Sistemi LTI descrivibile mediante SDE (Equazioni alle Differenze Standard)

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1 Sistemi LTI descrivibile mediate SDE (Equazioi alle Differeze Stadard) Nella classe dei sistemi LTI ua sottoclasse è quella dei sistemi defiiti da Equazioi Stadard alle Differeze Fiite (SDE), dette così i quato a partire da ua equazioe itegro-differeziale che descrive u determiato feomeo fisico, itegrali e derivate, legate ad icremeti ifiitesimi soo sostituiti da differeze calcolate ad icremeti di tempo fiiti; esse coivolgoo u umero fiito di campioi dell'igresso e dell' uscita, combiati mediate semplici operazioi di somma e prodotto: N M a y[ ] = b x[ ] = = Le equazioi alle differeze fiite costituiscoo duque la versioe discreta delle equazioi differeziali e e rappresetao, sotto certe ipotesi, ua approssimazioe che si può spigere a piacere. Dall avveto del calcolo digitale esse hao ormai sostituito, dal puto di vista computazioale le equazioi itegro-differeziali, madado del tutto i soffitta i vecchi calcolatori aalogici. La teoria delle equazio i differeziali aturalmete cotiua ad essere sviluppata, ma el mometo i cui occorre fare delle simulazioi ovvero risolvere u problema dal puto di vista umerico, occorre ecessariamete ricorre alla discretizzazioe ed al cosiddetto calcolo agli elemeti fiiti, di cui le equazioi SDE soo u esempio. Per illustrare il pricipio su cui è basato il passaggio dal cotiuo al discreto, aalizziamo u caso semplice. Cosideriamo u circuito elettrico RC serie, i cui V è la tesioe di igresso e Vc quella di uscita, ai capi del codesatore: Le equazioi del circuito, detta i la correte i igresso, ed assumedo che l uscita o carichi il circuito cioè o derivi correte, soo: V = R i + V c equazioe della maglia q = C V c relazioe tra tesioe e carica el codesatore dq dvc i = = C dt dt relazioe tra carica e correte el codesatore Si ricava quidi l equazioe differeziale del circuito RC : Equazioi Stadard alle Differeze Fiite S.Cavaliere p.

2 dq dv V = R + V c c = R C + Vc dt dt Se ora approssimiamo l itervallo ifiitesimo dt co u itervallo fiito ma piccolo?t, molto miore di quella che sappiamo essere la costate di tempo del circuito t=rc, approssimeremo allo stesso modo l ifiitesimo dv c co l icremeto fiito? V c. L equazioe differeziale diveta così ua equazioe alle differeze; se quidi V e V + soo i valori della tesioe i igresso all istate t e t+?t e Vc e Vc - quelli della tesioe i uscita, l equazioe sarà: Vc Vc V = R C + Vc t Usado la simbologia usuale fio ad ora, co le sostituzioi V x e Vc y, l equazioe diveta: y y x = R C + y t R C Se ora poiamo α = >> avremo t x = α ( y y ) + y = αy αy + y = ( + α) y αy ( + α ) y = x + αy α y = x + y + α + α α y = ax + by co a = e b = + α + α Ua semplice fuzioe Matlab per simulare il sistema x --->y è la seguete: % RC filter alfa=rc/dt; fuctio y=rc_filter(x,alfa) a=/(+alfa); b=alfa/(+alfa); y=zeros(,legth(x)); for =:legth(x) y()=a*x()+b*y(-); ed Se si dao i igresso al filtro vari tipi di segale si ottegoo le uscite riportate elle figure segueti; soo ache riportati gli spettri dei segali prodotti per verificare che tipo di filtraggio i frequeza viee realizzato dal sistema. Equazioi Stadard alle Differeze Fiite S.Cavaliere p.

