Unità 2 L induzione elettromagnetica

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1 TOMO IV ELETTROMAGNETISMO convenzione: i simboli in grassetto vanno frecciati Modulo 3 I FENOMENI ELETTROMAGNETICI Unità L induzione elettromagnetica.0 La scoperta del fenomeno dell induzione elettromagnetica costituisce un episodio centrale nella storia dell elettromagnetismo. Perché non rappresentò soltanto un passo importantissimo nel progresso delle conoscenze scientifiche, ma fornì anche le basi teoriche per la realizzazione degli alternatori: quelle macchine che nelle centrali producono l elettricità che noi utilizziamo comunemente e che è essenziale per la nostra società. Per rendersi conto dell importanza della ricerca pura, rivolta al progresso delle conoscenze, in relazione ai progressi tecnologici a cui essa conduce, con le conseguenze che ne derivano poi per la società umana, conviene riflettere sul seguente episodio, assai istruttivo, che riguarda proprio la scoperta dell induzione elettromagnetica. William Gladstone, all epoca ministro delle Finanze della Gran Bretagna, fu invitato a una dimostrazione dell apparato di Michael Faraday per generare l elettricità, la più recente meraviglia scientifica. Faraday sistemò l apparato e svolse l esperimento, mentre Gladstone osservava freddamente. Al termine della dimostrazione Gladstone rimase in silenzio per un momento e poi disse a Faraday: "E molto interessante signor Faraday, ma qual è il valore pratico di ciò?" "Un giorno, signore, il governo potrà farne oggetto di una tassa" replicò Faraday..1 Gli esperimenti di Faraday: la scoperta delle correnti indotte Esperimento 1. Spostando un magnete rispetto a una bobina, si produce una corrente elettrica Procuratevi un magnete e un tester, che utilizzerete come amperometro, usando la scala più sensibile. Collegate fra loro i puntali del tester con un cavetto elettrico che avvolgerete su un tubo di cartone, formando una bobina. Introducendo il magnete all interno delle spire l amperometro segnalerà il passaggio di una debole corrente; estraendolo l effetto sarà il medesimo ma il segno della corrente si invertirà. L effetto sarà tanto più vistoso quanto più rapidamente sposterete il magnete. Verificherete poi che non vi è differenza fra spostare il magnete rispetto alle spire o le spire rispetto al magnete. Figura 1. Introducendo il magnete fra le spire, si osserva il passaggio di una debole corrente. (da fare: un magnete a sbarra è inserito in una bobina i cui estremi sono collegati a uno strumento.) Negli anni immediatamente successivi all esperimento di Oersted del 180 ( Unità 1, 3, pag. xxx) molti fisici si posero la domanda: Se una corrente elettrica può generare un campo magnetico, un campo magnetico non dovrebbe generare una corrente?. Alla base di questa idea c è un principio di simmetria che spesso nella scienza si rivela fruttuoso. Ma tutti i tentativi fatti per generare correnti sottoponendo dei circuiti chiusi a campi magnetici più o meno intensi e variamente orientati condussero a un nulla di fatto. A una risposta positiva arrivò Faraday soltanto vari anni dopo, nel 1831, trovando però che la generazione di una corrente in un circuito avveniva non in presenza di un campo magnetico costante, ma di variazioni del campo, come avete osservato voi stessi eseguendo l Esperimento 1. E che le correnti così prodotte non erano costanti nel tempo, cioè correnti continue, ma correnti variabili nel tempo. Nel suo primo esperimento, descritto accuratamente nel suo quaderno di laboratorio alla data del 9 agosto 1831, Faraday utilizzò un anello di ferro dolce su due lati del quale aveva avvolto delle bobine di filo di rame ben isolato ( Figura ). Collegando una bobina a una batteria e chiudendo l altra mediante un conduttore disposto al di sopra di un ago magnetico utilizzato come rivelatore di corrente, egli osservò che quando si chiudeva il primo circuito, in modo che fosse attraversato dalla corrente della batteria, si aveva immediatamente un sensibile effetto sull ago, che 1

2 oscillava e poi tornava alla sua posizione originale. Aprendo poi il circuito, si aveva nuovamente un disturbo dell ago. Faraday precisò poi che la deflessione transitoria dell ago avveniva in versi opposti quando si chiudeva oppure si apriva il circuito che collegava la batteria alla bobina, come mostrato nella figura 3. Nel secondo esperimento, Faraday utilizzò una bobina di filo di rame avvolta su un cilindro di carta, anch essa collegata a un conduttore disposto al di sopra dell ago magnetico rivelatore. Introducendo un magnete all interno della bobina, egli ottenne una breve deflessione dell ago in un verso; estraendolo, una breve deflessione nell altro verso. In entrambi gli esperimenti si manifesta il fenomeno chiamato induzione elettromagnetica, che consiste nella generazione di una corrente, chiamata corrente indotta, che scorre in un circuito dove non è inserita alcuna pila o altro generatore elettrico. In entrambi gli esperimenti, come in tutti gli altri analoghi che si possono immaginare, il circuito nel quale scorre la corrente indotta è immerso in un campo magnetico che varia nel tempo. E la corrente indotta scorre soltanto quando tali variazioni hanno luogo. Figura. L anello di ferro dotato di avvolgimenti, grazie al quale Faraday scoprì l induzione elettromagnetica, è conservato presso la Royal Institution a Londra. L anello ha diametro esterno di 6 pollici e spessore di 7/8 di pollice. Figura 3. Il primo esperimento di Faraday utilizza due bobine avvolte sui due lati di un nucleo di ferro dolce, che è un magnete temporaneo. Quando il circuito che collega la batteria alla bobina A è aperto o chiuso permanentemente, il rivelatore collegato alla bobina B non indica il passaggio di corrente (a). Chiudendo il circuito della bobina A, il rivelatore indica il passaggio di una breve corrente nella bobina B, sebbene non vi sia alcun generatore (b). Aprendo il circuito, il rivelatore indica il passaggio di una corrente in senso opposto a prima (c). Il passaggio della corrente nella bobina A genera un campo magnetico le cui linee, grazie alla sua elevata permeabilità magnetica del ferro, passano in gran parte attraverso la bobina B. La corrente nella bobina B viene dunque indotta dalle variazioni nel tempo del campo magnetico accoppiato alla bobina: la corrente scorre in un senso quando il campo aumenta, nel senso opposto quando diminuisce. (adattare da Delaruelle, vol. 3, pag. 47, a) con l interruttore aperto e l ago in posizione di riposo; b) con l interruttore che si chiude e l ago che si sposta a destra; c) con l interruttore che si apre e l ago che si sposta a sinistra) Figura 4. Il secondo esperimento di Faraday utilizza un magnete e una bobina collegata a un rivelatore di corrente. Quando si inserisce il magnete nella bobina il rivelatore indica il passaggio di una breve corrente (a). Quando si estrae il magnete, il rivelatore indica il passaggio di una corrente in senso opposto a prima (b). Anche qui si ha il passaggio di una corrente in assenza di generatori elettrici, che viene indotta dalle variazioni del campo magnetico accoppiato alla bobina, dovute allo spostamento del magnete. (adattare da Amaldi, La Fisica, vol. 3, pag. 86, a) con il magnete che si muove per entrare nella bobina e l indicatore, nello stesso stile della figura 3, che si sposta a destra, b) con il magnete che si muove uscendo dalla bobina e l indicatore che si sposta a sinistra.). La forza elettromotrice indotta in un conduttore in moto in un campo magnetico Nel 1996 da una navetta spaziale in volo attorno alla Terra fu calato un satellite sospendendolo con un cavo conduttore lungo 19,7 km ( figura 5). Fra gli estremi del cavo di sospensione, in volo attraverso il campo magnetico terrestre, venne misurata una forte differenza di potenziale (3500 volt), evidentemente indotta nel cavo dal suo moto nel campo magnetico. Per comprendere l origine di questa tensione, immaginiamo di spostare a velocità costante v un conduttore rettilineo in un campo magnetico uniforme B; sicché gli elettroni di conduzione del metallo, trovandosi in moto in un campo magnetico, saranno soggetti alla forza di Lorentz ( Unità 1, pag. xxx). Per semplificare il problema, scegliamo la geometria in modo che questa forza sia diretta lungo il conduttore: cioè il conduttore si muova in direzione perpendicolare a se stesso e alle linee del campo, come in figura 6 a). Se il verso di B è quello entrante nel foglio, la forza di Lorentz F L esercitata sugli elettroni, con intensità (1) F L = e v B

