Corso di Laurea: Insegnamento: Docente: Cinematica. Vincoli e gradi di libertà

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1 Vincoli e gradi di libertà Coppie cinematiche Meccanismi Equazioni di struttura del moto rigido piano Vincoli e gradi di libertà La principale caratteristica dei sistemi meccanici è quella di essere costituiti da più corpi (membri), collegati fra loro in modo opportuno. In conseguenza di tali legami (incoli) risultano limitate le possibilità di moimento di ciascun membro relatiamente agli altri, ossia il numero dei gradi di libertà del singolo membro e di tutta la catena cinematica.

2 Vincoli e gradi di libertà Consideriamo corpi nello spazio tra cui sia possibile uno spostamento relatio e definiamo terne {A} e {B} solidali ai corpi, rispettiamente: x A, ya, z Ain OA x B, yb, zbin OB La posa relatia tra i corpi in assenza di incoli è espresso da 6 parametri (gradi di libertà del moto relatio) e può essere descritto per mezzo delle terne{a}e{b}: 3 componenti cartesiane per definire lo spostamento relatio delle origini delle terne lungo i 3 assi coordinati; p 3 parametri indipendenti (ad esempio tre angoli) per definire l orientamento relatio delle due terne nelle 3 direzioni dello spazio. Vincoli e gradi di libertà Nel piano la definizione della posa relatia tra due corpi (terne) si riduce a parametri per lo spostamento relatio (es. le coordinate X,Y) e ad un ulteriore parametro per l orientamento relatio (es. l angolo ): Quindi un corpo rigido libero di muoersi nel piano possiede 3 gradi di libertà.

3 Vincoli: definizioni e classificazioni Vincoli e gradi di libertà Chiamiamo incolo ogni dispositio che limita le posizioni e le elocità dei punti del sistema meccanico: pertantolapresenzadiunincolotraimembri e riduce la mobilità relatia dei membri stessi. I incoli possono essere espressi analiticamente mediante relazioni fra le coordinate e le elocità di punti del sistema. Un incolo è detto bilaterale se le restrizioni imposte al sistema si rappresentano tramite sole equazioni (es: punto incolato ad una linea, corpo con un punto fisso), mentre è detto unilaterale se compare almeno una disequazione (es: corpo appoggiato ad un piano o incolato a stare all interno di una sfera). Un incolo è interno se è douto alla costituzione del corpo stesso (per es. rigidezza) ed esterno se è douto alla presenza di altri corpi. Coppie cinematiche Si definisce coppia il sistema formato da membri contigui collegati: se tra di essi esiste un moimento relatio (cioè il sistema ha almeno g.d.l.) si ha una coppia cinematica. Coppia cinematica ( gdl di rotazione) Manoellismo di spinta Articolazione del gomito Le coppie sono caratterizzate essenzialmente dallo spostamento relatio dei membri a contatto, che dipende dalla forma delle superfici che sono in contatto durante il moto: tali superfici sono dette superfici coniugate. 3

4 Coppie cinematiche Uno stesso spostamento relatio fra i membri può essere ottenuto con differenti coppie di superfici coniugate: l effettia forma costruttia ha influenza sulla trasmissione delle forze, l usura, l ingombro, ecc. (es: in figura sono isualizzati diersi sistemi che realizzano lo stesso spostamento relatio con dierse modalità). a. Coppia prismatica semplice b. Guida e pattino c. Guida olente Coppie cinematiche Dal punto di ista cinematico si distinguono: a) contatti di strisciamento b) contatti di rotolamento c) contatti d urto Dal punto di ista realizzatio si distinguono: a) accoppiamenti di forma (in forma chiusa) b) accoppiamenti di forza (in forma aperta) Tutte le coppie possono essere realizzate in entrambi i modi: gli accoppiamenti di forza sono monolaterali ed il contatto è mantenuto da opportuni forze e momenti. 4

5 Coppie cinematiche In relazione alla geometria di contatto si hanno: a) contatti puntiformi (es: cuscinetto a sfere) b) contatti lineari (es: cuscinetto a rulli) c) contatti superficiali o di combaciamento (es: ite madreite, snodo sferico) Si indica classe di una coppia cinematica il numero di gradi di libertà residui nel moto relatio. Coppie cinematiche inferiori Coppie cinematiche Si definiscono coppie inferiori quelle coppie rigide che sono realizzabili tramite contatti di superficie: le superfici coniugate sono rigide, identiche e combacianti. Nell uso corrente sono spesso considerate elementari esclusiamente le coppie che lasciano solo grado di libertà, e quindi quelle rotoidali, prismatiche ed elicoidali. 5

