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1 Università Ca Foscari Venezia Dipartimento di Scienze Ambientali, Informatica e Statistica Giovanni Fasano 2 Problemi di Costo Fisso & Vincoli Disgiuntivi (con esercizi ) November 12, Università Ca Foscari Venezia, Dipartimento di Management, S.Giobbe Cannaregio 873, Venezia, ITALY. ; URL: fasano - A.A

2 Figure 1: Il costo fisso P per la variabile xˆi. 1 Il problema del Costo Fisso (cenni) Dato il problema di Programmazione Lineare min c T x x A x 0, ove x IR n ed in generale A è il poliedro A = {x IR n : Ax b}, vogliamo ora aggiungere nella funzione obiettivo la seguente specifica: > 0 allora paghiamo un costo fisso P > 0 se xˆi se xˆi = 0 allora NON paghiamo un costo fisso P > 0. Chiaramente, detto cˆi il coefficiente di xˆi nella funzione obiettivo, la dipendenza di quest ultima dalla variabile xˆi è modellata in Figura 1: il grafico mostra come nel caso xˆi > 0 allora si debba pagare anche il costo fisso P, oltre al costo variabile cˆi xˆi. La relativa formulazione (lineare) del problema di Programmazione Matematica, che tenga conto anche del costo fisso per la variabile xˆi, risulta essere la seguente (si ribadisce che y è una variabile da determinare insieme al vettore x, mentre M è un parametro costante, opportunamente scelto): min c T x + yp x A y xˆi M, M 1 x 0 y {0, 1}

3 2 Il problema dei Vincoli Disgiuntivi (cenni) Dato il problema di Programmazione Lineare min c T x x A ove x IR n ed in generale A è il poliedro A = {x IR n : Ax b}, vogliamo ora aggiungere la seguente specifica a problema: vogliamo ora aggiungere il seguente vincolo: almeno uno dei due vincoli aggiuntivi c T 1 x b 1 e c T 2 x b 2 deve essere soddisfatto. Chiaramente, la scelta di quale dei due vincoli aggiuntivi rispettare deve essere operata automaticamente dal solutore, e non dall utente. Vogliamo pertanto riformulare il problema di Programmazione Lineare in modo tale da tenerne conto. La relativa formulazione (lineare) del problema di Programmazione Matematica, che tenga conto anche dei vincoli aggiuntivi, risulta essere la seguente (α, β sono variabili da determinare insieme al vettore x, mentre M è un parametro costante, opportunamente scelto): min c T x x A c T 1 x b 1 + αm, M 1 c T 2 x b 2 + βm α + β 1 α, β {0, 1}. Si noti che sostituendo alla specifica di cui sopra, le seguente specifica: esattamente uno dei due vincoli aggiuntivi c T 1 x b 1 e c T 2 x b 2 deve essere soddisfatto, la formulazione risultante cambia come segue min c T x x A c T 1 x b 1 + αm, M 1 c T 2 x b 2 + βm α + β = 1 α, β {0, 1}. Infine, generalizzando ulteriormente la specifica di cui sopra, introducendo la specifica: almeno k m tra i vincoli aggiuntivi c T i x b i, i = 1,..., m, devono essere soddisfatti,

4 la formulazione risultante diventa, dopo facili adattamenti, min c T x x A c T 1 x b 1 + α 1 M, M 1. c T mx b m + α m M α α m m k α 1,..., α m {0, 1}.

5 ESEMPIO Cognome:... Nome:... Matricola:... Office (I es.) :... Office (II es.) :... Bonus tempo: b b B B N.B.: Gli esercizi di OFFICE vanno risolti prima dell esercizio sulla PL ESERCIZIO MM1 Una pasticceria usa 5 mescolatori (M1, M2, M3, M4, M5) per produrre giornalmente la farcitura di 2 tipi di bignè (F1, F2), e ciascun miscelatore può indifferentemente produrre le due farciture. A causa di vincoli tecnologici, complessivamente ciascun miscelatore può produrre giornalmente la seguente quantità (Kg) di impasto, cui è associato il seguente costo (Euro/Kg): produz. max giornaliera costo M M M M M Se si utilizzano i miscelatori M1 ed M2 per produrre la farcitura F2, allora la quantità di farcitura F2 prodotta con M1 deve essere non superiore alla quantità di farcitura F2 prodotta con M2. La farcitura F1 prodotta complessivamente da M3, M4 ed M5 deve essere almeno di 1000 kg e non deve superare i 1200 kg. Infine, la quantità di farcitura F1 prodotta dai miscelatori deve essere almeno la metà della quantità di F2 che essi producono. La pasticceria vende le farciture (come semilavorati) ad un prezzo di 1.3 Euro/Kg e 1.1 Euro/Kg rispettivamente. Si scriva un modello di PL per la massimizzazione dei profitti giornalieri della pasticceria.

