Circuiti del I ordine

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1 ircuii del I ordine 9 Un circuio è deo del I ordine se coniene un solo elemeno dinamico, condensaore o induore, e per il reso è cosiuio da componeni elerici di ipo algebrico privi di memoria, ovvero generaori e resisori. Si suppone di avere già operao evenuali semplificazioni serie/parallelo. E possibile sudiare un circuio del I ordine rappresenando il comporameno algebrico della resane pare della ree mediane il bipolo equivalene di Thévenin-Noron. In paricolare, nel caso del condensaore viene uilizzao il bipolo equivalene di Thévenin, menre nel caso dell induore viene uilizzao il bipolo equivalene di Noron. Per semplicià di noazione, si considerano i bipoli equivaleni con riferimeno alla convenzione del generaore vedi figura: v v eq R eq i i i eq G eq v

2 ircuii del I ordine 20 R eq i v v eq i eq G eq i L v

3 ircuii del I ordine 2 Inroducendo le relazioni cosiuive, per circuii con un condensaore o un induore, si giunge alle formulazioni: dv dv v veq Req + v d d v eq G eq R eq di di L L i ieq GeqL + i L d d L i eq L G eql R eq Tali relazioni sono equazioni differenziali lineari del I ordine, non omogenee ed a coefficieni cosani. I ermini a secondo membro sono le cosiddee forzani, proporzionali ad v eq o i eq, e rappresenano perano una combinazione lineare dei generaori indipendeni della ree elerica. Noa: i casi degeneri R eq 0 e G eq 0 si risolvono in: i dv eq /d e v L di eq /d.

4 22 ircuii del I ordine ome si vedrà nel seguio, la procedura per la soluzione di ali equazioni è quella ipica dell analisi maemaica che prevede siano assegnae la condizione iniziale e la forma d onda del ermine forzane. In base al eorema di sosiuzione, una vola deerminao l andameno nel empo v v è possibile sosiuire il condensaore con un generaore indipendene che imprime lo sesso andameno di ensione. nalogamene, una vola deerminao i L i L, è possibile sosiuire l induore con un generaore indipendene che imprime la sessa correne. seguio di ale sosiuzione il circuio diviene privo di componeni dinamici e può essere sudiao con uno dei meodi inrodoi per le rei algebriche. Noa: si considera il caso > 0 sabile. Il caso < 0 insabile non viene esaminao.

5 ircuii del I ordine: riorno ad una ree algebrica 23 R eq i v v v eq i eq G eq i L v i

6 ircuii del I ordine: soluzione generale 24 Si assume come incognia la ensione ai capi del condensaore o la correne che araversa l induore, indicandola con. Il ermine forzane a secondo membro funzione noa che rappresena l evoluzione del empo della ensione a vuoo o della correne di coro circuio si indica con u e si inroduce la cosane di empo così come precedenemene definia. L equazione da risolvere è quindi del ipo: d d + u +, a p 0 La soluzione di ale equazione può essere espressa come somma dell inegrale dell equazione omogenea associaa, a, oenua annullando il ermine forzane u, e di un inegrale paricolare, p, una funzione del ipo di u. Si impone poi la condizione iniziale per 0 per deerminare la cosane di inegrazione.

7 ircuii del I ordine: evoluzione libera 25 L evoluzione libera rappresena l andameno della risposa quando il ermine forzane ovvero l ingresso, i generaori indipendeni è nullo. Per queso si parla anche di risposa con ingresso zero. In queso caso l equazione differenziale risoluiva è omogenea, a. ome noo, la soluzione è rappresenaa da un esponenziale il cui coefficiene s è la radice del polinomio caraerisico: d d + 0 s + 0 s K e s K e La cosane di inegrazione K si deermina imponendo la condizione iniziale: 0 0 K. Si ha perano 0 e

8 26 ircuii del I ordine: inegrale generale L inegrale generale dell equazione differenziale del I ordine può essere quindi espresso nella forma: + K e p La cosane di inegrazione K si deermina assegnando la condizione iniziale per 0: 0 K + p0 K 0 p0 La soluzione può quindi essere [ ] espressa nella forma: 0 p0 e p + lim p ermine ransiorio ermine permanene

9 27 ircuii del I ordine: generaori in coninua Nel caso ui i generaori indipendeni della ree imprimano valori di ensione e/o correne cosani indipendeni dal empo, è immediao verificare che l inegrale paricolare è una cosane che rappresena il valore assuno dalla soluzione all equilibrio, ovvero per : p X p, essendo: X p V eq per oppure I eq per L. L inegrale dell omogenea associaa è rappresenao dall esponenziale: a K e Noa: si ha a 0 per Imponendo la condizione iniziale: 0 a 0 + p 0 si calcola la cosane di inegrazione K e si oiene l espressione risoluiva: X + p [ 0 X ] e p [ 0 ] e +

10 28 ircuii del I ordine: condizione iniziale La condizione iniziale 0 può essere deerminaa considerando le proprieà di coninuià della variabile, ovvero, della ensione del condensaore o della correne dell induore: Qualora la condizione iniziale cosiuisca una condizione di equilibrio di regime cosane, è possibile deerminare la ensione del condensaore considerandolo come un circuio apero, si ha infai: dv i 0 se v cos d nalogamene, è possibile deerminare la correne di equilibrio dell induore considerandolo come un coro circuio, si ha infai: v L dil L 0 se i L d cos Noa: è lo sesso discorso che per la condizione finale di equilibrio.

