GEOMETRIA svolgimento di uno scritto del 11 Gennaio 2012
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- Bruno Rocca
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1 GEOMETRIA svolgimento di uno scritto del Gennaio ) Trovare una base per lo spazio delle soluzioni del seguente sistema omogeneo: x + y 5z = 3x y + z = x y + 8z =. Il sistema può essere scritto in forma matriciale nel modo seguente : 3 8 x 5 = y z 8 8 A = 5 Gauss-Jordan A = 7 (matrice a gradini) 3 Quindi, il sistema iniziale è equivalente al sistema x 8 y = 7 z Dalla seconda equazione si ha che y = 7z. Sostituendo nella prima si ottiene x = z. Per cui lo spazio delle soluzioni è {(x, y, z) R 3 y = 7z, x = z}. Una sua base è data da una(qualsiasi) terna α(, 7, ) con α R{}... ) Tra le rette passanti per il punto A(,,8) trovare, se esiste, quella che si appoggia all asse Y e alla retta r : y = z 5 =. Si vede subito che: - la retta r è parallela all asse X e passa per il punto B(,, 5), quindi r e l asse Y sono sghembe; - il punto A non appartiene né all asse Y né alla retta r; Quindi, la retta cercata, chiamiamola s, esiste ed è anche unica. Inoltre, indicato con π il piano contenente l asse Y e il punto A e con π il piano contenente la retta r e il punto A, la retta s si ottiene come intersezione dei due piani (non paralleli) π e π. Si vede subito che il piano π è il piano YZ di equazione x =. Combinando linearmente le equazioni della retta r λy + µ(z 5) = e imponendo il passaggio per il punto A(,, 8) si ottiene λ + 3µ =. Scegliendo l autosoluzione (3, ) si ottiene il piano π : 3y z + 5 =. Quindi, una coppia di equazioni cartesiane della retta s è la seguente: s : 3y z + 5 = x =
2 3) Trovare la distanza tra le seguenti rette: r : y + z = x = e s : y + z 5 = x + 4 =. Si vede subito che : - i piani y + z = e y + z 5 = sono paralleli ; - i piani x = e x + 4 = sono paralleli. Quindi, le due rette r e s sono parallele. Inoltre, si vede subito che la retta r passa per l origine O(,, ) ; Una terna di parametri direttori delle rette r e s è data da (,, ). Per cui il piano perpendicolare ad entrambe le rette e passante per O ha equazione y z =. Indicato con A il punto d intersezione della retta s : y + z 5 = x + 4 = con il piano y z =, con semplici calcoli si trova che A( 4,, ). La distanza tra le due rette è uguale alla distanza tra i due punti O e A, per cui d(r, s) = d(o, A) =... 4) Sulla retta r passante per il punto A(,, 5) e parallela all asse X trovare i punti che distano dal piano π : x y + z 5 =. Un generico punto della retta r, di parametri direttori (,, ), ha coordinate P(t +,, 5). Utilizzando la formula della distanza punto-piano otteniamo ax P + by a + b + cz P P + c + d = d(p, π) ( t + ) ( ) + (5) 5 = ovvero t + = + ( ) + Essendo t = e t = 8 le sue soluzioni, si ha che i punti cercati sono: P (,, 5) e P (7,, 5)... 6) Sia Σ la sfera di centro l origine O(,,) e passante per A( 5,,). Sia π il piano parallelo al piano XZ e passante per il punto B( 4, 3, ). Trovare il centro e il raggio della circonferenza C ottenuta secando la sfera Σ col piano π. Si vede subito che: - la sfera ha raggio R = 5; - il piano π ha equazione y = 3; - la distanza del centro della sfera O da π è d(o, π) = 3; - la retta t passante per il centro O della sfera e perpendicolare a π è l asse Y : x = z =. Quindi, il centro della circonferenza (che si ottiene come intersezione di t e π) è (, 3, ) mentre il raggio della circonferenza è R [d(o, π)] = 4