3 gradio uitario La riposta i figura è la tipica risposta al gradio uitario di u partitore RC, cioè la carica del codesatore, seguita dalla sua scarica quado la tesioe i igresso viee portata a zero. Di seguito viee riportata la simulazioe relativa ad u segale i igresso costituito da rumore biaco. Questo el domiio della frequeza ha uo spettro praticamete piatto; il segale i uscita ivece ha chiaramete u adameto passa-basso; questo si può verificare acusticamete ascoltado il segale prodotto. Ifie se applichiamo u impulso uitario i igresso, otterremo i uscita la risposta all impulso uitario che come sappiamo, ell ipotesi LTI che verificheremo valida i questo caso, descrive completamete il sistema e permette di calcolare per covoluzioe l uscita del sistema per qualsiasi segale d igresso. Lo spettro di Fourier dell igresso è uo spettro piatto (cotiee tutte le frequeze), metre la risposta all impulso ha l aspetto di u filtro passa-basso. Il ostro sistema è quidi u filtro passa-basso. Equazioi Stadard alle Differeze Fiite S.Cavaliere p. 3

4 impulso uitario impulso uitario: risposta i frequeza Filtered Time domai sigal Frequecy domai Equazioi Stadard alle Differeze Fiite S.Cavaliere p. 4

5 Se ora cosideriamo l equazioe alle differeze che descrive il sistema α y = x + y + α + α possiamo osservare che la costate che moltiplica x è ua semplice costate di + α proporzioalità; cosiderado allora ua copia scalata del segale d igresso (o d uscita) l equazioe si può più semplicemete riscrivere ella forma y = x + by i cui appare evidete che, scritta direttamete el domiio discreto, il parametro i gioco per il semplice sistema i esame è soltato la costate b. Ioltre si può verificare che risolvedo l equazioe a partire da = co igresso d[] e suppoedo che y-= si avrà la seguete risposta impulsiva: y = y =b y =b... y =b. Evidetemete la risposta impulsiva h =b ha durata ifiita. Per tale motivo questo sistema e la classe a cui appartiee si dice a risposta Impulsiva Ifiita (IIR Ifiite Impulse Respose) a differeza dei sistemi i cui la risposta impulsiva è ivece di durata fiita (FIR). Ioltre i geerale i sistemi ricorsivi soo di tipo IIR cioè hao risposta impulsiva ifiita, metre quelli o ricorsivi soo di tipo FIR. Da fare: Studiare il comportameto di questo sistema al variare di b sia reale che immagiario Equazioi Stadard alle Differeze Fiite S.Cavaliere p. 5

6 Nel caso i cui il coefficiete b è egativo si può verificare che la risposta è passa-alto. Studiare il comportameto di questo sistema Nel caso i cui il coefficiete b è complesso si ottegoo i risultati che seguoo. Nel caso di impulso uitario la risposta y=b ricade ella tipologia di sequeze espoeziali già viste; essa è rappresetata ella figura seguete: si osserva che si tratta di ua risposta complessa ed oscillate co ua pulsazioe che dipede dall agolo del coefficiete complesso b. Poiché il segale i uscita dal filtro a coefficieti complessi è complesso, il segale el piao complesso ovvero e rappreseteremo la parte reale Time domai sigal Frequecy domai Filtered Time domai sigal Filtered Time domai sigal (real part) Frequecy domai Se poi mettiamo i igresso del rumore biaco osserviamo che esso viee filtrato lasciado passare ua bada di frequeze itoro alla frequeze cetrale che caratterizza la risposta impulsiva e quidi il sistema. Equazioi Stadard alle Differeze Fiite S.Cavaliere p. 6

7 Filtered Time domai sigal Filtered Time domai sigal (real part) Frequecy domai Il comportameto quidi è quello di u filtro accordato, cioè u filtro che lascia passare ua bada più o meo ampia itoro alla sua frequeza di accordo ed atteua le frequeze al di fuori di questa bada, come si vedrà più compiutamete els eguito imagiary part real part time Equazioi Stadard alle Differeze Fiite S.Cavaliere p. 7

8 Nel caso complesso ua rappresetazioe tridimesioale dà meglio coto del segale filtrato; el caso della risposta impulsiva co parametro b complesso pari a b=.9995*exp(j*? )? =pi/8; al crescere di? aumeta la frequeza delle oscillazioi del segale, così come si puiò verificare che al crescere del modulo fio al valore uitario l atteuazioe relativa al decadimeto dell oscillazioe dimiuisce; elcaso b = l oscillazioe si sostiee ifiitamete, metre el caso b = il sistema o è più stabile e la risposta diverge. Nel caso di u igresso costituito da rumore biaco avremo la seguete figura 6 4 imagiary part real part time 6 8 Si osservi ache che la risposta i frequeza o è atisimmetrica rispetto a p; questo è dovuto al fatto che stiamo trasformado i frequeza u segale complesso: la simmetria per il modulo e l atisimmetria per la fase, valgoo solo per segali reali. Le figure soo state otteuta co c_iir.m Si può qui vedere come accoppiado due sezioi co b complessi coiugati il segale diveta reale ed abbiamo la coppia di poli complessi coiugati. Verificare cosa accade se i igresso al sistema si mette u rumore biaco Equazioi Stadard alle Differeze Fiite S.Cavaliere p. 8

