MATEMATICA 5 PERIODI

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1 BAC EUROPEO 2008 MATEMATICA 5 PERIODI DATA 5 giugno 2008 DURATA DELL ESAME : 4 ore (240 minuti) MATERIALE AUTORIZZATO Formulario delle scuole europee Calcolatrice non grafica e non programmabile AVVERTENZE : Risolvere tutti e quattro i problemi obbligatori. Indicare i due problemi scelti mettendo una croce sulle caselle che trovate nell apposito schema che vi è stato fornito. Utilizzare, per ogni problema, fogli d esame diversi. Page 1/8

2 PROBLEMA OBBLIGATORIO 1. ANALISI PAGINA 1di 1 Punteggio Considerare la funzione f definita da: f(x) = (1 x ) e x a) Studiare la funzione f determinando il suo zero, l asintoto, gli intervalli in cui essa è crescente o in cui è decrescente, la natura e le coordinate del suo estremo. 6 punti b) i. Disegnare il grafico di f. i Dimostrare che F(x) = (2 x ) e x è una primitiva di f. Calcolare l area della parte della regione del primo quadrante delimitata dagli assi coordinati e dal grafico di f. Page 2/8

3 PROBLEMA OBBLIGATORIO 2. ANALISI PAGINA 1di 1 Punteggio In base a un modello costruito nei primi anni Settanta, nelle gare agonistiche di corsa veloce, la velocità v di un atleta (espressa in m/s) è una funzione del tempo (espresso in secondi), che può essere descritta dalla seguente equazione differenziale: dv v = 12, 2 dt k dove k è una costante che dipende dall atleta considerato. a) Determinare la soluzione di questa equazione differenziale esprimendo v come funzione di t. 6 punti b) In una gara dei 100 metri, un atleta parte da fermo, ossia con v = 0 all istante t=0. i. Trovare la soluzione di v in funzione del tempo che soddisfa questa condizione iniziale. Il valore di k per un certo atleta è 0,8. Calcolare l istante in cui questo atleta raggiungerà la velocità di 9 m/s. Page 3/8

4 PROBLEMA OBBLIGATORIO 3. GEOMETRIA PAGINA 1di 1 Punteggio Nello spazio euclideo munito di un sistema di riferimento ortonormato considerare i piani: α : 2x 3y + z 2 = 0 e β : 3x y 2z + 4 = 0 e la retta : : x = 2λ + 3 y = λ z = λ + 1, λ R a) Dimostrare che un equazione della retta s di intersezione fra α e β è data da: x 0 1 s : y = 0 + μ 1, μ R z punti b) i. Dimostrare che le rette s e sono sghembe e fra loro ortogonali. Calcolare la distanza fra le due rette. Page 4/8

5 PROBLEMA OBBLIGATORIO 4. PROBABILITA PAGINA 1di 1 Punteggio Un produttore sta lanciando una nuova bibita in una determinata nazione. Come parte della campagna promozionale, viene stampata una lettera all interno del tappo di ogni bottiglia. I consumatori che entreranno in possesso di alcune combinazioni di lettere, potranno vincere premi. L alfabeto di questa nazione è composto da 26 lettere. Tutte le 26 lettere hanno la stessa probabilità di essere stampate sul tappo di una bottiglia. Ogni giorno un certo consumatore compra una bottiglia di questa bibita. a) i. Calcolare la probabilità che il quattordicesimo giorno egli compri una bottiglia che non ha la lettera P stampata sul tappo. Calcolare la probabilità che la prima volta che egli compri una bottiglia con la lettera P stampata sul tappo sia nel terzo giorno. b) i. Calcolare la probabilità che, nei primi dieci giorni, egli compri almeno una bottiglia il cui tappo porti stampata la lettera P. Calcolare la probabilità che egli possa comporre, con le lettere dei tappi dei primi quattro giorni, la parola EURO.. Page 5/8

