Circuiti in regime sinusoidale

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1 ircuii in regime sinusoidale are versione del Funzioni sinusoidali a cos ampiezza fase iniziale radiani, rad < pulsazione rad/s f frequenza herz, Hz T periodo secondi, s f T T π f T

2 egimi sinusoidali i considera un circuio lineare dinamico in cui ui i generaori indipendeni sono sinusoidali e hanno la sessa pulsazione e equazioni del circuio cosiuiscono un sisema di equazioni differenziali lineari nel quale i ermini noi sono funzioni sinusoidali con pulsazione e equazioni generalmene ammeono una soluzione sinusoidale con pulsazione e il circuio è asinoicamene sabile, quesa soluzione paricolare rappresena la componene di regime della risposa regime sinusoidale 3 egimi sinusoidali egime sinusoidale: condizione di funzionameno di un circuio nella quale ue le ensioni e le correni sono funzioni sinusoidali del empo aveni la sessa pulsazione Fissaa la pulsazione, una funzione sinusoidale è definia da due parameri ampiezza fase l problema della deerminazione della soluzione paricolare sinusoidale delle equazioni del circuio cioè della deerminazione delle ampiezze e delle fasi di ue le ensioni e correni può essere ricondoo ad un problema di ipo algebrico mediane la rasformaa di einmez l meodo di analisi basao sulla rasformaa di einmez è deo anche meodo simbolico 4

3 Trasformaa di einmez Trasformaa di einmez: d ogni funzione sinusoidale di pulsazione a cos si associa un numero complesso avene modulo ampiezza della funzione sinusoidale argomeno fase della funzione sinusoidale a e cos sen = fasore o numero complesso rappresenaivo di a nirasformaa di einmez: - a ee e e cos 5 nerpreazione geomerica a funzione s e può essere rappresenaa nel piano complesso mediane un veore che ruoa con velocià angolare a proiezione sull asse reale resiuisce la funzione a l fasore deermina la posizione del veore per, a parire dalla quale, noa, si può ricosruire a e e cos a e 6

4 roprieà della rasformaa di einmez Unicià a rasformaa di einmez sabilisce una corrispondenza biunivoca ra le funzioni sinusoidali di pulsazione e i numeri complessi a b cos a B cos B b B e e a b B 7 roprieà della rasformaa di einmez inearià a rasformaa di einmez è un operazione lineare a b cos a B cos B b B e e, a b a b B : 8

5 9 roprieà della rasformaa di einmez 3 egola di derivazione a rasformaa della derivaa di una funzione sinusoidale si oiene moliplicando per la rasformaa della funzione Dimosrazione: d d a a cos a e a cos sen a d d a e e e e a d d 0 roprieà della rasformaa di einmez 4 egola di derivazione pplicando ricorsivamene la regola di derivazione si possono oenere le rasformae delle derivae di ordine superiore n n n n n d d d d d d d d d d d d a a a a a a

6 nirasformaa Noo il numero complesso rappresenaivo di una funzione sinusoidale e a x y e noa la pulsazione, è possibile deerminare in modo univoco la funzione sinusoidale a mediane la relazione cos cos arg a Noa: ale la relazione gy/x ma queso non consene di affermare che arcgy/x Dao che la funzione angene ha periodo esisono due valori di nell inervallo in cui la angene ha lo sesso valore er deerminare occorre enere cono dei segni di x e y nirasformaa deerminazione della fase

7 nirasformaa deerminazione della fase x y e x y y arcg x sgn y y arcg sgn y x per y 0 sgn y 0 per y 0 per y 0 per per per per x 0 x 0 x 0, y x 0, y Diagrammi fasoriali fasori possono essere rappresenai mediane veori nel piano complesso e operazioni sui fasori possono essere eseguie anche operando graficamene sui veori diagrammi nel piano complesso diagrammi fasoriali possono essere uilizzai per visualizzare le relazioni ra i fasori

8 Operazioni grafiche sui fasori a somma ra due fasori può essere eseguia per via grafica mediane la regola del parallelogramma B e e B m m B e e B m m B g m m B e e B Operazioni grafiche sui fasori oliplicando un fasore per una cosane reale posiiva si oiene un fasore il cui modulo è oliplicando un fasore per una cosane reale negaiva si oiene un fasore il cui modulo è e che ha verso opposo ad

9 Operazioni grafiche sui fasori 3 oliplicando un fasore per una cosane immaginaria si oiene un fasore con modulo e ruoao di 90 rispeo ad in senso aniorario per 0 in senso orario per 0 Operazioni grafiche sui fasori 4 oliplicando un fasore per una cosane complessa c si oiene un fasore con modulo c e argomeno arg argc Noa: ome si vedrà in seguio, se e c sono fasori, c non è un fasore per queso non si parla di prodoo ra due fasori

