Scuola di Dottorato in Scienze e Tecnologie dell Informazione e della Comunicazione.

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1 T. ZOLZZI. Appunti del corso di Introduzione ll Anlisi Funzionle Scuol di Dottorto in Scienze e Tecnologie dell Informzione e dell Comuniczione. NOTA. L utore desider ringrzire le studentesse di dottorto, ingegneri Brbr Mzzrino e Silvi Siri, per ver preprto un versione preliminre degli ppunti. PRIMA PART SZION 1. MISURA DI LBSGU. L misur di Peno - Jordn in R N si definisce, per un fissto sottinsieme limitto A R N, pprossimndolo dll interno e dll esterno in misur medinte plurirettngoli, ovvero unioni finite di rettngoli senz punti interni comuni (1) T = {x R N : i x i b i, i = 1,..., N}. Qui x i indic l componente i-esim di x, mentre i, b i sono numeri ssegnti. Se questi due procedimenti di pprossimzione in misur convergono d uno stesso numero, llor A é per definizione misurbile secondo Peno - Jordn, e tle numero é per definizione l misur di Peno - Jordn di A. Si trtt di un estensione del metodo di definizione dell re del cerchio, o del volume di un sfer, in geometri elementre. L misur di Lebesgue m é un ssi mpi generlizzzione del concetto di misur in R N (lunghezz se N = 1, re se N = 2, volume se N = 3), che mntiene comunque un forte coerenz con l geometri elementre. Per definizione se T é un rettngolo come in (1), l su misur di Lebesgue é m(t ) = (b 1 1 )(b 2 2 )... (b N N ). Se A = T 1 T 2... T p é un plurirettngolo, unione finit dei rettngoli T i, senz punti interni comuni, llor l su misur di Lebesgue é m(a) = p m(t i ) i=1 d ccordo con l geometri elementre e l intuizione. Si conviene inoltre che l misur di Lebesgue dell insieme vuoto si. Cso prticolre: l misur di Lebesgue dell insieme formto d un solo punto é. 1

2 D qui in poi, l definizione dell misur di Lebesgue m cmbi nettmente rispetto quell di Peno - Jordn. Se A é un perto di R N llor per definizione m(a) = sup {m(t ) : T plurirettngolo A} mentre se K é un insieme chiuso e limitto, ovvero un comptto, di R N llor m(k) = inf {m(t ) : K T, T plurirettngolo }. Dunque tutti gli perti e tutti i comptti sono misurbili secondo Lebesgue (il che é flso per l misur di Peno - Jordn), e un perto puó nturlmente vere misur infinit. Se S é limitto, si definisce l misur intern di S come l su misur estern come sup {m(k) : K S, K comptto }, inf {m(a) : S A, A perto } ed S é detto misurbile (secondo Lebesgue) se l su misur intern ed estern coincidono, nel qul cso il loro vlore comune é per definizione m(s). Infine se S é non limitto, esso é detto misurbile se ogni S r = {x S : x r} lo é, r >, nel qul cso l misur di S é per definizione lim r + m(s r ). Indicheremo con M l clsse di tutti i sottinsiemi misurbili secondo Lebesgue di R N (vendo fissto l dimensione N). Quindi l misur di Lebesgue (N - dimensionle) m : M [, + ]. PROPRITÁ DLLA MISURA DI LBSGU 1) Sino A, B M, x R N llor nche l unione A B, l intersezione A B, l differenz A\B ed il trslto x + A sono misurbili. In reltá vle un proprietá ssi piú forte : se l successione A k M llor + k=1 A k M e + m( + k=1 A k) k=1 m(a k ) ovvero l proprietá di numerbile subdditivitá. Se inoltre gli A k sono disgiunti llor + (2) m( + k=1 A k) = 2 k=1 m(a k )