3 tenderà a spostarli verso l estremità P del conduttore, che quindi si caricherà negativamente, mentre l altro estremità P si caricherà positivamente ( figura 6 b). Questo squilibrio di cariche produce un campo elettrico lungo il conduttore, il cui effetto sugli elettroni contrasta l azione della forza di Lorentz. Più precisamente, si raggiunge una situazione di equilibrio, per cui il campo elettrico è tale che la forza elettrica F E agente sugli elettroni sia uguale e opposta alla forza di Lorentz, cioè abbia intensità: () F E = ee = e v B Da questa uguaglianza si ricava l intensità del campo elettrico lungo il conduttore, E = vb, e quindi la differenza di potenziale fra i suoi estremi: (3) V = vbl dove L rappresenta la lunghezza del conduttore. Questa tensione la chiamiamo forza elettromotrice indotta nel conduttore dal suo moto nel campo magnetico. E la corrente indotta? Non ne scorre alcuna per il semplice motivo che il conduttore non costituisce un circuito chiuso. Figura 5. Durante il volo del satellite al guinzaglio (Tethered Satellite System) avvenuto nel febbraio del 1996, fra la navetta spaziale e il satellite sospeso con un cavo si stabilì una differenza di potenziale di 3500 volt. Il cavo di sospensione, lungo 19,7 km, viaggiava attraverso il campo geomagnetico alla velocità di 8 km/s. (Adattare da Hecht, vol. II, pag. 79, immagini in rete per tethered satellite ) Figura 6. (a) Quando il conduttore si sposta perpendicolarmente al campo magnetico, la forza di Lorentz F L agisce sugli elettroni del metallo creando un eccesso di carica negativa a un estremo, un eccesso di carica positiva all altro; (b) Questo squilibrio di cariche crea un campo elettrico lungo il conduttore e una differenza di potenziale fra i suoi estremi. (adattare da Amaldi, La Fisica, vol. 3, pag. 41, fig. 11.8, sostituendo le scritte F lorentz con F L, a) sostituendo i pallini neri con segni, capovolgendo la freccia rossa verticale e la posizione del cerchietto nero indicato con il segno - ; b) capovolgendo tutto).3 La forza elettromotrice indotta in un conduttore in un circuito chiuso Torniamo al conduttore mobile nel campo magnetico uniforme B considerato nel paragrafo precedente. Possiamo chiudere il circuito con un conduttore fisso a forma di U, in contatto elettrico con esso, come mostrato in figura 8. Qui, come nella figura 6, il campo magnetico è perpendicolare al foglio, con verso entrante in esso, e la velocità v del conduttore è perpendicolare al campo. Ora la forza elettromotrice indotta V può far circolare una corrente indotta, la cui intensità è data dal rapporto fra tale tensione e la resistenza totale del circuito. La tensione indotta, invece che con la (3), può essere espressa con una formula di applicabilità più generale. Per ricavarla, cominciamo col ricordare che il flusso magnetico di un campo uniforme B attraverso una superficie piana S ad esso perpendicolare è: S B = S B Una utile convenzione. Un campo magnetico perpendicolare al foglio, come qualsiasi altro vettore, si rappresenta di solito con i simboli qui sotto, che indicano rispettivamente la coda (entrante nel foglio) e la punta (uscente dal foglio) della freccia che lo schematizza. Si chiama flusso magnetico concatenato con un circuito il flusso attraverso una superficie piana che ha per contorno il circuito. Nel nostro caso, l area racchiusa dal circuito formato dal conduttore 3

4 rettilineo in moto e da quello fisso a U varia nel tempo. Più precisamente, la variazione S dell area in un intervallo di tempo t è: S = L v t essendo L v l'area spazzata nell'unità di tempo dal conduttore rettilineo in moto con velocità v. Alla variazione di area S corrisponde la variazione del flusso magnetico concatenato con il circuito: da cui C = B S = B L v t (4) C / t = B L v Confrontando la (4) con la (3), segue: (5) V = C / t Fu Faraday a scoprire il fenomeno dell induzione elettromagnetica, ma fu il fisico tedesco Franz Ernst Neumann ( ) a esprimere in forma matematica la legge che governa tale fenomeno. Il risultato espresso da questa formula è di portata generale. Vale infatti la seguente legge di Faraday-Neumann. la forza elettromotrice indotta in un circuito è è data dal rapporto fra la variazione del flusso magnetico concatenato con il circuito e l intervallo di tempo in cui tale variazione ha luogo. In altre parole, la f.e.m. indotta, è uguale alla velocità di variazione del flusso magnetico concatenato col circuito. La (5) non fornisce il segno della f.e.m. indotta, cioè non ci dice in quale verso scorre la corrente. Esso è stabilito dalla legge di Lenz: la tensione indotta in un circuito genera una corrente indotta il cui effetto si oppone alla variazione di flusso che l ha prodotta. Per comprendere il significato di questa legge, notiamo innanzitutto che una corrente indotta, come qualsiasi corrente, genera un campo magnetico, e che questo si sovrappone al campo inducente. Ebbene, secondo la legge di Lenz, il flusso magnetico prodotto dalla corrente indotta tende a compensare la variazione del flusso concatenato col circuito che aveva dato origine al fenomeno. Così, se il flusso era aumentato (come nel caso considerato sopra), essa tenderà a diminuirlo; se era diminuito, ad aumentarlo. Possiamo combinare la legge di Faraday-Neumann con la legge di Lenz, riscrivendo la (5) nella forma: (6) V = - C / t dove il segno meno indica appunto che la tensione indotta genera una corrente che produce una variazione del flusso magnetico concatenato col circuito opposta a quella che si era verificata nell ambiente. Il valore istantaneo della tensione indotta si ottiene poi calcolando il limite del rapporto anzidetto quando la durata dell intervallo t tende a zero, cioè la derivata temporale del flusso concatenato: (7) V t d C dt t Esempio 1. Calcoliamo il flusso magnetico concatenato con una bobina. Vogliamo calcolare il flusso magnetico concatenato con una bobina, costituita da N = 10 spire di raggio r = 3 cm, che si trova in un campo magnetico uniforme di intensità B = 0,05 T, sapendo che la normale alla bobina forma un angolo = 30 rispetto alla direzione del campo. 4

5 Qui il campo magnetico non è ortogonale alle spire della bobina, sicchè il flusso magnetico attraverso una di esse sarà: i = SBcos, dove = 30 è l angolo che la normale alla spira forma con B. Il flusso magnetico totale attraverso la bobina sarà allora: 3 = = N SBcos N r Bcos 10 3,14 (0,03) 0,05 0,866 1, 10 Wb i i Esempio. Calcoliamo la variazione del flusso magnetico concatenato con una spira che ruota in un campo magnetico. Una spira di raggio r = 10 cm ruota attorno a un asse perpendicolare a un campo magnetico uniforme B di intensità 0,01 T. Vogliamo calcolare la variazione del flusso magnetico concatenato quando la spira ruota di 180. Supponimo che la spira parta dalla posizione di fig. 7 0), in cui la sua normale n (freccia blu) è parallela a B (freccia rossa), sicchè l angolo fra i due vettori è nullo. Il flusso magnetico che essa concatena è r B cos = 3,14 0,1 0,01 1 = 3, Wb. Quando ha effettuato un quarto di giro, la spira è nella posizione /, nella quale = 90, sicchè il flusso concatenato è nullo. Nella posizione finale (fig. 7 ), la spira è di nuovo perpendicolare a B, ma questa volta = 180, sicchè f = 3,14 0,1 0,01 (-1) = -3, Wb. Notate che qui è necessario dare un segno (positivo o negativo) al flusso concatenato a seconda che l angolo sia acuto (cos > 0) o ottuso (cos < 0). La variazione del flusso magnetico quando la spira ruota di 180 è dunque: = f - 0 = 3, (-3, ) = 6, Wb. Figura 7. La spira, vista in sezione, ruota in presenza di un campo magnetico uniforme B (frecce rosse) attorno a un asse perpendicolare alla direzione del campo. Il flusso concatenato con la spira dipende dall angolo fra B e la normale n alla spira. Esempio 3. Ricaviamo la tensione indotta in una spira che ruota in un campo magnetico. Vogliamo ricavare una espressione per la f.e.m. istantanea indotta nella spira dell Esempio precedente, quando essa ruota con velocità angolare costante. In tal caso, all istante di tempo generico t l angolo fra la normale alla spira e il campo magnetico B è: = t. E quindi il flusso magnetico concatenato con la spira è: C (t) r B cos t. dcos t Applicando la formula (7) ricaviamo pertanto: V t r r sin t. dt Quesito. Quale sarebbe la f.e.m. indotta nella spira, se questa ruotasse intorno a un asse parallelo a B? Esempio 4. Calcoliamo la tensione e la corrente indotta in una spira da un campo magnetico uniforme variabile nel tempo. Vogliamo calcolare la tensione e la corrente indotta in una spira rettangolare di lato L = 10 cm e resistenza R = 0,5 ohm in presenza di un campo magnetico diretto perpendicolarmente al piano in cui giace la spira, a) quando l intensità del campo magnetico varia di B = 0,001 T nell intervallo di tempo t = 0,1 ms; b) quando l intensità del campo segue la legge temporale rappresentata nel grafico, con valore massimo positivo B + = 0,01 T e valore massimo negativo B - = 0,005 T, in tal caso tracciando il grafico corrispondente dell intensità della corrente indotta (attenzione: qui attribuiamo un segno a B per indicarne il verso). B [T] 0,01 0, t [ms] -0,005 5