6 Coppie cinematiche inferiori gdl (elementari) P prismatica (prismatic) R rotoidale (reolute) S elicoidale (screw) Coppie cinematiche F piana (flat) C cilindrica (cylindrical) G sferica (globular) Coppie cinematiche superiori Coppie cinematiche Si definiscono superiori le coppie cinematiche che non sono inferiori; esse non sono in alcun modo realizzabili tramite contatti di superficie ma esclusiamente tramite contatti lineari o puntiformi. G s C a G S C a G C F C G F sferica guidata (anche U uniersale) camma piana sfera cilindro guidati sfera cilindro piano cilindro sfera piano 6

7 Coppia prismatica Coppie cinematiche Le superfici coniugate dei due corpi accoppiati sono prismatiche. L unico moto concesso al corpo è la traslazione rispetto al corpo. V Le superfici strisciano e sopportano carichi: si siluppano forze d attrito e dissipazione di energia. Si ricorre solitamente a lubrificazione. Coppia prismatica Coppie cinematiche Esempio di coppia cinematica prismatica: accoppiamento alberomozzo attraerso un profilo scanalato. L unico grado di libertà residuo è lo scorrimento assiale dell albero rispetto al mozzo o iceersa. 7

8 Coppia rotoidale Coppie cinematiche Le superfici coniugate dei due corpi accoppiati sono cilindriche. L unico moto concesso al corpo è la rotazione rispetto al corpo. Anche in questo caso si creano forze di attrito tra le superfici. Si ricorre quindi all uso di lubrificante o di cuscinetti radenti o olenti. Coppia rotoidale Coppie cinematiche Esempio di coppia cinematica rotoidale: cerniera realizzata tramite cuscinetto radente. I cuscinetti radenti sono solitamente costituiti da bronzine. La bronzina, di materiale tenero, iene accoppiata con un perno di materiale più duro. 8

9 Impossibile isualizzare l'immagine. 5/3/ Coppia rotoidale Coppie cinematiche Esempio di coppia cinematica rotoidale: cerniera realizzata tramite cuscinetto olente. I cuscinetti olenti sono solitamente costituiti da due anelli (interno ed esterno) e da elementi olenti (sfere, rulli, rulli conici, rullini). Si ottengono alori di attrito inferiori a quelli dei cuscinetti radenti. Coppia elicoidale Coppie cinematiche In figura l accoppiamento tra ite e madreite è realizzato tramite la superficie della filettatura caratterizzata da: β angolo d elica; d diametro medio; p passo. La ite è incolata in modo tale da poter solamente ruotare intorno al suo asse. La madreite è incolata con una coppia prismatica e può solo traslare lungo il suo asse. 9

10 Coppia elicoidale Coppie cinematiche Per ogni giro la ite trasla di p. Vi è una combinazione di moto traslatorio e rotatorio, ma i due sono legati tra loro e i è quindi un unico g.d.l. Indicando con t il tempo in cui la ite effettua un giro si ha: p t t p Coppia elicoidale Coppie cinematiche Applicazione di una coppia cinematica elicoidale: martinetto meccanico a ite

11 Coppia sferica Coppie cinematiche Rotazione libera del membro attorno ad un punto fisso (centro del moto sferico). Il moto relatio ha 3 gdl Applicazioni di una coppia cinematica sferica: snodo sferico, protesi di anca. Camma piana Coppie cinematiche La camma piana è una coppia superiore; essa lascia gradi di libertà nel moto relatio dei membri collegati: engono consentiti la traslazione in direzione tangenziale e la rotazione, mentre iene impedita la traslazione nella direzione normale alle superfici coniugate nel punto di contatto. Applicazione della coppia camma piana: meccanismi di apertura alole di motori a combustione.

12 Uniersale (sferica guidata) Coppie cinematiche Rotazione intorno a due assi perpendicolari tra loro. Il moto relatio ha gradi di libertà (operando nello spazio, sopprime 4 dei 6 gdl del moto relatio). Applicazione: giunto cardanico, protesi del polso. Meccanismi Le catene cinematiche sono sistemi di membri collegati tra loro da coppie cinematiche. Una catena è detta: semplice: se ciascun membro presenta o accoppiamenti composta: se almeno un membro presenta 3 o più accoppiamenti chiusa: se si instaurano percorsi chiusi tra i membri della catena aperta: se non si instaurano percorsi chiusi tra i membri della catena

13 Meccanismi I membri delle catene cinematiche sono anche detti: membri binari se presentano accoppiamenti; membri ternari se presentano 3 accoppiamenti; membri quaternari se presentano 4 accoppiamenti;... Nello studio delle catene cinematiche si astrae spesso dalla loro effettia realizzazione e si utilizzano due tipi di schemi: schema cinematico: schema della geometria della catena essenziale per la definizione del moimento; schema strutturale: schema che rispetta la struttura della catena (non la geometria): le coppie possono essere rappresentate con i relatii simboli o con cerchi affiancati dai simboli. Meccanismi Esempio: catena cinematica chiusa semplice Schema cinematico Schema strutturale Rappresentazione geometrica della catena 3

