Tali quantità o caratteristiche essenziali di un fenomeno possono essere qualitative o quantitative e vengono dette variabili.

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1 OBIETTIVO DELLA RICERCA SCIENTIFICA MODELLO DEL FENOMENO NATURALE stabilire se esistono relazioni tra le quantità che si ritengono essenziali per la descrizione di un fenomeno. è una costruzione ideale e semplificata rispetto alla realtà, ma che si basa su alcune caratteristiche fondamentali del modo in cui il fenomeno si realizza. Tali quantità o caratteristiche essenziali di un fenomeno possono essere qualitative o quantitative e vengono dette variabili. Trovare tali relazioni permette anche di poter effettuare previsioni sull andamento del fenomeno e sul valore di alcune variabili, al variare delle altre. Prof.ssa Angela Donatiello

2 Relazioni e funzioni Siano A e B due insiemi Si definisce prodotto cartesiano tra A e B (e lo si indica con il simbolo A B) l insieme formato da tutte le coppie ordinate (,y) al variare di in A e di y in B A B = {(,y) A y B} Esempio. A = {a,b,c,d} B = {,,3} A B = { (a,); (a,); (a,3); (b,); (b,); (b,3); (c,); (c,); (c,3); (d,); (d,); (d,3)} Prof.ssa Angela Donatiello

3 Rappresentazione del prodotto cartesiano Mediante diagramma cartesiano Mediante tabella a doppia entrata A d c b A B 3 a (a,) (a,) (a,3) b (b,) (b,) (b,3) c (c,) (c,) (c,3) d (d,) (d,) (d,3) a 3 B Prof.ssa Angela Donatiello 3

4 Una coppia ordinata è tale in quanto conta l ordine in cui vengono indicati gli elementi. Una coppia è (a,b) è ordinata (a,b) (b,a) Due coppie ordinate (, y ) e (, y ) sono uguali = e y = y La più nota applicazione degli insiemi prodotto è il PIANO CARTESIANO. Indichiamo con R l insieme dei numeri reali. Per definizione, il piano cartesiano è l insieme di tutte le coppie ordinate (,y) con e y numeri reali. R R = {(,y) R y R } Prof.ssa Angela Donatiello 4

5 Il primo numero è detto ascissa e il secondo ordinata. Gli assi e y rappresentano graficamente l insieme dei numeri reali R. CORRISPONDENZA BIUNIVOCA: P piano (,y) R R In sintesi: Il piano cartesiano è composto da tutti i punti del piano in corrispondenza biunivoca con tutte le coppie ordinate (,y) al variare di e y in R, ossia da tutti gli elementi dell insieme prodotto R R, dove R indica l insieme dei numeri reali. Prof.ssa Angela Donatiello 5

6 I quadrante = {(,y): > 0, y > 0} II quadrante = {(,y): < 0, y > 0} III quadrante = {(,y): < 0, y < 0} IV quadrante = {(,y): > 0, y < 0} II I III IV Prof.ssa Angela Donatiello 6

7 INSIEME INSIEME STRUTTURATO RELAZIONI OPERAZIONI ORDINE EQUIVALENZA INTERNE ESTERNE Prof.ssa Angela Donatiello 7

8 RELAZIONI DEF. Si definisce RELAZIONE tra due insiemi A e B un qualsiasi sottoinsieme del prodotto cartesiano A B R AB A R = {( a,);(b,);(c,3)} AB d c b a R a 3 B Prof.ssa Angela Donatiello 8

9 Esempio. A={Tina, Gino, Lina, Dino} B={piano, violino, arpa} La relazione che ci interessa rappresentare è: R=...suona... Tale relazione mette in corrispondenza gli elementi dell insieme A con quelli dell insieme B. Visualizziamo questa relazione su un diagramma sagittale: A Tina piano B Gino violino Lina arpa Dino E dunque possibile rappresentare la relazione precedente mediante un diagramma cartesiano: Prof.ssa Angela Donatiello 9

10 arpa violino piano Tina Gino Lina Dino Oppure mediante una tabella a doppia entrata: Tina Gino Lina Dino Arpa Violino piano Tina R arpa Tina R/ violino Prof.ssa Angela Donatiello 0

11 Più in generale, considerati due insiemi H e K e stabilita una regola R che permetta di individuare un legame tra gli elementi del primo insieme e quelli y del secondo, si ha che: (,y) sono in relazione R y (,y) non sono in relazione R/ y Viene così a formarsi il sottoinsieme G del prodotto cartesiano H µ K, costituito da quelle particolari coppie (,y) di H µ K che soddisfano la relazione espressa. Tale insieme viene definito grafico della relazione R, che pertanto sarà indicata con il simbolo R = (H µ K, G). Secondo la simbologia dell insiemistica, si può dunque pensare di sintetizzare tale concetto nel seguente modo: R y : (,y) G R/ y : (,y) G Prof.ssa Angela Donatiello