3 5) Trovare l equazione canonica e classificare la conica di equazione 7x + 3 xy 3y 3x y 3 =. A = p A (λ) = det(a λi) = (λ )(λ + 8) λ = et λ = 8 λ = x = 5 y 3 x = 3 y x 3 y = Quindi, gli autovettori relativi a λ = sono tutte e sole le coppie α( 3, ) α R {}. Di conseguenza, gli autovettori relativi a λ = 8 sono tutte e sole le coppie β(, 3 ) β R {}. Scegliendo α = e β =, cioè gli autoversori u = ( 3, ) e u = (, 3 ), si ha che la 3 matrice C = [u, u ] = 3 è una matrice ortogonale con detc =. Effettuando la rotazione x x' = C y y' si ottiene l equazione λ (x ) + λ (y ) + d x + e y = dove [d e ] = [ ]C = [ 3 4] (x ) 8(y ) 3 x + 4y 3 = (x ) 3 x 8(y ) + 4y 3 = (x (x 3(x 3 ) 3 9 8(y ) = 3 ) 3 8(y ) 4 = 3 ) 3 (y ) = Effettuando la traslazione 3 X = x' 3 Y = y' 3X Y = si ottiene l equazione canonica (iperbole)
4 GEOMETRIA svolgimento di uno scritto del 6 Gennaio ) Sia la matrice A avente ( 3,, ), (, 7, ) e (,, 7) come I, II e III riga rispettivamente. Trovare una base per ogni autospazio di A. Il polinomio caratteristico di A è p A (λ) = det(a λi) = (λ + 3)(7 λ). Per cui gli autovalori reali di A sono λ = 3 con m a ( 3) = e λ = 7 con m a (7) =. Siccome m g ( 3) = l autospazio E(λ ) = E( 3) ha dimensione. Per cui una sua base è costituita da un suo qualsiasi vettore non nullo. I vettori di E(λ ) = E( 3) sono tutte e sole le terne soluzioni del sistema lineare omogeneo che ha (A λ I) = (A + 3I) come matrice dei coefficienti. Per cui si ha subito il sistema y = x + z =. Quindi, una base di E( 3) è un qualsiasi terna non nulla (x, y, z) tale che y = x + z =. Ad esempio (,, ). Analogamente, i vettori dell autospazio E(λ ) = E(7) sono tutte e sole le terne soluzioni del sistema lineare omogeneo che ha (A λ I) = (A 7I) come matrice dei coefficienti. Per cui si ha subito il sistema x z =. Inoltre, dime(7) = m g (7) = 3 rg(a 7I) = 3 =. Quindi, una base di E(7) è formata da una qualsiasi coppia di terne (x, y, z) linearmente indipendenti tali che x z =. Ad esempio (,, ) e (,, ). ) Sia π il piano di equazione (t )x + 9y + tz = ed r la retta passante per i punti A( 5, t, ) e B(, t, t). Determinare per quale valore del parametro reale t il piano π e la retta r non hanno punti in comune. Affinchè la retta r e il piano π non abbiano punti in comune è necessario (ma non sufficiente) che siano paralleli tra loro. Quindi, il vettore u = (5,, t ) parallelo alla retta r deve essere perpendicolare al vettore v = (t, 9, t) perpendicolare al piano π. Per cui deve essere nullo il loro prodotto scalare. u v = 5(t ) + t(t ) = (t )(5+t). Quindi, è necessario (ma non sufficiente) che si abbia t = oppure t = 5. Per t = si ha che B(,, ) e π : 9y + z =. Siccome B π, la retta r è contenuta nel piano π. Quindi, la condizione t = non è sufficiente. Per t = 5 si ha che B(, 5, 5) e π : 6x 9y + 5z + =. Siccome B π, la retta r è non è contenuta nel piano π. Per cui, la condizione t = è anche sufficiente. Quindi, la retta e il piano non hanno punti in comune se e solo se t = 5.