3 che esprime l proprietá di numerbile dditivitá dell misur di Lebesgue. In prticolre, d ccordo con l intuizione e l geometri, se A, B sono misurbili e disgiunti. m(a B) = m(a) + m(b) sempio. Si D l insieme dei punti del qudrto Q = {(x, y) : x 1, y 1} le cui coordinte x, y sono entrmbe numeri decimli. Dto che l insieme dei numeri decimli é numerbile (ovvero, si puó mettere in corrispondenz biunivoc con l insieme degli interi), nche D é un successione di punti P n, ciscuno dei quli é di misur null, pertnto dll (2) risult che D é misurbile Lebesgue di misur. Seguendo invece l definizione di re di Peno - Jordn, l misur intern di D é (nessun rettngolo di re positiv é contenuto in D), mentre quell estern é 1 (il piú piccolo plurirettngolo contenente D é Q). Quindi D non é misurbile secondo Peno - Jordn, e l misur di Peno - Jordn non é numerbilmente dditiv. 2) L misur di Lebesgue é monoton, ovvero A, B M, A B implicno m(a) m(b). Conseguenz dell numerbile subdditivitá é che ogni unione numerbile di insiemi di misur null é ncor di misur null. Si prov inoltre che ogni sottinsieme di un insieme di misur null é misurbile (ed ovvimente di misur null per l monotoni). 3) L misur di Lebesgue é coerente con quell di Peno - Jordn, nel senso che coincide con ess su tutte le figure dell geometri elementre. FUNZIONI MISURABILI. Sino M, f : R ssegnti. Allor l funzione f é misurbile secondo Lebesgue se st in M ogni insieme {x : f(x) t}, t R. Si ottiene un definizione equivlente imponendo l misurbilitá di ogni insieme definito dlle disuguglinze f(x) t, oppure f(x) < t, oppure f(x) > t. sempio. Si N = 1, e considerimo f : [, 1] R dt d f(x) = 2 se x é decimle, f(x) = 3 ltrimenti. A cus dell densitá nei reli si dei decimli, si dei numeri non decimli, segue che f é discontinu in ogni punto di [, 1]. D ltr prte l insieme dei punti dove f(x) t 3

4 risult essere l insieme vuoto se t < 2, i numeri decimli tr ed 1 se 2 t < 3, tutto [, 1] se t 3, in ogni cso quindi un insieme misurbile Lebesgue. Si conclude che f é misurbile. Dto che l insieme dei decimli, essendo numerbile, é di lunghezz null secondo Lebesgue, si us dire che f = 3 qusi ovunque in [, 1], nel senso che l insieme dei punti nei quli f non vle 3 é di misur zero. sercizio. Verificre che se f : R N R é continu, llor é misurbile Lebesgue. In effetti, se nel punto x risult f(x) < t llor per l permnenz del segno si h che f(y) < t per ogni y bbstnz vicino d x. Allor, per ogni t, l insieme dei punti x in cui f(x) < t é perto quindi misurbile, e ció prov l misurbilitá di f. sercizio. Dto l insieme A R N, l su funzione crtteristic indict spesso con 1 A é definit su tutto R N, vle 1 nei punti di A, vle fuori di A. Verificre che sono ftti equivlenti l misurbilitá dell funzione 1 A e l misurbilitá dell insieme A. sistono sottinsiemi di R N non misurbili Lebesgue (m é difficile produrne un esempio), ed esistono funzioni non misurbili Lebesgue, comunque tutte le funzioni che intervengono nelle ppliczioni i problemi dell ingegneri sono per lo meno misurbili. Si trtt di un nozione molto generle, che é inoltre notevolmente stbile. Inftti somme, prodotti, quozienti, mssimo e minimo tr due funzioni, sono misurbili se lo sono le funzioni su cui si oper. In generle l compost di due funzioni misurbili puó non esserlo, m se f é misurbile e g é continu, l compost g[f] é nch ess misurbile. Utilizzeremo l seguente nozione di convergenz per successioni di funzioni Si dice che f n, f : R, M. f n f qusi ovunque in se esiste G M, G, G di misur null tle che f n (x) f(x) per ogni x G. Allor si dimostr che se f n f qusi ovunque in e se ogni f n é misurbile, nche il limite q.o. f é misurbile. sercizio. Sino f n (x) = x n, x 1, n = 1, 2, 3,.... Verificre che f n converge qusi ovunque e trovrne il limite. SZION 2. INTGRAL DI LBSGU. É importnte generlizzre l integrle di Riemnn per lmeno due rgioni : per poter dr senso ll integrzione di funzioni discontinue, cos spesso impossibile con l integrle 4

5 di Riemnn, e per disporre di un teorem di pssggio l limite sotto il segno d integrle, che non richied l convergenz uniforme, l qule in molte ppliczioni é un proprietá troppo restrittiv. Si f : [, b] R un funzione limitt. L definizione di integrbilitá secondo Riemnn consider un (rbitrri) prtizione P individut di punti x = < x 1 < x 2 <... < x N 1 < x N = b, le ssoci le somme inferiore e superiore s (P ) = N 1 i= m i (x i+1 x i ), s (P ) = N 1 i= M i (x i+1 x i ) dove m i = inf {f(x) : x i x x i+1 }, M i = sup {f(x) : x i x x i+1 }, e vlut se, l tendere zero dell mssim lunghezz degli intervlli che costituiscono P, entrmbe s (P ), s (P ) convergono d uno stesso numero rele, che (nel cso) é per definizione l integrle di Riemnn b f(x)dx. É equivlente imporre il comportmento convergente delle somme di Cuchy dove ogni t i [x i, x i+1 ]. N 1 i= f(t i )(x i+1 x i ) Supponimo or che f si misurbile Lebesgue in [, b] e limitt q.o. Allor esistono costnti P, Q tli che P f(x) Q per q.o. x [, b]. L definizione di Lebesgue scmbi l sse x con l sse y. Ovvero consider prtizioni individute di punti y = P < y 1 < y 2 <... < y N 1 < y N = Q, gli insiemi certo misurbili (e disgiunti) e l corrispondente somm i = {x [, b] : y i f(x) < y i+1 }, i =,..., N 1, s( ) = N 1 i= y i m( i ). L funzione f é dett integrbile secondo Lebesgue in [, b] se s( ) converge d un numero rele l tendere zero dell mssim mpiezz degli intervlli di, nel qul cso tle numero é l integrle di Lebesgue di f su [, b], che indicheremo (per rgioni fr poco evidenti) con il solito simbolo b f(x)dx. 5