12 Una relazione può essere determinata da una formula matematica Il cui grafico è: G = {(,y) + y = 4 RR y = 4 + } rappresenta una circonferenza con centro nell origine degli assi e raggio. Prof.ssa Angela Donatiello

13 FUNZIONE DEF. Siano A e B insiemi. Una funzione f : A B è una relazione tra A e B che ad ogni elemento di A associa uno e un solo elemento di B. In simboli matematici: f : A B è una funzione di A in B A!y B y = f() a c b 3 4 Prof.ssa Angela Donatiello 3

14 = VARIABILE INDIPENDENTE y = VARIABILE DIPENDENTE DEF. Si definisce DOMINIO della funzione l insieme dei valori assunti dalla variabile DEF. Si definisce CODOMINIO della funzione l insieme dei valori assunti dalla funzione, ossia l insieme delle y di B che vengono associati a ciascun di A. Gli elementi y associati a ciascun elemento di A vengono dette immagini di. Il CODOMINIO è detto anche INSIEME DELLE IMMAGINI di una funzione. C = f (A) = {f() B A} = {y B A : y = f()} GRAFICO della funzione f: G = {(,f()) A} Prof.ssa Angela Donatiello 4

15 DEF. Una funzione f : A B è detta INIETTIVA se e solo se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A A B a c b 3 4 Non iniettiva A B a c b 3 4 Iniettiva In simboli: f : A B è una funzione iniettiva,, A ( A (f ( ) = f ( f ( ) ) f ( = )) ) Prof.ssa Angela Donatiello 5

16 DEF. Una funzione f : A B è detta SURIETTIVA se e solo se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A A B a b Non suriettiva c 3 A B a b Suriettiva f(a) = B c In simboli: f : A B è una funzione suriettiva y B A y = f () Prof.ssa Angela Donatiello 6

17 Prof.ssa Angela Donatiello 7 DEF. Una funzione f : A B è detta BIETTIVA o BIUNIVOCA se e solo se è sia iniettiva che suriettiva a b c A B Suriettiva ma non iniettiva a b c 3 4 A B Iniettiva ma non suriettiva a b c 3 A B Biettiva o biunivoca

18 Se A e B sono entrambi sottoinsiemi dell insieme R dei numeri reali, allora si parlerà di funzione reale di variabile reale. f : A R B R è A!y B y = f() una funzione reale di variabile reale di A in B Il grafico di una funzione reale di variabile reale è l insieme delle coppie ordinate (,f()) rappresentate da punti del piano cartesiano. Tali punti possono essere infiniti, pertanto il grafico della funzione sarà rappresentato da una curva sul piano cartesiano. Tutti i punti di tale curva soddisfano la funzione considerata, ossia sono coppie (,f()) del grafico di f. Prof.ssa Angela Donatiello 8

19 Esempio. Sia f : R a + 3 R Essa può essere anche più semplicemente espressa mediante l equazione y = + 3 il cui grafico nel piano cartesiano è una retta. Tale funzione è detta funzione LINEARE Prof.ssa Angela Donatiello 9

20 Due insiemi A e B hanno la stessa cardinalità se e solo se esiste una funzione biettiva di A in B. A B a b Biettiva o biunivoca c 3 A = B f : A B biettiva Nel caso di insiemi finiti, la cardinalità di un insieme indica il numero dei suoi elementi, mentre per insiemi infiniti può accadere che insiemi siano equipotenti ad un loro sottoinsieme proprio, ossia che abbiano la stessa cardinalità di un sottoinsieme strettamente contenuto in esso. Prof.ssa Angela Donatiello 0

21 Sia f : D R af() C R PROPRIETA DELLE FUNZIONI, D con La funzione si dice crescente in senso stretto f ( ) < f ( ) y = log(+) y = e < Prof.ssa Angela Donatiello

22 La funzione si dice crescente in senso lato o non decrescente, f ( D con ) f ( ) < y = f() = + 3 < < Prof.ssa Angela Donatiello

23 La funzione si dice decrescente in senso stretto, f ( D con ) > f ( ) < y = Prof.ssa Angela Donatiello 3

24 La funzione si dice decrescente in senso lato o non crescente, f ( D con ) f ( ) < y = 3 6 > Le funzioni non decrescenti o non crescenti si dicono monotòne. In particolare le funzioni decrescenti in senso stretto o crescenti in senso stretto si dicono monotòne in senso stretto. Prof.ssa Angela Donatiello 4

25 Sia f : D R af() C R La funzione si definisce PARI ) D )f ( ) = f () D y = parabola con vertice nell origine degli assi ^ grafico simmetrico rispetto all asse y Prof.ssa Angela Donatiello 5

26 La funzione si definisce DISPARI ) D )f ( ) = f () D 50 y = 3 funzione cubica grafico simmetrico rispetto all origine degli assi ^ Esempio: y = Prof.ssa Angela Donatiello 6