5 3) Trovare i parametri direttori della retta t di minima distanza tra le rette r : x z = y = e s : y z = x =. I parametri direttori della retta r sono proporzionali ai minori di ordine della matrice per cui possiamo prendere u r = (,, ). I parametri direttori della retta r sono proporzionali ai minori di ordine della matrice per cui possiamo prendere u s = (,, ). Una terna di parametri direttori della retta t di minima distanza è proporzionale alle componenti del vettore prodotto vettoriale di u s u r = i j k. Quindi, si ha subito che u t = (,, ). 4) Trovare i piani contenenti l asse X e formanti con l asse Y un angolo θ di π/6 radianti. Un generico piano contenente l asse X ha equazione λy + µz = con (λ, µ) (, ). Per cui (a, b, c) = (, λ, µ) (,, ) è un vettore non nullo perpendicolare a tale piano. Il vettore (l, m, n) = (,, ) è un vettore non nullo parallelo all asse Y. al + bm + cn Ora, utilizzando la formula sin θ = per il calcolo dell angolo tra una a + b + c l + m + n retta ed un piano si ha che = da cui 3λ = µ. Scegliendo λ =, si ha che µ = ± 3. λ λ + µ Per cui i piani cercati sono y + 3 z = e y 3 z =. 6) Trovare la sfera tangente al piano π : x + 5y 3z = nel punto A(3,, ) e avente il centro sul piano π : y + 5 =. Il centro della sfera si trova sulla retta r passante per A e perpendicolare al piano π. Si vede subito che una terna di equazioni parametriche di r è data da (x, y, z) = (t+3, 5t, 3t+). Quindi, il centro della sfera è il punto d intersezione tra la retta r e il piano π. Con semplici calcoli si ottiene che C( 5, 5, 5 ). Il raggio R della sfera è uguale alla distanza del punto A dal centro C. Con semplici calcoli si trova che R = [d(a, C)] 5 =. Per cui l equazione della sfera è data da 5 (x ) 5 + (y + ) 5 + (z ) 5 = ovvero x + y + z 5x +5y 5z + =
6 5) Trovare l equazione canonica e classificare la conica 5x + xy + 5y x y + 7 =. A = 5 5 λ = 6 et λ = 4 λ = 6 p A (λ) = det(a λi) = (λ 6)(λ 4) x = y x = y x y = Quindi, gli autovettori relativi a λ = 6 sono tutte e sole le coppie α(, ) α R {}. Di conseguenza, gli autovettori relativi a λ = 4 sono tutte e sole le coppie β(, ) β R {}. Scegliendo α = e β =, cioè gli autoversori u = (, ) e u = (, ), si ha che la matrice C = [u, u ] = Effettuando la rotazione x x' = C y y' è una matrice ortogonale con detc =. si ottiene l equazione λ (x ) + λ (y ) + d x + e y = dove [d e ] = [ ]C = [ 6 4 ] 6(x ) + 4(y ) 6 x 4 y + 7 = 6(x ) 6 x + 4(y ) 4 y + 7 = 6(x 6(x 3(x ) 3 + 4(y ) + 7 = ) + 4(y ) + = ) + (y ) = Effettuando la traslazione X = x' Y = y' 3X + Y = si ottiene l equazione canonica (ellisse immaginaria)
7 GEOMETRIA svolgimento di uno scritto del 4 Febbraio ) Trovare la soluzione GENERALE (x, y, z) del seguente sistema lineare: 3x y + z = x y + 8z 8 = x + y 5z 3 =. 8 8 La matrice completa del sistema è C= 5 3. Col metodo di riduzione a gradino si ha C = Il sistema che ha C come matrice completa è x + z 7 = y 7z + = per cui la sua soluzione generale può essere scritta così (x, y, z) = (7 z, 7z, z) = (7,, ) + z(, 7, ) z R. E questa è anche la soluzione generale del sistema iniziale in quanto i due sistemi sono equivalenti. ) Sia r la retta passante per i punti A(4, t, t) e B(t 4, t, t ). Se esiste, trovare il VALORE del parametro reale t per cui la retta r passa per l origine O(,,). Poi, scrivere una terna di PARAMETRI DIRETTORI per tale retta. La retta r passa per l origine se e solo se i vettori [OA] e [OB] sono paralleli e, quindi, se e solo se 4 t t rg <, ovvero tale matrice ha tutti i minori di ordine uguali a zero. Quindi, è t 4 t t necessario (ma non sufficiente) che sia nullo il primo minore t( t) ovvero che sia t = o t =. Per t = si ha [OA] = (4,, ) e [OB] = ( 4,, ). Siccome tali vettori non sono paralleli, la condizione t = non è sufficiente. Per t = si ha [OA] = (4,, ) = *(,, ) = [OB]. Per cui tali vettori sono paralleli e la condizione t = è anche sufficiente. Quindi, la retta r passa per l origine O se e solo se t =. Una terna di parametri direttori è una qualunque terna k(,, ) k R {} 3) Se esiste, trovare il PIANO che contiene le rette r : y + z = x + = e s : y + z = x =. Si vede subito che i piani y + z = e y + z = sono paralleli e che i piani x + = e x = sono paralleli. Inoltre, O r e O s. Per cui le due rette r e s sono parallele in senso stretto e, quindi, esiste un unico piano che le contiene. Tale piano è l unico piano che contiene la retta r e l origine O. Combinando linearmente le equazioni della retta r si ha λ(x + ) + µ(y + z ) =. Imponendo il passaggio per O si ha λ 5µ =. Prendendo l autosoluzione (λ, µ) = (5, ) abbiamo che il piano cercato ha equazione 5x + y + z =.
