x + y = 1 3 y z = 2 x + y z = 4 3 Poichè il determinante della matrice incompleta è 5, applico Cramer e

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1 Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Ottica ed Optometria Tutorato di Istituzioni di Matematica - A.A.06/07 Docente: Prof.ssa E. Scoppola Tutore: Gianclaudio Pietrazzini Esercizio Risolvere i seguenti sistemi lineari: Soluzioni del Tutorato 6 x + y = 3 (a) x + 3 y z = x + y z = 4 3 Poichè il determinante della matrice incompleta è 5, applico Cramer e 3 dunque l unica soluzione del sistema è: x = 8, y =, z =. 5 5 x + y = (b) x + y z = x + y z = Poichè il determinate della matrice dei coefficienti è diverso da zero, applico il teorema di Cramer ottenendo l unica soluzione x =, y = z = 0. Studiare il seguente sistema al variare del parametro reale λ: x + y + 3z = 3 (c) x + y λz = 6 x + z = 3 La matrice incompleta ha determinante λ 6.Dunque se λ 6 la soluzione, per il teorema di Cramer, esiste ed è unica ed è data da: x = 3, y = z = 0. Se λ = 6, per il teorema di Rouchè-Capelli, esistono soluzioni della forma: x = 3 t, y = t, z = t.

2 Esercizio Risolvere i seguenti problemi: data la retta r : x + y = 0, trovare la retta s ad essa perpendicolare e passante per il punto P = (, ). Determinare, inoltre, le intersezioni della retta r con la parabola y = x + x. La retta r si riscrive y = x e dunque la retta ad essa perpendicolare ha coefficiente angolare uguale a ed imponendo il passaggio per il punto P = (, ) si ottiene: y = x. Le intersezioni della retta r con la parabola sono determinate dall equazione: ( ) x = x 5 + x da cui si ricavano i punti: +, 3 5 e ( ) 5, data la parabola f(x) = x x+3 e la retta g(x) = x+, determinare le coordinate dei punti d intersezione tra f(x) e g(x) e le equazioni delle rette passanti per detti punti ed ortogonali alla retta g(x). Le coordinate dei punti d intersezione tra retta e parabola sono (, 3) e (, 0) e le equazioni delle rette passanti per detti punti ed ortogonali alla retta g(x) sono: (y 3) = (x ) e y = (x + ). data la retta r : 3x y = 0, trovare il punto P d intersezione con l asse y e determinare la retta che passa per P ortogonale ad r. Il suo punto d intersezione con l asse y ha coordinate (0, ) e la retta passante per P ortogonale ad r ha equazione y = 3 x.

3 Esercizio 3 Calcolare i seguenti limiti:. lim x ln(+e x )+x ln(+e lim x ) x 4x ln[e = lim x ( x ; 4x + x = 4x e x +)] + = 4x ln(e = lim x ) x + ln( e x +) + = + = 3; 4x 4x 4 4 ln( in quanto lim e x +) x, passando agli esponenti, si riscrive: 4x e lim ln( e x +) ( x = lim e 4x e x +) x = 0. e 4x. lim x x 4x+3 x ; lim x (x 3)(x ) x =. 3. lim n n (n+3) 3n 3 ; lim n n 3 (+ 3 n ) 3n 3 = lim x 0 ( +x 3 x )x ; Utilizzando il limite notevole: lim x 0 a x = (a > 0), il risultato è: lim x 0 ( +x 3 x )x =. 5. lim x ( x) x; lim x [( x) x ] = [e ] = e lim x 0 ln(+x)+ln( x) x ; lim x 0 ln( x ) x = lim y ( y )y = e, avendo posto y = x. 3

4 Esercizio 4 Determinare l ordine di infinitesimo, per x 0, delle seguenti funzioni: Ricordando le definizioni di: f(x) è INFINITESIMA di ORDINE α se f(x) e x x 0 α sono infinitesimi dello stesso ordine per x x 0. f(x) e g(x) sono INFINITESIMI dello STESSO ORDINE f(x) se lim x x0 = l, con l numero reale diverso da zero. g(x). f(x) = sin x; Applicando le definizioni si ha: lim x 0 f(x) sin x = lim x α x 0 α = nel caso in cui α = e dunque f(x) = x sin x è infinitesima di ordine.. f(x) = cos x; cos x lim x 0 : per α = si ha lim cos x x α x 0 = 0, mentre per α = x cos x si ha lim x 0 = e pertanto f(x) = cos x è infinitesima di x ordine. 3. f(x) = + x 5 x 5 ; +x lim 5 x 5 x 0 = lim +x 5 x 5 +x 5 + x5 x α x 0 x α +x 5 + x 5 = per α = 5 e quindi f(x) = + x 5 x 5 è infinitesima di ordine f(x) = log( + x) x ; log(+x) lim x x 0 = lim x log(+x) x α x 0 = lim x α x 0 log(+x) = x α per α = e dunque f(x) = log( + x) x è infinitesima di ordine. Alla stessa soluzione si giunge considerando log( + x) x = x log( + x) = x(x + o(x)) = x + o(x ) e dunque α =. 4

5 Esercizio 5 Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:. 4 x + x x 3. x + x + x (3x 3 + x + )(x ) (9x +x)(x )+(3x 3 +x +) = 8x 3 9x +4x x+6x 3 +x + = 4x 3 3x x( x+ x x+ ) x+ x x+ + x( (+ x )( x+) ( (x+ x) x+ ) ). x+ 5. x x + (x)(x +) (x)(x ) (x +) = 4x (x +). 6. x 3 ( x) 3x (( x) ) (x )(x 3 ) ( x) 4. 5