14 Meccanismi Esempio: catena cinematica chiusa composta Schema cinematico Schema strutturale Rappresentazione geometrica della catena Meccanismi Esempio: catena cinematica aperta semplice Schema cinematico Schema strutturale Rappresentazione geometrica della catena 4

15 Meccanismi Esempio: catena cinematica aperta semplice Schema cinematico Schema strutturale Meccanismi Esempio: catena cinematica aperta composta 5

16 Meccanismi Esempio: catena cinematica aperta composta membri terziari membro binario Meccanismo: è una catena cinematica con un membro fissato al riferimento assoluto. Il membro fisso è detto telaio. Meccanismi MOVENTI Laoro motore MECCANISMO CEDENTI Laoro resistente Ambiente 6

17 L analisi di mobilità di un meccanismo è la determinazione del campo ammissibile per gli spostamenti. è funzione della struttura: le coppie non solo riducono il numero di g.d.l. del meccanismo, ma introducono anche delle limitazioni al campo ammissibile degli spostamenti; è funzione della geometria; Meccanismi è funzione della configurazione del meccanismo. Esempio: mobilità di un escaatore In figura iene riportato lo spazio di laoro di un escaatore (senza moimento dei cingoli). In macchinari di questo tipo l analisi di mobilità ricopre un ruolo molto importante. Lo spazio di laoro può essere determinato solgendo una sequenza di analisi di posizione. Meccanismi 7

18 Meccanismi Meccanismi associati Il meccanismo A) composto da due membri mobili a contatto attraerso una coppia di tipo camma piana ha la stessa mobilità del meccanismo B) in cui tali membri sono collegati attraerso un pattino (3) incernierato alla manoella (). 3 3 A ) Catena cinematica con membri e coppia camma piana B) Catena cinematica equialente con 3 membri, coppia prismatica e rotoidale C) Schema cinematico D) Schema strutturale Meccanismi Meccanismi associati Pertanto, ai fini dello studio della mobilità, a olte si definisce un meccanismo associato a quello originale ottenuto tramite la sostituzione della coppia camma piana con un membro incernierato agli estremi da coppie elementari, solitamente rotoidali. 3 8

19 Meccanismi Meccanismi associati Gli schemi strutturali, pertanto, spesso considerano solo coppie rotoidali o prismatiche (di classe ). 3 Per meccanismi nello spazio tridimensionale Il numero di gradi di libertà n (detto anche grado di mobilità) di un meccanismo con m membri rigidi, uno dei quali è il telaio, è (formula di Kutzbach): doe: c i = numero delle coppie cinematiche di classe i presenti nel meccanismo se n si tratta di un meccanismo; Equazioni di struttura m 5c 4c 3c3 c4 5 n 6 c se n = si tratta di una struttura isostatica; se n < si tratta di una struttura iperstatica. 9

20 Per meccanismi nello spazio tridimensionale Esempio: braccio Equazioni di struttura m 5c 4c 3c c c gdl n Il braccio umano è ridondante (n>6). Per meccanismi nello spazio tridimensionale Esempio: robot SCARA Equazioni di struttura m 5c 4c 3c c c gdl n traslazioni, una rotazione attorno all asse erticale (z).

21 Per meccanismi nel piano Equazioni di struttura Nel piano un corpo libero ha 3 gradi di libertà: coordinate di posizione, coordinata di rotazione. Unmeccanismocompostodam membri ha n gradidilibertà,fornitidalla equazione di Grübler : m c n 3 c c = numero delle coppie cinematiche di classe (rotoidali, prismatiche); c = numero delle coppie cinematiche di classe (camme piane). Per meccanismi nel piano Esempio: manoellismo di spinta m = 4 numero membri c = 4 numero incoli di classe di cui: 3 coppie rotoidali, coppia prismatica L equazione di Grübler fornisce: Equazioni di struttura m c c 34 4 gdl n 3

22 Per meccanismi nel piano Esempio: meccanismo piano a camma m = 3 numero membri c = numero incoli di classe di cui: coppia rotoidale, coppia prismatica c = numero incoli di classe : coppia camma piana L equazione di Grübler fornisce: Equazioni di struttura m c c 33 gdl n 3 Equazioni di struttura: casi particolari L equazione di struttura dee essere applicata con cautela in alcuni casi particolari. Ad esempio: Equazioni di struttura nel caso in cui una coppia connetta più di membri occorre contare il incolo più olte (tante quanto i membri concorrenti nella coppia meno ); se sono presenti incoli ridondanti l equazione di struttura restituisce alori errati.