8 4) Trovare la DISTANZA tra le rette r : x z = y = e s : y + z = x =. Si vede subito che: la retta r si trova sul piano XZ e passa per l origine O; la retta s si trova sul piano x = (parallelo al piano YZ). Per cui le due rette non sono parallele. Quindi, esiste un unico piano che contiene la retta s ed è parallelo alla retta r. Dall equazione λ(x ) + µ(y + z) = del fascio di piani per la retta s si ha che un generico piano contenente s ha un equazione del tipo λx + µy + µz λ =. Imponendo la condizione di parallelismo con la retta r otteniamo che λ det µ µ = da cui λ + µ =. Prendendo l autosoluzione (λ, µ) = (, ) abbiamo che il piano cercato è π : x y z =. Infine, la distanza tra le due rette r ed s è uguale alla distanza di un qualsiasi punto di r dal piano π. Siccome O r, si ha che d(r, s) = d(o, π). Per cui d(r, s) = 6. 5) Sulla retta r passante per il punto A(3,, ) e perpendicolare al piano π : x y + z =, trovare i PUNTI che distano 4 dal piano π : x 4 =. I punti della retta r sono tutti e soli i punti che hanno coordinate (x, y, z) = (t + 3, t, t ) con t parametro reale. Imponendo che la loro distanza dal piano π sia 4, otteniamo t = t = 4. Quindi, un punto (t + 3, t, t ) è a distanza 4 dal piano π se e solo se t = 5 o t = 3. Per cui i punti cercati sono A(8,, 3) e B(, 6, 5). 6) Trovare CENTRO e RAGGIO della circonferenza x + y + z + 4y + z = x y =. La sfera x + y + z + 4y + z = ha il suo centro nel punto H(,, ). Inoltre, passa per l origine O, per cui il suo raggio è R = d(o, H) = 6. Se indichiamo con s la retta passante per H e perpendicolare al piano π : x y =, allora una sua terna di equazioni parametriche è data da (x, y, z) = (t, t, ). Il centro della circonferenza è il punto C d intersezione tra il piano π e la retta s. Con semplici calcoli si ha che t = e, quindi, C(,, ). Se indichiamo con D = d(h, π) la distanza del punto H dal piano π, allora si ha D =. Inoltre, abbiamo che il raggio della circonferenza è r = R D. Per cui r =.
9 GEOMETRIA svolgimento di uno scritto del 3 Giugno ) Trovare una base per ognuno degli autospazi della matrice A = Il polinomio caratteristico di A è p A (λ) = det(a λi) = ( λ)( + λ). Per cui gli autovalori reali di A sono λ = con m a () = e λ = con m a ( ) =. Siccome m g () = l autospazio E(λ ) = E() ha dimensione. Per cui una sua base è costituita da un suo qualsiasi vettore non nullo. I vettori di E(λ ) = E() sono tutte e sole le terne soluzioni del sistema lineare omogeneo che ha (A λ I) = (A I) come matrice dei coefficienti. Per cui si ha subito il sistema y = x + z =. Quindi, una base di E() è un qualsiasi terna non nulla (x, y, z) tale che y = x + z =. Ad esempio (,, ). Analogamente, i vettori dell autospazio E(λ ) = E( ) sono tutte e sole le terne soluzioni del sistema lineare omogeneo che ha (A λ I) = (A + I) come matrice dei coefficienti. Per cui si ha subito il sistema x 3y =. Inoltre, dime( ) = m g ( ) = 3 rg(a + I) = 3 =. Quindi, una base di E( ) è formata da una qualsiasi coppia di terne (x, y, z) linearmente indipendenti tali che x 3y =. Ad esempio (3,, ) e (,, ). ) Determinare per quale valore/i del parametro reale t le equazioni seguenti x + (t + 7)y =, ty + z =, 3x (t + 7)z =, rappresentano tre piani distinti di uno stesso fascio. Le tre equazioni rappresentano tre piani di uno stesso fascio se e solo se t + 7 t + 7 rg t, ovvero (siccome è nulla la IV colonna) det t =. 3 t 7 3 t 7 E, quindi, se e solo se (t + 7)(3 t) =. Per t = 7 si ha che la I e la III equzione rappresentano lo stesso piano, per cui tale valore non è accettabile. Per t = 3 i tre piani sono a due a due distinti. Quindi, l unico valore è t = 3.
