Esercizi di Analisi Matematica

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1 Uiversità degli Studi di Udie Ao Accademico 00/0 Facoltà di Scieze Matematiche Fisiche e Naturali Corso di Laurea i Iformatica Esercizi di Aalisi Matematica Dott. Paolo Baiti Esercizi del 5 Ottobre 00. Risolvere le segueti disequazioi frazioarie 4 > 0 4 > < < 0 ) > 0 + < < 7 + ) ) 0. + ) 4). Risolvere i segueti sistemi di disequazioi > > 0 7 4) < +5) )+5 6 > <4 4 5 ) < +< ) + +) < 4. Risolvere le segueti equazioi irrazioali + < +)> 4 > + +5 <7 4 < 4) 5 +4> 7 + 0) = + = 7 + += + 4 = += + + += = += + + =4.

2 Aalisi Matematica Esercizi A.A. 00/0 4. Risolvere le segueti disequazioi irrazioali + +< 4 < +< < > > > 0 0 > Determiare il domiio delle segueti fuzioi f ) = 5 f ) = log +6) f ) = 4 ) f 4 ) = log f 5 ) = + f 6 ) = log + ) f 7 ) = Dato l isieme 4 + A = verificare che 4 è l estremo iferiore di A. 7. Dato l isieme A = } : N \0} È ache il miimo? + : N } verificare che è l estremo iferiore di A eè il massimo di A. Esercizi del 9 ottobre Utilizzado il Pricipio d Iduzioe dimostrare le segueti affermazioi: a) Per ogi valgoo +) k = = k )= = k= k= )!!) ) b) Per ogi vale +4 5

3 Aalisi Matematica Esercizi A.A. 00/0 9. Usado il fatto che +) / dimostrare per iduzioe che per ogi 4 vale. 0. Defiiamo i umeri a 0) per ricorreza el seguete modo: a0 = a + = +a Dimostrare per iduzioe che per ogi 0 vale a.. Avazato) Sia M ]0 [ u umero fissato. Defiiamo i umeri a 0) per ricorreza el seguete modo: a0 =0 a + = a + M a ) Dimostrare per iduzioe che per ogi 0 valgoo a) a M b) a 0 si usi ache il puto a)) Esercizi del ovembre 00. Determiare il domiio delle segueti fuzioi: f 4 ) = f ) = + f ) = f ) = loglog ) +5 f 5) = log 4) f 6 ) = Verificare usado la defiizioe la validità dei segueti iti: = log 5)=0 + =. = 0 4 +) = 4. Utilizzado il Teorema sul ite della somma/prodotto/quoziete di fuzioi calcolare i segueti iti: +) y )e y ) z z 5 y z 0 z 6 + ) w se w w 0 w + + y )y y y)y.

4 Aalisi Matematica Esercizi A.A. 00/0 Esercizi del 9 ovembre Calcolare il valore dei segueti iti di fuzioi cotiue): seπ) 5 cos log + ta)) Calcolare ove possibile il valore dei segueti iti di poliomi: ) 4 ) ) + 5 +) ) ). 7. Calcolare ove possibile il valore dei segueti iti di fuzioi razioali forma idetermiata / ): Trovare il valore del parametro b R affiché risulti cotiua la seguete fuzioe: fz) := bz 5 se z< bz bz + se z. 9. Trovare i valori del parametro a R affiché risulti cotiua la seguete fuzioe: f) := sea)+a + se <0 +acos se Trovare i valori dei parametri a b R affiché risulti cotiua la seguete fuzioe: f ab y) := a y +ay + se y< ay 4b y + a + se y. Disegare il luogo geometrico descritto da tali coppie el piao ovvero rappresetare l isieme C := a b) R : f ab è cotiua }. 4

5 Aalisi Matematica Esercizi A.A. 00/0 Esercizi del 6 ovembre 00. Calcolare ove possibile il valore dei segueti iti di fuzioi irrazioali forma idetermiata - ): ) + ) + ) + ) ) +5 + ).. Calcolare i segueti iti utilizzado u cambiameto di variabile: cos π/ π se π π + cos π π).. Calcolare ove possibile il valore dei segueti iti forma L oppure L 0 ): ) 7 0 se 0 4. Calcolare utilizzado il teorema dei due carabiieri il seguete ite: 0 + ). ta 5. Calcolare i segueti iti forma 0 fuz. itata} ): se + se ) ) + π π 6. Calcolare i segueti iti di fuzioi trigoometriche): 0 7. Di ricapitolazioe se cos ). ) 5 4 see )). 5) cos4) se) cos ta) se ). 0 cos cos cos se 0 +) ) se ) se )e ) se + 0 se 4 se + se 4 ) 5 se log 0 + / / + + 5/ log )+ cos 4 4 cos cos 0 + se 5

