Metodi Matematici per la Comunicazione Digitale - 19 Giugno 2017
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- Graziana Cavallaro
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1 Metodi Matematici per la Comunicazione Digitale - 9 Giugno 7 Esercizio. Determinare il valore del parametro reale h in modo che il polinomio sia divisibile per il polinomio p h (x) = x 3 x 5x h q(x) = x x 6. Effettuo la divisione tra p h (x) e q(x) nel consueto modo, ottenendo che p h (x) = q(x)(x ) + (h ). Perciò q(x) p h (x) se e solo se il resto della divisione è nullo, ovvero per h =.. Per il valore di h determinato al punto ) si scomponga il polinomio p h (x) nel prodotto di fattori irriducibili. Dal punto precedente so che p (x) = (x )q(x). D altra parte è facile trovare che le radici di q(x) sono 3 e, da cui segue che q(x) = (x 3)(x+). Perciò la scomposizione in polinomi irriducibili di p (x) è data dalla seguente equazione: p (x) = (x )(x 3)(x + )
2 Esercizio Siano f, g, h le applicazioni dall insieme R in sé stesso definite nel modo seguente: f(x) = x 5; g(x) = 3x + 3; h(x) = x a +, a, x R.. Stabilire se f è iniettiva. f non può essere iniettiva, in quanto è pari e quindi f(x) = f( x).. Mostrare che g è biunivoca e calcolarne la funzione inversa. Dato un valore reale arbitrario y R y = 3x + 3 se e solo se x = l(y) = 3 y 3. Da quanto sopra si deduce che per ogni valore reale y R, esiste un unico valore x R tale che g(x) = y e, quindi, g è biunivoca e g = l. 3. Stabilire se esiste un valore del parametro a tale che h = h h sia l applicazione identica (il simbolo denota l usuale composizione di applicazioni). h (x) = h(x) a+ = (x a+) a+ = 4x a+ = x se e solo se a = 3x +. Siccome il valore di a che renderebbe h (x) = h(x) dipende da x, non esiste un valore di a tale che h = h.
3 3 Esercizio 3 In R 4 si considerino i seguenti sottospazi vettoriali: S = Ker(g), nucleo dell applicazione lineare g : R 4 R 3 definita da g(x, y, z, w) = (x + y + z + w, y + w, x + y + z + w), per ogni (x, y, z, w) R 4 e T, generato dai vettori a = (,,, ) e b = (,,, ). a Determinare una base di S. Scegliendo la base canonica in dominio e codominio, la matrice rappresentativa di g è la seguente: A =. Osservando che la prima e la seconda colonna sono uguali rispettivamente alla terza e alla quarta colonna e che la prima e la seconda colonna sono linearmente indipendenti, si deduce che car(a) = r(g) =. Dal teorema di nullità più rango, deriva che n(g) = e, sfruttando la prima osservazione, si trova una base del nucleo: ker(g) =< In alternativa si risolve il sistema A. b Determinare una base di S T. Notando che si ottiene che T =<, = a b 3, b >. >.
4 Inoltre (,,, ) e b sono linearmente indipendenti (non essendo uno multiplo dell altro), quindi una base dell intersezione è data da: S T =< > c Determinare la dimensione del sottospazio S + T. La formula di Grassmann ci permette di concludere che dim(s + T ) = dim(s) + dim(t ) dim(s T ) = 3. 4 Esercizio 4 Sia V = M(; R) lo spazio vettoriale delle matrici quadrate reali e si consideri l applicazione f : V V definita ponendo ( ) ( ) ( ) x y x z x y f( ) = per ogni V. y a Verificare che f è un applicazione lineare. Siano ( ) ( ) x y a b, V, λ R c d ( ) ( ) ( ) ( ) x y a b x + a y + b x + a z + c f( + ) = f( ) = c d z + c w + d y + b ( ) ( ) ( ) ( ) x z a c x y a b = + = f( ) + f( ) y b c d ( ) ( ) ( ) x y λx λz x y f(λ ) = = λ f( ) λy b Determinare la dimensione e una base di Ker(f). ( ) x y f( ) = ( ) x z = y ( ) 4
5 se e slo se Perciò e ha dimensione. ( ) c Stabilire se I = Im(f). x = y = z = Ker(f) =< > Si noti che le matrici nell immagine di f hanno sempre l entrata (, ) nulla, perciò I non può essere in Im(F ). 5 Domanda teorica. Dare la definizione di numero primo. Un intero p Z diverso da, ± è detto primo se non ha divisori propri, quindi se p = ab, allora a e b sono ± o ±p.. Enunciare il teorema fondamentale dell aritmetica. Sia a Z, a, ±. Si ha a = ±p p k dove p i N + sono numeri primi e k N +. Inoltre, tali p,..., p k sono unici (a meno di ripeterli e scambiarli tra loro).. 5
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