6 Per calcolare la tensione indotta utilizziamo l espressione (8) della legge di Faraday- Neumann; per calcolare la corrente indotta utilizziamo la prima legge di Ohm ( pag. xxx). Dato che il campo magnetico è perpendicolare alla spira, con area S = 0,1 = 0,01 m, il flusso concatenato con essa è dato semplicemente dal prodotto C = BS = 0,01 B Wb. a) Essendo B = 0,001 T, e corrispondentemente C B =10-5 Wb, e t = 0,1 ms, si ha V = - C / t = /10-4 = -0,1 volt. Si ha di conseguenza i = V/R = -0,1/0,5 = -0, A. Il segno meno significa che la corrente scorre nella spira in senso tale da produrre un campo opposto a quello inducente. Notiamo poi che la tensione indotta V e la corrente indotta i si manifestano soltanto durante l intervallo di tempo t. b) Per calcolare la tensione indotta dalle variazioni del campo magnetico rappresentate nel grafico suddividiamo l intervallo di tempo considerato in tanti intervallini di durata t = 1 ms, durante ciascuno dei quali il campo è costante oppure varia linearmente nel tempo. Applichiamo poi la legge (6) per ciascun intervallino. Si nota che gli unici intervallini durante i quali il campo varia sono t, per il quale si ha B = 0,01 T, e t 4, per il quale si ha B 4 = -0,005 0,01 = -0,015 T. In tutti gli altri il campo è costante sicchè la tensione indotta e la corrente indotta sono entrambe nulle. Durante l intervallino t sia ha C B = 0,01 0,01 = 10-4 Wb, e quindi V = - C / t = /10-3 = -0,1 volt, i = V /R = -0,1/0,5 = -0, A. Durante l intervallino t 4 sia ha C4 B 4 = - 0,01 0,015 = -1, Wb, e quindi V 4 = - C4 / t 4 = 1, /10-3 = 0,15 volt, i 4 = V 4 /R = 0,15/0,5 = 0,3 A. La figura riporta il grafico dell andamento temporale della tensione indotta ottenuto utilizzando i dati precedenti, ammettendo che la tensione sia costante durante ciascun intervallino. Il grafico della corrente è ovviamente il medesimo, a parte il cambiamento della scala verticale e della corrispondente unità di misura. Discutete ora voi stessi il significato del segno (+ o -) delle tensione e della corrente indotta. V [volt] 0, 0, t [ms] -0,1 Approfondimento 1. La legge di Lenz e la conservazione dell energia. Il fisico Heinrich Friedrich Emil Lenz ( ), originario dei Paesi Baltici, stabilì la legge che porta il suo nome nel 1835, sulla base dei risultati da lui stesso ottenuti eseguendo esperimenti sul fenomeno dell induzione elettromagnetica. Ma questa legge si può dimostrare utilizzando il principio di conservazione dell energia. Facciamone una dimostrazione per assurdo (in latino, reductio ad absurdum). Allo scopo consideriamo un magnete a sbarra il cui polo nord viene avvicinato a una spira chiusa, come mostrato nella figura A. La corrispondente variazione del flusso attraverso la spira, induce in essa una corrente che, secondo la legge di Lenz, deve circolare nel senso indicato in figura dalle frecce rosse in modo da generare un campo che si opponga a quello inducente. Supponiamo ora, per assurdo, che la corrente circoli nel senso opposto. In tal caso il campo magnetico generato dalla spira sarà diretto in verso opposto al magnete, cioè il polo sud della spira sarà rivolto verso il polo sud del magnete creando così una forza attrattiva che risucchia il magnete, accelerandolo nel suo moto verso la spira; ciò accrescerà ulteriormente l intensità della corrente indotta, la quale a sua volta. E tutto ciò gratis, violando dunque il principio di conservazione dell energia! Concludiamo che la corrente deve circolare nella spira nel senso dettato dalla legge di Lenz. Figura A. Avvicinando il magnete alla spira, in essa viene indotta una corrente che circola nel senso delle frecce rosse, generando un campo che si oppone a quello del magnete (legge di Lenz) ed esercitando una forza repulsiva fra la spira e 6

7 il magnete. Se la corrente indotta circolasse nel senso opposto, il campo da essa generato andrebbe a incrementare quello del magnete col risultato di esercitare una forza attrattiva fra la spira e il magnete accelerandone quindi il moto. Ma a spese di quale energia? (Adattare dallo schizzo, con una mano che da destra spinge il magnete verso la spira.) Figura 8. Quando il conduttore rettilineo si muove sul conduttore a forma di U, in presenza di un campo magnetico (uscente dal foglio), la tensione indotta provoca il passaggio di una corrente elettrica nel circuito. (Adattare da Amaldi, La Fisica, vol. 3, pag. 41, fig. 11.8, modificata nello stesso stile della fig.6, sostituendo la sbarretta con un filo cilindrico di piccola sezione e indicandone con L la lunghezza fra i punti di contatto con il conduttore nero sottostante, invertendo tutte le frecce associate alle scritte i, scambiando fra loro i segni + e sulla sbarretta, disegnando in basso una freccia orizzontale con le scritte come a fianco).4 L origine dell energia delle correnti indotte x Qual è l origine dell energia che genera le correnti indotte? La risposta possiamo ottenerla considerando il caso di un conduttore in moto attraverso un campo magnetico B, trattato nei paragrafi precedenti. Se il conduttore non è inserito in circuito chiuso, il problema non si pone, dato che nel filo in moto si sviluppa una tensione indotta, ma non scorre corrente. Quando invece il conduttore fa parte di un circuito chiuso, come in figura 8, e allora vi scorre una corrente indotta i, per individuare l origine dell energia della corrente conviene considerare la forza magnetica agente sul conduttore ( Unità 6, pag. xxx). Questa forza, per un conduttore rettilineo di lunghezza l, ha intensità (8) F = Bil e ha la stessa direzione della velocità v del conduttore, ma verso opposto ad essa. Si tratta infatti di una forza frenante, che si oppone alla forza esterna che va esercitata sul conduttore per spostarlo. Per ricavare l energia fornita al sistema dalla forza esterna, calcoliamo il lavoro (positivo) che essa compie in un intervallo di tempo t, durante il quale il conduttore mobile si sposta di x = v t: (9) L = F x = B i l v t Per il principio di conservazione dell energia, trascurando gli eventuali attriti, la corrispondente potenza meccanica P M = L/ t = B i l v deve essere uguale alla potenza elettrica P E = Vi assorbita dal circuito. Si ha pertanto: (10) P E = Vi = B i l v La forza magnetica agisce in generale su tutti i conduttori percorsi da corrente. Ma si hanno interazioni energetiche soltanto quando questa forza compie lavoro, cioè quando si sposta il conduttore su cui essa si esercita. da cui V = Blv, che coincide con la (3), che esprime la legge di Faraday-Neumann. In generale, tutte le volte che scorrono correnti indotte, l energia necessaria è fornita da una sorgente esterna: una forza esterna che vince la forza magnetica compiendo lavoro, come nel caso ora considerato, oppure un circuito esterno che genera il campo magnetico variabile inducente ( 9)..5 Le correnti di Foucault. Che succede se un blocco di metallo si trova in un campo magnetico variabile? Il fenomeno dell induzione elettromagnetica evidentemente non distingue fra conduttori filiformi, come quelli considerati nel paragrafo precedente, e conduttori massicci. Sicché all interno di questi ultimi si sviluppano tensioni indotte e scorrono correnti indotte, che possono essere particolarmente intense data la bassa resistenza che esse incontrano. Queste correnti prendono il nome di correnti di Foucault o anche di correnti parassite, perché spesso producono effetti indesiderati. Le correnti di Foucault, costituite dagli elettroni liberi del metallo, scorrono in percorsi 7