6 L definizione si generlizz come segue. Sino (fisst l dimensione) M di misur finit e g : un funzione costnte trtti, ovvero esistono insiemi misurbili disgiunti 1,..., k l cui unione coincide con, e numeri reli c 1,..., c k tli che g(x) = c i se x i, i = 1,..., k, nel qul cso l integrle di g é per definizione g dx = k c i m( i ). i=1 Si f misurbile e su. Allor per definizione fdx = sup { gdx : g costnte trtti, g f}. L definizione é nlog per domini di integrzione di misur infinit: in ogni cso f é integrbile su se fdx < +. Qust definizione coincide con quell sopr descritt se l dimensione N = 1: ogni funzione misurbile e limitt (e non negtiv) su un insieme di misur finit h un ben definito integrle di Lebesgue.( Ció é flso per l integrle di Riemnn, per l cui esistenz si richiede sufficiente continuitá dell integrndo.) Simmetric definizione si dá per funzioni negtive. Se poi f é misurbile e di segno rbitrrio, considerimo l prte positiv f + e quell negtiv f di f ovvero f + (x) = mx {f(x), }, f (x) = min {f(x), }, per cui f = f + + f. Allor f é integrbile se lo sono si f + si f, nel qul cso per definizione fdx = f + dx + f dx. PROPRITÁ DLL INTGRAL DI LBSGU Tutte le proprietá strutturli dell integrle di Riemnn vlgono per l integrle di Lebesgue. In prticolre esso é linere, dditivo, monotono (si rispetto l dominio di integrzione che rispetto ll integrndo). Inoltre se f é integrbile su, llor lo é su ogni suo sottinsieme misurbile. Inoltre l integrle trscur gli insiemi di misur zero (che ppunto per questo sono tlvolt detti trscurbili), come segue. 6

7 1) Se f é misurbile ed é di misur null, llor fdx =. 2) Se f é integrbile su e se g = f q.o. su, llor nche g é integrbile e risult fdx = gdx. sempio. Sino = [, 3], f(x) = se x é un numero decimle, f(x) = 2 ltrimenti. Tutte le somme inferiori di Riemnn vlgono, tutte quelle superiori vlgono 6, indipendentemente dll prtizione. Quindi f non é integrbile Riemnn. É peró integrbile Lebesgue essendo misurbile e limitt. Inoltre f = 2 qusi ovunque, le costnti sono integrbili Lebesgue su [, 3], llor dll precedente proprietá 2) segue che 3 fdx = 3 2dx = 6. Come per l misur, vle un proprietá piú forte dell dditivitá dell integrle ovvero: se f é integrbile sull unione disgiunt = + n=1 n degli insiemi misurbili n, llor + n=1 n fdx = + n=1 n fdx. L relzione tr integrle e misur é quell nturle: se é misurbile llor dx = 1 dx = m(). R N Inoltre l integrle di Lebesgue é ssolutmente continuo, nel senso che se f é integrbile su ed indichimo con G un generico sottinsieme misurbile di, llor lim m(g) fdx =. G L teori di Lebesgue é strettmente collegt ll ssolut integrbilitá, ovvero ll proprietá che si integrbile il modulo dell integrnd: in effetti vendosi f = f + f, e ricordndo l definizione di integrbilitá, si h il seguente Criterio di integrbilitá. Sino misurbile, f un funzione misurbile su. Allor sono ftti equivlenti: f é integrbile su ; f é integrbile su ; esiste g integrbile su tle che f(x) g(x) q.o. in. Infine, l integrle di Lebesgue é (spesso m non sempre) coerente con l integrle di Riemnn (differenze potendo dipendere dl ftto che l integrbilitá Riemnn non equivle ll 7