9 Il sistema visto è u filtro ricorsivo el seso che per il calcolo di u campioe utilizza o soltato campioi di igresso ma ache campioi precedeti dell uscita; u filtro o ricorsivo ivece utilizza soltato campioi dell igresso, al tempo o a tempi precedeti; è questo il caso della media, retta dall equazioe: y = x + x Ua descrizioe a blocchi dei due sistemi del primo ordie rede chiare le differeze: x[] b b x[] + y[] Delay z - x[-] b b x[-] Struttura o ricorsiva b x[] + y[] ay[-] y[-] Delay z - Struttura ricorsiva Dalla simulazioe diretta dei due filtri si osserva che el caso del filtro ricorsivo la risposta impulsiva ha durata ifiita, che se el caso i esame tede asitoticamete a zero. Nel casi o ricorsivo, ivece, la risposta impulsiva è h[]=d[]+d[-] ed ha quidi durata fiita. Questa caratteristica della durata della risposta impulsiva come vedremo vale i geerale per tutte le strutture ricorsive/o ricorsive Caso FIR Caso FIR bidimesioale: media iterata N+S+E+W Equazioi Stadard alle Differeze Fiite S.Cavaliere p. 9

10 Si aticipa qui ua cosiderazioe che sarà siluppata i seguito ma che è bee teere presete fi d ora. Le Equazioi alle differeze fiite soo importati perché la loro trasformata (che verrà defiita i dettaglio più avati) è ua fuzioe razioale, particolarmete semplice da trattare; ioltre questa circostaza permette di ricavare immediatamete ua implemetazioe del sistema sottostate co operazioi elemetari el domiio digitale che soo somme, prodotti e ritardi, le stesse apputo che compaioo i ua SDE. Dato u segale discreto x[] si defiisce la trasformata Z di questo segale moltiplicado l equazioe della covoluzioe per z e sommado per <<. x[ ] X ( z) = x[ ] z = Si verificherà che vale la proprietà del ritardo x[ ] z X ( z) e che dato u sistema LTI retto quidi dall equazioe della covoluzioe y[ ] = x[ ] h[ ], tra le trasformate el domiio complesso z vale la = seguete semplice proprietà moltiplicativa: : Y ( z) = X ( z) H( z) Y ( z) e quidi: H ( z) = X ( z) Se ora H(z) è ua fuzioe razioale, cioè u rapporto tra due poliomi ella variabile z - razioale, si può atitrasformare e procededo all'iverso si ottiee ua equazioe SDE, i cui quidi soo coivolti u umero fiito di campioi dell igresso e dell uscita. Data duque ua fuzioe di trasferimeto desiderata, i forma razioale, basta ivertirla per ricavare l equazioe alle differeze co cui si può semplicemete implemetare esattamete il sistema co la risposta desiderata, mediate apputo somme, prodotti e ritardi. Le due codizioi Trasformata razioale e possibilità di descriverlo el tempo mediate equazioi alle differeze, co u umero fiito di termii, soo equivaleti. L'equazioe alle differeze fiite difatti potrebbe i geerale coivolgere u umero ifiito di campioi di igresso o di uscita e etrambe e o risultare di cosegueza passibile di ua implemetazioe esatta. Questo sarà il caso i cui la H(z) che caratterizza la risposta i frequeza del sistema o è ua fuzioe razioale; u esempio è quello della fuzioe z H ( z) = e. I tal caso o essedo possibile ua formulazioe della H(z) i termii di rapporto tra poliomi, o sarà emmeo possibile implemetare il relativo filtraggio mediate ua equazioe alle differeze fiite, cioè mediate semplici ritardi somme e moltplicazioi; occorrerà per fare questo implemetare ua approssimazioe razioale (rapporto tra poliomi) della H(z) co risultati quidi che sarao ache loro approssimati. Equazioi Stadard alle Differeze Fiite S.Cavaliere p.