8 chiusi all interno del conduttore, tutte nello stesso verso. Se il campo magnetico inducente è intenso e varia abbastanza rapidamente, esse possono produrre, per effetto Joule, un forte riscaldamento del metallo, a cui si accompagna naturalmente una dissipazione di energia. Per questo nelle macchine elettriche di potenza, il cui funzionamento richiede intensi campi magnetici variabili, non si usa mai ferro massiccio, impiegando invece strati sottili di metallo, isolati uno dall altro. Il calore sviluppato dalle correnti di Foucault trova però anche applicazioni utili, per esempio nei forni a induzione, largamente usati nell industria. Le correnti di Foucault possono anche produrre effetti meccanici, come nell esperimento illustrato nella figura 9. Qui l energia che le correnti indotte dissipano nel metallo in moto nel campo magnetico viene sottratta all energia meccanica posseduta dal pendolo costituito dalla lastrina metallica oscillante. Il frenamento che subisce un corpo metallico che si muove in un campo magnetico trova impiego pratico nei freni elettrodinamici impiegati in vari tipi di veicoli, in particolare negli automezzi pesanti; un vantaggio di questa tecnica è che la forza di frenamento è proporzionale alla velocità, a differenza dei freni usuali basati sull attrito meccanico. Ma i freni di questo tipo, secondo voi, possono bloccare un veicolo in una posizione fissa, come fanno i freni normali? Figura 9. Esperimento. Sospendete a un sostegno una lastrina di rame o di alluminio di qualche mm di spessore, in modo che possa oscillare parallelamente a se stessa. Noterete che quando la lastrina oscilla fra i poli di un potente magnete (dove non subisce attrazione o repulsione apprezzabile dato che si tratta di materiali non ferromagnetici) il moto di oscillazione viene smorzato assai più rapidamente che in assenza di campo magnetico. (da fare: una lastrina che pendola fra i poli di un potente magnete). Figura 10. Il principio del freno elettrodinamico trova numerosi impieghi pratici, per esempio negli apparecchi per l esercizio fisico..6 La mutua induzione fra due circuiti Il fenomeno dell induzione elettromagnetica si manifesta spesso come nel primo esperimento di Faraday ( 1), cioè quando le variazioni della corrente i 1 che scorre in un circuito 1 generano una tensione indotta V in un altro circuito, accoppiato magneticamente al primo. Ciò che conta, come sappiamo, sono le variazioni del flusso magnetico C (generato dalla corrente inducente i 1 ) concatenato al secondo circuito. Per cui secondo la legge (6) si ha: V = - C / t. Il flusso magnetico concatenato C è direttamente proporzionale all intensità del campo magnetico generato dalla corrente inducente, che a sua volta è direttamente proporzionale all intensità i 1 di questa corrente. Sicché possiamo scrivere in generale: (11) C = M i 1 dove il coefficiente di proporzionalità M prende il nome di coefficiente di mutua induzione o mutua induttanza fra i due circuiti 1 e. E quindi la tensione indotta nel secondo circuito si esprime nella forma: Quesito. Qual è il significato fisico (1) V = - M i 1 / t del segno meno che figura nella (1)? Il significato fisico della mutua induttanza è chiaro: essa rappresenta l accoppiamento magnetico fra i due circuiti. Tale grandezza nel sistema SI si misura in unità di henry (H); dalla (1) concludiamo che 1 henry = 1 volt 1 secondo / 1 ampere cioè la mutua induttanza fra due circuiti è di 1 henry quando una variazione dell intensità di corrente di 1 ampere in 1 secondo in un circuito induce nell altro una tensione di 1 volt. 8

9 Ma perché nella definizione precedente abbiamo trascurato di distinguere il primo circuito (quello inducente) dal secondo (quello dove si genera la tensione indotta)? Il motivo sta nel fatto che l induzione elettromagnetica fra due circuiti gode della proprietà chiamata reciprocità ( figura 11), per cui il flusso concatenato con il circuito dovuto alla corrente nel circuito 1 è esattamente uguale al flusso concatenato con il circuito 1 dovuto alla stessa corrente che scorra nel circuito. Figura 11. La proprietà di reciprocità nell accoppiamento magnetico fra due circuiti non è certamente ovvia a prima vista. Ma riflettendo bene. Se si tratta di due spire identiche disposte come in a), non ci sono dubbi. Cosa cambia se ne spostiamo una rispetto all altra (b)? E se un circuito è costituito da una spira e l altro da N spire (c)? Provate a ragionare: è vero che la corrente nella bobina genera nella spira un campo N volte più intenso di quello che la stessa corrente nella spira genera nella bobina, ma il flusso concatenato nei due casi è lo stesso perché.. (a) due spire uguali disposte una sopra all altra; b) due spire uguali disposte a piacere; c) una spira e una bobina di più spire disposte a piacere).7 L induttanza Esperimento. Chiudendo un circuito di elevata induttanza la corrente aumenta gradualmente. Procuratevi una pila, una bobina avvolta su un nucleo metallico (per esempio un avvolgimento di un trasformatore) e un tester digitale. Disponete il tester come amperometro in serie alla bobina (Figura 1 a). Collegando il circuito alla pila, troverete che la corrente non si porta immediatamente al valore stabilito dalla legge di Ohm, ma lo raggiunge dopo una fase di crescita graduale. Perché l intensità della corrente che attraversa la bobina non assume subito il valore determinato dalla prima legge di Ohm (i = V/R), ma lo raggiunge solo gradualmente, con un certo ritardo (figura 1 b)? E come se nel circuito vi fosse, oltre alla pila, un generatore di tensione di segno opposto, con valore via via decrescente fino ad annullarsi. In effetti questa tensione c è davvero: è la tensione autoindotta nel circuito dalle variazioni del flusso, concatenato con esso, del campo magnetico prodotto dalla corrente che lo attraversa. In altre parole, diciamo che il fenomeno osservato è semplicemente una manifestazione dell induzione elettromagnetica, solo che in questo caso la variazione del flusso non è prodotta da un campo esterno ma dal campo associato alla corrente che scorre nel circuito stesso. Notiamo che questo fenomeno è del tutto generale: esso si manifesta in qualsiasi circuito nel quale, per qualsiasi motivo, si abbia una variazione della corrente. Procedendo come nel caso nella mutua induzione, chiamiamo C il flusso magnetico concatenato con un circuito, generato dalla corrente i che vi scorre. Vale quindi la relazione di proporzionalità: (13) C = L i dove il coefficiente di proporzionalità L prende il nome di coefficiente di autoinduzione o Perché diciamo che qualsiasi circuito possiede induttanza, e quindi in esso si manifesta il fenomeno dell autoinduzione? Semplicemente perché qualsiasi circuito, quando è percorso da una corrente, genera attorno a sé un campo magnetico e quindi anche un flusso magnetico concatenato con se stesso. induttanza del circuito. Tale grandezza descrive l entità del fenomeno dell autoinduzione nel circuito e naturalmente si misura anch essa in henry. Sebbene il fenomeno si manifesti in qualsiasi circuito, valori elevati di induttanza sono caratteristici, come vedremo subito, di bobine a molte spire, meglio ancora se avvolte su nuclei ferromagnetici. In tal caso l induttanza del dispositivo, che si rappresenta con il simbolo grafico, ha in un circuito un ruolo importante, analogo a quello della resistenza di un resistore o della capacità di un condensatore. Un dispositivo dotato di induttanza prende il nome di induttore. Il calcolo dell induttanza è particolarmente semplice nel caso di un solenoide. Sappiamo infatti ( Unità 1, pag. xxx) che all interno della bobina il campo magnetico, approssimativamente uniforme, è diretto secondo il suo asse ed ha intensità: 9

