTROLLO STATISTICO DI PROCESSO PER IL MONITORAGGIO DEL RISCHIO NELL INDUSTRIA ALIMENTARE Corso di Laurea in Sicurezza igienico-sanitaria degli alimenti Metodologie statistiche per l analisi del rischio CONTROLLO STATISTICO DI PROCESSO PER IL MONITORAGGIO DEL RISCHIO NELL INDUSTRIA ALIMENTARE

Dettagli

Matlab per applicazioni statistiche

Matlab per applicazioni statistiche Matlab per applicazioni statistiche Marco J. Lombardi 19 aprile 2005 1 Introduzione Il sistema Matlab è ormai uno standard per quanto riguarda le applicazioni ingegneristiche e scientifiche, ma non ha

Dettagli

VERIFICA DELLE IPOTESI

VERIFICA DELLE IPOTESI VERIFICA DELLE IPOTESI Introduzione Livelli di significatività Verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale Verifica di ipotesi sulla varianza di una popolazione normale Verifica di ipotesi

Dettagli

IN MATLAB distribuzione di frequenza. >> x(1)=7.5; >> for i=2:7 x(i)=x(i-1)+5; end. IN MATLAB distribuzione di frequenza

IN MATLAB distribuzione di frequenza. >> x(1)=7.5; >> for i=2:7 x(i)=x(i-1)+5; end. IN MATLAB distribuzione di frequenza IN MATLAB distribuzione di frequenza 2-1 4. Usare la function histc(dati,x) 2-2 1. Riportare i dati in un file (ad esempio dati.mat); 2. load ascii dati: viene creata una variabile dati contenente il campione;

Dettagli

Prefazione all edizione originale. Prefazione all edizione italiana

Prefazione all edizione originale. Prefazione all edizione italiana Indice Prefazione all edizione originale Prefazione all edizione italiana xiii xv 1 Il miglioramento della qualità nel moderno ambiente produttivo 1 1.1 Significato dei termini qualità e miglioramento

Dettagli

Continua sul retro 42.1 39.7 38.0 38.7 41.4 37.5 38.6 40.5 39.8 38.0 36.9 40.3 42.0 41.3 40.4 39.1 38.4 42.0

Continua sul retro 42.1 39.7 38.0 38.7 41.4 37.5 38.6 40.5 39.8 38.0 36.9 40.3 42.0 41.3 40.4 39.1 38.4 42.0 Statistica per l azienda Esame del 19.06.12 COGNOME NOME Matr. Firma Modulo: singolo con Informatica con StatII & PDRM con Mat. & PDRM altro (specificare) Attenzione: Il presente foglio deve essere compilato

Dettagli

Abbiamo visto due definizioni del valore medio e della deviazione standard di una grandezza casuale, in funzione dalle informazioni disponibili:

Abbiamo visto due definizioni del valore medio e della deviazione standard di una grandezza casuale, in funzione dalle informazioni disponibili: Incertezze di misura Argomenti: classificazione delle incertezze; definizione di incertezza tipo e schemi di calcolo; schemi per il calcolo dell incertezza di grandezze combinate; confronto di misure affette

Dettagli

Appunti del corso. Qualità

Appunti del corso. Qualità Appunti del corso Qualità ii INDICE CAPITOLO 1. Termini per la qualità 1.1 Aspetti generali 1.2 Variabilità CAPITOLO 2. Richiami di probabilità 2.1 La distribuzione binomiale 2.2 La distribuzione di Poisson

Dettagli

I Metodi statistici utili nel miglioramento della qualità 27

I Metodi statistici utili nel miglioramento della qualità 27 Prefazione xiii 1 Il miglioramento della qualità nel moderno ambiente produttivo 1 1.1 Significato dei termini qualità e miglioramento della qualità 1 1.1.1 Le componenti della qualità 2 1.1.2 Terminologia