11 Es. accumulatore y [ ] = x[ ] = I questa equazioe compaioo u umero ifiito di campioi; ciò oostate la relazioe di igresso/uscita per questo sistema si può riscrivere ella forma equivalete y [ ] = x + y[ ], da cui appare chiaro che si tratta di u equazioe di tipo SDE, co u umero quidi fiito di termii, realizzabile duque al fiito, esattamete. Del resto si può verificare che la relazioe igresso/uscita ella Y( z) variabile z è H ( z) = = X ( z) z La SDE può vedersi come ua eguagliaza tra covoluzioi di durata fiita Esistoo diverse forme di equazioi alle differeze equivaleti come si vedrà più avati el caso del sistema media (movig average) Equazioi Stadard alle Differeze Fiite S.Cavaliere p.

12 Caratteristiche delle Equazioi alle Differeze Stadard (SDE Stadard Differece Equatio). No defiiscoo u solo sistema (codizioi iiziali). Difatti se y p [] è soluzioe dell'equazioe e y [ ] dell'omogeea associata ache p + ] è soluzioe. No garatiscoo la liearità (i particolare la omogeeita').eg. y[] y[ ] = 3. Garatiscoo l'additivita' 4. No garatiscoo l'ivariaza temporale. Nel caso y [ ] [ p + ], per igresso x [], per igresso x[ ] la compoete y [ ] dell'uscita rimarrà immutata 5. Possoo essere causali o o 6. Possoo essere stabili o o 7. Tutto dipede dalle codizioi iiziali, a partire dalle quali, assegato u igresso si può ricavare uivocamete l'uscita mediate ricorreza i avati ed all'idietro. 8. Scelte le codizioi iiziali per l'omogeeità e l'ivariaza temporale, il sistema diveta causale se e solo se le codizioi iiziali soo ulle 9. Il sistema così defiito può essere stabile o istabile. Questo è spesso defiito i base alla causalità: eg u sistema può essere causale ed istabile ovvero aticausale ma stabile. Equazioi Stadard alle Differeze Fiite S.Cavaliere p.

13 Proprietà delle SDE Additività Omogeeità: va garatita co le codizioi iiziali Ivariaza el tempo: va garatita co le codizioi iiziali Data la SDE N M a y[ ] = bx[ ] = = si può ricavare esplicitamete y[] M N y [ ] = bx[ ] - a y[ ] a = = i geerale l'uscita dipede sia dall'igresso che dalle uscite precedeti. Se N= sarà M b y [ ] = x[ ] = a e, cofrotado co la formula della covoluzioe: y[] = x[]h [ ] = (x h)[] = si ricava: b h[] =, =...M a come si può otteere ache per simulazioe diretta, cioè risposta impulsiva fiita FIR. (I tal caso o occorre defiire codizioi iiziali) Nell'altro caso la risposta impulsiva è ifiita (IIR Ifiite Impulse Respose) ed occorroo codizioi iiziali per specificarla. Equazioi Stadard alle Differeze Fiite S.Cavaliere p. 3

14 Sistemi LTI descritti da equazioi alle differeze: esempi M M + = M Media y[ ] = x[ ] h Risposta impulsiva fiita Trascurado il fattore moltiplicativo M M + = M [ ] = δ [ ] si ha: M + [ ] = u[ ] u[ M ] = u[ ] ( δ[ ] δ[ M ] ) Il sistema si può realizzare co la cascata dei due sistemi h ( δ [ ] δ[ M ] ) u[ ] e x[] y[]??(m+) Facedo commutare i due blocchi: x[]?(m+) + - x [] +? y[] x [] = x[]-x[-m-] y[] = x[]-y[-] x [] = x[]-x[-m-] y[] + y[-] = x[]-x[-m -] Questa versioe dell equazioe traduce i formule l algoritmo di calcolo della media ruig che cosiste el calcolare la media la passo utilizzado la media al passo -. sottraedo il cortributo del termie più lotao e sommado il cotributo del termie - mo, co il vataggio di eseguire u mior umero di operazioi. I geerale quidi vi soo diverse forme distite di equazioe alle differeze per lo stesso sistema. Equazioi Stadard alle Differeze Fiite S.Cavaliere p. 4

15 Il sistema accumulatore come si è visto è retto dall eq. [ ] y[ ] x[] y = x[] + + y[] y[-] D La risposta impulsiva ha durata ifiita: h [ ] = u[] Il sistema iverso y[ ] = x[ ] x[ ] ha risposta impulsiva: h[ ] = δ[ ] δ[ ], co durata fiita ed è quidi u FIR. x[] + + y[]? x[-] Equazioi Stadard alle Differeze Fiite S.Cavaliere p. 5