6 Soluzione proposta, Esercizio MM1 Scelta variabili: x ij = kilogrammi di farcitura i-sima prodotti nel miscelatore j-simo, i = 1, 2, j = 1, 2, 3, 4, 5 Funzione obiettivo: 5 5 max 1.3 x 1j x 2j 0.8(x 11 + x 21 ) 0.77(x 12 + x 22 ) 0.73(x 13 + x 23 ) 0.7(x 14 + x 24 ) 0.69(x 15 + x 25 ) Vincoli: x 11 + x x 12 + x x 13 + x x 14 + x x 15 + x x 21 x x 13 + x 14 + x x 1j 1 5 x 2j 2 x ij 0, i = 1, 2, j = 1, 2, 3, 4, 5

7 ESEMPIO Cognome:... Nome:... Matricola:... Office (I es.) :... Office (II es.) :... Bonus tempo: b b B B N.B.: Gli esercizi di OFFICE vanno risolti prima dell esercizio sulla PL ESERCIZIO MM2 La Chair s.r.l. produce 3 tipi di sedie da cucina in 3 reparti diversi, ognuno dei quali può indifferentemente produrre le tre tipologie di sedie. I mobilifici consorziati con la Chair s.r.l. richiedono che essa produca rispettivamente 400, 380 e 350 sedie dei tre tipi. La Chair s.r.l. può decidere se attivare la produzione di sedie in ognuno dei tre reparti, la qual cosa prevede il seguente costo di attivazione (Euro) reparto 1 reparto 2 reparto 3 Costo attivazione Inoltre nella seguente tabella si riporta il costo unitario (Euro/unità) di produzione di ciascuna sedia in ciascun reparto, nonchè la quantità massima di sedie producibili (unità) sedia 1 sedia 2 sedia 3 q.tà max sedie producibili reparto reparto reparto Si costruisca un modello di PL per la minimizzazione dei costi di produzione delle sedie per la Chair s.r.l.

8 Soluzione proposta, Esercizio MM2 Scelta variabili: x ij = numero di sedie di tipo i-simo prodotte nel reparto j-simo, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3 { 1 se produciamo sedie nel reparto j simo, j = 1, 2, 3 y j = 0 altrimenti Funzione obiettivo: min 18x x x x x x x x x y y y 3 Vincoli: x 1j 400 x 2j 380 x 3j 350 x i1 600 x i2 650 x i3 690 x ij 0, intere, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3 y j x 1j + x 2j + x 3j, M 1, costante (non variabile), j = 1, 2, 3 M

9 ESEMPIO Cognome:... Nome:... Matricola:... Office (I es.) :... Office (II es.) :... Bonus tempo: b b B B N.B.: Gli esercizi di OFFICE vanno risolti prima dell esercizio sulla PL ESERCIZIO MM3 La KarmarCar Inc. produce modelli di citycar in 4 stabilimenti (S1, S2, S3, S4) di produzione. Ciascuno stabilimento necessita su base mensile del seguente numero di addetti, inoltre prevede per ciascuna citycar prodotta il seguente costo unitario (10 3 Euro) ed il seguente tempo di produzione (n ore di lavorazione) n addetti n ore lavorazione per citycar costo produzione per citycar S S S S Le citycar prodotte nel mese vengono tutte inviate a 2 concessionarie (C1, C2) per la vendita, ciascuna delle quali richiede il seguente quantitativo mensile di citycar e prevede il seguente costo (Euro/citycar) di trasporto unitario S1 S2 S3 S4 richiesta C C Per esigenze contrattuali ciascun lavoratore della KarmarCar Inc. è disponibile, per ciascuno stabilimento, per il seguente numero di ore lavorative mensili S1 S2 S3 S Si formuli un modello di PL per la minimizzazione dei costi di produzione e trasporto, relativi alle citycar prodotte.

10 Soluzione proposta, Esercizio MM3 Scelta variabili: x ij = numero di citycar prodotte in S i ed inviate a C j, i = 1, 2, 3, 4, j = 1, 2 Funzione obiettivo: min 10 3 [6.3(x 11 + x 12 ) + 6(x 21 + x 22 ) + 6(x 31 + x 32 ) + 5.9(x 41 + x 42 )] + (70x x x x 41 ) + (82x x x x 42 ) Vincoli: 32(x 11 + x 12 ) (x 21 + x 22 ) (x 31 + x 32 ) (x 41 + x 42 ) x 11 + x 21 + x 31 + x x 12 + x 22 + x 32 + x x ij 0, intere, i = 1, 2, 3, 4, j = 1, 2