Dettagli

Il controllo statistico di processo

Il controllo statistico di processo Il controllo statistico di processo Torino, 02 ottobre 2012 Relatrice: Monica Lanzoni QUALITÀ DI DI UN UN PRODOTTO: l'adeguatezza del del medesimo all'uso per per il il quale quale è stato stato realizzato

Dettagli

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA Corso di laurea triennale in Statistica Gestione delle Imprese Laureando : Varotto Enrico Anno Accademico : 2004-2005 Relatore : Chiarissimo Prof.re G. Celant Titolo :

Dettagli

Dai dati al modello teorico

Dai dati al modello teorico Dai dati al modello teorico Analisi descrittiva univariata in R 1 Un po di terminologia Popolazione: (insieme dei dispositivi che verranno messi in produzione) finito o infinito sul quale si desidera avere

Dettagli

Prova scritta di Complementi di Probabilità e Statistica. 31 Ottobre 2012

Prova scritta di Complementi di Probabilità e Statistica. 31 Ottobre 2012 Prova scritta di Complementi di Probabilità e Statistica 31 Ottobre 2012 1. In un processo per accrescere uno strato sottile di biossido di silicio sopra fette di silicio utilizzate per la fabbricazione

Dettagli

l insieme delle misure effettuate costituisce il campione statistico

l insieme delle misure effettuate costituisce il campione statistico Statistica negli esperimenti reali si effettuano sempre un numero finito di misure, ( spesso molto limitato ) l insieme delle misure effettuate costituisce il campione statistico Statistica descrittiva

Dettagli

Università degli Studi di Milano Bicocca CdS ECOAMM Corso di Metodi Statistici per l Amministrazione delle Imprese CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI

Università degli Studi di Milano Bicocca CdS ECOAMM Corso di Metodi Statistici per l Amministrazione delle Imprese CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI Università degli Studi di Milano Bicocca CdS ECOAMM Corso di Metodi Statistici per l Amministrazione delle Imprese CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI 1. L azienda Wood produce legno compensato per costruzioni

Dettagli

Analisi di dati di frequenza

Analisi di dati di frequenza Analisi di dati di frequenza Fase di raccolta dei dati Fase di memorizzazione dei dati in un foglio elettronico 0 1 1 1 Frequenze attese uguali Si assuma che dalle risposte al questionario sullo stato

Dettagli

Facciamo qualche precisazione

Facciamo qualche precisazione Abbiamo introdotto alcuni indici statistici (di posizione, di variabilità e di forma) ottenibili da Excel con la funzione Riepilogo Statistiche Facciamo qualche precisazione Al fine della partecipazione

Dettagli

Riassunto 24 Parole chiave 24 Commenti e curiosità 25 Esercizi 27 Appendice

Riassunto 24 Parole chiave 24 Commenti e curiosità 25 Esercizi 27 Appendice cap 0 Romane - def_layout 1 12/06/12 07.51 Pagina V Prefazione xiii Capitolo 1 Nozioni introduttive 1 1.1 Introduzione 1 1.2 Cenni storici sullo sviluppo della Statistica 2 1.3 La Statistica nelle scienze

Dettagli

Soluzione degli esercizi di riepilogo sul controllo statistico di qualità e sull ANOVA.

Soluzione degli esercizi di riepilogo sul controllo statistico di qualità e sull ANOVA. Soluzione degli esercizi di riepilogo sul controllo statistico di qualità e sull ANOVA.. Si tratta di un ANOVA a due fattori senza repliche. Gli effetti sono fissi sia sulle righe che sulle colonne. Effettuiamo

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioni di Statistica Test d ipotesi sul valor medio e test χ 2 di adattamento Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma1.it Esercizio 1 Si supponga che il diametro degli anelli metallici prodotti

Dettagli

Statistica per l azienda 19.06.2014 (1)

Statistica per l azienda 19.06.2014 (1) Statistica per l azienda 19.06.2014 (1) COGNOME NOME Matr. Firma Modulo: singolo con Informatica con StatII & PDRM con Mat. & PDRM altro (specificare) Attenzione: Il presente foglio deve essere compilato