27 Sia f : D R af() C R La funzione si definisce PERIODICA T ) D )f ( f () Il più piccolo dei numeri T per cui vale tale proprietà è detto PERIODO della funzione f. > 0 + T) = + T D y = sen 0.8 periodica di periodo T = π sin() Prof.ssa Angela Donatiello 7

28 Date le funzioni f : D f R a f() C R g: D g R ag() C R La funzione g è detta una RESTRIZIONE della funzione f o f è detta PROLUNGAMENTO della funzione g )D g ) D D f g g() = f () Esempio. f : a + g : a + OSS. Due funzioni sono UGUALI se e solo se ) Hanno stesso DOMINIO ) Hanno stesso CODOMINIO 3) Hanno lo stesso GRAFICO Prof.ssa Angela Donatiello 8

29 + D f : 0 N : D : + > 0 0 > 0-0, 0, + D f = ] ] ] [ D g : + 0 > > D g = ] 0,+ [ Le due funzioni coincidono solo per > 0, in quanto nell altro intervallo la funzione g non è definita: g è una restrizione della f. Prof.ssa Angela Donatiello 9

30 Sia f : D f R a f() C R Si definisce CONTROIMMAGINE dell elemento y mediante f l insieme di tutti gli elementi del dominio tale che y è immagine della. f (y) = { D y = f ()} Si definisce CONTROIMMAGINE di C f (C) = { D f () C} Nota: non si confonda la notazione f - (y) con /f(y) (reciproco o inverso) Condizione necessaria e sufficiente affinché l equazione f() = y 0, con y 0 dato e incognita, abbia soluzioni è che y 0 appartenga al codominio. Prof.ssa Angela Donatiello 30

31 In questo caso l equazione f()=y 0 ha tre soluzioni, in quanto la retta y = y 0 interseca tre volte la curva. Tale funzione non è iniettiva, poiché a valori distinti della corrisponde lo stesso valore della funzione. f è INVERTIBILE f è biettiva Ossia, una funzione è invertibile se e solo se l equazione f() = y 0 ammette una e una sola soluzione, ovvero se e solo se y C! D y = f () Prof.ssa Angela Donatiello 3

32 Una classe importante di funzioni invertibili è data dalle funzioni monotone in senso stretto. In questo caso ogni retta parallela all asse intersecherà la curva in un solo punto. Quindi: y C! D y = f () Prof.ssa Angela Donatiello 3

33 Se la funzione è invertibile è possibile definire la funzione inversa f : y Ca = f (y) D y = f () D = C C = D Una funzione e la sua inversa hanno il grafico simmetrico rispetto alla bisettrice del I e III quadrante. y = e y = ln Prof.ssa Angela Donatiello 33

34 Funzioni composte Si consideri la funzione y = 3 +. Essa nasce dalla composizione di due funzioni a 3 + a 3 + Naturalmente tale esempio evidenzia alcuni limiti evidenti: per poter comporre le due funzioni è necessario che il valore assunto dalla prima funzione sia un numero sul quale risulti calcolabile il valore assunto dalla seconda funzione. Se alla si associasse il valore -6, si avrebbe 3(-6)+ = -6, ma non esiste la radice quadrata di -6. Prof.ssa Angela Donatiello 34

35 In generale, due funzioni f : D f C f g : D g Cg sono componibili se il codominio della prima è contenuto nel dominio della seconda, ossia se C D Si definisce in tal caso una nuova funzione h = go f : D a g(f ()) f g f C g D f Dg C g f() g(f()) Prof.ssa Angela Donatiello 35

36 OSS. Nel caso in cui si volessero comporre due funzioni f e g per cui non si verifica che C D, allora bisognerà scegliere un f g sottoinsieme D' f Df in modo da determinare, mediante la funzione f, per ogni D' f, valori di f() Dgnei quali sia possibile calcolare la seconda funzione g. h : a log( + ) Esempio. h è una funzione composta mediante le funzioni: f : a + g : t a log t D h : + > Prof.ssa Angela Donatiello 36

37 OSS. La composizione di funzioni non è commutativa go f f o g Esempio. f : a + g : a g o f : a + a ( + ) f o g : a a + go f f o g Prof.ssa Angela Donatiello 37

38 GRAFICI DELLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE Il grafico della circonferenza di equazione + y = 4 non è una funzione, in quanto ad ogni elemento del dominio corrispondono due immagini. Se si traccia una retta parallela all asse y, si individuano due intersezioni di tale retta con il grafico della curva. Il grafico di una funzione interseca una retta =h in al più un punto Prof.ssa Angela Donatiello 38

39 Non è iniettiva in quanto se si traccia una retta parallela all asse, si individuano due intersezioni con il grafico della curva Una funzione iniettiva interseca una retta y=k in al più un punto Prof.ssa Angela Donatiello 39

40 Le slides sono reperibili all indirizzo web: Il programma GRAPH con cui sono stati realizzati i grafici è scaricabile all indirizzo: Prof.ssa Angela Donatiello 40