10 (14) B 0 N i/l dove l è la lunghezza del solenoide e N il numero delle spire percorse dalla corrente i. E quindi il flusso concatenato con una spira è BS, dove S è la sezione delle spire. Ma dato che di spire ve ne sono N il flusso concatenato sarà N volte maggiore, C = NBS. Ricavando l induttanza come L = C /i dalla formula (13), si ottiene infine: (15) L 0 N S/l Ma l induttanza di un solenoide può essere accresciuta grandemente, a parità di geometria, avvolgendolo su un nucleo di materiale ferromagnetico di permeabilità relativa r. In tal caso infatti il campo magnetico, a parità di corrente, risulta r volte maggiore, e con esso l induttanza. Esempio 5. Calcoliamo l induttanza di una bobina con nucleo ferromagnetico. Una bobina lunga 5 cm, costituita da N = 300 spire con sezione S = 0,5 cm, è usata come antenna di un ricevitore radio ( figura A). In presenza di un campo elettromagnetico variabile, la componente magnetica del campo induce una corrispondente tensione ai capi della bobina, che viene poi elaborata dai circuiti del ricevitore. Vogliamo calcolare l induttanza della bobina quando essa è avvolta su un nucleo di materiale ferromagnetico con permeabilità relativa r = 00. Calcoliamo l induttanza della bobina utilizzando la formula (15), modificata introducendovi il fattore r per tener conto del materiale su cui essa è avvolta: 4 NS ,5 10 L 0 r 4 3, ,13 10 H. E notiamo che la stessa bobina, l 0,05 senza nucleo magnetico, avrebbe un induttanza r volte minore, cioè 1, /400 = 1, H. Entrambi i valori, tuttavia sono approssimati per eccesso, perché la formula che abbiamo utilizzata è stata ricavata per un solenoide di lunghezza infinita e sappiamo che in un solenoide di lunghezza finita l intensità del campo decresce leggermente dal centro verso gli estremi. Figura A. La fotografia rappresenta l antenna di una radio portatile, costituita da una bobina avvolta su un nucleo ferromagnetico fatto di ferrite. Questo materiale, costituito da polveri pressate di ossidi di nichel e di altri elementi, si comporta come un isolante anziché come un conduttore. Qual è, secondo voi, il motivo di questa scelta? (fotografia come in Hecht, vol. II, pag. 739) In generale, quando conosciamo l induttanza L di un induttore inserito in un circuito, la tensione autoindotta, che si manifesta ai capi dell elemento, è: (16) V = -L i/ t. dove i è la variazione che la corrente che scorre nel circuito subisce nel tempo t. Questa formula indica che l effetto di autoinduzione si manifesta, come già detto, soltanto in L induttanza, in un circuito elettrico, produce un effetto inerziale, che si oppone alle variazioni della corrente, del tutto analogo a quello esercitato dalla massa di un corpo soggetto a una forza di intensità variabile nel tempo. presenza di variazioni della corrente nel circuito, ed è tanto più vistoso quanto più tali variazioni sono forti e rapide. Il segno meno indica poi che la tensione indotta tende a opporsi a tali variazioni, col risultato che la corrente nel circuito varia più lentamente che in assenza di induttanza. Nell Esperimento, per esempio, il collegamento alla pila, in assenza di induttanza, avrebbe prodotto una brusca salita della corrente da 0 a V/R. Esperimento 3. Aprendo un circuito si può generare una tensione di valore elevato. Procuratevi una pila da 9 volt, una bobina avvolta su un nucleo metallico (per esempio un avvolgimento di un trasformatore) e una lampadinetta al neon ( pag. xxx). Collegate questi elementi come indicato nella figura 13. Chiudendo l interruttore, la corrente scorrerà attraverso la 10

11 bobina, dato che la scarica nel gas della lampadinetta richiede ai suoi estremi una tensione di un centinaio di volt, assai maggiore di quella della pila (e quindi finchè la scarica non s innesca il dispositivo si comporta come un circuito aperto). Aprendo l interruttore, osserverete che la lampadina emette un breve lampo di luce. Ripetete l esperimento sostituendo la lampadina con un voltmetro disposto in parallelo alla bobina. Aprendo il circuito, osserverete che il voltmetro indicherà, seppur brevemente, una tensione molto maggiore di quella della pila. L espressione (14) mostra che la tensione autoindotta può assumere valori anche assai elevati, che dipendono dall induttanza del circuito e dalla rapidità con cui la corrente varia nel tempo. Questi fenomeni si verificano, per esempio, quando si apre un interruttore in un circuito in cui scorre corrente, come avete osservato voi stessi nell Esperimento precedente: la brusca variazione della corrente, dovuta all apertura del circuito, ha generato infatti una tensione indotta di entità tale da provocare l accensione della lampadina al neon. E del resto accade spesso che fra i contatti di un interruttore che interrompe il passaggio di una corrente scocchi una scintilla, che manifesta il passaggio di una corrente, molto intensa ma di breve durata, che viene chiamata extracorrente di apertura. Approfondimento. Ricaviamo la legge che descrive l andamento temporale della corrente in un circuito induttivo. Vogliamo trovare la legge matematica che rappresenta l andamento in funzione del tempo della corrente che scorre nella bobina del circuito di figura 1 a partire dal momento in cui si chiude l interruttore. Rappresentiamo la bobina, come nella figura 14, con la sua resistenza R e la sua induttanza L, disposte in serie. Esaminando il grafico nella parte b) della figura 1, possiamo subito stabilire che il valore iniziale dell intensità è zero, il valore finale V/R. L andamento complessivo è assai simile a quello già osservato per la tensione di un condensatore, quando viene caricato attraverso una resistenza ( pag. xxx). Se così fosse davvero, allora potremmo scrivere per analogia la legge: (A) i(t) = (V/R)(1 - e -t/ ) in cui figura la funzione esponenziale (ricordiamo che la costante vale e =, ). Osserviamo subito che questa legge, qualunque sia il valore della costante incognita, la cosidetta costante di tempo del circuito, rispetta certamente le condizioni dette prima, e cioè: i(0) = 0, dato che e -0 = 1; i( ) = V/R, dato che il limite di e -x per x che tende all infinito è zero. Prima di accettare questa ipotesi, però, vogliamo verificarla sulla base di considerazioni teoriche. Per far questo applichiamo la regola secondo cui deve essere uguale, a ogni istante, la somma delle tensioni ai capi degli elementi di circuito collegati in serie (II Principio di Kirchhoff, Approfondimento 3 a pag. xxx). Nel nostro caso si ha: (B) V + V R (t) + V L (t) = 0 dove V R (t) = -Ri(t) è la caduta di tensione sulla resistenza R e V L (t) la caduta di tensione sull induttanza L, cioè la tensione autoindotta nel circuito. Il valore istantaneo di V L (t) si ricava dalla (16) facendo tendere a zero la durata dell intervallo di tempo t; si ha: V L (t) = - L di/dt. Sostituendo nella formula (B) le espressioni di V R (t) e V L (t), otteniamo: (C) V R i(t) L di/dt = 0 Questa è una equazione differenziale, così chiamata perchè in essa figurano sia le grandezze variabili, nel nostro caso la corrente i(t), sia le loro derivate, nel nostro caso la derivata prima di/dt. 11