Dettagli

AFFIDABILITA DEI SISTEMI STOCASTICI (semplici)

AFFIDABILITA DEI SISTEMI STOCASTICI (semplici) AFFIDABILITA DEI SISTEMI STOCASTICI (semplici) Un sistema (o uno qualsiasi dei suoi componenti) può essere soggetto a stress casuali. Es: un fusibile in un circuito; una trave di acciaio sotto carico;

Dettagli

Analisi statistica degli errori

Analisi statistica degli errori Analisi statistica degli errori I valori numerici di misure ripetute risultano ogni volta diversi l operazione di misura può essere considerata un evento casuale a cui è associata una variabile casuale

Dettagli

AFFIDABILITA DEI SISTEMI STOCASTICI (semplici)

AFFIDABILITA DEI SISTEMI STOCASTICI (semplici) AFFIDABILITA DEI SISTEMI STOCASTICI (semplici) Un sistema (o uno qualsiasi dei suoi componenti) può essere soggetto a stress casuali. Es: un fusibile in un circuito; una trave di acciaio sotto carico;

Dettagli

I ESERCITAZIONE. Gruppo I 100 individui. Trattamento I Nuovo Farmaco. Osservazione degli effetti sul raffreddore. Assegnazione casuale

I ESERCITAZIONE. Gruppo I 100 individui. Trattamento I Nuovo Farmaco. Osservazione degli effetti sul raffreddore. Assegnazione casuale I ESERCITAZIONE ESERCIZIO 1 Si vuole testare un nuovo farmaco contro il raffreddore. Allo studio partecipano 200 soggetti sani della stessa età e dello stesso sesso e con caratteristiche simili. i) Che

Dettagli

LE CARTE DI CONTROLLO (4)

LE CARTE DI CONTROLLO (4) LE CARTE DI CONTROLLO (4) Tipo di carta di controllo Frazione difettosa Carta p Numero di difettosi Carta np Dimensione campione Variabile, solitamente >= 50 costante, solitamente >= 50 Linea centrale

Dettagli

2. Un carattere misurato in un campione: elementi di statistica descrittiva e inferenziale

2. Un carattere misurato in un campione: elementi di statistica descrittiva e inferenziale BIOSTATISTICA 2. Un carattere misurato in un campione: elementi di statistica descrittiva e inferenziale Marta Blangiardo, Imperial College, London Department of Epidemiology and Public Health m.blangiardo@imperial.ac.uk

Dettagli

Un primo passo verso PAT. Un applicazione di controllo preventivo

Un primo passo verso PAT. Un applicazione di controllo preventivo Un primo passo verso PAT Un applicazione di controllo preventivo Sommario Situazione iniziale: linea di produzione con controllo peso off-line Cambiamento vs. una linea con controllo peso automatico on-line

Dettagli

Il controllo delle prestazioni del provider. IL CONTROLLO DELLE PRESTAZIONI DEL PROVIDER (riferimenti)

Il controllo delle prestazioni del provider. IL CONTROLLO DELLE PRESTAZIONI DEL PROVIDER (riferimenti) del provider IL CONTROLLO DELLE PRESTAZIONI DEL PROVIDER (riferimenti) 1 del provider - premessa (1) in merito alla fase di gestione ordinaria dell outsourcing sono state richiamate le prassi di miglioramento

Dettagli

Esplorazione dei dati

Esplorazione dei dati Esplorazione dei dati Introduzione L analisi esplorativa dei dati evidenzia, tramite grafici ed indicatori sintetici, le caratteristiche di ciascun attributo presente in un dataset. Il processo di esplorazione

Dettagli

Il Controllo Interno di Qualità dalla teoria alla pratica: guida passo per passo IL MODELLO TEORICO. Pasquale Iandolo