16 L equazioe del primo ordie ricorsiva Per affrotare il problema geerale delle equazioi alla differeze fiite, della ricerca delle soluzioi e la relazioe co i sistemi Lieari Tempo Ivariati cioè per verificare quali codizioi garatiscoo che ua equazioe alle differeze fiite rappreseti u sistema LTI, partiremo dalla semplice equazioe del primo ordie; suppoiamo di volerla risolvere el caso particolare i cui il segale di igresso è l impulso uitario ; verificheremo che occorre defiire ache u valore iiziale dell uscita per calcolare il segale d igresso: L equazioe y[ ] = x[ ] + by[ ] possiamo riscriverla el ostro caso come: y[ ] = by[ ] + δ[ ] scritta per =,,. Naturalmete occorrerà cooscere il valore di y[-], quidi il valore iiziale dell uscita, che supporremo pari ad a y [ ] = by[ ] + δ[ ] = ba+ per = y[ ] = by[ ] + δ[ ] = by[ ] + = b( ba + ) = b a + b per = 3 y ] = by[ ] + δ[ ] = b a + b [ per = 4 3 y 3] = by[ ] = b a + b [ per =3 + y [ ] = b a + b per qualsiasi positivo Per completare la defiizioe di ua soluzioe particolare dell equazioe alle differeze occorre risolvere l equazioe di ricorreza ache per i valori ell itervallo [-if -]. L equazioe y[ ] = x[ ] + by[ ] verrà riscritta ella forma: by[ ] = y[ ] δ[ ] y[ ] = y[ ] δ[ ] b b a y[ ] = y[ ] δ[ ] = = ab per =- b b b a y[ 3] = y[ ] = = ab per =- b b. + y[ ] = y[ ] = ab per egativo qualsiasi b Le due formule trovate per positivo e egativo soo: + y[ ] = b a + b = b ( b + ) >= + y[ ] = ab < Equazioi Stadard alle Differeze Fiite S.Cavaliere p. 6

17 Mettedole isieme avremo u uica formula per la y[] che i realtà è la risposta all impulso uitario h[]: h[ ] = u + [ ] b + b a A partire da questa soluzioe i cui compare u parametro a possiamo imporre le varie codizioi. ) Liearità: cosiderado di uovo l equazioe di parteza y[ ] = x[ ] + by[ ] se l igresso x[] è ideticamete ullo avremo y[ ] = by[ ] e la risposta del sistema all igresso ullo + sarebbe y[ ] = b y[ ]. Poiché l ipotesi di liearità richiede che l uscita sia ulla per igresso ullo, sarà ecessariamete y[-]= ; ) Causalità: poiché la parte u[ ] b è già ulla per < occorrerà porre a< per redere + ulla ache b a. Ache questo comporta codizioe iiziale y[-] ulla). ) Stabilità: la codizioe ecessaria e sufficiete per la stabilità el caso causale è che = h [ ] < cioè = b < ; dalla teoria delle serie di poteza ricordiamo che per la = = somma parziale vale la formula: N N α α = α complesso = α = N se α = e, passado al limite per N-> α = α : α < = α Occorrerà di cosegueza per la stabilità che sia b <. Queste cosiderazioi si possoo estedere a sistemi di ordie superiore: la causalità, che è ua codizioe soddisfatta i tutti i sistemi di iteresse è garatita da codizioi iiziali ulle. Queste garatiscoo i ogi caso liearità e ivariaza el tempo. Equazioi Stadard alle Differeze Fiite S.Cavaliere p. 7

18 La soluzioe di ua Equazioe Stadard alle Differeze Fiite SDE Il problema delle soluzioi di ua Equazioe Stadard alle Differeze Fiite SDE può essere affrotato i termii geerali per qualsiasi ordie, i modo sistematico, e co teciche aaloghe a quelle utilizzate ella soluzioe delle equazioi differeziali. La soluzioe si può otteere i forma chiusa, e si può dimostrare che la classe delle soluzioi costituiscoo ua opportua famiglia famiglia. Dall equazioe alle differeze si ricava ifatti l equazioe omogeea associata, i cui il segale i igresso è ideticamete ullo e si dimostra agevolmete il risultato seguete. Detta y p [] ua soluzioe particolare della SDE ed y o [] ua soluzioe dell'omogeea associata, ache yp [] + yo[] sarà soluzioe dell'equazioe. Per l equazioe di parteza vale la: N M a y p[ ] = b x[ ] = = per l equazioe omogeea si ha: N a y [ ] = = e sommado membro a membro: N M a(y p + y )[ ] = b x[ ] = = Aalogamete, Se y [] e y [] soo soluzioi dell'sde, y [] y [] è ua soluzioe dell'omogeea associata. come si può verificare sottraedo membro a membro le equazioi relative alle due soluzioi. Di cosegueza si ha che: Per otteere tutte le soluzioi dell'sde basta trovare ua soluzioe particolare y p[] e la classe di tutte le soluzioi dell'omogeea { y o i [ ] }. La famiglia i=... y [ ] + y [ ] delle soluzioi sarà { } p i o. i=... Equazioi Stadard alle Differeze Fiite S.Cavaliere p. 8