12 Non avete ancora appreso come risolvere questo tipo di equazioni. Possiamo però verificare se la legge (A), che abbiamo ipotizzato prima, sia effettivamente una soluzione dell equazione differenziale del circuito, e, nel caso affermativo, ricavare una espressione per la costante. Sostituiamo allora nella (C) l espressione (A) della corrente e quella della sua derivata prima kt de kt rispetto al tempo, ottenuta dalla (A) ricordando la regola di derivazione ke : dt (D) di V e dt R Così procedendo, otteniamo l equazione t / (E) V - V(1 - e -t/ ) - (VL/R ) e -t/ Questa è verificata quando la costante di tempo assume il valore = L/R e allora il primo membro si annulla. Concludiamo che la legge (A) con = L/R è una soluzione (che si può dimostrare unica) dell equazione del circuito. Ricaviamo infine l andamento nel tempo della tensione autoindotta V = L di/dt. Sostituendovi l espressione (D) della derivata della corrente si ottiene: (F) V L (t) = di/dt = -V e -t/ Cioè la tensione autoindotta è inizialmente uguale e opposta alla tensione della pila, e infatti al tempo t = 0 la corrente è nulla, e poi decade verso zero con legge esponenziale, ciò che corrispondente al progressivo, sempre più lento, aumento della corrente verso il valore finale V/R. Figura 1. (a) Una pila di tensione V è collegata alla bobina di resistenza R attraverso un interruttore. (b) Quando si chiude l interruttore, la corrente cresce gradualmente fino a raggiungere il valore costante V/R. Questa crescita graduale, anziché brusca, è dovuta alla tensione autoindotta nel circuito dalle variazioni del flusso magnetico. Figura 13. Aprendo l interruttore, la lampadina al neon si accende per un attimo. Il fenomeno è dovuto all elevata tensione indotta che si produce nella bobina. Figura 14. Rappresentiamo la bobina del circuito di figura 1 con una resistenza R e una induttanza L disposte in serie..8 Le applicazioni dell induzione elettromagnetica Gli impieghi del fenomeno dell induzione elettromagnetica sono numerosi e importanti, nella scienza come nella tecnica. I primi impieghi riguardarono soprattutto la generazione di tensioni di valore elevato, ottenute interrompendo bruscamente il passaggio della corrente in un circuito con elevato valore di induttanza. Questa tecnica, per esempio, venne impiegata negli esperimenti che condussero alla scoperta dell elettrone e dei raggi X, nei primi esperimenti di Hertz sulle onde elettromagnetiche e in quelli successivi di Marconi; ma trova molti impieghi anche oggi, per esempio nel sistema di accensione dei motori a scoppio delle automobili ( La Fisica della tecnologia 1.). L induzione elettromagnetica fra due avvolgimenti avvolti su un nucleo metallico è alla base del funzionamento dei trasformatori elettrici ( Unità 3, pag. xxx), dispositivi di larghissimo impiego. Sulle correnti indotte in una bobina da un campo magnetico variabile, o in una bobina ruotante in un campo costante, si basa invece il funzionamento di vari tipi di generatori elettrici ( 1

13 Unità 3, pag. xxx), fra cui gli alternatori che nelle centrali elettriche producono le correnti alternate che usiamo abitualmente. Ma gli impieghi del fenomeno dell induzione elettromagnetica sono veramente innumerevoli: nelle schede che seguono ne considereremo alcuni. La Fisica della tecnologia 1. Il sistema di accensione dei motori a scoppio. La figura A rappresenta lo schema del sistema di accensione di un motore a scoppio, detto anche spinterogeno (che significa generatore di scintille ). Esso genera un alta tensione e la applica in sequenza alle candele in modo da produrre l accensione della miscela nei cilindri del motore. Il cuore dell apparecchio sono due bobine accoppiate magneticamente. La prima è alimentata dalla batteria dell auto tramite un interruttore, detto ruttore, che è azionato dal motore e apre e chiude periodicamente il circuito. La seconda bobina, dotata di un maggior numero di spire rispetto alla prima, genera impulsi di alta tensione in corrispondenza delle brusche variazioni della corrente nel primo circuito. Questi impulsi arrivano alle candele, in sequenza, tramite il distributore, costituito da uno speciale interruttore a più posizioni, azionato dalla rotazione del motore. La tensione degli impulsi (attorno a 10 kv) è tale da provocare una scintilla elettrica fra gli elettrodi delle candele, e quindi l accensione della miscela aria-benzina contenuta nei cilindri. Figura A. L alta tensione necessaria per l accensione delle candele viene prodotta da una bobina accoppiata magneticamente a un altra, nella quale s interrompe periodicamente il passaggio della corrente prelevata dalla batteria. Il distributore provvede poi ad applicare in sequenza l alta tensione alle candele del motore. (adattare da Il mondo della fisica vol.b, pag. 434, eliminando il condensatore; disegnando la bobina con due avvolgimenti separati: uno di poche spire collegato al circuito a sinistra e uno con più spire collegato al circuito a destra; provando a rendere comprensibili il funzionamento del ruttore e del distributore, aggiungendo le seguenti scritte: batteria, ruttore, bobina, distributore, candele) La Fisica della tecnologia. La registrazione e la riproduzione magnetica dei suoni. I registratori a nastro magnetico servono a registrare i suoni su un supporto di materiale ferromagnetico e poi a riprodurli. Il cuore di questi apparecchi è la testina magnetica, sotto la quale scorre il nastro magnetico, che è fatto di plastica sulla quale è depositato un sottile strato di ossidi ferromagnetici (generalmente di ferro e di cromo). La testina è costituita da un anello di materiale ferromagnetico con una sottile fessura, attorno al quale è avvolta una bobina. La registrazione si compie inviando nella bobina una corrente elettrica la cui intensità è proporzionale, istante per istante, all intensità del suono. In prossimità della fessura, che ha dimensioni piccolissime, le linee del campo magnetico raggiungono il nastro sottostante, in moto a velocità costante, magnetizzandone corrispondentemente la parte sensibile. A ogni istante, così, una determinata regione del nastro viene magnetizzata con l intensità corrispondente alla corrente nella bobina e quindi al suono che si vuole registrare. La riproduzione si compie facendo scorrere il nastro sotto la testina (la stessa usata per la registrazione o un altra apposita per la lettura): al campo magnetico variabile generato dal moto del nastro corrisponde un flusso variabile concatenato con la bobina, che vi induce una tensione di ampiezza corrispondente alla magnetizzazione. Questa tensione viene poi amplificata e trasformata nuovamente in suoni da un altoparlante. Oltre che suoni, sui nastri magnetici si possono registrare immagini in movimento, cioè film, come avviene negli apparati VHS (Video Home System). In questo caso la quantità di informazioni è assai maggiore; al segnale video, che rappresenta le immagini, va accompagnato inoltre, istante per istante, il segnale audio che rappresenta i suoni. Figura A. Il nucleo magnetico su cui è avvolta la bobina di una testina magnetica presenta una sottile fessura. In corrispondenza di questa, nella fase di registrazione, il campo magnetico prodotto dalla corrente i attraversa il materiale sensibile del nastro che vi scorre al di sotto. Nella fase di lettura, il campo prodotto dalla magnetizzazione del nastro si accoppia con la bobina, inducendovi una tensione variabile. (adattare da Amaldi, La Fisica, vol. 3, pag. 50, modificata come segue: la sezione del nucleo piatta sulla parte superiore dove c è la bobina; colorando diversamente le freccette blu in alto; un po meno 13