23 Equazioni di struttura: casi particolari Equazioni di struttura Coppie multiple: Nelcasodimeccanismiconcatenecomposte(cioèconaccoppiamentimultipli) l equazione di struttura non dà risultati corretti se applicata senza cautela; ad es. (meccanismo di Watt): m c c 36 6 gdl n 3 3 Equazioni di struttura: casi particolari Equazioni di struttura Coppie multiple: Nel precedente schema i erano due coppie rotoidali coincidenti. Lo schema strutturale dienta: Esalatero di Watt m c c 36 7 gdl n 3 3

24 Equazioni di struttura: casi particolari Equazioni di struttura Vincoli irtuali: m=4 numero membri 3 M c =4 coppie rotoidali coppie prismatiche 4 m c c 34 4 gdl n 3 Si dimostra banalmente che il punto M dell asta 3 equidistante dai pattini e 4 descrie una circonferenza di raggio l/, essendo l la lunghezza dell asta 3. Equazioni di struttura: casi particolari Equazioni di struttura Vincoli irtuali: L aggiunta di un asta 5 incernierata in M ed in O non cambia quindi il comportamento funzionale del meccanismo: tale asta impone infatti ad M di percorrere la stessa circonferenza di cui sopra. in presenza di un incolo apparente o ridondante come questo non ale l equazione di struttura per il calcolo dei g.d.l. : O 3 M 4 m c c 35 6 gdl n 3 4

25 del moto rigido piano La cinematica consiste nello studio di posizioni, elocità, accelerazioni di un sistema di corpi interconnessi indipendentemente dalle forze che producono il moto. ANALISI CEMATICA = troare posizioni, elocità ed accelerazioni di punti di un assegnato meccanismo. STESI CEMATICA = troare la geometria e la struttura di un meccanismo per realizzare le assegnate leggi di moto. Le 3 coordinate x,y e θ indiiduano i 3 gradi di libertà che ha il corpo nel piano e dipendono dalla posizione del punto solidale al corpo O scelto come riferimento (x,y ) e dall orientamento della retta di riferimento r (fissa al corpo) prescelta (θ). Passando alle deriate delle coordinate, le elocità lineari dipendono ancora dal punto O prescelto mentre ciò non accade per la deriata della coordinata angolare θ, che iene chiamata elocità angolare ω: essa, pertanto, non a riferita a nessun punto particolare, ma caratterizza il moto dell intero corpo. dxo dyo d x O Ox y O Oy dt dt dt del moto rigido piano 5

26 Le stesse considerazioni algono per le deriate seconde, e cioè per le accelerazioni lineari e per l accelerazione angolare. d x dt O del moto rigido piano d yo d x O aox y a O Oy dt dt Moto traslatorio del moto rigido piano Il moto si chiama traslatorio quando l orientamento θ del corpo rimane costante. Nel moto traslatorio tutti i punti hanno la stessa elocità ed accelerazione. y r r r B B B A A A x Successie posizioni di un corpo soggetto a moto traslatorio 6

27 Moto rotatorio del moto rigido piano Quando un corpo rigido ruota attorno ad un asse fisso tutti i suoi punti si muoono su traiettorie circolari. Successie posizioni di un corpo soggetto a moto rotatorio Moto generale del moto rigido piano Consideriamo un corpo in moimento ed osseriamo il moto di un suo punto (B) da una postazione solidale al corpo stesso ma distinta (A traslante con elocità A ): tale moto non può essere che circolare in quanto la distanza tra i due punti non cambia, oero BA (elocità di B rispetto ad A) è perpendicolare al segmento AB. Pertanto il generico moto piano di un corpo rigido è una combinazione di una traslazione e di una rotazione, cioè è un moto di rototraslazione. Distribuzione delle elocità nel moto generale 7

28 Moto generale Nel caso generale (anche per moti spaziali) algono le seguenti distribuzioni di elocità ed accelerazioni dei corpi rigidi: del moto rigido piano B O A O B A O B B A A d B A dt ω B A B A ω B A a a B B a a A A ω ω d B A dt B A ω B A ω B A B A ω ω B A O Velocità e accelerazioni nel moto generale Moto generale Nel caso piano l accelerazione si semplifica in: del moto rigido piano a B a a B A ω a A B A ω ω B A ω B A B A O O Velocità e accelerazioni nel moto generale 8

29 Moto generale del moto rigido piano Le formule precedenti sono fondamentali per la cinematica e possono essere espresse mettendo in risalto in modo esplicito la elocità e l accelerazione relatie nel moto di un punto rispetto all altro. Teorema di Galileo B BA A BA ω B A O Teorema di Rials a a a B BAn BAt a A a BA a A B A ω B A a BAn a BAt O Velocità e accelerazioni nel moto generale Esercitazione: cinematica di un rullo rotolante su binario 9

30 Il rullo in figura rotola senza strisciare su una guida orizzontale con assegnate elocità O ed accelerazione a O del suo centro O: determinare le elocità e le accelerazioni dei punti A, B, C, D mostrati in figura. Solgimento Dal momento che il rullo rotola senza strisciare, la sua elocità nel punto C di contatto con il suolo dee essere nulla; scriendo il teorema di Galileo per i punti O e C è facile allora ricaare la sua elocità angolare: () 3

