7. Le funzioni elementari: esercizi

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1 7. Le funzioni elementari: esercizi Esercizio 7.7. Risolvere le disequazioni. 8 log (3x + ) log 4(3x + );. log x + log / x > 4; 3. log x + log x log(3x); 4. log 7 3 x log 9 x 3 > 5 9 ; 5. log 3 x + + log /3 x < 0; 6. log x < log x + log ; 7. log x log x log(x ); 8. log ( t) log 4 t 3 + 4t ; 9. log 3 7x < ; 0. log / 3x log ( 6x);. log 5 x log /5 x;. log 3 x + log /4 x ; 3. log 3 3 x log /3 ( + x ); 4. log x + log x ; 5. log x 3 + log 4 ; x 6. log x 9 < 0; 7. log /3 (4 9x ) ; 8. log (x + 5) log 4 (x 9) 0; 9. log /3 (x + ) < log /9 (4x + 5); 0. log / (x ) < log /4 (3x 5);. log x log 4 (3x + );. log x + log 8 x <. R. Affinché le funzioni che compaiono nella disequazione siano definite occorre che 3x + > 0, log(3x + ) 0 cioè x ] /3, + [ \{0}. Con la formula del cambiamento di base si ha 8 log (3x + ) log (3x + )

2 P. Baiti, L. Freddi - Corso integrato di Matematica. Materiale integrativo che, portando tutto a primo membro e riducendo allo stesso denominatore, diventa 6 log (3x + ) 0 log (3x + ) equivalente ai sistemi { 6 log (3x + ) 0 log (3x + ) > 0 che equivalgono a { 6 log (3x + ) 0 log (3x + ) < 0 0 < log (3x + ) 4 log (3x + ) < 4 che hanno come soluzioni, rispettivamente, ]0, 5[ e ] /3, 5/6[, quindi l insieme delle soluzioni della disequazione è S =] /3, 5/6[ ]0, 5[.. S =] /4, /4[\{0}. 3. S = [( + 7)/3, + [. 4. S =]0, / 5 9[. 5. Affinché le funzioni che compaiono nella disuguaglianza siano definite occorre che x + 0 e x 0, cioè x / e x. Per la formula del cambiamento di base la disequazione equivale a log 3 x + + log 3 x log 3 (/3) < 0 log 3 x + < log 3 x che, siccome il logaritmo in base 3 è strettamente crescente, equivale a x + < x (ricordando però che x / e x ) che, con facili conti, ha come insieme delle soluzioni S =], 0[\{ /}. 6. S =]/3, [ ], + [. 7. ], [ ], + ]. 8. ], 0[. 9. ] 8/7, 0/7[\{/7}. 0. Osserviamo anzitutto che, affinchè le funzioni che compaiono nella disequazione abbiano senso occorre che 3x > 0 x 0

3 P. Baiti, L. Freddi - Corso integrato di Matematica. Materiale integrativo 3 e 6x > 0 x < /6. Con la formula del cambiamento di base si ha log / 3x = log 3x log (/) = log 3x = log 3x x 0 e la disequazione è equivalente a log 3x log 6x. Poiché il logaritmo in base è una funzione crescente quest ultima equivale a 3x 6x. Nel caso in cui 0 < x < /6 la disequazione diventa 3x 6x 3x( 6x) 8x 3x + 0 che è falsa per ogni x. Ne consegue che non vi sono soluzioni della disequazione tra 0 e /6. Nel caso in cui x < 0 la disequazione diventa 3x 6x 3x( 6x) 8x 3x 0; il discriminante è = 9+7 = 8, quindi le soluzioni della disequazione sono tutti gli x esterni all intervallo che ha come estremi le soluzioni dell equazione 8x 3x = 0, cioè x = = /6 e x = = /3, e, ricordando che stiamo ora considerando solo gli x < 0 si ha che sono soluzioni tutti gli x S =], /6].. {} [ +, + [.. [ 3/, + [. 3. [ 3, + 3]. 4. [/e, 3 e]. 5. ], [ ], 5 ] [5 +, + [. 6. Osserviamo anzitutto che, affinchè la funzione a primo membro abbia senso occorre che x 9 0 x 9.