14 freccette nere nella parte a sinistra, aggiungendovi la scritta magnetizzazione permanente; sostituire la scritta nucleo dell elettromagnete con nucleo magnetico fessurato; aggiustare come nello schizzo il dettaglio delle linee curve blu in corrispondenza della fessura, sopra e sotto) La Fisica intorno a noi 1. Come si memorizzano le informazioni in un calcolatore elettronico? I calcolatori delle ultime generazioni sono in grado di memorizzare quantità di dati enormemente maggiori di quelle dei loro antenati di 0 o 30 anni fa. Per comprendere come sia stato possibile realizzare tali progressi, occorre premettere che nei calcolatori le informazioni di qualsiasi tipo (parole, suoni, immagini, ) vengono rappresentate in forma digitale (cioè attraverso numeri), utilizzando un codice binario. L informazione elementare è il bit, che può assumere soltanto due valori: 0 e 1. Una sequenza di 8 bit (il byte) può rappresentare una lettera, un numero, un segno d interpunzione, come negli esempi della tabella. Nei calcolatori, come memorie permanenti, si utilizzano memorie magnetiche, basate sulle proprietà dei materiali ferromagnetici. Esse consistono di elementi, ciascuno dei quali può venire magnetizzato in un verso o in quello opposto: a uno dei due stati si fa coirrispondere 0, all altro 1. Come è facile intuire, un calcolatore deve disporre di memorie di miliardi di elementi per poter immagazzinare, poniamo, un romanzo oppure una sinfonia. Un tempo, le memorie magnetiche consistevano di tanti anellini di ferrite, attraversati da fili conduttori: inviando un impulso di corrente a uno di questi fili, l anellino corrispondente si magnetizzava, in un verso o nell altro a seconda del verso della corrente. Ma è chiaro che questo metodo, che richiede un anellino per ciascun bit, non permette di memorizzare grandi quantità di informazioni. Prestazioni assai migliori si ottengono usando dischi magnetici. Un disco magnetico (più precisamente un hard disk) usato oggi è fatto di alluminio o di vetro, ricoperto da un sottile strato di materiale ferromagnetico, suddiviso in tante minuscole aree ciascuna delle quali può essere magnetizzata in due sensi opposti. Generalmente il disco è costituito da più piatti sovrapposti, come mostra la figura A: ciascuno di essi è dotato di una o più testine che svolgono compiti sia di scrittura (magnetizzando un dato elemento del disco in un senso o nell altro, in modo da registre un bit) che di lettura (riconoscendo il verso di magnetizzazione di un dato elemento per stabilire il valore del bit che vi era registrato). Si capisce che occorre una grandissima precisione nel posizionamento delle testine, per poter raggiungere esattamente l area del disco desiderata. La testine sfiorano soltanto la superficie sensibile senza toccarla, sollevate da un cuscino d aria mentre il disco ruota continuamente a velocità elevatissima (fra 50 e 10 giri al secondo). Le caratteristiche più importanti dei dischi magnetici sono la capacità di memoria, espressa generalmente in unità di byte (1 byte = 8 bit), e il tempo necessario per accedere alle informazioni. Un tipico disco usato oggi ha capacità dell ordine di 100 Gbyte (ricordiamo che G = 10 9 ) e tempo di accesso di circa 10 ms. Figura A. Ecco cosa si vede guardando all interno di un disco magnetico: una serie di piatti sovrapposti, ciascuno dotato di una o più testine magnetiche. Queste ne spazzano la superficie, spostandosi radialmente mentre il disco ruota velocemente. Figura B. La superficie di un disco magnetico è suddivisa in tante tracce (corone Tabella. Rappresentazione di numeri, lettere, segni d interpunzione nel codice binario usato nei calcolatori, detto codice ASCII (pronuncia aski ) A a ;

15 circolari) concentriche, ciascuna delle quali è a sua volta suddivisa in settori. Ognuno di questi è costituito di solito da una sequenza di 4096 minuscole aree elementari, ciascuna delle quali, magnetizzata in un senso o nell altro, rappresenta 1 bit..9 L energia del campo magnetico Eseguendo l Esperimento 3 abbiamo osservato che la lampadina si accende brevemente appena dopo l apertura del circuito. Ma da dove proviene l energia a ciò necessaria? Non certo dalla pila, che l interruttore ha appena disconnesso dal circuito. Si tratta dell energia immagazzinata nel campo magnetico generato dalla corrente che scorreva nel circuito. Perché a un campo magnetico, come del resto a un campo elettrico, è associata energia. Che, nel caso del campo magnetico generato da una data corrente, è tanto maggiore quanto maggiore è l induttanza complessiva del circuito. Questa energia si libera quando s interrompe il passaggio di una corrente, manifestandosi attraverso l extracorrente di apertura (che ha acceso la lampadina nel caso dell esperimento citato sopra). Quando invece si chiude un circuito, stabilendo il passaggio di una corrente, la generazione del campo magnetico richiede una corrispondente quantità di energia, che viene fornita dal generatore di tensione, ritardando così la salita della corrente. Per studiare il fenomeno consideriamo il bilancio energetico di un circuito di induttanza L e resistenza R che viene collegato a una pila di tensione V ( fig. 14). L equazione del circuito è stata ricavata nell Approfondimento (formula (C)); qui la scriviamo considerando un generico intervallo di tempo t, durante il quale la variazione della corrente è i: (17) V = R i + L i/ t Moltiplicando ambo i membri per i t, otteniamo la seguente espressione per il bilancio energetico del circuito: (18) V i t = R i t + L i i Il significato fisico di due dei tre termini è immediato: V i t rappresenta il lavoro elettrico complessivo compiuto dal generatore nell intervallino t; R i t rappresenta l energia dissipata nella resistenza nello stesso intervallo di tempo. E il termine L i i? Questo rappresenta proprio l energia che occorre, man mano che la corrente aumenta, per stabilire il corrispondente campo magnetico. Notate che questo termine si annulla quando la fase di crescita della corrente si è conclusa, e quindi i = 0. L energia totale immagazzinata nel campo magnetico durante il processo che porta la corrente da zero a un determinato valore si ottiene evidentemente sommando assieme tutti i contributi L i i relativi ai diversi intervallini di tempo. L energia immagazzinata in un singolo intervallino infinitesimo dt è: de = L i di da cui, integrando con le regole che conoscete, segue (19) E = ½ Li Cosa avviene quando una bobina percorsa da corrente viene cortocircuitata? Essendo ora V = 0, dalla (17) abbiamo: L i/ t = Ri, dove il termine L i/ t è positivo perché i è negativo dato che la corrente tende a diminuire: cioè la corrente continua a scorrere nel circuito, annullandosi solo gradualmente. Dalla (0) abbiamo poi: Li i + Ri t = 0, che mostra come l energia immagazzinata nel campo magnetico venga gradualmente dissipata dalla corrente per effetto Joule. Esempio 6. Calcoliamo l energia immagazzinata in una bobina con nucleo ferromagnetico. Consideriamo una bobina lunga 0 cm, costituita da N = 1000 spire con sezione S = 4 cm, avvolta su un nucleo di materiale ferromagnetico con permeabilità relativa r = 00, percorsa da una corrente di intensità i = 10 A. 15

16 Calcoliamo l induttanza della bobina utilizzando la formula (15), modificata introducendovi il fattore r per tener conto del materiale su cui essa è avvolta: 4 NS L 0 r 4 3, , 050 H. l 0, 1 Per calcolare l energia utilizziamo la formula (19): E Li 0, , 0 J Vogliamo ora porre in relazione l energia del campo magnetico con l intensità del campo. A questo scopo consideriamo un solenoide di lunghezza l con N spire di area S, assumendo nullo il campo al suo esterno, uniforme con intensità B = 0 Ni/l al suo interno. Ricaviamo i dalla precedente ottenendo i = lb/ 0 N, che sostituiamo nella espressione (19) dell energia del campo, dove esprimiamo l induttanza L come 0 N S/l utilizzando la formula (15). Otteniamo così: E 1 1 0NS l B 1 l S B Li l N 0 0 Dividendo tale espressione per il volume interno al solenoide (ls) otteniamo infine la densità di energia del campo magnetico, cioè la sua energia per unità di volume: (0) E VOL 1 B 0 Si può dimostrare che questa formula vale per qualsiasi campo magnetico, anche non uniforme. E dunque possibile immagazzinare nel vuoto energia magnetica, come del resto avevamo 0E trovato ( pag. xxx) per l energia elettrostatica con l espressione EVOL assai simile alla (0). Vedremo poi nell Unità 4 che l energia dei campi, in certi casi, può viaggiare attraverso lo spazio: è ciò che avviene nel caso della luce o delle onde radio. Figura 18. L energia immgazzinata nel campo magnetico di un circuito di induttanza L percorso da una corrente i si può calcolare sommando il lavoro elettrico compiuto dal generatore in intervalli di tempo successivi per portare la corrente da zero a i. Dato che il lavoro durante ciascun intervallo è Li i, rappresentato nel grafico dall area del rettangolo di base i e altezza Li, il lavoro totale è l area del triangolo di base i e altezza Li, cioè ½ Li. 16