19 Per caratterizzare la classe delle soluzioi dell omogeea associata di ua determiata SDE y + ay + a y a y = si defiisce il poliomio caratteristico p( z) = + a z + az a z = Questo poliomio avrà, per il teorema fodametale dell algebra, radici; di queste alcue possoo essere coicideti e quidi co molteplicità maggiore di uo. Si può verificare che: Per le radici di molteplicità λ i la sequeza y[ ] = λi è soluzioe dell omogeea associata, per le radici di molteplicità λ i lo è la sequeza y[ ] = λi, per le radici di molteplicità 3 λ i lo è la sequeza y[ ] = ( ) λi, e così via. Per redersee coto si moltiplichi il poliomio caratteristico per z : z p( z) = z + a z a z a z = e per z = λ λ p( λ) = λ + a λ + a λ aλ = ma questo, posto y[ ] = λ e quidi y[ ] = λ, y[ ] = λ etc. corrispode alla eguagliaza: y + a y + ay a y = cioè y[ ] = λ è soluzioe dell equazioe di parteza. I modo simile si può ragioare per le radici di molteplicità >. Dette y i [] queste sequeze, si ha che ogi loro combiazioe lieare è acora soluzioe dell omogeea associata yo[ ] = ci yi[ ] i= Si può poi dimostrare che tutte le soluzioi si trovao i tal modo. Le soluzioi dell omogeea associata formao uo spazio lieare di dimesioe di y [ ] costituisce ua base. cui la famiglia { } i i =...: Basti pesare che fissado codizioi iiziali ( puti per cui passa la sequeza) questa è uivocamete determiata costruttivamete operado la ricorreza per crescete e decrescete. Viceversa fissado - puti la sequeza o è determiata uivocamete. C è corrispodeza biuivoca tra -ple di puti (codizioi) iiziali ed i coefficieti c i dell equazioe yo[ ] = ci yi[ ] i= Per verificare i pratica questo procedimeto geerale, che porta a defiire la famiglia delle soluzioi di ua SDE i forma chiusa, possiamo aalizzare dei casi semplici. Equazioi Stadard alle Differeze Fiite S.Cavaliere p. 9

20 Il caso dell equazioe del primo ordie Cosideriamo il caso di equazioe del primo ordie: y ay = x [ ] [ ] [ ] il poliomio caratteristico è p( z) = az e l equazioe caratteristica è p z = ( ) az = Essa avrà ua sola radice z = a ; i tal caso la sequeza quidi y [ ] = a sarà ua soluzioe dell omogeea associata: y [ ] ay[ ] =. Questo risultato, già dimostrato el caso geerale per ricorreze di grado arbitrario può essere verificato direttamete a partire dall equazioe: basta osservare che vale la seguete uguagliaza: a aa = Naturalmete ache la sequeza valore di c, quidi. y c ] = ca [ è soluzioe della omogeea per qualsiasi Per ogi c sarao soluzioi dell omogeea associata tutte e solo le sequeze y c[ ] = ca Fissata ua codizioe iiziale (u puto y per cui passa la sequeza ad u tempo fissato ) questa è uivocamete determiata: ifatti sarà y = ca e da questa possiamo ricavare il valore della costate c. Per otteere ora la famiglia di tutte le soluzioi dell equazioe alle differeze co eccitazioe x[] o ulla occorre trovare ua sua soluzioe particolare y p. Se i particolare vogliamo caratterizzare la risposta impulsiva useremo come igresso al sistema l impulso uitario d[], l equazioe cioè sarà y[ ] ay[ ] = δ[ ] Possiamo risolvere direttamete l equazioe alle differeze elle due direzioi >= ed <. Per i termii da = i poi avremo dall equazioe geerale y[ ] ay[ ] = δ[ ] scritta per =,,. y p [ ] ay p[ ] = δ[ ] = y p [ ] ay p[ ] = δ[ ] = y p [ ] ayp [ ] = y c = a Equazioi Stadard alle Differeze Fiite S.Cavaliere p.