6 PROBLEMA A SCELTA I. ANALISI PAGINA 1di 1 Punteggio Considerare le funzioni f e g definite da: x f(x) = x + 2 e g(x) = 2 2 Siano F e G i rispettivi grafici in uno stesso sistema di riferimento cartesiano ortonormato. a) i) Studiare ciascuna delle funzioni f e g, determinando il loro dominio, gli zeri e gli intervalli dove crescono o decrescono. ii) Determinare le coordinate del punto di intersezione di F e G. 5 punti iii) Disegnare F and G sul foglio di carta millimetrata, in uno stesso sistema di riferimento. b) Siano t 1 la tangente a F in K (0; 2 ) e t 2 la tangente a G in K. i. Determinare un equazione di ciascuna di queste tangenti e disegnare tali tangenti nel sistema di riferimento prima utilizzato. Calcolare, con due cifre decimali, l angolo α tra t 1 e t 2 c) Sia S la regione piana delimitata dai due grafici F e G e dall asse x. i. Calcolate l area di S. 5 punti Calcolare il volume V del solido di rotazione generato dalla rotazione di S attorno all asse x. Page 6/8

7 PROBLEMA A SCELTA II. PROBABILITÀ PAGINA 1di 1 Punteggio La seguente tabella mostra la distribuzione di frequenza dei quattro gruppi sanguigni in una popolazione molto numerosa la distribuzione degli individui di una popolazione numerosa nei quattro gruppi sanguigni. Gruppo sanguigno O A B AB Frequenza relativa 0,45 0,40 0,11 0,04 a) Un campione casuale di 15 persone viene estratto dalla popolazione. i. Determinare la probabilità che il campione contenga al più 10 individui con gruppo sanguigno A. Determinare la probabilità che il campione contenga più di 4 individui, ma meno di 8 con gruppo sanguigno B. b) Determinare la dimensione del più grande campione che è necessario considerare affinché la probabilità che in esso sia contenuto almeno un individuo con gruppo sanguigno B sia inferiore a 0,99. c) Supporre ora che un nuovo campione di 100 persone sia scelto a caso da questa popolazione. i. Calcolare la media e la varianza della variabile aleatoria numero di individui con gruppo sanguigno O. Utilizzando una distribuzione normale, calcolare la probabilità di avere più di 49 individui di gruppo sanguigno di tipo O. Giustificare l uso di un approssimazione normale in questo caso. i Calcolare il minimo numero k di individui tale che la probabilità che meno di k individui del campione abbiano gruppo sanguigno di tipo O sia maggiore di 0,95. iv. Utilizzando una distribuzione di Poisson, calcolare, con due cifre decimali, la probabilità che 3 individui abbiano gruppo sanguigno di tipo AB. Giustificare l uso di un approssimazione poissoniana in questo caso. Page 7/8

8 PROBLEMA A SCELTA III. GEOMETRIA PAGINA 1 di 1 Punteggio Nello spazio munito di un sistema di riferimento ortonormato, considerare: il piano π 1 : 4x+ 3z+ 29= 0 la sfera S : x + y + z + 2x 6y 15= 0 x = 3 + t la retta d 1 : y = 1 t z = 3, t R a) Determinare le coordinate del centro M e il raggio R della sfera S. b) i. Dimostrare che π 1 è un piano tangente alla sfera S Dimostrare che il piano π 1 tocca la sfera S nel punto A( 5; 3; 3). c) i. Dimostrare che la retta d 1 interseca la sfera S nel punto A e determinare le coordinate dell altro punto di intersezione E. Il piano perpendicolare ad AM e passante per ( 1; 1 ; 3) taglia la sfera S secondo un cerchio C. Determinare il raggio r e le coordinate del centro F del cerchio C. d) Sia dato il punto H ( 1, 7, 3) che giace sulla sfera S. Il piano π 2 è il piano tangente alla sfera S nel punto H. i. Determinare un equazione del piano π 2 Calcolare (approssimando al grado) la misura dell angolo acuto formato dai piani π 1 e π 2 e) Il punto B (3, 3, 3) è il punto di S tale che AB è un diametro di S. Determinare un sistema di equazioni parametriche per la retta d 2 che è tangente alla sfera S in B e interseca la retta d 1 6 punti Page 8/8

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