11 29 Proprieà della forma d onda esponenziale Nel caso di evoluzione libera o di generaori in coninua si ha quindi che la forma d onda è un ramo di esponenziale che pare dal valore iniziale 0 e ende asinoicamene al valore finale. 0 63% 0 [ 0 ] e 99% vedi calcoli alla lavagna

12 30 Proprieà della forma d onda esponenziale Può risulare uile conoscere il empo necessario per passare da un valore ad un valore 2 2 seguendo l andameno esponenziale: [ ] e 0 [ ] e e e e ln formula del empo rascorso

13 3 ircuii del I ordine: generaore sinusoidale In presenza di un generaore indipendene di ensione o correne con andameno sinusoidale, il ermine forzane assume anch esso forma d onda sinusoidale. Un inegrale paricolare è quindi dao da una sinusoide: d d + UM cos ω + ϑ p X M cos ω [ 0 X cos ϕ ] e + X cos ω + ϕ M + ϕ I coefficieni X M e ϕ sono esprimibili in funzione dei ermini assegnai U M e ϑ. Si rimandano gli sviluppi alla pare sul regime sinusoidale. Noa: come si vedrà nel seguio, le sesse considerazioni valgono anche in presenza di più generaori indipendeni di ensione e/o correne isofrequenziali. M

14 32 ircuii del I ordine: sao La ensione del condensaore o la correne dell induore,, è una variabile che assume un significao paricolare nell evoluzione della ree elerica: ale grandezza è coninua e può essere uilizzaa, congiunamene ai generaori indipendeni, v ok ed i oh, per esprimere qualsiasi ensione o correne di lao, y. Uilizzando la sosiuzione precedenemene descria ed in virù del principio di sovrapposizione degli effei si ha infai: y c b i + akvok + k h h oh Riprendendo la formulazione mariciale inrodoa con l analisi di ableau ed il principio di sovrapposizione degli effei si può uilizzare la scriura: 2 l v i m+ [S] vo i o m

15 ircuii del I ordine: sao 33 Per ale moivo è dea variabile di sao, in quano appuno rappresena lo sao della ree elerica. L evoluzione fuura della ensione e della correne di ogni lao della ree dipende unicamene dal valore auale dello sao e dall evoluzione degli ingressi del sisema, ovvero dei generaori indipendeni. La forma canonica per la scriura dell equazione di sao è del ipo: & + u Nel caso di circuii del I ordine l elemeno è uno scalare: / & + u Noa: la correne del condensaore, i, e la ensione dell induore, v L, sono dee variabili coniugae a quella di sao, e si indicano con c. Si ha: c K d/d.

16 34 ircuii del I ordine: sao - soluz. generale L analisi in ermini di variabile di sao uilizza la cosiddea formula di Lagrange per esprimere l inegrale generale in forma esplicia: 0 e + e ' u ' d' 0 risposa con ingresso zero evoluzione libera risposa con sao zero evoluzione forzaa Tale formulazione ha caraere generale e prescinde dalla possibilià di individuare, a vole per enaivi, un inegrale paricolare che soddisfa l equazione differenziale originaria.

17 ircuii del I ordine: soluzione numerica 35 La formulazione in ermini di equazione di sao esprime ad ogni isane la velocià di variazione dello sao, d/d,in funzione del valore auale dello sao sesso,, e del valore auale dell ingresso, u. E quindi possibile uilizzare ale formulazione per implemenare un meodo numerico basao sul calcolo dell incremeno dello sao,, per un ogni assegnao incremeno emporale,. onsiderao l isane iniziale o e sviluppando in serie di Taylor la funzione nell inorno di ale isane, o +, si oiene: d o+ o + + L d o+ o + u o o o + o + u o sufficienemene piccolo rispeo a Noa: ciò equivale ad approssimare la derivaa con il rapporo incremenale

18 Presenza di inerruori 36 La presenza di inerruori compora una modifica opologica della ree all ao della loro commuazione. Si considerano soliamene inerruori ideali, ovvero ali da presenarsi come circuii aperi R o come cori circuii R0, con una commuazione isananea ra le 2 configurazioni. Per la soluzione della ree supponendola sempre non degenere è sufficiene imporre la coninuià della variabile di sao. on riferimeno ad una commuazione all isane o si ha: si deermina il valore o in corrispondenza dell isane immediaamene precedene la commuazione dell inerruore; si deermina il nuovo bipolo equivalene Thévenin/Noron che rappresena la ree ai morsei dell elemeno dinamico per o + ; si uilizza come condizione iniziale quella oenua con la coninuià o + o e si procede nella soluzione del ransiorio per > o.

19 Presenza di inerruori 37 o - o o + R eq v o R eq v o v eq v eq i eq G eq L i o i eq G eq L i o

20 38 Presenza di inerruori Sempre con riferimeno ad una commuazione nell isane o, si è solii assumere un nuovo riferimeno emporale o in modo che l isane di commuazione divenga l isane iniziale di un nuovo ransiorio: o 0 [ 0 0] e + p [ ' 0 ' 0] e ' + ' ' ' ' p p ' p 0 0 o 0 calcolare: p

21 Presenza di inerruori: singolarià 39 La commuazione di un inerruore può dar luogo a delle singolarià. d esempio, la chiusura può generare una disconinuià di ensione per un condensaore, l aperura può generare una disconinuià di correne per un induore. Tale singolarià è immediaamene idenificabile schemaizzando l inerruore chiuso come un generaore di ensione, con ensione nulla, e l inerruore apero come un generaore di correne, con correne nulla. Sulla base di quesa schemaizzazione, si ha una singolarià quando la commuazione ideale dà luogo ad una ree degenere. Vedi schemi ed esempi lavagna