31 Solgimento Si noti che la elocità angolare risulta negatia in quanto corrispondente ad una rotazione in senso orario. La elocità del punto A ale: Tale conclusione potea anche essere immediatamente raggiunta osserando che la distribuzione di elocità dei punti che stanno sul diametro AC dee essere triangolare. Solgimento La elocità nel punto B ale: Analogamente per D si ha: 3

32 Solgimento Per quanto riguarda le accelerazioni, si noti che il punto O ha solo la componente tangenziale di accelerazione, in quanto si muoe su una traiettoria rettilinea (cioè a curatura nulla), per cui: Inserendo la condizione di puro rotolamento (), si ottiene: Allora in questo caso l accelerazione angolare è ricaabile dalla accelerazione del centro del rullo: Solgimento L accelerazione nel punto C, centro di istantanea rotazione, ale: 3

33 Solgimento Per il punto A, l applicazione del teorema di Rials fornisce: Solgimento Infine per i punti B e D: 33

34 Solgimento Nel caso in cui il moto del rullo sia a elocità costante (oiamente con riferimento al centro O) la distribuzione delle accelerazioni dienta quella mostrata in figura. Esercitazione: cinematica di un rullo rotolante tra due lastre 34

35 Il rullo in figura rotola senza strisciare tra lastre orizzontali che traslano in direzioni opposte con assegnate elocità U e L : troare la elocità angolare del rullo e la elocità lineare del suo centro O. Solgimento Siccome il rullo rotola tra le lastre senza strisciamenti, le elocità delle lastre rappresentano anche le elocità del rullo stesso nei corrispondenti punti di contatto, indicati con U ed L. La elocità del centro O può essere immediatamente ricaata da una semplice proporzione, osserando che la elocità dei punti diametrali da U a L rispetta una distribuzione lineare: 35

36 Solgimento In alternatia si può scriere il teorema di Galileo per i punti U ed L, il che consente di ricaare facilmente la elocità angolare del rullo: Si noti che la elocità angolare risulta negatia in quanto corrispondente ad una rotazione in senso orario. Solgimento A questo punto la elocità del punto O ale: 36

37 Esercitazione: cinematica del salto erticale Un saltatore è schematizzato con 4 aste incernierate. In figura engono definiti gli angoli di ogni segmento rispetto alla direzione orizzontale, i quali sono stati misurati attraerso un analisi ideoregistrata ottenendo le seguenti leggi temporali: t [ rad] f t l.5.7 [ rad] t 5 t..6 [ rad].5t.4 [ rad] c Si prende come riferimento t= l istante finale del moimento di preparazione del salto in cui il saltatore abbassa il suo centro di massa. 37

38 Inoltre sono note le seguenti dimensioni: L 7cm L 48cm l L 5cm t f L 8cm c ( piede) ( caiglia ginocchio) ( ginocchio anca) ( anca centro di massa C) Calcolare la elocità e l accelerazione dei punti A (Ankle), K (Knee), H (Hip) e C nell istante t=.s (antecedente allo stacco). Solgimento Calcolandogliangolinegliistantit=et=.ssiottengonoleseguenti configurazioni: t [ rad] f t l.5.7 [ rad] t 5 t..6 [ rad].5t.4 [ rad] c t rad.5rad l.75rad t f.4 rad c t. s.4rad.75rad l.75rad t f.9 rad c 38

39 Solgimento Deriando gli angoli si ottengono le espressioni delle elocità angolari: t [ rad] l t.5 5 t. t f.5t.4 [ rad] c.7 [ rad].6 [ rad] [ rad / s] 4 l t.5 [ 3 t. [ rad / s] t f.5 [ rad / s] c rad / s] Nell istante t=.s le elocità angolari algono: t. s [ rad / s] [ rad / s] l 3 [ rad / s] t f.5 [ rad / s] c Solgimento Utilizzando il teorema di Galileo otteniamo le elocità dei ari punti: A O ω f A O ω f cos 3..7 m / s sin 3.5 K A ω l cos m / s sin 43. H K ω t cos m / s sin 43.3 C H ω c cos5.8 m / s sin 5.7 O 39

40 Solgimento Deriando le elocità angolari si ottengono le accelerazioni angolari: [ rad / s] 4 l t.5 [ 3 t. [ rad / s] t f.5 [ rad / s] c rad / s] [ rad / s ] 4 [ rad / s ] l 3 [ rad / s ] t f [ rad / s ] c Solgimento Utilizzando il teorema di Rials otteniamo le accelerazioni dei ari punti: a a A O α f A O ω A O f α f cos 3 cos 3.7 ω f.7 m / s sin 3 sin 3.4 a K a A cos 43 cos αl.48 ω l.48 m / s sin 43 sin 43.3 a H a K cos 43 cos 43. αt.5 ω t.5 m / s sin 43 sin 43. a a C H α c cos5 cos5.8 ω c.8 m / s sin 5 sin O 4