4 4 P. Baiti, L. Freddi - Corso integrato di Matematica. Materiale integrativo La disequazione è equivalente a x 9 < < x 9 < 8 < x < 0 4 < x < 5 quindi l insieme delle soluzioni è S =]4, 5[\{9/}. 7. Affinché le funzioni che compaiono nella disequazione siano definite occorre che 4 9x > 0 ovvero x < 4/9 cioè x < /3. Per le proprietà di monotonia del logaritmo con base minore di si ha che la disequazione equivale a ( ) 4 9x = 3 9x x /3. 3 La soluzione è dunque data dagli x che verificano /3 x < /3 o, equivalentemente, dagli x tali che /3 < x /3 oppure /3 x < /3. 8. Affinché le funzioni che compaiono nella disequazione siano definite occorre che x + 5 > 0 e x 9 > 0 ovvero, in definitiva, che 5 < x < 3 oppure x > 3. Utilizzando la formula di cambiamento della base e le proprietà di monotonia dei logaritmi, si ottiene: log (x + 5) log w(x 9) log 4 0 log (x + 5) log (x 9) log (x + 5) log (x 9) (x + 5) x 9 che equivale a 0x cioè x 7/5. Ricordando le condizioni d esistenza si ottiene allora che le soluzioni sono date da 7/5 x < 3 oppure x > Affinché le funzioni che compaiono nella disequazione siano definite occorre che x + > 0 e 4x + 5 > 0 ovvero in definitiva x > 5/4. Mediante un cambiamento di base dei logaritmi si ha log /9 (4x + 5) = log /3(4x + 5) log /3 (/9) La disequazione equivale dunque a = log /3(4x + 5). log /3 (x+) < log /3 (4x+5) log /3 (x+) < log /3 (4x+5). Dalle proprietà di monotonia della funzione esponenziale (di base /3 < ) si ha che quest ultima equivale a (x + ) > 4x + 5 x > 0 x > oppure x <.

5 P. Baiti, L. Freddi - Corso integrato di Matematica. Materiale integrativo 5 Ricordandoci delle condizioni d esistenza si ottiene che la disequazione è verificata per x ] 5/4, [ ], + [. 0. Affinché le funzioni che compaiono nella disequazione siano definite occorre che x > 0 e 3x 5 > 0 ovvero in definitiva x > 5/3. Mediante un cambiamento di base dei logaritmi si ha log /4 (3x 5) = log /(3x 5) log / (/4) La disequazione equivale dunque a = log /(3x 5). log / (x ) < log / (3x 5) log / (x ) < log / (3x 5) Dalle proprietà di monotonia della funzione esponenziale (di base / < ) si ha che quest ultima equivale a (x ) > 3x 5 x 5x + 6 > 0 x > 3 oppure x <. Ricordandoci delle condizioni d esistenza si ottiene che la disequazione è verificata per x [5/3, [ ]3, + [.. Affinché le funzioni che compaiono nella disequazione siano definite occorre che { { x > 0 x / (3x + ) > 0 x > /3 Utilizzando la formula del cambiamento di base dei logaritmi si ottiene log 4 (3x + ) = log (3x + ) log 4 perciò la disequazione equivale a log x log (3x + ) = log (3x + ) Poiché la funzione logaritmica in base è crescente, quest ultima equivale a x (3x + ) Distinguiamo due casi: se x > 0 ovvero se x < /, la disequazione equivale a x 3x + che ha come soluzioni gli x 0, e in definitiva, gli 0 x < /. Nel secondo caso, se x < 0 ovvero se x > /, la disequazione equivale a ( x) 3x + che ha come soluzioni gli x, e in definitiva, gli x > /.

6 6 P. Baiti, L. Freddi - Corso integrato di Matematica. Materiale integrativo Ricordandoci delle condizioni di esistenza, l insieme delle soluzioni è S = [0, /[ ]/, + [. Affinché le funzioni che compaiono nella disequazione siano definite occorre che x > 0. Utilizzando il cambiamento di base dei logaritmi e le proprietà dei logaritmi, si ottiene: e quindi log x = log 8 x log 8 = 3 log 8 x log x + log 8 x < 3 log 8 x + log 8 x < 4 log 8 x < log 8 x < 4 x < 8 /4 x < 4 8 Ricordando le condizioni d esistenza, l insieme delle soluzioni dell equazione è S =]0, 4 8[. Esercizio 7.8. Risolvere le disequazioni. (x )/ x+ < 4;. 3 x + 3 x ; x < ; 4. e x +3e x > 4; 5. e x 7 x+3 ; 6. 3x 64 x 5 ; 7. x+ 3 x. R. Poiché 4 = e l esponenziale è strettamente crescente allora la disequazione equivale a x x + <, che, con semplici conti, ha come insieme delle soluzioni S =] 6, + 6[.. Distinguiamo i casi x < 0 e x 0. Se x < 0 la disequazione equivale a 3 x 3x x 0 e non vi sono pertanto soluzioni negative. Se invece x 0, la disequazione equivale a 3 x + 3 x