21 y p [ 3] ay p[ ] =.. y p [ ] ay p[ ] = Queste equazioi divetao, el caso y p[ ] =, valore iiziale ullo y p [ ] = y p [ ] = ay p[ ] = a y p[ ] = ay p[ ] = a 3 y p[ 3] = ayp[ ] = a.. y p[ ] = ay p[ ] = a Per completare la defiizioe della soluzioe particolare occorre risolvere l equazioe di ricorreza ache per i valori ell itervallo [-if -]. Coverrà scrivere la ricorreza ella forma: ay[ ] = y[ ] δ[ ] y[ ] = y[ ] δ[ ] a a per =- y [ ] = y[ ] δ[ ] = a a per =- y [ 3] = y[ ] = a La soluzioe particolare scelta duque è ulla per < e si può scrivere come: [ ] a y p[ ] = u La famiglia completa delle soluzioi dell equazioe alle differeze fiite del primo ordie si può otteere dalla somma della soluzioe particolare dell equazioe completa e della famiglia delle soluzioi dell omogeea associata; si tratta quidi di ua famiglia idicizzata dal parametro c: [ ] a ca y c[ ] = u + L equazioe alle differeze ammette duque ua itera classe di soluzioi. Possiamo restrigere questa familgia impoedo ulteriori codizioi restrittive. Se la soluzioe ricercata è causale si avrà y - = quidi sarà c= e la soluzioe sarà [ ] a y [ ] = u. Se i aggiuta ricerchiamo ua soluzioe stabile dovrà essere ache a <. Equazioi Stadard alle Differeze Fiite S.Cavaliere p.

22 Si ritrovao duque i risultati già trovati mediate soluzioe iterata della relazioe di ricorreza. Esamiaiamo ora i due casi a< ed a> ) caso a< 5 Famiglia di soluzioi della omogeea a= red: c= gree: c= Soluzioe particolare a= Equazioi Stadard alle Differeze Fiite S.Cavaliere p.

23 Famiglia delle soluzioi della equazioe completa a= red: c= gree: c= Dalla figure risulta chiaro che la soluzioe causale i questo caso cioè a< è quella per c=, che è ache stabile (curva i rosso). La soluzioe aticausale co c= - (curva i verde) evidetemete o è stabile. Tutte le altre o soo é causali é aticausali e soo istabili. Equazioi Stadard alle Differeze Fiite S.Cavaliere p. 3

24 ) caso a> 4 Famiglia di soluzioi della omogeea a=. 3 Soluzioe particolare a= red: c= gree: c= Famiglia delle soluzioi della equazioe completa a= red: c= gree: c= Dalla figure risulta chiaro che la soluzioe causale i questo caso cioè a> è quella per c=, che o è stabile. La soluzioe stabile è quella aticausale co c=-. Le figure soo state otteute co FamigliaPrimoOrdie.m Equazioi Stadard alle Differeze Fiite S.Cavaliere p. 4

25 Scelta delle costati dell omogeea L equazioe stadard alle differeze ammette, ua volta fissato la sequeza d igresso o N y [ ] + y [ ] dove il C R è il set x[], ua famiglia di soluzioi, espressa come { p C } C... o di parametri ci dell espasioe ella base { y i [ ] } i=.... Il set C di costati si può determiare i base ad alcui criteri: causalità stabilità etrambi Ad esempio el caso visto y [ ] ay[ ] = x[ ] y c[ ] = a u[ ] + ca c= se a< si ha ache la stabilità, se a> la soluzioe o è stabile; c=- se a> si ha ache la stabilità, se a< la soluzioe o è stabile; si osservi che a< e causalità garatiscoo covergeza: siamo el caso i cui lo zero a del poliomio caratteristico è itero al cerchio uitario. Equazioi Stadard alle Differeze Fiite S.Cavaliere p. 5