8 ssolut integrbilitá). Quindi se f é limitt e continu, eccetto un insieme di misur null, su misurbile Peno-Jordn, llor i due integrli di f su, nel senso di Lebesgue e di Riemnn, coincidono (per questo non li distinguimo livello di notzione). Per integrli impropri, il comportmento dell integrle di Lebesgue é nlogo quello di Riemnn se si trtt di funzioni ssolutmente integrbili. Cosí, d esempio, x(t) = 1/t, < t 1 non é integrbile in [, 1] né Riemnn, né Lebesgue. Anlogmente y(t) = 1/t 2 é integrbile Lebesgue in [1, + ). Invece sin(x)/x é integrbile Riemnn, m non Lebesgue, in [, + ) (perché l integrle di Riemnn + sin x /x dx = +.) Il risultto centrle é il seguente Teorem di convergenz domint. Sino M, f n : R un successione di funzioni misurbili, convergente qusi ovunque su d f. Supponimo inoltre che esist g integrbile su tle che f n (x) g(x) per qusi ogni x. Allor f é integrbile su e risult f n f dx per cui nche f n dx fdx. sercizio. Clcolre + lim e nx4 dx. n + D qunto detto prim, ogni f n (x) = e nx4, x, é integrbile si Riemnn, si Lebesgue. Cerchimo di pplicre il teorem di convergenz domint. Risult f n (x) qusi ovunque in [, + ), inoltre f n (x) e x4 ovunque e per ogni n. Quindi bbimo convergenz domint, dunque + lim e nx4 dx = n (lim f n )dx =.

9 Assegnto M (vendo fisst l dimensione N), indicheremo con L 1 () l clsse di tutte le funzioni reli che risultno integrbili secondo Lebesgue su, identificndo due funzioni f, g di L 1 () tli che f(x) = g(x) q.o. in. PRIMITIV D INTGRAL DI LBSGU Se y é continu nell intervllo [, b] llor sppimo che (3) x(t) = t y(s)ds, t b é un primitiv di y in tle intervllo, ovvero é derivbile in tutti i punti e l su derivt prim ẋ(t) = y(t) per ogni t in [, b]. Si desso y L 1 ([, b]). L formul (3) h perfettmente senso nche in questo cso, e definisce un funzione x che, cus dell ssolut continuitá dell integrle di Lebesgue, risult continu in [, b]. sempio. Sino =, b = 2, y(t) = 1 se t é numero decimle di [, 2], y(t) = 3 ltrimenti. Allor, essendo y(t) = 3 q.o., risult dll (2) x(t) = t per cui x é derivbile (ovunque) con derivt 3 ds = 3 t, t 2 ẋ(t) = 3 = y(t) per qusi ogni t [, 2]. sempio. Sino = 1, b = 1, y(t) = se 1 t <, y(t) = 4 ltrimenti. In questo cso dll (3) (che coinvolge l integrle di Riemnn soltnto) ottenimo x(t) = se 1 t, x(t) = 4 t ltrimenti, quindi stvolt x é qusi ovunque (m non ovunque) derivbile, e di nuovo risult ẋ(t) = y(t) per qusi ogni t [ 1, 1]. 9

10 Nei due precedenti esempi, l (2) clcol un primitiv qusi ovunque dell integrnd y, nel senso che vle q.o. il teorem fondmentle del clcolo integrle, cso prticolre del seguente Teorem. Se y L 1 ([, b]) llor x dt dll (3) risult continu, derivbile qusi ovunque in [, b] e si h ẋ(t) = y(t) per qusi ogni t [, b]. Le funzioni dell form (3) sono un clsse intermedi tr quelle continue e quelle con derivt prim continu, e si crtterizzno come segue. Definizione. L funzione x : [, b] R é ssolutmente continu in [, b] qundo é continu, é derivbile q.o. con derivt integrbile Lebesgue in [, b] e risult, per ogni p, q [, b] q p ẋ(t)dt = x(q) x(p). sercizio. Verificre che se x é continu in [, b] e derivbile qusi ovunque, llor ẋ é misurbile Lebesgue. (Suggerimento: utilizzre il ftto che limiti q.o. di funzioni misurbili sono misurbili). sercizio. Si x il grdino x(t) = se t <, x(t) = 1 se t >. Verificre che x é derivbile q.o. e che ẋ é integrbile (in qulunque intervllo). x é ssolutmente continu in [ 1, 1]? SZION 3. SOLUZIONI QUASI OVUNQU DI QUAZIONI DIFFRNZIALI OR- DINARI. Nell sezione precedente bbimo visto che, ssegnti y L 1 ([, b]), x R, esiste un unic funzione ssolutmente continu x in [, b] che risolve il problem i vlori inizili ẋ = y q.o. in [, b], x() = x. In bse ll (3) risult x(t) = x + t y(s)ds, t b. 1