41 Centro di istantanea rotazione del moto rigido piano Consideriamo un membro rigido in moto piano al quale associamo un sistema di riferimento O x y. In ogni condizione di moto che non sia traslazione pura, in ogni istante esiste un punto solidale al corpo rigido aente elocità nulla. Tale punto può essere anche al di fuori del corpo rigido. y y O C x Per spostamenti infinitesimi il punto del corpo rigido che non muta posizione si indica come centro di istantanea rotazione C. O x Centro di istantanea rotazione del moto rigido piano Istantaneamente il corpo si muoe di moto rotatorio intorno al centro di istantanea rotazione C. Quindi le elocità istantanee dei punti P del corpo possono essere espresse in funzione di C: ω P C P y y O C x In generale C si muoe sia rispetto la terna fissa Oxy sia rispetto la terna mobile O x y. Esso non aria solo se il corpo è in rotazione rispetto a un punto fisso. O x 4

42 Cure polari del moto rigido piano Il luogo dei punti occupati nel corso del moto dal centro di istantanea rotazione nel riferimento fisso si indica come polare fissa dello spostamento considerato. Il luogo dei punti occupati dal centro di istantanea rotazione nel riferimento locale (mobile) si indica come polare mobile dello spostamento considerato. Lo spostamento effettio del membro considerato prooca il puro rotolamento della polare mobile sulla polare fissa: le due polari risultano tangenti fra loro nei successii punti di contatto, che rappresentano il centro di istantanea rotazione dell istante considerato. Teorema di Chasles Prima formulazione: del moto rigido piano Le normali alle traiettorie dei punti di un corpo rigido in moto piano concorrono in ogni istante nel centro di istantanea rotazione. Q Q P P C 4

43 del moto rigido piano Teorema di Chasles Seconda formulazione: Se s è una qualsiasi linea (o superficie) rigida solidale con il corpo ed s, solidale al corpo, è l iniluppo delle successie posizioni assunte da s durante il moto di rispetto a, le due linee (superfici) s ed s sono chiamate profili (superfici) coniugati (sono in ogni istante tangenti nel punto di contatto K). pf Q Q pm P t P C K n s s lenormalidicontattodituttiiprofiliconiugati in un medesimo istante si intersecano nel centro di istantanea rotazione. del moto rigido piano Teorema di Chasles Nel punto di contatto K i profili coniugati hanno tangente t enormalen comune. Q Q P P s La normale n passa per il centro di istantanea rotazione C (teorema di Chasles). Se èlaelocitàangolarerelatiadeidue corpi, la elocità relatia di strisciamento fra i profili nel punto di contatto K ale: pf pm t s C K n s ω s K C K C tˆ 43

44 Cure polari Esempio del moto rigido piano Determinare la cura polare fissa e la cura polare mobile del moimento di un rullo che rotola senza strisciare su una guida orizzontale. Cure polari Esempio del moto rigido piano Se il rullo rotola senza strisciare, il punto di contatto rullo guida è centro di istantanea rotazione: siccome esso cambia posizione nel tempo, il moto è rototraslatorio. Il luogo dei punti C che, istante dopo istante, diengono centro di istantanea rotazione è costituito dalla guida per un osseratore fisso (polare fissa) e dalla circonferenza del rullo stesso per un osseratore in moto con il rullo (polare mobile). Polare mobile Polare fissa C 44

45 Cure polari Esempio del moto rigido piano La cinematica dell articolazione del ginocchio è caratterizzata da un moimento relatio di rototraslazione. Il centro di rotazione è fisso per il primi 5 3 di flessione per poi spostarsi gradualmente aicinandosi all estremità del condilo femorale. In rosso sono rappresentate le successie posizioni del centro istantaneo di rotazione del femore rispetto alla tibia. Moto relatio tra membri SiaO{x,y}unaternafissae O {x,y } una terna mobile; il punto P sia in moto anche relatiamente alla terna mobile O {x, y }. Il moto assoluto di P (cioè riferito alla terna O{x, y}) risulta somma del moto relatio (rispetto alla terna O {x, y }) e del moto di trascinamento che il punto arebbe se fosse solidale con il sistema di riferimento mobile. 45

46 Moto relatio tra membri Nel caso delle accelerazioni, compare anche una accelerazione complementare (detta anche Accelerazione di Coriolis). att Analiticamente si ha: Moto relatio tra membri P r t elocità assoluta r elocità relatia t O' ω P O ' elocità di trascinamento 46