17 Test di verifica 1) In un circuito chiuso NON scorre una corrente indotta quando Ο un magnete viene avvicinato ad esso o allontanato da esso Ο esso si trova in presenza di un intenso campo magnetico costante Ο viene inserita o disinserita una pila in un altro circuito nei pressi del primo ) Vero o falso? V F non è possibile generare correnti indotte in un campo magnetico costante O O l induzione elettromagnetica consiste nella magnetizzazione temporanea di un corpo ferromagnetico avvicinato a un magnete permanente O O inserendo un magnete in una bobina chiusa, in essa scorre una corrente indotta O O per ottenere una corrente indotta si può spostare un magnete rispetto a un circuito chiuso o spostare un circuito rispetto a un magnete O O una corrente elettrica non può scorrere in un circuito nel quale non vi è un generatore O O 3) A seconda che allontaniamo o avviciniamo un magnete a un circuito chiuso, la corrente indotta differisce per Ο il verso Ο l intensità Ο la velocità con cui varia 4) Sottolineate gli errori che individuate nella frase seguente. Faraday ottenne una corrente continua indotta disponendo un circuito chiuso in un campo magnetico di opportuna intensità. Il campo era prodotto da un magnete permanente fisso oppure da un altro circuito, percorso da una corrente continua. 5) L intensità della corrente indotta in un circuito dipende O dalla tensione del generatore che vi è inserito O dalla rapidità delle variazioni del flusso magnetico concatenato con il circuito O dall intensità del campo magnetico da essa generato 6) Raddoppiando la velocità con cui spostiamo un magnete inserendolo in una bobina chiusa, l intensità della corrente indotta O si dimezza O si raddoppia O si quadruplica 7) Se raddoppiamo il raggio di una spira immersa in un campo magnetico e raddoppiamo la variazione dell intensità del campo, l intensità della corrente indotta nella spira aumenta di un fattore O O 4 O 8 8) Una bobina di 10 spire con raggio di cm si trova in un campo magnetico uniforme diretto secondo l asse della bobina con intensità B = 0,1 T. Il valore del flusso magnetico concatenato con la bobina è O Wb O Wb O Wb 9) Un filo conduttore rettilineo aperto si sposta in un campo magnetico uniforme costante, perpendicolare al conduttore. Nel filo O scorre una corrente indotta O si sviluppa una tensione indotta O non si ha induzione 10) Un filo conduttore rettilineo aperto si sposta in un campo magnetico uniforme costante, perpendicolare al conduttore O Gli elettroni liberi nel conduttore sono soggetti alla forza di Lorentz O L intensità della corrente indotta nel conduttore è proporzionale alla sua velocità O La corrente indotta nel filo genera un campo che si oppone a quello esterno 17

18 11) Una spira conduttrice disposta orizzontalmente si muove a velocità costante nel piano orizzontale in presenza di un campo magnetico uniforme costante diretto verticalmente. Il flusso magnetico concatenato con la spira è O nullo O costante O variabile nel tempo 1) Una spira condutttrice disposta orizzontalmente si muove a velocità costante nel piano orizzontale in presenza di un campo magnetico uniforme diretto orizzontalmente. La corrente indotta nella spira è O nulla O costante O variabile nel tempo 13) Una spira conduttrice ruota attorno a un suo diametro in un campo magnetico uniforme. La corrente indotta nella spira è sempre nulla quando il suo asse di rotazione O è perpendicolare O è parallelo O è diretto a 45 rispetto alla direzione del campo. 14) Inserendo il magnete nella bobina, in essa scorre una corrente O nel senso della freccia rossa O nulla O nel senso opposto alla freccia rossa 15) L anello metallico in figura si trova in un campo magnetico uniforme, con verso entrante nel foglio, che subisce un aumento. La corrente indotta nell anello è O nulla O diretta in senso orario O diretta in senso antiorario (disegnare dei cerchietti attorno ai, un po piu piccoli) 16) Supponendo che fra le espansioni polari del magnete in figura il campo sia uniforme, nel conduttore rettilineo NON si sviluppa una tensione indotta quando esso viene spostato verso il punto O A O B O C 17) Vero o falso? V F La tensione indotta in un circuito genera una corrente indotta il cui effetto si oppone alla causa che l ha prodotta O O Il campo magnetico generato da una corrente indotta provoca una variazione del flusso concatenato che va a incrementare la variazione di flusso che ha indotto la corrente O O Perché possa scorrere una corrente indotta occorre compiere del lavoro O O In presenza di variazioni del campo magnetico un solido conduttore si riscalda O O Le correnti parassite trovano vari impieghi utili O O 18) Un pendolo metallico viene fatto oscillare in presenza di un campo magnetico. Non è corretto dire che O le oscillazioni del pendolo vengono smorzate dalle correnti parassite O il pendolo si carica elettricamente O il pendolo si riscalda 19) La legge di Faraday-Neumann, che mette in relazione la tensione V indotta in un circuito con la variazione C del flusso concatenato con il circuito e l intervallo di tempo t in cui tale variazione ha avuto luogo, si esprime con la formula: O V = - C t O V = - C / t O V = - t/ C 18

19 0) La forza necessaria per inserire un magnete in una bobina aperta ha O la stessa intensità O intensità minore O intensità maggiore di quella necessaria per inserirlo in una bobina chiusa 1) La mutua induttanza fra due circuiti rappresenta O l effetto della corrente che scorre in un circuito sul flusso magnetico concatenato con l altro circuito O l induttanza di un circuito quando un altro circuito è percorso da una corrente O l energia fornita da un circuito a un altro circuito accoppiato magneticamente al primo ) L induttanza e la mutua induttanza si misurano in unità di O tesla O henry O weber 3) Sottolineate gli errori che individuate nella frase seguente. La mutua induttanza fra due circuiti è di 1 tesla quando una variazione della tensione di 1 volt in 1 secondo in un circuito induce nell altro una corrente di 1 ampere. 4) Vero o falso? V F Tutti i circuiti possiedono induttanza O O L induttanza di un circuito si manifesta nel rallentare le variazioni della tensione O O Le bobine avvolte in aria hanno induttanza maggiore di quelle avvolte su un nucleo di materiale ferromagnetico O O La tensione autoindotta in un circuito è inversamente proporzionale alla sua induttanza O O Deformando una bobina percorsa da corrente, in essa si crea una tensione autoindotta O O 5) L induttanza di un solenoide è O inversamente proporzionale alla O direttamente proporzionale alla O indipendente dalla sezione delle sue spire 6) L induttanza di una bobina è data dal rapporto fra il flusso concatenato con essa e l intensità della corrente che vi scorre. In tal caso il flusso concatenato è quello O generato dalla corrente che scorre in un altro circuito O generato dalla corrente che scorre nella bobina O totale, generato da qualsiasi corrente che produca un campo magnetico 7) L induttanza di un solenoide è O direttamente proporzionale al O direttamente proporzionale al quadrato del numero delle sue spire O inversamente proporzionale al 8) L intensità del campo magnetico all interno di un solenoide percorso da corrente è direttamente proporzionale O alla sua lunghezza O al raggio delle spire O al rapporto fra il numero di spire e la lunghezza 9) Collegando a una pila di tensione V un circuito di resistenza R e induttanza L, il valore iniziale della corrente è O nullo O V/R O V/L 30) Si apre l interruttore che collega una pila di tensione V a una bobina di resistenza R e induttanza L. Nell istante immediatamente successivo, nella bobine scorre una corrente O più intensa O meno intensa 19

20 di quella che vi scorreva prima, che è diretta O nello stesso senso di O in senso opposto a quella che vi scorreva prima, 31) Vero o falso? V F L induttanza di una bobina è direttamente proporzionale alla corrente che vi scorre O O La tensione autoindotta si oppone sempre alle variazioni della corrente in un circuito O O La tensione autoindotta in un circuito è sempre inferiore a quella del generatore che vi è inserito O O 3) L energia immagazzinata in un induttore è O direttamente proporzionale alla O inversamente proporzionale alla O indipendente dalla sua induttanza 33) Il flusso del campo magnetico si misura in O tesla O weber O ampère 34) Si collega un generatore di tensione a una lampadina disposta in serie a una bobina, regolando la tensione in modo che, dopo il transitorio iniziale, la lampadina risulti ben accesa. Si introduce quindi un nucleo magnetico all interno della bobina e, trascorso del tempo, si osserva che la lampadina O brilla più intensamente O brilla come prima O brilla meno intensamente 35) Introducendo un nucleo magnetico all interno di una bobina percorsa da corrente, l energia immagazzinata nella bobina O diminuisce O resta costante O aumenta 36) La densità di energia di un campo magnetico è direttamente proporzionale O alla O al quadrato della O al cubo della sua intensità. 37) La densità di energia di un campo magnetico unitario (B = 1 T) è O molto maggiore di O uguale a O molto minore di quella di un campo elettrico unitario (E = 1 V/m) 0