11 L nlog estensione del concetto di soluzione di un problem i vlori inizili per un sistem di equzioni differenzili, nel qule l dinmic dipend in modo non necessrimente continuo dl tempo t, é l seguente. Si D un perto di R N e si f : [, b] D R N un funzione ssegnt. Diremo che l funzione x = x(t) R N é un soluzione di Crthéodory in [, b] del sistem differenzile ordinrio (4) ẋ(t) = f[t, x(t)] se x é ssolutmente continu in [, b], nel senso che lo é ogni su componente, se prende vlori in D e se verific (4) per qusi ogni t [, b]. Nturlmente (4) corrisponde l sistem differenzile di N equzioni in N incognite in form normle scritto in form sclre ẋ 1 = f 1 (t, x 1,..., x N ),..., ẋ N = f N (t, x 1,..., x N ) essendo x 1,..., x N le componenti dell incognit x ed f 1,..., f N quelle dell dinmic f. Le soluzioni clssiche di (4) corrispondono l cso che f si (lmeno) continu, e sono llor funzioni di clsse C 1 ([, b]) che verificno (4) ovunque. In tl cso ogni soluzione clssic di (4) é nche soluzione di Crthéodory. Per ottenere un teori del tutto nlog quell clssic, si considerno dinmiche f = f(t, x) che sino funzioni di Crthéodory, ovvero tli che ogni loro componente si misurbile Lebesgue rispetto t in [, b] per ogni x D, e continu su D rispetto d x per ogni t [, b]. Si prov llor che l funzione compost f[t, u(t)] é misurbile Lebesgue in [, b] se lo é l componente intern u (in prticolre se u é continu). Il seguente teorem stbilisce, in condizioni simili l cso clssico, l esistenz ed unicitá in grnde delle soluzioni di Crthéodory dei problemi i vlori inizili. Teorem. Sino f funzione di Crthéodory in [, b] R N, x R N un punto rbitrrimente fissto. Allor esiste un ed un sol soluzione di Crthéodory in [, b] del problem i vlori inizili (5) ẋ(t) = f[t, x(t)], x() = x condizione che esistno due funzioni A, B L 1 ([, b]) tli che f(t, x) A(t) x + B(t) per ogni x R N e per qusi ogni t [, b]; inoltre per ogni r > esist g L 1 ([, b]) tle che per ogni x, x R N con x r, x r si bbi f(t, x ) f(t, x ) g(t) x x. 11

12 Ovvimente, come nel cso clssico, ogni equzione differenzile sclre di ordine N puó esser scritt in modo equivlente come un sistem di primo ordine e di dimensione N, rientrndo quindi come cso prticolre in (4). sercizio. Verificre che (come nel cso clssico), ogni soluzione di (5) in [, b] soddisf l formul x(t) = x + t f[s, x(s)]ds, t b e vicevers, ovvero se x é ssolutmente continu in [, b] e verific l precedente formul integrle, llor risolve (5) nel senso di Crthéodory. Nel cso prticolre dei sistemi differenzili lineri ẋ = A(t)x + B(t) le ipotesi del precedente teorem sono verificte se l mtrice A, che é N N, ed il vettore B d N componenti hnno ogni loro elemento in L 1 ([, b]). L teori é del tutto nlog quell del cso clssico: il sistem omogeneo ssocito h N soluzioni linermente indipendenti che ne generno l integrle generle, vle il principio di sovrpposizione, l integrle generle del sistem si ottiene d quello dell omogeneo ggiungendovi un soluzione, che se A é costnte si puó ottenere in form di convoluzione, ecceter. sercizio. Trovre in form di convoluzione l soluzione del problem ÿ + y = f(t), y() = ẏ() = essendo f L 1 ([, T ]) un funzione ssegnt, T > fissto. L omogene ssocit, essendo coefficienti costnti (quindi continui) h le soluzioni clssiche C sin t + D cos t che ne rppresentno l integrle generle l vrire delle costnti reli C, D. Come nel cso clssico, che corrisponde ll ipotesi f continu, l funzione y(t) = t sin(t x)f(x)dx, t T é l soluzione richiest. Inftti si puó derivre sotto il segno di integrle (due volte) come nel cso clssico, ottenendo ÿ(t) = f(t) ẏ(t) = t t cos(t x)f(x)dx, t T, sin(t x)f(x)dx = f(t) y(t), q.o t (, T ) 12