47 Analiticamente si ha: Moto relatio tra membri a P a r a a t c accelerazione assoluta a r accelerazione relatia at ao' ω a c ω r ω P O' ω P O' accelerazione di Coriolis accelerazione di trascinamento Interpretazione fisica dell accelerazione di Coriolis: Moto relatio tra membri Consideriamo un punto mobile con elocità ṙ costante lungo una guida rotante con elocità angolare costante. In un istante di tempo dt il raggio di rotazione aria di ṙdt e quindi la elocità tangenziale passa da r a r rdt. Si ha quindi una componente tangenziale di accelerazione pari a: r rdt dt r r. 47

48 Interpretazione fisica dell accelerazione di Coriolis: Moto relatio tra membri Anche la direzione della elocità radiale aria di un angolo pari a conseguente ariazione del ettore elocità rdt. dt, con una Nasce quindi un ulteriore termine di accelerazione tangenziale: rdt r dt Sommando i precedenti due termini di accelerazione si ottiene l accelerazione di Coriolis:. a c r Metodi di analisi cinematica Equazioni indipendenti di posizione Il modello descrie le posizioni (coordinate) dei punti significatii dei membri in esame e le informazioni di elocità ed accelerazione si ottengono deriando tali equazioni (un equazione ettoriale corrisponde nel piano a due equazioni scalari). L equazione ettoriale di posizione nasce dalla descrizione geometrica del meccanismo: a partire da un punto di cui è nota la posizione, tramite una successione di ettori posizione, si descrie un percorso chiuso che lungo i successii membri del meccanismo porta nuoamente al punto iniziale: per questo motio queste equazioni engono anche chiamate equazioni di chiusura. I meccanismi composti (con accoppiamenti multipli) richiedono per la loro completa modellazione più equazioni di chiusura (un insieme sufficiente di equazioni indipendenti è fornito da tutte le maglie semplici). 48

49 Metodi di analisi cinematica Metodo analitico delle equazioni indipendenti di posizione Esempio I Risolere i problemi di posizione, elocità ed accelerazione del cinematismo assegnato in figura. Sono noti il raggio di manoella AB, la sua elocità di rotazione costante in e la posizione della cerniera C rispetto ad A. 49

50 La mobilità di un meccanismo nel piano può essere alutata tramite la formula di Grübler: n 3 m c c In questo caso: m = 3 (numero di membri); c = (numero di coppie cinematiche elementari: rotoidali in A e B); c = (numero di coppie cinematiche superiori: camma piana in C). Il meccanismo risulta quindi ad grado di libertà. Si scria l equazione ettoriale di chiusura del meccanismo: a b c d La (), proiettata nelle direzioni ortogonali, dienta un sistema di due equazioni non lineari nelle incognite b(θ) e β(θ): a sin a cos b sin b cos d c () () 5

51 Risolendo il sistema si ottiene la seguente soluzione accettabile: sin cos b d c a a d c d a sin arctan c a cos Deriando il sistema si imposta il problema di elocità: a cos b sin b cos a sin b cos b sin (3) Risolendo il sistema 3, costituito da equazioni in due incognite si ottiene: a b sin a cos b In maniera analoga a quanto fatto per le elocità, il problema delle accelerazioni si imposta deriando il sistema 3 e risolendolo rispetto alle ariabili b,. Si ottiene: b a cos b a b sin b b 5

52 Metodi di analisi cinematica Metodo analitico delle equazioni indipendenti di posizione Esempio II Risolere i problemi di posizione, elocità ed accelerazione del cinematismo assegnato in figura. Sono noti il raggio di manoella, la suaelocitàdirotazionecostante in, il alore dell angolo costante e la posizione della guida prismatica in C rispetto alla cerniera in A. 5

53 La mobilità di un meccanismo nel piano può essere alutata tramite la formula di Grübler: n 3 m c c In questo caso: m = 4 (numero di membri); c = 4 (numero di coppie cinematiche elementari: rotoidali in A e B, prismatiche in B e C. Il meccanismo risulta quindi ad grado di libertà. Si scria l equazione ettoriale di chiusura del meccanismo: a b c d e () La (), proiettata nelle direzioni ortogonali, dienta un sistema di due equazioni non lineari nelle incognite b(θ) e β(θ): a sin b c sin d a cos c cos e () 53

54 Dal sistema () si ottengono le relazioni di b e c in funzione dell angolo, che risolono il problema di posizione: e a cos c cos b d a sin tan e a cos Per impostare il problema delle elocità occorre deriare il sistema (): a cos b c sin (3) a sin c cos Risolendo il sistema (3) si ottiene: b a tan sin cos a c sin cos Per l analisi delle accelerazioni, occorre effettuare la deriata temporale delle (3), tenendo conto della costanza della elocità angolare del moente: c a sin b c sin a cos cos (4) Da cui: b a tan cos sin a c cos cos 54

55 Metodi di analisi cinematica Metodo delle elocità ed accelerazioni relatie Questo metodo può essere applicato solo per l analisi di elocità e di accelerazione, e quindi presuppone che sia già stato risolto per altra ia il problema cinematico di posizione. Si basa sull utilizzo dei teoremi di Galileo e Rials e sulle equazioni della cinematica del moto relatio. Metodi di analisi cinematica Metodo analitico delle elocità relatie Esempio I 55