6 Aalisi Matematica Esercizi A.A. 00/0 Esercizi del geaio Calcolare il valore dei segueti iti. ) cos) e log + se) e e 5. 0 se) 0 ta 0 ta 9. Calcolare il valore dei segueti iti ove utile si ricordi ache il ite fodametale ± +/) = e). ) ) 5z z + ) y z 0 y + y + + ) 4y + ) y + ) y + y ) + + y ) y + y + y + se)) arcse Calcolare i segueti iti di forme espoeziali. ) / + ) + z 0 +ta z)log z cos ) y w + ) log w ) log. y y w + 5w 0 + log. Calcolare i segueti iti di forme espoeziali. ) / ) / ) / + cos cos z e e ) / log z 0 + cos z + z ) /z e e ) / log ) / log7) + Esercizi del 8 geaio 00 ta y ) / log cos y) y 0 + e ) Date le segueti coppie di fuzioi dire se f = og) g = of) f = Og) oppure g = Of). f) = se f) = se i g) = 0 =0 g) = i 0 =0 f) = se g) = i 0 =0 f) = +5 g) = + a + f) = g) = cos i 0 =0 f) = ta g) = log + 5) i 0 =0 f) = g) = cos i 0 =0 f) = g) =e a +. 6

7 Aalisi Matematica Esercizi A.A. 00/0. Sia f: R R ua fuzioe cotiua tale che ) ) f) f) < 0 + Allora f ammette uo zero. 4. Sia f: R R ua fuzioe cotiua tale che f) =+ + f) = Allora f ammette uo zero. 5. Sia f: R R ua fuzioe cotiua tale che f) =L f) =L+ + co L L + R allora f ammette almeo u puto fisso ovvero u tale che f ) =.) Suggerimeto: utilizzare opportuamete l esercizio precedete) alla fuzioe g) = f).) 6. Sia f: R R ua fuzioe cotiua tale che f) =0 ± e tale che assuma valori di sego opposto ovvero esistao a b tale che fa) > 0efb) < 0. Dimostrare che f possiede miimo e massimo assoluti su tutto R. Esercizi del febbraio Calcolare la derivata delle segueti somme di fuzioi specificado su quale domiio sia defiita: f ) = se + arcta f ) = 4 + arcse f ) = log cos Calcolare la derivata dei segueti prodotti di fuzioi specificado su quale domiio sia defiita: f 4 ) = / log f 5 ) = se cos f 6 ) =e f 7 ) = se log f 8 ) = log arcta f 9 ) =5 arcse cos. 9. Calcolare la derivata delle segueti fuzioi specificado su quale domiio sia defiita: f 0 ) = f ) = arcse f ) = 7 + cos.

8 Aalisi Matematica Esercizi A.A. 00/0 40. Calcolare la derivata delle segueti fuzioi razioali specificado su quale domiio sia defiita: f ) = +7 5 f 4) = f 5) = 5 +. f 6 ) = + + f 7) = Calcolare la derivata delle segueti fuzioi composte specificado su quale domiio sia defiita: f 8 ) = +) f 9 ) = + f 0 ) = log ) f ) = 5 log ) f ) = arctae +) f ) = +se f 4 ) = arcse ) f 5 ) = selog + 5)) f 6 ) = e+ se Calcolare la derivata delle segueti fuzioi forma espoeziale) specificado su quale domiio sia defiita: f 7 ) = arcta f 8 ) = +5) se + ) f 9 ) = f0 ) = logarcta ) ) /. + Esercizi del 5 febbraio Mediate l uso del Teorema dell Hôpital dopo avere verificato la validità delle ipotesi del Teorema medesimo) calcolare i segueti iti: π arcta e cos e e se log + ) arcta cos e se5) ta7) 0 se arcta) 0 arcse5) +) / + ) / 0 log + ) log + ) log5 + 4 ) + log + 7 ) arcse e + e 0 cos + ) / e 44. Dimostrare che per ogi [ 0] vale la relazioe arccos = π arcse. se )

9 Aalisi Matematica Esercizi A.A. 00/0 Esercizi del 4 marzo Studiare il grafico delle segueti fuzioi: ) 6 +5) e e + e + log loglog ) log e e e. Esercizi dell marzo Studiare il grafico delle segueti fuzioi: log loge ) arcta + log + ) + arcta. 47. Calcolare i poliomi di Taylor a) di ordie 4 della fuzioe f ) = cos el puto 0 = π; b) di ordie 4 della fuzioe f ) =e el puto 0 =; c) di ordie 4 della fuzioe f 4 ) = cos ) el puto 0 =0; d) di ordie 4 della fuzioe f ) = log + se)) el puto 0 = Calcolare i segueti iti utilizzado opportui sviluppi di Taylor delle relative fuzioi: e + e 0 cos e cos e e se log + ) arcta cos e se5) 0 + ta7) 0 se 0 0 e +e e e se 0 0 log + ) log + ) + 6 se cos )) arcse 0. 9

