Viene tradizionalmente suddivisa in: Cinematica Dinamica Statica

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1 COSA E LA MECCANICA? Viene tradizionalmente suddivisa in: Cinematica Dinamica Statica

2 CINEMATICA STUDIO del MOTO INDIPENDENTEMENTE dalle CAUSE che lo hanno GENERATO

3 DINAMICA STUDIO del MOTO e delle CAUSE che lo hanno GENERATO Vedremo che la CAUSA del moto è la FORZA

4 STATICA STUDIO delle CONDIZIONI DI EQUILIBRIO

5 CINEMATICA Approssimazione di PUNTO MATERIALE CONSIDERIAMO GLI OGGETTI PUNTIFORMI: quindi possono solo TRASLARE e non RUOTARE. Studiare il moto di un corpo equivale conoscere la sua posizione in ogni istante necessario un sistema di riferimento per stabilire la traiettoria del punto materiale Introdurremo i concetti di Velocità ed accelerazione media ed istantanea.

6 r Il vettore rappresenta la posizione del punto P nello spazio. y P 1 r r 1 = CINEMATICA VETTORE POSIZIONE E VETTORE SPOSTAMENTO r r 2 1 r 2 P 2 x y r r r r = 2 1 P rappresenta lo spostamento del punto P fra l istante t 1 e l istante t 2. x 6

7 VELOCITÀ VETTORIALE La velocità vettoriale del punto P è: r r r r 2 1 v = = t t t 2 1 y r 1 v r r 2 x La velocità rappresenta la velocità media nell intervallo (t 1,t 2 ). Quando l ampiezza dell intervallo t diventa molto piccola (tende a zero), si ottiene la velocità istantanea v r che è un vettore tangente alla traiettoria. 7

8 VELOCITÀ VETTORIALE Le componenti della velocità vettoriale lungo gli assi di riferimento rappresentano le velocità dei punti proiezione sugli assi x ed y. y v r y v r v r x x Le proprietà della velocità esaminate nel piano (x,y) si generalizzano al moto nello spazio rispetto agli assi x,y,z. 8

9 VELOCITÀ VETTORIALE Y[m] r traiettoria X[m] La DIREZIONE del vettore v istantanea è quella della retta tangente alla TRAIETTORIA nel punto considerato.

10 ACCELERAZIONE VETTORIALE L accelerazione vettoriale del punto P è: r r r r v 2 v 1 v a = = t t t 2 1 v r 1 P P 2 1 v r 1 v r 2 r v v r 2 a r a r L accelerazione rappresenta l accelerazione media nell intervallo (t 1,t 2 ). 10

11 ACCELERAZIONE VETTORIALE Quando l ampiezza dell intervallo t diventa molto piccola (tende a zero), si ottiene l accelerazione istantanea. y a r v r x L accelerazione istantanea è sempre orientata verso la parte concava della traiettoria. L accelerazione è nulla solo e soltanto quando il vettore velocità è costante (moto rettilineo uniforme). 11

12 UNITÀ DI MISURA r = m v = m = m s 1 s a m = s s = m = m s 2 s 2 12

13 MOTO RETTILINEO UNIFORME Se la velocità vettoriale è costante (modulo, direzione e verso) il moto è rettilineo (unidimensionale) e sono percorsi spazi uguali in tempi uguali, cioè gli spazi percorsi sono proporzionali ai tempi impiegati. Considerando l asse x lungo la direzione del moto e passando dai vettori agli scalari, si ottiene: x = x o + vt dove x o è la posizione iniziale (all istante t=0). Le variabili x e v sono numeri positivi o negativi, secondo le convenzioni già stabilite. 13

14 MOTO RETTILINEO UNIFORME Il moto rettilineo uniforme è rappresentato da una retta nel grafico spazio-tempo. La pendenza della retta è la velocità del moto. x x 2 x 1 α t1 t 2 t sin cos tan pendenza = x t 2 1 = 2 x t 1 v 14

15 MOTO RETTILINEO UNIFORME Il moto rettilineo uniforme è rappresentato da una retta nel grafico spazio-tempo. x = x o + vt spazio (m) tempo (s) v e l o c i t à ( m / s ) tempo (s) In tale moto, la velocità è rappresentata da una retta orizzontale nel grafico velocità-tempo. 15