26 Ricapitolado [ ] a ca y c[ ] = u + L equazioe alle differeze ammette duque ua itera classe di soluzioi. Se la soluzioe ricercata è causale si avrà y - = e la soluzioe sarà y [ ] = a. Se i aggiuta ricerchiamo ua soluzioe stabile dovrà essere ache a <. Naturalmete il caso visto di a reale si può geeralizzare al caso a egativo ed al caso a complesso. Riferedosi al modello di parteza del circuito elettrico questo corrispoderebbe allo studio del circuito LR o di quello oscillate RLC. I coclusioe el caso usuale di causalità e stabilità avremo che: La soluzioe dell equazioe alle differeze fiite del primo ordie, co a <, a evetualmete complesso: y[ ] ay[ ] = δ[ ] sarà y [ ] = a per > Equazioi Stadard alle Differeze Fiite S.Cavaliere p. 6

27 La risposta dell'equazioe alle differeze ad u espoeziale complesso Data l equazioe del primo ordie: [ ] ay[ ] x[ ] y = è possibile caratterizzare la risposta ad ua sequeza oscillate, ad esempio ad u jω espoeziale complesso di ampiezza uitaria x[ ] = e ; per ampiezza diversa la liearità del sistema ci permetterà di otteere semplicemete la risposta relativa. A questo fie suppoiamo che l uscita del sistema sia u espoeziale complesso [ ] e j ω y = ; sostituedo avremo: jω e jω ae ( ) = x[ ] jω ( ae jω ) e = x[ ] jω ( ae ) y[ ] = x[ ] y[ ] = x[ ] jω ae Sia la sequeza di igresso che quella di uscita soo duque espoeziali complessi. Moltiplicado per avremo jω ae jω y[ ] = e jω ae Duque per igresso espoeziale complesso l uscita sarà u espoeziale complesso di ampiezza, dipedete dalla pulsazioe. jω ae Questa fuzioe, detta H ( ω) caratterizza duque il sistema rispetto agli igressi di tipo espoeziale complesso. Se poi l igresso è ua siusoide o cosiusoide reale, avedo presete la relazioe cos ( ω ) ( j j = ω ω e + e ) e la liearità del sistema si può immediatamete otteere il risultato corrispodete. Per cooscere il comportameto del sistema al variare della pulsazioe?, basterà studiare questa fuzioe di trasferimeto: H ( ω) = jω ae Oltre che aaliticamete si può valutare qualitativamete, facedo riferimeto alla seguete figura i cui soo tracciati i vettori ae -j?, e la differeza - ae -j? Equazioi Stadard alle Differeze Fiite S.Cavaliere p. 7

28 ae -jw -ae -jw Il valore che ci iteressa è il modulo di. Si osserva che al variare di w jω ae l adameto del modulo di questo vettore è crescete, a partire da u miimo per w=; il suo iverso quidi risulterò decrescete, ed avrà u massimo proprio per w=, come risulta dalla figura seguete.?=?=p/3?=p/5 Equazioi Stadard alle Differeze Fiite S.Cavaliere p. 8

29 Soo di seguito riportati modulo e fase della risposta i frequeza Si osserva che la risposta del sistema è simmetrica i modulo rispetto a p/ ed atisimmetrica ella fase. Per questo motivo è sufficiete descrivere il comportameto del sistema ed il suo spettro per valori della pulsazioe? compresi ell itervallo [ p]. Per valori egativi del coefficiete a il filtro risultate è passa alto, come si può verificare ragioado sul cerchio uitario come el caso precedete.: Equazioi Stadard alle Differeze Fiite S.Cavaliere p. 9

30 Nel caso poi che il coefficiete a sia complesso, co modulo a e fase?, avremo come risposta ad u espoeziale complesso di pulsazioe? Y ( ω ) = = jω jω j( ω ω ) ae e ae ma si verifica che Y ( ω ) = X ( ω ω ), quidi coicide co la risposta i frequeza già vista ma shiftata i frequeza di? ; il massimo duque ivece che per il valore?= si avrà per il valore?=?, dado così luogo ad ua risposta i frequeza accordata ad? figure otteute co plot_iir_respose.m Il caso a egativo può ricodursi a questo avedo presete che per a egativo si può jπ scrivere a = a = a e da cui è chiara la traslazioe di p ella risposta i frequeza già osservata Per quato riguarda la risposta impulsiva sempre el caso a< essa si ottiee semplicemete moltiplicado la risposta impulsiva del caso a> e cioè a per la Equazioi Stadard alle Differeze Fiite S.Cavaliere p. 3