11 ESEMPIO Cognome:... Nome:... Matricola:... Office (I es.) :... Office (II es.) :... Bonus tempo: b b B B N.B.: Gli esercizi di OFFICE vanno risolti prima dell esercizio sulla PL ESERCIZIO MM4 Un impresa artigianale produce 4 tipi di candele antifumo diverse, in 3 capannoni (C1, C2, C3) distinti. Nei tre capannoni lavora rispettivamente il seguente numero di artigiani, ciascuno dei quali lavora per il numero di ore giornaliere riportato C1 C2 C3 n artigiani ore lavoro giornaliere per artigiano Ogni candela viene venduta ad un prezzo di 12, 11, 7, 5 Euro rispettivamente; inoltre, richiede un tempo di lavorazione che cambia a seconda del capannone di lavorazione, essendo pari a (ore/candela) C1 C2 C3 candela Tipo candela Tipo candela Tipo candela Tipo In base alle richieste di mercato, valutate settimanalmente, il numero di candele di Tipo 1 prodotte deve essere almeno il doppio delle candele prodotte di Tipo 4. Inoltre, le candele di Tipo 3 devono essere al più il 30% delle candele di Tipo 1 e 2 complessivamente prodotte. Infine, almeno 700 candele di Tipo 2 devono essere prodotte nei capannoni C2 e C3. Si costruisca un modello di PL per la massimizzazione dei ricavi dalla vendita delle candele prodotte settimanalmente, sapendo che ciascun artigiano in C1, C2 e C3 lavora rispettivamente per 4, 6 e 5 giorni a settimana.

12 Soluzione proposta, Esercizio MM4 Scelta variabili: x ij = numero di candele prodotte (settimanalmente) di tipo i-simo, nel capannone j-simo, i = 1, 2, 3, 4, j = 1, 2 Funzione obiettivo: Vincoli: max 12 x 1j + 11 x 2j + 7 x 3j x x x x x x x x x x x x x 1j 2 x 3j x 4j [ x 1j + ] x 2j x 22 + x x ij 0, intere, i = 1, 2, 3, 4, j = 1, 2 x 4j

13 ESEMPIO Cognome:... Nome:... Matricola:... Office (I es.) :... Office (II es.) :... Bonus tempo: b b B B N.B.: Gli esercizi di OFFICE vanno risolti prima dell esercizio sulla PL ESERCIZIO MM5 Un impresa che si occupa di lavoro interinale gestisce 30 operai e li può distribuire in quattro cantieri per la costruzione di appartamenti. In particolare, gli operai sono divisi in 2 gruppi, rispettivamente formati da 20 operai e 10 operai. Al primo gruppo appartengono operai che possono lavorare, se chiamati, fino ad 8 ore al giorno, mentre al secondo gruppo appartengono operai che possono lavorare, se chiamati, fino a 6 ore al giorno. La paga oraria (Euro/h) degli operai è data di seguito paga oraria operaio tipo 1 25 operaio tipo 2 29 La costruzione degli appartamenti richiede complessivamente 180 ore di lavoro, e se un operaio è impiegato, l impresa deve prevedere un costo fisso (Euro/operaio) addizionale di seguito definito costo fisso operaio tipo 1 10 operaio tipo 2 12 Si costruisca un modello di PL per la minimizzazione dei costi per la manodopera degli operai, al fine di costruire gli appartamenti nei quattro cantieri.

14 Soluzione proposta, Esercizio MM5 Scelta variabili: x i = numero di operai di tipo i-simo impiegati, i = 1, 2 Funzione obiettivo: min 25 8x x x x 2 Vincoli: x 1 20 x x 1 + 6x x i 0, intere, i = 1, 2

15 ESEMPIO Cognome:... Nome:... Matricola:... Office (I es.) :... Office (II es.) :... Bonus tempo: b b B B N.B.: Gli esercizi di OFFICE vanno risolti prima dell esercizio sulla PL ESERCIZIO MM6 La Ewing Oil dispone di 3 raffinerie (R1, R2, R3) di petrolio, ed in base alle richieste del mercato deve decidere quali raffinerie attivare nel mese e quanto petrolio raffinare in ciascuna di esse. Per ognuna delle raffinerie vengono riportati di seguito: il costo di attivazione (10 6 Euro), quantità massima di petrolio in grado di raffinare mensilmente (tonnellate), numero di addetti e costo di trasporto verso la raffineria (Euro/tonnellata) R1 R2 R3 costo attivazione quantità massima raffinabile numero addetti costo trasporto La Ewing Oil ha a disposizione in totale 90 addetti che può dislocare (ripartire) nei tre impianti per consentirne il funzionamento. Ciascun addetto riceve uno stipendio mensile in relazione all impianto dove è dislocato, essendo R1 R2 R3 stipendio mensile per addetto Euro Euro Euro Inoltre, la Ewing Oil deve raffinare mensilmente almeno tonnellate di petrolio. Creare un modello di PL per decidere su base mensile quali raffinerie attivare e quanto petrolio raffinare in ciascuna di esse, minimizzando i costi complessivi di esercizio.