10 Bipoli in regime sinusoidale ondizioni di regime sinusoidale Tensione e correne orienae secondo la convenzione dell uilizzaore: v cos v i cos fasameno fra ensione e correne: i e e 9 esisore in regime sinusoidale v i i G v G cos cos G 0 la ensione e la correne sono in fase 0

11 nduore in regime sinusoidale v d i d sen cos la correne è in quadraura in riardo rispeo alla ensione nduore relazioni ra i fasori v d i d X B eaanza: X usceanza: B X

12 ondensaore in regime sinusoidale d v i d sen cos la correne è in quadraura in anicipo rispeo alla ensione 3 ondensaore relazioni ra i fasori i d v d B X usceanza: B eaanza: X B 4

13 egge di Ohm simbolica e relazioni ra i fasori della ensione e della correne per il resisore, l induore e il condensaore sono casi paricolari delle equazioni Y omponene Y esisore G nduore ondensaore 5 egge di Ohm simbolica iù in generale, per un bipolo lineare non conenene generaori indipendeni, la ensione e la correne sono legae ra loro da relazioni differenziali lineari omogenee er la proprieà di linearià e la regola di derivazione della rasformaa di einmez, le corrispondeni relazioni ra i fasori della ensione e della correne sono lineari algebriche omogenee, e quindi ancora del ipo Y Nel caso generale e Y sono funzioni complesse della pulsazione X Y G B 6

14 mpedenza er un bipolo lineare non conenene generaori si definisce impedenza il rapporo Ζ X e resisenza X reaanza unià di misura ohm l modulo dell impedenza è uguale al rapporo ra le ampiezze della ensione e della correne argomeno dell impedenza è uguale allo sfasameno ra la ensione e la correne 0 correne in riardo sulla ensione arg 0 correne in anicipo sulla ensione 7 mmeenza l reciproco dell impedenza è deo ammeenza Y Y G B e G conduanza B susceanza unià di misura siemens algono le relazioni Y X X X X X X G B G B G B G X B X X X G G B G Y X G B B B Y 8

15 Noa l ermine fasori viene uilizzao per indicare numeri complessi che corrispondono ramie la rasformaa di einmez a funzioni sinusoidali Nelle relazioni = o = Y, è sono fasori, perché rappresenano funzioni sinusoidali v e i impedenza e l ammeenza Y non corrispondono a funzioni sinusoidali, ma rappresenano le operazioni in generale differenziali che legano le funzioni v e i impedenza e l ammeenza Y non sono fasori ma operaori complessi 30 Bipolo serie d d i i v v v X mpedenza: mmeenza: B G Y arcg arg

16 Bipolo serie er un bipolo serie passivo con e si ha e >X =m G ey > B =my 0 la correne è sfasaa in riardo rispeo alla ensione er il bipolo ende a comporarsi come il solo resisore er il bipolo ende a comporarsi come il solo induore e quindi come un circuio apero 3 Bipolo serie 3 Diagramma nel piano complesso mpiezze delle ensioni: arcg 3

17 33 Bipolo parallelo d d d d dx x v v i v v i i i 34 Bipolo parallelo X Y B G Y mpedenza: mmeenza: arcg arg

18 Bipolo parallelo 3 er un bipolo parallelo passivo con e si ha e> X =m G ey> B =my 0 / la correne è sfasaa in riardo rispeo alla ensione er il bipolo ende a comporarsi come il solo induore e quindi come un corocircuio / er il bipolo ende a comporarsi some il solo resisore 0 35 Bipolo parallelo 4 Diagramma nel piano complesso mpiezze delle correni: arcg 36

19 37 Bipolo serie d d d d dx x i i v i i v v v 38 Bipolo serie X arcg arg mpedenza: B G Y mmeenza:

20 Bipolo serie 3 er un bipolo serie passivo con e > si ha e> X =m< G ey> =my> la correne è sfasaa in anicipo rispeo alla ensione er il bipolo ende a comporarsi come il solo condensaore e quindi come un circuio apero er il bipolo ende a comporarsi some il solo resisore 0 39 Bipolo serie 4 Diagramma nel piano complesso mpiezze delle ensioni: arcg 40

21 4 Bipolo parallelo d d v v i i i B G Y X Y mpedenza: mmeenza: arcg arg 4 Bipolo parallelo er un bipolo parallelo passivo con e si ha ex =m< G ey B my la correne è sfasaa in anicipo rispeo alla ensione er il bipolo ende a comporarsi come il solo resisore 0 er il bipolo ende a comporarsi some il solo condensaore e quindi come un corocircuio