56 Assegnato il meccanismo rappresentato in figura, determinare la elocità angolare out del cedente, sapendo che la manoella motrice ruota con elocità angolare in unitaria. l La mobilità di un meccanismo nel piano può essere alutata tramite la formula di Grübler: n 3 m c c In questo caso: m = 8 (numero di membri); c = (numero di coppie cinematiche elementari: 3 prismatiche e 7 rotoidali, perché la rotoidale in D a contata olte). Il meccanismo risulta quindi ad grado di libertà. 56

57 57 Volendo risolere il problema per ia analitica, si impostano le equazioni con il metodo delle elocità relatie. Partendo dal membro motore e proseguendo erso il cedente si ha: l l l k j i A B A BA A B Essendo il membro 3 collegato al membro con una coppia rotoidale, risulta: 3 B B Passando dal membro 3 al successio membro 4, collegato tramite una prismatica, si applica la formula delle elocità relatie, tenendo conto che le direzionidi B4 e B4/3 sono note: 4 / B B B 3 4 / 4 B B l Si ottiene quindi: 4 l B Muoendosi all interno del membro 5 si può troare la elocità del punto D: / 3 4 l B l B C C C D C DC C D Va osserato che D è anche punto del pattino 6, e come tale trasla orizzontalmente: l l l l k j i l D D l l 5 l D 4 OUT

58 OUT 4 Dato che i membri 5, 6 e 7 sono collegati tra di loro dalla coppia rotoidale, le loro elocità in D deono essere uguali: D 7 D 6 D 5 Muoendosi all interno della biella 7 e imponendo la direzione della elocità del punto E, che è nota perché E è anche punto della ruota 8, si ha: E 7 D 7 ED D 7 7 ( E D ) i j k 3 E 7 l 7 l 7 l 3 3l 3l 7 6 E 7 l Per ia della cerniera in 8: E 8 E 7 Considerando la ruota 8 e conoscendo le elocità dei punti E ed F si ha: F 8 E 8 FE D 7 ( F E ) 8 i j k l 8 8 l l l OUT 8 58

59 Metodi di analisi cinematica Metodo analitico delle elocità relatie Esempio II Assegnato il meccanismo rappresentato in figura, determinare la elocità angolare out del cedente, sapendo che il pattino trasla con elocità in unitaria. l 59

60 La mobilità di un meccanismo nel piano può essere alutata tramite la formula di Grübler: n 3 m c c In questo caso: m = 8 (numero di membri); c = (numero di coppie cinematiche elementari: 3 prismatiche e 7 rotoidali, perché la rotoidale in D a contata olte). Il meccanismo risulta quindi ad grado di libertà. Volendo risolere il problema per ia analitica, si impostano le equazioni con il metodo delle elocità relatie. Partendo dal membro motore e proseguendo erso il cedente si ha: A3 A B3 A3 BA A3 3 B A B3x i j k 3 B3y 3 3 l 6 6l 3l Il sistema di due equazioni nelle tre incognite B3x, B3y e 3, per cui occorre introdurre nuoe relazioni; si ossera che tramite la formula delle elocità relatie è possibile correlare la elocità del punto B pensato come appartenente al glifo 3 con quella dello stesso punto, ma solidale all asta 4: / 5 B3x B 4 B 3 B 4/3 B3y B 4/3 / 5 6

61 Dalle precedenti relazioni si ottiene quindi: 4 5 B 4/3 5 3 l 3 5 B Dato che il punto B, inteso come appartenente al membro 4, è fisso a telaio, e quindi il membro 4 ruota attorno al punto B, si può subito ricaare il alore della sua elocità angolare, che è la stessa anche per il glifo 3, isto che i due membri sono collegati da una coppia prismatica: 4 3 l 5 Si può passare al punto C, sempre muoendosi all interno dello stesso membro 4: C B C 4 B 4 CB B i j k C x 5 4 C 4 C 4y 4 4 l 4 5 4l l Data la cerniera in C si passa al membro 5: C 5 C 4 La elocità del punto D è correlata a quella del punto C dalla solita formula che stabilisce la distribuzione di elocità nei corpi rigidi piani: D C D5 C 5 DC C 5 5 6

62 Il punto D è anche punto del pattino 6 che scorre in una guida erticale. La componente D5x sarà quindi nulla: 5 i j k D 5 D l 5 l 4l Si ottiene quindi: D5 D6 D7 5 5 l 3 Muoendosi all interno del membro 7, si può esprimere la elocità del punto E come: E D E 7 D7 ED D7 7 i j k E 7 E l 5 l l 7 E 7 5 6

63 Considerando il punto F si ha: F E F E EF E 8 i j k F V 5 8 V 5 8l l OUT 8 3l 63

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