13 il che permette di concludere che y é l soluzione. SZION 4. SPAZI DI BANACH. Si uno spzio vettorile rele o complesso : quindi su sono ben definiti l somm di due suoi elementi e l moltipliczione per uno sclre rele o complesso. Supponimo che su si inoltre definit un funzione vlori reli, che d ogni elemento x di ssoci un ben determinto numero, l norm di x, indict con x, soddisfcente le seguenti proprietá : per ogni x, y, R oppure C x ; x = se e solo se x = ; x = x ; x + y x + y ; quest ultim proprietá é l disuguglinz tringolre. In tl cso, con l norm si dice spzio normto rele oppure complesso. All nozione di norm corrisponde un nozione di distnz fr due punti x, y di, dt d x y, ed un nozione di convergenz. Diremo che l successione di punti x n x n u ovvero x n converge (fortemente) l punto u se x n u per n +. In uno spzio normto, come dirette conseguenze dell definizione vlgono i ftti seguenti. Supponimo che le due successioni di punti di e che l successione di sclri llor risult x n x, y n y n, x n + y n x + y, n x n x, x n x. Quindi le operzioni di somm, di prodotto per sclri e l norm sono tutte funzioni continue in. Due norme 1, 2 su uno stesso spzio vettorile si dicono equivlenti se esistono due costnti p, q tli che per ogni x risult x 1 p x 2 q x 1. 13

14 Due norme equivlenti inducono l stess nozione di convergenz: in effetti dll definizione segue direttmente che per un successione u n u n x 1 se e solo se u n x 2. sempio. Su = C 1 ([, b]), spzio linere delle funzioni reli u derivbili con derivt prim u continu sull intervllo chiuso e limitto [, b], considerimo le due norme u 1 = mx { u(x) : x b} + mx { u (x) : x b}, u 2 = u() + mx { u (x) : x b}. Ovvimente per ogni u si h u 2 u 1. Inoltre per ogni x [, b] bbimo d cui u(x) u() + x u (t) dt u() + (b ) mx { u (x) : x b}, u 1 (costnte) u 2 dove l costnte vle 1 + b. Dunque le due norme sono equivlenti. sempio. Su = C ([, 2]) spzio delle funzioni reli x = x(t) continue sull intervllo [, 2] considerimo le due norme Nturlmente per ogni x si h x 1 = mx { x(t) : t 2}, x 2 = 2 x(t) dt. x 2 2 x 1. Considerimo l successione di funzioni continue x n che vlgono zero ovunque eccetto che tr ed 2/n 2, dove il loro grfico é ftto d due segmenti, il primo congiungente (, ) con (1/n 2, n), l ltro congiungente (1/n 2, n) con (2/n 2, ). Allor risult per n + x n 2 mentre x 1 +. dunque le due norme non sono equivlenti. x 1 é piú forte di x 2 nel senso che l convergenz in tle norm, ovvero l convergenz uniforme, implic l convergenz rispetto x 2, ovvero l convergenz in medi integrle, m non vicevers. Se l integrle del modulo tende zero, non per questo il mssimo modulo dell integrndo deve tendere nch esso zero: nell esempio precedente, ddirittur tende +. L sfer unitri chius di uno spzio normto é l insieme dei punti u di tli che u 1. Sfer pert di centro x e rggio r é {u : x u < r}. 14

15 Se T é un sottinsieme di uno spzio normto diremo che T é limitto se esiste k > tle che x k per ogni x T, ovvero T é contenuto nell sfer di centro l origine e rggio k. Diremo che T é (fortemente) chiuso se per ogni successione di punti di T, convergente (fortemente) l limite u, nche u T. Infine T é perto se il suo complementre é chiuso, ovvero se per ogni punto x T esiste un sfer di centro x e rggio positivo contenut in T. Le definizioni qui sopr sono identiche quelle che conoscimo in R N. In effetti l nlisi funzionle h per oggetto principle l introduzione, negli spzi di funzioni, di un struttur (ottenut ttrverso l nozione di norm) che si in un certo senso simile quell che conoscimo in R N dotto per esempio dell norm euclide. Se un successione di punti di uno spzio normto converge, ovvero x n u, llor dll disuguglinz tringolre si h x n x k x n u + u x k e quindi (6) x n x k per n, k +. É di fondmentle importnz (tecnic) spere se nello spzio normto vle il vicevers, ovvero se dl ftto che si verific l (6) segu che l successione deve convergere. Se ció vviene si dice che lo spzio normto é completo, ovvero che é uno spzio di Bnch. I seguenti sono esempi importnti, e frequentemente utilizzti, di spzi di Bnch reli. 1) R N con le norme, se x é il vettore di componenti x 1,..., x N, N x 1 = x k ; x 2 = N x k 2 ; x = mx { x k : k = 1,..., N}. k=1 k=1 L norm euclide 2 é quell dell geometri elementre (rdice dell somm dei qudrti delle componenti del vettore). Le ltre due sono modi diversi di misurre l lunghezz di un vettore. Si dimostr che su R N tutte le norme sono equivlenti: quindi l nozione di convergenz di un successione di vettori é quell usule (componente per componente) in qulunque norm. sercizio. Disegnre le sfere unitrie di R 2 rispetto lle tre norme sopr definite, e verificre che (dlle inclusioni determinte nel disegno) segue l loro equivlenz. 15