10 3) Scrivere i parametri direttori della retta t passante per l origine O ed incidente sia la retta r: x = x y + 3 z + = che la retta s: x + y z 7 = x + 7y =. Si verifica facilmente che le rette r e s sono sghembe. Infatti, viste le semplici equazioni si ha che 3 det 3 = det = 7det Inoltre, si vede subito che nessuna delle due contiene l origine O. Quindi, la retta t esiste ed è unica. Inoltre, t si può esprimere come intersezione del piano α che contiene r ed O e del piano β che contiene s ed O. Dalle equazioni di r ed s si vede subito che α : x = e β : x + 7y =. Per cui t : x = y = è l asse Z delle quote. I suoi parametri direttori sono k(,, ) k R {}. 4) Calcolare la distanza tra le due rette r: x y 5 = 5y z = e s: x y = 5x z =. Si vede subito che l origine O appartiene alla retta s. Con semplici calcoli si vede subito che le due rette sono entrambe parallele al vettore (,, 5). Per cui r e s sono parallele tra loro. Quindi il piano π : x + y + 5z = passa per O ed è ortogonale alle due rette. Con semplici calcoli si trova che il punto d intersezione tra r e π è il punto A(5,, ). Infine si ha che d(r, s) = d(a, O) = 6. 5) Sulla retta r passante per il punto A(,, 5) e perpendicolare al piano x y z + 3 =, determinare le coordinate dei punti che hanno distanza 4 dal piano π x y + z + =. Si vede subito che una terna di equazioni parametriche di r è data da (x, y, z) = (t, t, t 5). Per cui un generico punto P di r ha coordinate (t, t, t 5). Imponendo che P abbia distanza 4 dal t ( t) + ( t 5) + piano π si ottiene = 4 da cui t = 3 e, infine, t = e t = 4. + ( ) + Quindi, i due punti sono P (, 4, ) e P (4, 8, 3).
11 6) Trovare l equazione canonica della seguente conica 3x + 6xy + 3y + 8x + 4y + 3 =. Poi, classificarla. A = λ = 6 et λ = λ = 6 p A (λ) = det(a λi) = (λ 6)λ x = 3 y x = y x y = Quindi, gli autovettori relativi a λ = 6 sono tutte e sole le coppie α(, ) α R {}. Di conseguenza, gli autovettori relativi a λ = sono tutte e sole le coppie β(, ) β R {}. Scegliendo α = e β =, cioè gli autoversori u = (, ) e u = (, ), si ha che la matrice C = [u, u ] = Effettuando la rotazione x x' = C y y' è una matrice ortogonale con detc =. si ottiene l equazione λ (x ) + λ (y ) + d x + e y + 3 = dove [d e ] = [8 4]C = [6 ] 6(x ) + (y ) + 6 x y + 3 = 6(x ) + 6 x + 3 y = 6(x + ) y = 3 (x + ) y = Effettuando la traslazione X = x' + Y = y' si ottiene l equazione 3 X Y = da cui Y = 3 X (parabola)
12 GEOMETRIA svolgimento di uno scritto del 8 Giugno t 3 ) Siano A = e X = ( t ). Se esiste, trovare il valore del parametro reale t per il quale il vettore X è un autovettore della matrice A. Scrivere anche l autovalore relativo a X. Il vettore X è un autovettore di A se e solo se esiste un numero reale λ tale che AX = λx. Quindi, se t 3 t 6 = λ e solo se = λ ovvero. Con semplici calcoli si ha ( t ) ( t ) 4 = λ t = e λ = 4 ) Se esiste, trovare il valore del parametro reale t per il quale l origine O e i punti A(, 7, ), B( 5, 4, ) e C(t 3t,, 3 t) sono quattro punti a due a due distinti tra loro e complanari. I punti O, A, B e C sono complanari se e solo se i vettori [OA], [OB] e [OC] sono complanari. 