10 Aalisi Matematica Esercizi A.A. 00/0 Esercizi del 9 aprile Trovare l itegrale idefiito delle segueti fuzioi: f ) = f ) =7 5 7 f ) = se cos f 4 ) = +5 f 5 ) = 5 + cos f 7 ) = 4 + f 8 ) = 5 cos f 0 ) = +4 se f ) = f 6) = f 9 ) = 5 cos + 5 cos ) f ) = Trovare l itegrale idefiito delle segueti fuzioi: f ) = ) f 4 ) = cos +4) f 5 ) =5e 5 f 6 ) = se cos + f 7 ) = + + f 8) = 7 +9 f 9 ) = cos ) f 0) = 4 f ) = cos se f ) = 4 f ) = 5 +9 f 4) = arcta Trovare l itegrale idefiito delle segueti fuzioi utilizzado il metodo per parti: f 5 ) = e f 6 ) = log4) f 7 ) =e f 8 ) =e se) f 9 ) = arcta f 0 ) = + ) cos f ) = log f ) = ) log f ) =e se. 5. Calcolare i segueti itegrali utilizzado la sostituzioe suggerita: I 4 ) = d = t + I 5 ) = 9 +5 d = t + I 6 ) = +d = t. Esercizi del 0 aprile Trovare l itegrale idefiito delle segueti fuzioi razioali: f ) = 5 f ) = 7 f ) = 4 + f 4) = + 0

11 Aalisi Matematica Esercizi A.A. 00/0 f 5 ) = + f 6) = 6 +5 f 7) = f 8 ) = + + f 9) = + f 0) = f ) = + f ) = f ) = 54. Ricordado le formule ) f ) = f ) = f ) =. utilizzare la sostituzioe se = ta + ta cos = ta + ta = arcta t ovvero t = ta per calcolare gli itegrali idefiiti delle segueti fuzioi: f 4 ) = se f 5) = se 5 se + f 6) = cos + se Calcolare gli itegrali idefiiti delle segueti fuzioi mediate la sostituzioe t = e f 7 ) = e e e + f 8) = e + e e Ricordado le formule utilizzare la sostituzioe se = ta + ta cos = = arcta t ovvero t = ta per calcolare gli itegrali idefiiti delle segueti fuzioi: f 7 ) = + se f 8) = + ta se 4 cos.

12 Aalisi Matematica Esercizi A.A. 00/0 Esercizi del 4 maggio Studiare la covergeza delle segueti serie e quado possibile calcolare la somma: + = =0 ) =0 = 4 + = 58. Studiare la covergeza delle segueti serie utilizzado i criteri di asitoticità e il criterio ecessario a 0): = = log = = + e ) = = + ) 7/6 + /5 + 8/5 + = = + / + + / log +9 = = l / + = = arcta arcta = = Esercizi del maggio Studiare la covergeza delle segueti serie utilizzado il criterio del cofroto: = se + = log = log 60. Studiare la covergeza delle segueti serie utilizzado il criterio di asitoticità: se 4 4 se 7 arcse = = arcse ) = = e / cos/) = = = cos ) ta /5 6. Studiare la covergeza delle segueti serie utilizzado i criteri della radice e/o del rapporto: = +5 4 ) = + + ) = ) =

13 Aalisi Matematica Esercizi A.A. 00/0 ) ) + ) + 7! = = = 5! = = +!) = =! + =!) )! 6. Studiare la covergeza semplice ed assoluta delle segueti serie. Per la prima utilizzare qualora ecessario e possibile il criterio di Leibiz: ) + ) ) ta + = = = ) ) ) ) e log +) log = = = ) se + arcse ) ) = = Esercizi del 8 maggio Trovare il domiio delle segueti fuzioi di due variabili e disegarlo sul piao cartesiao. Rappresetare le liee di livello delle fuzioi f...f 7. +y f y) = y + f y) = y f y) = log +) +y ) ) f 4 y) = 4 y f 5 y) = log + y 7 ) f 6 y) = + y f 7 y) = e y+ f 8 y) = + y 0 + log9 y ) f 9 y) = 4 y )y ). 64. Trovare il domiio e calcolare le derivate parziali prime e secode delle segueti fuzioi: g y) =5 7 y + y 8 + g y) = y y + g y) = + y g 4 y) =e /y g 5 y) =cos y y e +y g 6 y) = 7 4y g 7 y) =e y g 8 y) = tay) g 9 y) = log y) g 0 y) = arcta y g y) = y y + g y) =e cos cos y. 65. Trovare i puti stazioari delle segueti fuzioi e dire se soo puti di massimo/miimo relativo o di sella. k y) =y +y + + k y) = + y + k y) =e +y ) k 4 y) = +y y y +5.