22 Bipolo parallelo 3 Diagramma nel piano complesso mpiezze delle correni: arcg 43 nalisi di circuii in regime sinusoidale Equazioni dei componeni Generaori indipendeni: sono noe le ensioni o le correni sono noi anche i loro fasori G G Bipoli lineari: Y Generaori dipendeni: per la proprieà di linearià, le relazioni ra i fasori sono r g 44

23 nalisi di circuii in regime sinusoidale Equazioni dei collegameni e relazioni ra le grandezze funzioni del empo sono espresse da equazioni algebriche lineari omogenee del ipo i v 0 0 er le proprieà di unicià e di linearià della rasformaa di einmez 0 0 i v e leggi di Kirchhoff valgono anche per i fasori delle ensioni e delle correni 45 nalisi di circuii in regime sinusoidale 3 e equazioni di un circuio lineare in regime sinusoidale, scrie in ermini di fasori, hanno la sessa forma delle equazioni di un circuio lineare resisivo in regime sazionario eoremi e i meodi di analisi dedoi a parire delle equazioni generali dei circuii resisivi si possono esendere ai circuii in regime sinusoidale eseguendo le segueni sosiuzioni: esisenza mpedenza onduanza mmeenza Tensione Fasore della ensione orrene Fasore della correne 46

24 nalisi di circuii in regime sinusoidale 4 n paricolare si possono esendere ai circuii lineari in regime sinusoidale le relazioni di equivalenza come serie, parallelo sella-riangolo rasformazione dei generaori formule di illman i meodi di analisi generali meodo delle maglie, meodo dei nodi e meodo degli anelli il eorema di sovrapposizione il eorema di sosiuzione i eoremi di Thévenin e Noron 47 mpedenze in serie e in parallelo mpedenze in serie N mpedenze in parallelo N K N Y Y Y N Y Y K N 48

25 49 ariore di ensione e di correne ariore di ensione ariore di correne N N Y Y 50 Trasformazioni dei generaori G G G G Y

26 Equivalenza sella-riangolo Teorema di sovrapposizione poesi: circuio lineare conenene N generaori indipendeni di ensione v G,..., v GN N generaori indipendeni di correne i G,..., i GN ui i generaori sono sinusoidali con la sessa pulsazione condizioni di regime sinusoidale fasori della ensione e della correne del generico lao i sono combinazioni lineari dei fasori delle ensioni e delle correni impresse dai generaori indipendeni i i N N α y i i G G N N z β i i G G 5

27 Funzioni di ree coefficieni delle combinazioni sono funzioni complesse della pulsazione e sono dei funzioni di di ree α i adimensionale y i i G i G 0 h 0 h 0 h 0 h ha le dimensioni di un ammeenza ha le dimensioni di un impedenza 0 h 0 h e funzioni di ree che meono in relazione i fasori della ensione e della correne dello sesso lao sono dee funzioni di immeenza e funzioni di ree che meono in relazione fasori di ensioni e correni di lai diversi sono dee funzioni di rasferimeno z β i i i G i G 0 h 0 h adimensionale 53 mpedenza di ingresso Funzioni di immeenza N G 0 h 0 h mmeenza di ingresso Y G 0 h 0 h 54

28 Funzioni di rasferimeno apporo di rasferimeno di ensione α i i G 0 h 0 h apporo di rasferimeno di correne β i i G 0 h 0 h 55 Funzioni di rasferimeno mpedenza di rasferimeno z i i G 0 h 0 h mmeenza di rasferimeno y i i G 0 h 0 h 56

29 Funzioni di ree Tue le funzioni di ree sono funzioni razionali della variabile complessa cioè sono rappori ra polinomi nella variabile H bm a n m n b a m n m n b b a a 0 0 iò deriva dal fao che i fasori delle ensioni e delle correni possono essere calcolai a parire da un sisema di equazioni i cui coefficieni conengono i faori o preseni nelle equazioni caraerisiche dei componeni dinamici coefficieni dei polinomi, a e b, sono sempre reali e dipendono dai parameri dei componeni diversi dai generaori indipendeni 57 Teorema di Thévenin poesi: condizioni di regime sinusoidale il bipolo -B è formao da componeni lineari e generaori indipendeni il bipolo - è comandao in correne l bipolo -B equivale a un bipolo formao da un generaore indipendene di ensione 0 in serie con un impedenza eq 0 è la ensione a vuoo del bipolo -B eq è l impedenza equivalene del bipolo -B con i generaori indipendeni azzerai B 0 eq B 58

30 Teorema di Noron poesi: condizioni di regime sinusoidale il bipolo -B è formao da componeni lineari e generaori indipendeni il bipolo -B è comandao in ensione l bipolo -B equivale a un bipolo formao da un generaore indipendene di correne cc in parallelo con un ammeenza Y eq cc è la correne di corocircuio del bipolo -B Y eq è l ammeenza equivalene del bipolo -B con i generaori indipendeni azzerai B cc Yeq B 59