Università di Pisa - Corso di Laurea in Informatica Analisi Matematica A. Pisa, 17 luglio 2018

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1 Università di Pisa - Corso di Laurea in Informatica Analisi Matematica A Pisa, 7 luglio 08 omanda La funzione f : (0, + R definita da f( = + log ( + log A ha un asintoto orizzontale e nessun altro asintoto B non ha asintoti C ha un asintoto orizzontale e uno verticale ha un asintoto obliquo omanda La funzione f( = arctan(tan, nel suo insieme di definizione, è A strettamente crescente B continua ma non derivabile C non continua derivabile omanda L insieme A = { R : ( < 5 + } A è limitato superiormente ma non inferiormente B non è limitato né superiormente né inferiormente C è limitato inferiormente ma non superiormente è limitato C omanda 4 A 0 B sin(n + log n lim n ( n (n + = C non esiste + A ( omanda 5 La sucessione a n = log(n log n A non ha limite B è definitivamente strettamente decrescente e inf(a n = C è definitivamente strettamente crescente e sup(a n = + è limitata B omanda 6 d log = A log log B log + 6 log log + 4 log C log log log log omanda 7 Una primitiva della funzione f( = A e ( log B ( log C e e( log è e omanda 8 A π 8 4 π 4 cos( d = 0 B π A 4 C 0 π y = log y omanda 9 Sia y( la soluzione del problema di Cauchy y( =. A 6 log B log 8 6 log C 8 6 log y 6y = 0 omanda 0 Sia y( la soluzione del problema di Cauchy y(0 = y (0 = 4. A 4e 4 e 4 B e6 4 C e8 e 4 4e 6 Allora y( = Allora y( = B C codice 70065

2 Università di Pisa - Corso di Laurea in Informatica Analisi Matematica A Pisa, 7 luglio 08 Esercizio Studiare la funzione f( = log ata la presenza del logaritmo, la funzione è definita per > 0, quindi per 0. Osserviamo che la funzione è dispari, infatti f( = ( log ( = ( log = f( la studieremo quindi per (0, +, ottenedo i risultati sulla semiretta (, 0 per simmetria. Avremo quindi che per > 0 la funzione diventa log se (0, ] f( = log = log se (, +, dato che log > 0 >. La funzione è continua in tutto il suo insieme di definizione. Vediamo ora i limiti. Utilizzando il teorema di de l Hôpital, abbiamo ( log lim f( = lim log = lim log 0 = lim Per simmetria avremo quindi lim f( = + lim log = lim + lim f( =, lim = lim 0 + ( log = +. + f( = 0. 0 = lim 0 + = 0, La funzione quindi non è limitata né superiormente né inferiormente. Non sono presenti asintoti né orizzontali né verticali. Verifichiamo la presenza di asintoti obliqui. f( lim + = lim log = lim log = non vi sono quindi asintoti obliqui. Calcoliamo ora la derivata. log = log se (0, f ( = log + = log + se (, +. La funzione è quindi derivabile sicuramente per. Per esaminare il punto =, dato che la funzione è continua in tale punto, possiamo tentare di calcolare il limite della derivata da destra e da sinistra. quindi lim f ( = lim log = log = 0 = lim f ( = lim log + = log + = 0 + = + + f ( =, f +( = e il punto di ascissa = è un punto angoloso. Per simmetria, anche il punto = è un punto angoloso. Vediamo ora il segno della derivata. Se (0, avremo che f ( > 0 log > 0 > log > log e >

3 ( ( quindi se 0, e risulta f ( > 0, mentre se e, abbiamo che f ( < 0 e f (e = 0. Se invece (, + avremo che f ( > 0 log + > 0 disuguaglianza sempre vera, dato che se (, + allora log > 0. ( ] [ ] Riassumendo, avremo che f è strettamente crescente nell intervallo 0, e, strettamente decrescente in e, e strettamente crescente sulla semiretta [, +. Per[ simmetria] avremo che f è strettamente crescente [ sulla semiretta (, ], strettamente decrescente nell intervallo, e e strettamente crescente in e, 0. Il punto di ascissa = è di massimo locale, = e è di minimo locale, = e è di massimo locale e = è di minimo locale. Calcoliamo ora la derivata seconda per vedere la convessità. se (0, f ( = se (, +, quindi f ( > 0 se (0, e f ( > 0 se (, +. La funzione è quindi concava in (0, ] e convessa in [, +. Per simmetria f è concava in (, ] e convessa in [, 0. -,4 -,6-0,8 0 0,8,6, Esercizio log log d Osserviamo che log = log = log = elog. Sostituendo questo risultato nell integrale otteniamo e log log log d = log d.

4 Eseguiamo ora la sostituzione ottenendo log = t, e t t dt d = dt e con l ulteriore sostituzione t = s, e s Eseguendo ora tutte le sostituzioni inverse otteniamo t dt = ds ds = es + c. log log d = es + c = et + c = elog + c = (elog log + c = log + c. Esercizio Risolvere il problema di Cauchy y = y + y(8 = 7 e6. L equazione differenziale è lineare del primo ordine della forma y = a(y + b( con a( = =, b( = =. Per prima cosa calcoliamo una primitiva di a(: A( = a( d = d =. Ora calcoliamo e A( b( d = e d. Utilizzando la sostituzione otteniamo = t, = t, d = t dt e d = e t t t dt = e t t dt. Eseguiamo l integrazione per parti, derivando t e integrando e t ( e t t dt = e t t e t dt = e t t ( e t = e t t + + c. Sostituendo t = otteniamo che e A( b( d = e ( + + c. La soluzione dell equazione differenziale è quindi ( ( ( y( = e A( e A( b( d = e e + + c = + + ce.

5 Ricaviamo c dalla condizione iniziale y(8 = 7 e6. Quindi avremo Allora e la soluzione del problema di Cauchy risulta 7 ( e6 = y(8 = c e 8 = 7 + ce6. ce 6 = e 6 y( = c = ( + e.