16 MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO 16

17 MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO In un moto rettilineo con accelerazione costante (modulo, direzione e verso) lungo l asse x, la velocità è: v = v + o at Lo spazio percorso è dato da v(t) x o è la posizione iniziale (t=0) v o è la velocità iniziale (t=0) 17

18 MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO x o = 150 m v o = 4 m/s 500 a = 10 m/s 2 0 spazio (m) tem po (s) v e locita` (m/s) tempo (s) acceleraz ione (m/s^2) tempo (s) 18

19 MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO x o = 400 m v o = 75 m/s a = 8 m/s spazio (m) tempo (s) v e locita` (m/s) tempo (s) accelerazione (m/s^2) tempo (s) 19

20 MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO 400 x o = 150 m v o = 50 m/s a = 8 m/s 2 spazio (m) tempo (s) velocita` (m/s) tempo (s) acceleraz ione (m/s^2) tempo (s) 20

21 MOTO VERTICALE NEL CAMPO DELLA GRAVITÀ y In vicinanza della superficie terrestre tutti i corpi si muovono con la stessa accelerazione g = 9.8 m/s 2 = 980 cm/s 2 y v = = v v o o 1 t 2 gt gt 2 g r y v r o x 21

22 MOTO VERTICALE NEL CAMPO DELLA GRAVITÀ Corpo lanciato verso l alto: determinare l altezza massima: il corpo raggiunge la massima altezza h=h max quando la velocità è nulla (al tempo t=t max ). v = v h max o gt = v 0 t max max = 0 1 gt 2 t 2 max max vo = g 2 vo = 2g 22

23 MOTO parabolico uniformemente accelerato Se la velocità iniziale non è lungo la verticale il corpo descrive una parabola. La velocità non è costante in direzione quindi al traiettorie non è più rettilinea. La velocità orizzontale rimane costante, mentre la velocità verticale varia. y v 0y v 0x = v 0 cosθ v 0y = v 0 senθ 0 Moto lungo x= rettilineo uniforme Moto lungo y= uniformemente accelerato v 0 θ a v 0x x Moto in due dimensioni non unidimensionale. Che traiettoria? 23

24 MOTO parabolico uniformemente accelerato Y a = g = 9.8 m/s 2 v 0y θ v 0x v 0 X Dalle due equazioni orarie si elimina il tempo e si ricava l equazione della traiettoria: Supponiamo per semplicità che y 0 =0 e x 0 =0 t=x/v 0x y = v 0y x/v 0x g(x/v 0x ) 2 /2 y = (g/2v 0x2 )x 2 +(v 0y /v 0x )x Equazione di secondo grado del tipo: y = ax 2 +bx+c EQUAZIONE DI UNA PARABOLA!

25 MOTO parabolico uniformemente accelerato

26 MOTO parabolico uniformemente accelerato Dalle due equazioni orarie e dalla equazione della traiettoria si possono ricavare molte caratteristiche salienti sul moto. 1. In quanto tempo raggiunge la massima altezza? 2. A che distanza tocca Terra?

27 MOTO parabolico uniformemente accelerato Problema 1 Un sasso viene lanciato con una velocità di modulo pari a v = 17 m/s e con un angolo di θ = 45 sopra l orizzontale. Trascurando la resistenza dell aria, determinare il tempo impiegato a raggiungere la massima altezza. Soluzione Nel punto di massima altezza la componente y della velocità è nulla. Se t * è il tempo impiegato a raggiungere la massima altezza: V y (t * ) = 0 Ma V y = V 0y -gt0 = V 0y -g t * t * = V 0y /g = V 0 sen θ /g Se θ=45 V 0 sen θ /g= 17 %&,' (,) * +, +*!,# $

28 MOTO parabolico uniformemente accelerato Problema 2 Un aereo da soccorso vola ad una velocità v = 360 km/h alla quota costante di h = 490 m. Quale distanza x, misurata sull orizzontale, percorre un pacco lasciato cadere dall aereo? Soluzione La velocità iniziale ha SOLO la componente orizzontale, che rimane costante. x= V 0x t con V 0x = 360 km/h E necessario determinare t * = tempo impiegato dal pacco a raggiungere il suolo y=h-gt 2 /2 0=h-g t * 2 /2 t *2 =2h/g t * = (2h/g) 1/2 x = V 0x (2h/g) 1/2 360 /0 h 6 10& 0 $ Quindi x= 6 10 & %(2 3 * 4 (,5 = 6 10& (52 * 4 (, = 60 km