7 Quindi se e solo se det = ovvero se e solo se det = e, infine, se t 3t 3 t t 3t 3 t e solo se (t 3)(t 5) =. Per cui t = 3 e t = 5. Osserviamo però che per t = 3 si ha che O C. Per t = 5 si hanno quattro punti a due a due distinti tra loro. Perciò l unico valore è t = ) Scrivere l equazione del piano passante per l origine O, perpendicolare al piano x 3y + z = e parallelo alla retta x = x 3y + z =. Siccome il nostro piano passa per l origine la sua equazione è ax + by + cz =. Imponendo che sia perpendicolare al piano x 3y + z = si ha che a 3b + c =. Imponendo il parallelismo con la a b c retta x = x 3y + z = si ha det = ovvero b + 3c =. Con semplici calcoli, si ottiene 3 (a, b, c) = ( 5c, 3c, c). Scegliendo c =, si ha (a, b, c) = (5, 3, ). Quindi il piano richiesto è 5x + 3y z =
13 4) Scrivere le componenti di un versore avente la stessa direzione della retta di minima distanza tra le rette sghembe r : x 3z + = y + z = e s : x + 7y = x + y z =. (modo I) Si calcolano i parametri direttori delle rette r e s. Una terna di parametri direttori della retta r è data dalle componenti del vettore u = (3,, ). Una terna di parametri direttori della retta s è data dalle componenti del vettore v = (7,, ). A questo punto si ha che una terna di parametri direttori della retta di minima distanza è data dalle componenti del prodotto vettoriale w = v u. Con semplici calcoli si ha che w = (,, ). Per cui le componenti dei due versori richiesti sono ± 3 (,, ). (modo II) Si trova il piano contenente una delle due rette e parallelo all altra. Combinando linearmente le equazioni di r λ(x 3z + ) + µ(y + z) = si ottiene l equazione di un generico piano contenente r λx + µy + (µ 3λ)z +λ = λ µ µ 3λ Imponendo il parallelismo con la retta s si ha det 7 = da cui, con semplici calcoli, λ µ =. Scegliendo λ = si ha µ = e un equazione del piano è x + y z + =. I versori aventi la stessa direzione della retta di minima distanza sono i versori perpendicolari a tale piano. Per cui le componenti di tali versori sono ± 3 (,, ) 6) Sia γ la circonferenza passante per i punti O(,, ), A(3,, ) e B(,, 7). Scrivere le equazioni delle due sfere contenenti γ e aventi il centro a distanza dal piano sul quale giace γ. Si vede subito che la circonferenza γ giace sul piano y =. Il centro H della circonferenza γ si trova nel punto d intersezione degli assi delle due corde OA e OB. Per cui si ha subito H(3/,, 7/). Il centro C della sfera si trova sulla retta passante per H e perpendicolare al piano y =. Quindi, le sue coordinate sono del tipo C(3/, t, 7/). Imponendo che la distanza di C dal piano y = su cui giace γ sia si ha subito che t = ovvero t = ±. Per cui i centri sono C / (3/, ±, 7/). A questo punto, tenendo anche conto che le sfere passano per l origine, si scrivono subito le loro equazioni x + y + z 3x ± y + 7z =
14 5) Scrivere l equazione canonica della seguente conica 5x xy + 5y + x y + 5 =. Poi, classificarla. 5 A = p A (λ) = det(a λi) = (λ 4)(λ 6) 5 λ = 4 et λ = 6 x λ = 4 = x y = y Quindi, gli autovettori relativi a λ = 4 sono tutte e sole le coppie α(, ) α R {}. Di conseguenza, gli autovettori relativi a λ = 6 sono tutte e sole le coppie β(, ) β R {}. Scegliendo α = e β =, cioè gli autoversori u = (, ) e u = (, ), si ha che la matrice C = [u, u ] = Effettuando la rotazione x x' = C y y' è una matrice ortogonale con detc =. si ottiene l equazione λ (x ) + λ (y ) + d x + e y + 5 = dove [d e ] = [ ]C = [ 4 6 ] 4(x ) + 6(y ) 4 x 6 y + 5 = 4(x ) 4 x + 6(y ) 6 y + 5 = 4(x (x ) + 6(y ) = ) + 3(y ) = Effettuando la traslazione X = x' Y = y' si ottiene l equazione canonica x + 3y = (conica avente un solo punto reale)