Il Controllo Interno di Qualità dalla teoria alla pratica: guida passo per passo IL MODELLO TEORICO. Pasquale Iandolo Il Controllo Interno di Qualità dalla teoria alla pratica: guida passo per passo IL MODELLO TEORICO Pasquale Iandolo Laboratorio analisi ASL 4 Chiavarese, Lavagna (GE) 42 Congresso Nazionale SIBioC Roma

Dettagli

Regressione Lineare con un Singolo Regressore

Regressione Lineare con un Singolo Regressore Regressione Lineare con un Singolo Regressore Quali sono gli effetti dell introduzione di pene severe per gli automobilisti ubriachi? Quali sono gli effetti della riduzione della dimensione delle classi

Dettagli

Statistica Applicata all edilizia: alcune distribuzioni di probabilità

Statistica Applicata all edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Statistica Applicata all edilizia: Alcune distribuzioni di probabilità E-mail: orietta.nicolis@unibg.it 7 marzo 20 Indice Indici di curtosi e simmetria Indici di curtosi e simmetria 2 3 Distribuzione Bernulliana

Dettagli

Indice Prefazione xiii 1 Probabilità

Indice Prefazione xiii 1 Probabilità Prefazione xiii 1 Probabilità 1 1.1 Origini del Calcolo delle Probabilità e della Statistica 1 1.2 Eventi, stato di conoscenza, probabilità 4 1.3 Calcolo Combinatorio 11 1.3.1 Disposizioni di n elementi

Dettagli

Università del Piemonte Orientale. Corso di laurea in biotecnologia. Corso di Statistica Medica. Analisi dei dati quantitativi :

Università del Piemonte Orientale. Corso di laurea in biotecnologia. Corso di Statistica Medica. Analisi dei dati quantitativi : Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Analisi dei dati quantitativi : Confronto tra due medie Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in

Dettagli

Excel Terza parte. Excel 2003

Excel Terza parte. Excel 2003 Excel Terza parte Excel 2003 TABELLA PIVOT Selezioniamo tutti i dati (con le relative etichette) Dati Rapporto tabella pivot e grafico pivot Fine 2 La tabella pivot viene messa di default in una pagina

Dettagli

RELAZIONE TRA VARIABILI QUANTITATIVE. Lezione 7 a. Accade spesso nella ricerca in campo biomedico, così come in altri campi della

RELAZIONE TRA VARIABILI QUANTITATIVE. Lezione 7 a. Accade spesso nella ricerca in campo biomedico, così come in altri campi della RELAZIONE TRA VARIABILI QUANTITATIVE Lezione 7 a Accade spesso nella ricerca in campo biomedico, così come in altri campi della scienza, di voler studiare come il variare di una o più variabili (variabili

Dettagli

4. Matrici e Minimi Quadrati

4. Matrici e Minimi Quadrati & C. Di Natale: Matrici e sistemi di equazioni di lineari Formulazione matriciale del metodo dei minimi quadrati Regressione polinomiale Regressione non lineare Cross-validazione e overfitting Regressione

Dettagli

Elementi di Calcolo delle Probabilità e Statistica per il corso di Analisi Matematica B

Elementi di Calcolo delle Probabilità e Statistica per il corso di Analisi Matematica B Elementi di Calcolo delle Probabilità e Statistica per il corso di Analisi Matematica B Laurea in Ingegneria Meccatronica A.A. 2010 2011 n-dimensionali Riepilogo. Gli esiti di un esperimento aleatorio

Dettagli

Inferenza statistica. Inferenza statistica

Inferenza statistica. Inferenza statistica Spesso l informazione a disposizione deriva da un osservazione parziale del fenomeno studiato. In questo caso lo studio di un fenomeno mira solitamente a trarre, sulla base di ciò che si è osservato, considerazioni

Dettagli

CONTROLLI STATISTICI

CONTROLLI STATISTICI CONTROLLI STATISTICI Si definisce Statistica la disciplina che si occupa della raccolta, effettuata in modo scientifico, dei dati e delle informazioni, della loro classificazione, elaborazione e rappresentazione