7 P. Baiti, L. Freddi - Corso integrato di Matematica. Materiale integrativo 7 che, moltiplicando per il numero positivo 3 x e portando tutto a primo membro, diviene (3 x ) (3 x ) + 0 (3 x ) 0 3 x = x = 0 che è, pertanto, l unica soluzione della disequazione. 3. ] log 3, + log 3 [ ], log 3[ ]0, + [. 5. ], 4/3] [0, + [. 6. [/5, + [. 7. Utilizzando le proprietà della funzione esponenziale, si ottiene che la disuguaglianza data equivale a x+ 5 x x+ 5+x x x Distinguiamo due casi, a seconda del segno dell argomento del valore assoluto: la disequazione equivale quindi all unione dei seguenti sistemi { { x + 0 x + < 0 x x (x + ) 5 + x ovvero quindi { x x 3 { x < x 7 3 x 7/3 x < che equivale a x 7/3. Quindi l insieme delle soluzioni dell equazione è S = [ 7/3, + [ Esercizio 7.9. Risolvere le disequazioni. 4x 4 x ;. 3 x 9 3 x ; 3. + log (x + ) log ( + 9 x ); 4. log (5e x ) log (e x +).

8 8 P. Baiti, L. Freddi - Corso integrato di Matematica. Materiale integrativo R. Affinché le funzioni che compaiono nella disequazione siano definite occorre che 4x 0 che è equivalente a 4x ( x) 4x ( x) ( 4x ) 4( x) x 0 4x 0. Risolvendo il sistema si ottiene 4 8x x x / oppure x / che ha come insieme delle soluzioni S =], /] [/, 5/8].. Affinché le funzioni che compaiono nella disequazione siano definite occorre che l argomento della radice quadrata sia non negativo, cioè x 0 ovvero x oppure x. Poiché inoltre 9 = 3 la disequazione può essere scritta nella forma 3 x 3 +x e utilizzando la proprietà di crescenza della funzione esponenziale di base 3 si ottiene equivalentemente x + x Si distinguono casi: se +x < 0 ovvero x <, la disequazione ha sempre soluzione, poiché il membro sinistro è positivo, quello destro negativo. Nel secondo caso, se + x 0 ovvero x, entrambi i membri sono positivi e si può elevare al quadrato, ottenendo x 4 + 4x + x 5 4x 5/4 x ottenendo quindi le soluzioni x 5/4. Ricordandoci delle condizioni d esistenza si ottiene che l insieme delle soluzione è dato da S =], 5/4] 3. L argomento del secondo logaritmo è sempre positivo. Affinché le funzioni che compaiono nella disequazione siano definite occorre quindi che { x + > 0 9 x > 0 { < x 3 x 3 < x 3

9 P. Baiti, L. Freddi - Corso integrato di Matematica. Materiale integrativo 9 Osservando che = log e utilizzando le formule dei logaritmi, si ottiene la disequazione equivalente log [ (x + ) ] log ( + 9 x ) Poiché la funzione logaritmica in base è crescente, la disequazione equivale a x x x x Distinguiamo due casi: se x + 3 < 0 ovvero se x < 3/, la disequazione ha sempre soluzione, poiché il membro sinistro è negativo, quello destro positivo. Nel secondo caso, se x ovvero se x 3/, entrambi i membri sono positivi e si può elevare al quadrato, ottenendo (x + 3) 9 x 5x + x 0 /5 x 0. Ricordandoci delle condizioni di esistenza, l insieme delle soluzioni è S =], 0] 4. Per facilità si può sostituire z = e x > 0. Affinché le funzioni che compaiono nella disequazione siano definite occorre quindi che 5z > 0. Per le proprietà del logaritmo, la disequazione è equivalente a log (5z ) log ((z +) ) 5z (z +) z 3z + 0. Ricordandoci la condizione d esistenza z > /5, si ottiene che la soluzione è data dagli z per cui /5 < z oppure z, che in termini di x diventa log 5 < x 0 oppure x > log. Esercizio 7.0. Trovare il dominio delle seguenti funzioni. h(x) = 9 3 5x + ln(x 9x + 8);. h(x) = log 3 ( e (x 3) ) ; 3. h(x) = log 4 (x x ). R. Il dominio di h è rappresentato dalle soluzioni del sistema: { 9 3 5x 0, x 9x + 8 > 0.

10 0 P. Baiti, L. Freddi - Corso integrato di Matematica. Materiale integrativo La seconda disequazione è verificata per x < oppure x > 8. La prima è equivalente a: 3 3 5x 5x x 5. L insieme delle soluzioni del sistema, e quindi il dominio di h, è dato da [ /5, [ ]8, + [.. Il dominio di h è dato dalle soluzioni di e (x 3) > 0 cioè > e (x 3) che equivale a 0 > x 3 3. Il dominio è dunque D =], 3 [. 3. Il dominio di h è rappresentato dalle soluzioni del sistema: { x x > 0, log 4 (x x ) 0. La prima disequazione è verificata per x > oppure x <. La seconda disequazione è equivalente a: log 4 (x x ) 4 4 log 4 (x x ) 4 x x x x 6 0, per cui le soluzioni sono date dagli x [, 3]. L insieme delle soluzioni del sistema, e quindi il dominio di h, è dato da [, [ ], 3].