15 GEOMETRIA svolgimento di uno scritto del 9 Luglio ) Sia V(w, x, y, z) il sottospazio di R 4 avente B = {(,,, ), (,,, )} come base. Scrivere le equazioni (nelle incognite w, x, y e z) del sottospazio V. Un generico vettore (w, x, y, z) di R 4 appartiene al sottospazio V se e solo se vale il rango della matrice C = w x y z. Tenendo conto che det è un minore non nullo di ordine w x y w due della matrice C, abbiamo che rgc = se e solo se det = e det Con semplici calcoli otteniamo y = e w + x + z = x z =.... ) Al variare del parametro reale t, studiare il sistema lineare tx + y 3t = x + ty 3t = nelle incognite (x, y). In particolare, quando il sistema è compatibile, scrivere le sue soluzioni. Il determinante della matrice dei coefficienti è uguale a (t )(t + ). ) Per cui t ± si ha un sistema di Cramer e, quindi, una ed una sola soluzione. Con semplici calcoli, si ha che tale soluzione è data (x, y) = 3t (, ) t + ) Per t = il sistema è equivalente al sistema x y 3 = x y + 3 =. E immediato rendersi conto che tale sistema non ha soluzioni. 3) Per t = + il sistema è equivalente all equazione x + y 3 =. Quindi, il sistema ha soluzioni date da (x, y) = (α, 3 α) α R....
16 3) Trovare un versore parallelo alla retta t passante per l origine O(,, ) ed incidente le due rette sghembe r: x 3y + z 3 = x y = e s: y + z = x + y 5z + 9 =. Si vede subito che nessuna delle due rette contiene l origine O. Quindi, la retta t esiste ed è unica. Inoltre, t si può esprimere come intersezione del piano α che contiene r ed O e del piano β che contiene s ed O. Dalle equazioni di r ed s si vede subito che α : x y = e β : y + z =. Per cui t : x y = e β : y + z =. Una terna di parametri direttori della retta t è data da (,, ). Per cui i due versori paralleli alla retta t sono ± (,, ) ) Calcolare la distanza tra la retta r : x y = z 4 = e la retta s : z = x y 5 =. Si vede subito che le due rette sono parallele tra loro e hanno la stessa direzione del vettore (,, ). Il punto A(,, 4) è un punto di r. Il piano passante per A e ortogonale alle due rette è x + y =. Tale piano incontra la retta s nel punto B(,, ). A questo punto la distanza tra le due rette r e s è uguale alla distanza tra i punti A e B che, con semplici calcoli, si vede essere uguale a.... 5) Siano A, B e C i punti di intersezione del piano di equazione x + 3y + z 8 = con gli assi coordinati X, Y e Z rispettivamente. Trovare le coordinate dell ortocentro del triangolo ABC. Si ha subito che A(8,, ), B(, 6, ) e C(,, 8). Sia α il piano passante per B e ortogonale al vettore [CA]. Sia β il piano passante per C e ortogonale al vettore [BA]. L ortocentro H (punto d incontro delle altezze) del triangolo ABC è il punto d incontro dei piani α, β e x + 3y + z 8 =. Siccome [CA] = 8(,, ), si ha α : x z =. Siccome [BA] = 6(3,, ), si ha β : 3x y =. Quindi, le coordinate dell ortocentro si ottengono trovando l unica soluzione del semplice sistema x z = 3x y = x + 3y + z 8 = da cui si ottiene H ,,... 6) Sia r : 3x 4y 6 = la direttrice delle due parabole passanti per il punto A(, ) e aventi i fuochi sull asse X delle ascisse. Trovare le coordinate dei due fuochi. Con un semplice calcolo si trova che la distanza del punto A(, ) dalla direttrice r : 3x 4y 6 = è uguale a 4. Quindi il punto A(, ) deve essere alla stessa distanza 4 dal fuoco F(x, ) che si trova sull asse X delle ascisse. Per cui x = 4 e, quindi, F (, ) F (6, )
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