Dettagli

Qui di seguito riportiamo un esempio per meglio comprendere gli obiettivi e finalità del Six Sigma:

Qui di seguito riportiamo un esempio per meglio comprendere gli obiettivi e finalità del Six Sigma: Un metodo per l analisi quantitativa di processi interni con l applicazione di una parte della metodologia 6 sigma S. Gorla (*), M. Maisano (**) (*) Responsabile Qualità e Certificazione Citroën Italia

Dettagli

Università degli Studi di Milano

Università degli Studi di Milano Università degli Studi di Milano Laurea in Scienza della Produzione e Trasformazione del Latte Note di Calcolo delle Probabilità e Statistica STEFANO FERRARI Analisi Statistica dei Dati Note di Calcolo

Dettagli

ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA

ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA Statistica, CLEA p. 1/55 ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA Premessa importante: il comportamento della popolazione rispetto una variabile casuale X viene descritto attraverso una funzione parametrica

Dettagli

10 CONTROLLO STATISTICO DELLA QUALITÀ

10 CONTROLLO STATISTICO DELLA QUALITÀ 10 CONTROLLO STATISTICO DELLA QUALITÀ 10.2.2 Il controllo di un processo Considerazioni sulle carte di controllo A fianco del numero di elementi non conformi delle carte di controllo p e pn e del numero

Dettagli

Elementi di Statistica descrittiva Parte I

Elementi di Statistica descrittiva Parte I Elementi di Statistica descrittiva Parte I Che cos è la statistica Metodo di studio di caratteri variabili, rilevabili su collettività. La statistica si occupa di caratteri (ossia aspetti osservabili)

Dettagli

Introduzione alla Teoria degli Errori

Introduzione alla Teoria degli Errori Introduzione alla Teoria degli Errori 1 Gli errori di misura sono inevitabili Una misura non ha significato se non viene accompagnata da una ragionevole stima dell errore ( Una scienza si dice esatta non

Dettagli

SPC e distribuzione normale con Access

SPC e distribuzione normale con Access SPC e distribuzione normale con Access In questo articolo esamineremo una applicazione Access per il calcolo e la rappresentazione grafica della distribuzione normale, collegata con tabelle di Clienti,

Dettagli

Indice. pag. 15. Prefazione. Introduzione» 17

Indice. pag. 15. Prefazione. Introduzione» 17 Indice Prefazione 15 Introduzione 17 1. Pianificazione della qualità 1.1. Il concetto di 6 sigma 1.1.1. Le aree e le fasi del sei sigma 1.2. I processi produttivi e la variabilità 1.2.1. Cause comuni 1.2.2.

Dettagli

Statistiche campionarie

Statistiche campionarie Statistiche campionarie Sul campione si possono calcolare le statistiche campionarie (come media campionaria, mediana campionaria, varianza campionaria,.) Le statistiche campionarie sono stimatori delle

Dettagli

STATISTICA INFERENZIALE

STATISTICA INFERENZIALE STATISTICA INFERENZIALE Premessa importante: si ipotizza che il comportamento della popolazione rispetto ad una variabile casuale X viene descritto attraverso una funzione parametrica di probabilità p

Dettagli

3. Piano di lavoro: - applicazione di alcune semplici procedure, con il confronto tra le diverse soluzioni possibili nell ambito del programma SPSS

3. Piano di lavoro: - applicazione di alcune semplici procedure, con il confronto tra le diverse soluzioni possibili nell ambito del programma SPSS Per utilizzare SPSS sui PC dell aula informatica occorre accedere come: ID: SPSS Password: winidams Testo rapido di consultazione: Fideli R. Come analizzare i dati al computer. ed. Carocci, Urbino, 2002.