16 2) C (K), K essendo un insieme comptto di R N, per esempio N = 1 e K = [, b], con l norm u = u = mx { u(x) : x K}. In questo cso l convergenz indott dll norm é quell uniforme su K. 3) C 1 ([, b]), spzio delle funzioni reli di un vribile, derivbili un volt con derivt continu in [, b], con l norm Un norm equivlente é u = mx { u(x) : x [, b]} + mx { u (x) : x [, b]}. u = u() + mx { u (x) : x [, b]}. L convergenz indott é quell uniforme in [, b] delle funzioni e delle loro derivte prime. Nel prossimo esempio, considerimo G misurbile secondo Lebesgue in R N, p 1 e l clsse delle funzioni u : G R tli che u p é integrbile secondo Lebesgue su G, quindi u è misurbile e u(x) p dx < +. G Segue dlle proprietá dell integrle che se v é misurbile e risult u(x) = v(x) q.o. in G, llor u(x) p dx = v(x) p dx < +. G G Ai fini dell integrzione u e v sono equivlenti. L clsse di tutte le funzioni u come sopr (modulo l equivlenz espress dll uguglinz qusi ovunque) si indic con 4) L p (G), che risult spzio di Bnch con l norm u = ( u(x) p dx) 1/p. G Lo spzio L 1 (G) é quello delle funzioni integrbili (Lebesgue) su G. L p (G) é uno spzio linere per ogni p 1. L convergenz indott dll norm di L p (G) é dett convergenz in medi di ordine p su G. Segue dl teorem di convergenz domint che se le funzioni u n sono misurbili in G, n = 1, 2,..., se u n (x) u(x) q.o. in G e se esiste z L p (G) tle che u n (x) z(x) q.o. in G 16

17 llor si h u n u in L p (G). Vle un przile vicevers: se u n u in L p (G) llor esiste un estrtt dll successione u n che converge q.o. d u su G. sercizio. Verificre che se l successione x n u in L 2 ([, b]) e se ogni elemento dell successione verific 2 x n (t) 3 qusi ovunque in [, b] llor nche il limite 2 u(t) 3 qusi ovunque in [, b]. Inftti d x n si puó estrrre un successione y n (t) u(t) q.o. in [, b], dunque fuori d un opportuno insieme di misur null (unione numerbile di insiemi di misur ) si h 2 y n (t) 3 e pssndo l limite per n + si ottiene l stess disuguglinz per l funzione limite u. H prticolre importnz come vedremo il cso p = 2, in corrispondenz del qule u v = ( [u(x) v(x)] 2 dx) 1/2 é lo scrto qudrtico medio che intercorre tr u e v. G Si G misurbile Lebesgue in R N, llor l funzione misurbile u : G R si dice essenzilmente limitt in G se esiste un costnte K tle che u(x) K per q.o. x G. L estremo inferiore di tli K mggiornti q.o. di u é per definizione u, e lo spzio delle funzioni essenzilmente limitte si indic con 5) L (G) che risult di Bnch con l precedente norm, l qule coincide su u con l norm uniforme precedentemente introdott se u é continu sul comptto G. sercizio. Verificre che se x C ([, b]) e l costnte k verificno llor x(t) k per ogni t. x(t) k per q.o. t [, b], In effetti se in qulche s [, b] risultsse x(s) > k, llor dll permnenz del segno si vrebbe x(t) > k per ogni t bbstnz vicino d s. Quindi l insieme dei punti in cui x(t) > k conterrebbe un intervllo di lunghezz positiv, mentre invece si trtt per ipotesi di un insieme di misur. Se G é di misur finit, llor bbimo che se 1 p q L (G) L q (G) L p (G) L 1 (G), inoltre se G é comptto bbimo nche che C (G) L (G). 17