16 Soluzione proposta, Esercizio MM6 Scelta variabili: x i = tonnellate di petrolio raffinate in R i, i = 1, 2, 3 { 1 se la raffineria Ri risulta attivata y i = 0 altrimenti Funzione obiettivo: min y y y 3 + (0.31x x x 3 ) + ( y y y 3 ) Vincoli: x x x y y y 3 90 x 1 + x 2 + x x ij 0, intere, i = 1, 2, 3, 4, j = 1, 2 y i x i M, M 1, costante (non variabile)

17 ESEMPIO Cognome:... Nome:... Matricola:... Office (I es.) :... Office (II es.) :... Bonus tempo: b b B B N.B.: Gli esercizi di OFFICE vanno risolti prima dell esercizio sulla PL ESERCIZIO MM7 Uno stabilimento che produce vernici ha 4 miscelatori (m1, m2, m3, m4) che usa per produrre 3 vernici (V1, V2, V3) con colori diversi. Di ciascun tipo di vernice se ne deve produrre un quantitativo compreso rispettivamente tra 1 e 5 tonnellate (per V1), tra 3 e 5 tonnellate (per V2), tra 2 e 6 tonnellate (per V3). Per produrre una tonnellata di vernice si spendono complessivamente 1400 Euro (se prodotta su m1), 1600 Euro (se prodotta su m2), 2000 Euro (se prodotta su m3), 1800 Euro (se prodotta su m4); inoltre, ciascun miscelatore può produrre indifferentemente una delle tre vernici, essendo la capacità produttiva totale dei miscelatori data da (in tonnellate) m1 m2 m3 m Si costruisca un modello di PL/PLI per la massimizzazione dei profitti, sapendo che ogni Kg di vernice è rispettivamente venduto a 4 Euro, 4.5 Euro e 6 Euro. Inoltre si tenga presente che la vernice V2 non può essere prodotta nei miscelatori m1 ed m2, e se si produce la vernice V2 nel miscelatore m4 bisogna produrre una quantità di V2 non inferiore anche nel miscelatore m3.

18 Soluzione proposta, Esercizio MM7 Scelta variabili: x ij = tonnellate di vernice di tipo i-simo prodotta nel miscelatore j-simo, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4 Funzione obiettivo: max 4000 Vincoli: x 1j x 2j x 3j 1400 x 1j 5 x 2j 5 x 3j 6 x i1 5 x i2 4 x i3 3 x i4 4 x i x 21 = 0, x 22 = 0 x 24 x 23 x ij 0, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4 x i x i x i4

19 ESEMPIO Cognome:... Nome:... Matricola:... Office (I es.) :... Office (II es.) :... Bonus tempo: b b B B N.B.: Gli esercizi di OFFICE vanno risolti prima dell esercizio sulla PL ESERCIZIO MM8 Un impresa di cosmetici produce 3 tipi di acetone diversi (A1, A2, A3) usando i 4 macchinari M1, M2, M3, M4. La seguente tabella indica i quantitativi (litri) minimo/massimo di ciascun tipo di acetone ed il relativo prezzo di vendita (Euro/litro) A1 A2 A3 minimo massimo prezzo di vendita 2 2,7 3,1 Per produrre un litro di acetone Ai, i = 1, 2, 3, sul macchinario Mj, j = 1, 2, 3, 4, l impresa deve sostenere il seguente costo (Euro/litro) A1 A2 A3 M1 1 0,9 0,9 M2 1,2 1,3 0,9 M3 1,1 0,8 1 M4 1,3 0,7 0,9 Inoltre i macchinari possono produrre un quantitativo di acetone rispettivamente non superiore a 3500 litri, 2000 litri, 3000 litri e 3500 litri. Se si produce l acetone A2 sul macchinario M3 bisogna sostenere un costo aggiuntivo di 500 Euro, per problemi dovuti alla logistica. Si costruisca un modello di PLM per la massimizzazione dei profitti dell impresa di cosmetici.

20 Soluzione proposta, Esercizio MM8 Scelta variabili: x ij = litri di acetone i-simo prodotti sul macchinario j-simo, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4 { 1 se l z = acetone A2 viene prodotto sul macchinario M3 0 altrimenti Funzione obiettivo: max 2 x 1j x 2j x 3j [x x x x x x x x 23 + x x x x 34 ] 500z Vincoli: x 1j 4000 x 2j 5000 x 3j 7000 x i x i x i x i x ij 0, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4 z x 23 M, M 1, costante (non variabile)

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