Dettagli

Accuratezza di uno strumento

Accuratezza di uno strumento Accuratezza di uno strumento Come abbiamo già accennato la volta scora, il risultato della misurazione di una grandezza fisica, qualsiasi sia lo strumento utilizzato, non è mai un valore numerico X univocamente

Dettagli

Stima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una

Dettagli

Elementi di Statistica

Elementi di Statistica Elementi di Statistica Contenuti Contenuti di Statistica nel corso di Data Base Elementi di statistica descrittiva: media, moda, mediana, indici di dispersione Introduzione alle variabili casuali e alle

Dettagli

i=1 Y i, dove Y i, i = 1,, n sono indipendenti e somiglianti e con la stessa distribuzione di Y.

i=1 Y i, dove Y i, i = 1,, n sono indipendenti e somiglianti e con la stessa distribuzione di Y. Lezione n. 5 5.1 Grafici e distribuzioni Esempio 5.1 Legame tra Weibull ed esponenziale; TLC per v.a. esponenziali Supponiamo che X Weibull(α, β). (i) Si consideri la distribuzione di Y = X β. (ii) Fissato

Dettagli

ELEMENTI DI STATISTICA PER IDROLOGIA

ELEMENTI DI STATISTICA PER IDROLOGIA Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 ELEMETI DI STATISTICA PER IDROLOGIA Introduzione Una variabile si dice casuale quando assume valori che dipendono

Dettagli

Relazioni statistiche: regressione e correlazione

Relazioni statistiche: regressione e correlazione Relazioni statistiche: regressione e correlazione È detto studio della connessione lo studio si occupa della ricerca di relazioni fra due variabili statistiche o fra una mutabile e una variabile statistica

Dettagli

Università del Piemonte Orientale. Corsi di Specialità. Corso di Statistica Medica. Analisi dei dati quantitativi : Analisi della varianza

Università del Piemonte Orientale. Corsi di Specialità. Corso di Statistica Medica. Analisi dei dati quantitativi : Analisi della varianza Università del Piemonte Orientale Corsi di Specialità Corso di Statistica Medica Analisi dei dati quantitativi : Analisi della varianza Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologie

Dettagli

GESTIONE INDUSTRIALE DELLA QUALITÀ A

GESTIONE INDUSTRIALE DELLA QUALITÀ A GESTIONE INDUSTRIALE DELLA QUALITÀ A Lezione 10 CAMPIONAMENTO (pag. 62-64) L indagine campionaria all interno di una popolazione consiste nell estrazione di un numero limitato e definito di elementi che

Dettagli

Prof.ssa Paola Vicard

Prof.ssa Paola Vicard Questa nota consiste perlopiù nella traduzione (con alcune integrazioni) da Descriptive statistics di J. Shalliker e C. Ricketts, 2000, University of Plymouth Consideriamo i dati nel file esercizio10_dati.xls.

Dettagli

Regressione Mario Guarracino Data Mining a.a. 2010/2011

Regressione Mario Guarracino Data Mining a.a. 2010/2011 Regressione Esempio Un azienda manifatturiera vuole analizzare il legame che intercorre tra il volume produttivo X per uno dei propri stabilimenti e il corrispondente costo mensile Y di produzione. Volume

Dettagli

E naturale chiedersi alcune cose sulla media campionaria x n

E naturale chiedersi alcune cose sulla media campionaria x n Supponiamo che un fabbricante stia introducendo un nuovo tipo di batteria per un automobile elettrica. La durata osservata x i delle i-esima batteria è la realizzazione (valore assunto) di una variabile

Dettagli

Capitolo 12 La regressione lineare semplice

Capitolo 12 La regressione lineare semplice Levine, Krehbiel, Berenson Statistica II ed. 2006 Apogeo Capitolo 12 La regressione lineare semplice Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Economia Facoltà di Economia, Università di Ferrara

Dettagli

LEZIONE DI MATLAB 2.0. Ing.Irene Tagliente E-mail: irene.tagliente@opbg.net

LEZIONE DI MATLAB 2.0. Ing.Irene Tagliente E-mail: irene.tagliente@opbg.net LEZIONE DI MATLAB 2.0 Ing.Irene Tagliente E-mail: irene.tagliente@opbg.net Cos è Matlab Il programma MATLAB si è imposto in ambiente ingegneristico come strumento per la simulazione e l'analisi dei sistemi