18 In effetti se u é essenzilmente limitt in G llor lo é u p per ogni p e quindi é integrbile, mentre se (in un punto di G) risult u(x) + llor u p diverge tnto piú velocemente qunto piú grnde é p, per cui l condizione che risulti integrbile u p é tnto piú restrittiv qunto piú grnde é l esponente. Un proprietá importnte degli spzi L p é l seguente. Sino p > 1, q = p/(p 1) per cui 1/p + 1/q = 1. In tl cso q é detto l esponente coniugto di p. Allor se f L p (G), h L q (G) risult fh L 1 (G) ed inoltre fh dx ( f p dx) 1/p ( h q dx) 1/q G G G che é dett disuguglinz di Hölder. Notimo il cso prticolre p = q = 2: in tl cso l disuguglinz divent fh L 1 f L 2 h L 2. sercizio. Verificre che se f L (G), h L 1 (G) llor vle ncor l disuguglinz fh L 1 f L h L 1. In effetti si h che f(x) f q.o. per cui risult f(x)h(x) h(x) f L q.o. llor dl criterio di integrbilitá segue che fh L 1 (G), ed integrndo su G l ultim disuguglinz si ottiene l conclusione. Gli ultimi esempi di spzi di Bnch rigurdno gli spzi delle primitive (q.o.) di funzioni di L p. Si trtt di esempi (in un dimensione) di spzi di Sobolev. Dto p 1 indichimo con 6) W 1,p ([, b]) lo spzio delle funzioni ssolutmente continue u l cui derivt u L p ([, b]), normto con b b u = ( u p dx) 1/p + ( u p dx) 1/p ovvero l somm delle norme L p dell funzione e dell su derivt. L convergenz indott dll norm é quell uniforme delle funzioni ed in medi integrle di ordine p delle derivte prime. sercizio. Verificre che se u n W 1,2 ([, b]) e se u n in L 2 ([, b]), u n () llor u n uniformemente in [, b]. 18

19 (Suggerimento: utilizzre l disuguglinz di Hölder per mggiorre b 1 u n(t) dt; il clcolo é nche nell esempio di pg. 22.) sercizio. Verificre che un norm equivlente su W 1,2 ([, b]) si ottiene con b u = u() + ( u 2 dx) 1/2, oppure con b u = mx { u(x) : x b} + ( u 2 dx) 1/2. sercizio. Verificre che se x, y L 2 ([, b]) llor nche x + y L 2 ([, b]). Utilizzimo il criterio di integrbilitá. Certo x + y é misurbile come somm di funzioni misurbili, inoltre per q.o. t [, b] ( x(t) + y(t) ) 2 2[x(t) 2 + y(t) 2 ] dove il termine destr é integrbile come somm di funzioni integrbili, dunque dl criterio di integrbilitá nche il termine sinistr é integrbile, ovvero x + y L 2 ([, b]). 7) W 2,p ([, b]) é lo spzio delle funzioni u con derivt prim ssolutmente continu in [, b], l cui derivt second u L p ([, b]), con l norm u = somm delle norme L p di u, u, u. Si h un norm equivlente su W 2,p ([, b]) utilizzndo b u = u() + u () + ( u (x) p dx) 1/p. L convergenz é quell uniforme delle funzioni e delle derivte prime ssieme quell in medi di ordine p delle derivte seconde. In prticolre, segue che ogni funzione in W 2,p ([, b]) h derivt prim continu in [, b]. Le funzioni reli che sono ssolutmente continue in [, b] con derivt prim essenzilmente limitt in tle intervllo costituiscono nch esse lo spzio di Bnch 8) W 1, ([, b]) con l norm u = u() + norm in L di u. 19

20 Allor se u W 1, ([, b]) si h per qulche costnte k u (x) k q.o. in [, b] ed integrndo tr s e t punti fissti (comunque) in [, b] segue che quindi u é lipschitzin in [, b]. Risult, se 1 p q, u(t) u(s) k t s ; s, t [, b] C 2 ([, b]) C 1 ([, b]) W 1, ([, b]) W 1,q ([, b]) W 1,p ([, b]) C ([, b]). Inoltre si dimostr che ogni funzione lipschitzin é derivbile q.o. (con derivt essenzilmente limitt) per cui W 1, ([, b]) coincide con lo spzio delle funzioni lipschitzine in [, b]. SZION 5. SPAZI DI HILBRT. In R N é ben definito il prodotto sclre di due vettori x = (x 1,, x N ), y = (y 1,, y N ), che vle N x T y = x y = x k y k k=1 e che é collegto ll norm euclide dll formul x 2 = x T x. Possimo estendere questo tipo di struttur, bsto sull esistenz del prodotto sclre, come segue. Si H uno spzio vettorile su R oppure C. Un prodotto sclre su H é un funzione che d ogni coppi ordint x, y H ssoci un numero rele (se H é spzio vettorile su R) oppure un numero complesso (se H é spzio vettorile su C), che indicheremo con < x, y >, tle che lineritá : per ogni u, v H e per ogni, b sclri; simmetri se rele: simmetri coniugt se complesso : < u + bv, x >= < u, x > +b < v, x > < u, v >=< v, u > per ogni u, v H : < u, v >= < v, u > per ogni u, v H; 2