Dettagli

Design of Experiments

Design of Experiments Design of Experiments Luigi Amedeo Bianchi 1 Introduzione Cominciamo spiegando cosa intendiamo con esperimento, ossia l investigare un processo cambiando i dati in ingresso, osservando i cambiamenti che

Dettagli

MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE

MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE Se il coefficiente di correlazione r è prossimo a 1 o a -1 e se il diagramma di dispersione suggerisce una relazione di tipo lineare, ha senso determinare l equazione

Dettagli

Esercitazioni 2013/14

Esercitazioni 2013/14 Esercitazioni 2013/14 Esercizio 1 Due ditte V e W partecipano ad una gara di appalto per la costruzione di un tratto di autostrada che viene assegnato a seconda del prezzo. L offerta fatta dalla ditta

Dettagli

Corso Matlab : Sesta lezione (Esercitazione, 25/10/13) Samuela Persia, Ing. PhD.

Corso Matlab : Sesta lezione (Esercitazione, 25/10/13) Samuela Persia, Ing. PhD. Advanced level Corso Matlab : Sesta lezione (Esercitazione, 25/10/13) Samuela Persia, Ing. PhD. Sommario Toolbox finance Analisi dei portafogli Analisi grafica Determinate Date Toolbox statistics Analisi

Dettagli

VARIANZA CAMPIONARIA E DEVIAZIONE STANDARD. Si definisce scarto quadratico medio o deviazione standard la radice quadrata della varianza.

VARIANZA CAMPIONARIA E DEVIAZIONE STANDARD. Si definisce scarto quadratico medio o deviazione standard la radice quadrata della varianza. VARIANZA CAMPIONARIA E DEVIAZIONE STANDARD Si definisce varianza campionaria l indice s 2 = 1 (x i x) 2 = 1 ( xi 2 n x 2) Si definisce scarto quadratico medio o deviazione standard la radice quadrata della

Dettagli

1. Distribuzioni campionarie

1. Distribuzioni campionarie Università degli Studi di Basilicata Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013 lezioni di statistica del 3 e 6 giugno 2013 - di Massimo Cristallo - 1. Distribuzioni campionarie

Dettagli

La variabile casuale Binomiale

La variabile casuale Binomiale La variabile casuale Binomiale Si costruisce a partire dalla nozione di esperimento casuale Bernoulliano che consiste in un insieme di prove ripetute con le seguenti caratteristiche: i) ad ogni singola

Dettagli

Esercitazione #5 di Statistica. Test ed Intervalli di Confidenza (per una popolazione)

Esercitazione #5 di Statistica. Test ed Intervalli di Confidenza (per una popolazione) Esercitazione #5 di Statistica Test ed Intervalli di Confidenza (per una popolazione) Dicembre 00 1 Esercizi 1.1 Test su media (con varianza nota) Esercizio n. 1 Il calore (in calorie per grammo) emesso

Dettagli

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Probabilità Probabilità Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Se tutti gli eventi fossero ugualmente possibili, la probabilità p(e)

Dettagli

Esame di Statistica del 17 luglio 2006 (Corso di Laurea Triennale in Biotecnologie, Università degli Studi di Padova).

Esame di Statistica del 17 luglio 2006 (Corso di Laurea Triennale in Biotecnologie, Università degli Studi di Padova). Esame di Statistica del 17 luglio 2006 (Corso di Laurea Triennale in Biotecnologie, Università degli Studi di Padova). Cognome Nome Matricola Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Somma Voto finale Attenzione: si consegnano

Dettagli

del processo/prodotto. permettere la valutazione delle performance

del processo/prodotto. permettere la valutazione delle performance 2 Il Controllo Statistico di Processo Il Controllo Statistico dei Processi è un insieme di strumenti statistici utili per impostare e risolvere problemi concreti afferenti a diverse aree funzionali dell

Dettagli

La distribuzione Gaussiana

La distribuzione Gaussiana Università del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Biotecnologie Corso di Statistica Medica La distribuzione Normale (o di Gauss) Corso di laurea in biotecnologie - Corso di Statistica Medica La distribuzione

Dettagli

(accuratezza) ovvero (esattezza)

(accuratezza) ovvero (esattezza) Capitolo n 2 2.1 - Misure ed errori In un analisi chimica si misurano dei valori chimico-fisici di svariate grandezze; tuttavia ogni misura comporta sempre una incertezza, dovuta alla presenza non eliminabile

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA SCHEDA N. 5: REGRESSIONE LINEARE

STATISTICA DESCRITTIVA SCHEDA N. 5: REGRESSIONE LINEARE STATISTICA DESCRITTIVA SCHEDA N. : REGRESSIONE LINEARE Nella Scheda precedente abbiamo visto che il coefficiente di correlazione fra due variabili quantitative X e Y fornisce informazioni sull esistenza

Dettagli

Il campionamento statistico

Il campionamento statistico Lezione 13 Gli strumenti per il miglioramento della Qualità Il campionamento statistico Aggiornamento: 19 novembre 2003 Il materiale didattico potrebbe contenere errori: la segnalazione e di questi errori

Dettagli

Temi di Esame a.a. 2012-2013. Statistica - CLEF

Temi di Esame a.a. 2012-2013. Statistica - CLEF Temi di Esame a.a. 2012-2013 Statistica - CLEF I Prova Parziale di Statistica (CLEF) 11 aprile 2013 Esercizio 1 Un computer è collegato a due stampanti, A e B. La stampante A è difettosa ed il 25% dei

Dettagli

Università del Piemonte Orientale. Corso di dottorato in medicina molecolare. a.a. 2002 2003. Corso di Statistica Medica. Inferenza sulle medie

Università del Piemonte Orientale. Corso di dottorato in medicina molecolare. a.a. 2002 2003. Corso di Statistica Medica. Inferenza sulle medie Università del Piemonte Orientale Corso di dottorato in medicina molecolare aa 2002 2003 Corso di Statistica Medica Inferenza sulle medie Statistica U Test z Test t campioni indipendenti con uguale varianza

Dettagli

VARIABILI ALEATORIE E VALORE ATTESO

VARIABILI ALEATORIE E VALORE ATTESO VARIABILI ALEATORIE E VALORE ATTESO Variabili aleatorie Variabili discrete e continue Coppie e vettori di variabili aleatorie Valore atteso Proprietà del valore atteso Varianza Covarianza e varianza della

Dettagli

Metodi statistici per le ricerche di mercato

Metodi statistici per le ricerche di mercato Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A. 2013-2014 Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per

Dettagli

Costruzione ed uso delle Carte di Controllo

Costruzione ed uso delle Carte di Controllo Validazione dei metodi ed incertezza di misura nei laboratori di prova addetti al controllo di alimenti e bevande Costruzione ed uso delle Carte di Controllo Bologna 25 novembre 2004 Introduzione Grafico

Dettagli

Dott.ssa Caterina Gurrieri

Dott.ssa Caterina Gurrieri Dott.ssa Caterina Gurrieri Le relazioni tra caratteri Data una tabella a doppia entrata, grande importanza riveste il misurare se e in che misura le variabili in essa riportata sono in qualche modo

Dettagli

Per forma di una distribuzione si intende il modo secondo il quale si dispongono i valori di un carattere intorno alla rispettiva media.

Per forma di una distribuzione si intende il modo secondo il quale si dispongono i valori di un carattere intorno alla rispettiva media. FORMA DI UNA DISTRIBUZIONE Per forma di una distribuzione si intende il modo secondo il quale si dispongono i valori di un carattere intorno alla rispettiva media. Le prime informazioni sulla forma di

Dettagli