Il framework di riferimento del costo del capitale

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1 Il framework di riferimento del costo del capitale Franco Moriconi Dipartimento di Economia, Università di Perugia Università Bocconi Milano, 22 settembre / 33

2 Un esempio, per cominciare Siamo al tempo zero e dobbiamo valutare un progetto che promette la disponibilità di un cash flow C alla data t = 3 anni. L importo C è incerto, e il suo valore atteso E(C) è uguale a 100 e Il tasso di interesse a 3 anni r f su investimenti privi di rischio in vigore sul mercato è uguale al 4% Considerate le caratteristiche di C, si ritiene adeguato un costo del capitale k uguale al 10% Il valore V del progetto è ottenuto attualizzando E(C) al tasso k: V = (1 + k) t E(C) = 100 = 75, 13 e 1, 103 (se si attualizzasse al 4% si avrebbe V = 88, 90 e) 2 / 33

3 Principî Italiani di Valutazione (Conceptual Framework) I tassi di sconto, o di attualizzazione, nelle valutazioni hanno la funzione di trasformare flussi di cassa (cash flow) esigibili a date future in un importo, il valore attuale, esigibile alla data di valutazione. Il principio base è che ricevere uno specificato flusso di cassa a una specificata data futura è equivalente a ricevere il valore attuale del flusso di cassa alla data di valutazione.? equivalente in che senso? L idea base del costo del capitale (CoC): Dato un progetto con cash-flow rischioso C disponibile alla data t, il costo del capitale k è il tasso di rendimento che ci si aspetta di ottenere in un investimento alternativo con rischiosità comparabile = chi possiede V = (1 + k) t E(C) = 75, 13 e in 0 si trova in una posizione equivalente, ex ante, a chi riceverà C tra 3 anni (o a chi è intestatario di un progetto con analoga tempistica e rischiosità). 3 / 33

4 Cash flow multipli L idea si estende al caso di una sequenza di cash-flow (cash flow stream) C 1, C 2,..., C n esigibili alle date t 1, t 2,..., t n A rigore si avrebbe: V = (1 + k 1 ) 1 E(C 1 ) + (1 + k 2 ) 2 E(C 2 ) + + (1 + k n ) n E(C n ) Ma molto spesso si semplifica: V = (1 + k) 1 E(C 1 ) + (1 + k) 2 E(C 2 ) + + (1 + k) n E(C n ) dove k è un tasso medio (in un senso che andrebbe precisato). Per semplicità, ci limiteremo al caso di cash flow singolo C disponibile alla data t. 4 / 33

5 Le componenti del problema Il problema di valutazione ha due componenti fondamentali: C non è immediatamente esigibile: differimento temporale; C è incerto: presenza di rischio. Queste caratteristiche sono ambedue sgradite al potenziale acquirente del progetto, e richiedono una adeguata remunerazione. Possono essere trattate separatamente. 5 / 33

6 Remunerare il differimento temporale Postulato del rendimento del danaro. Il costo dell operazione consistente nel differire la scadenza di un debito è positivo. (B. de Finetti, Sulle operazioni finanziarie, G.I.I.A. 1935) Principle of anticipation. Value is created by the anticipation of future benefits. (USPAP Edition, lines ). = concetto di price of time (o anche time cost of money, time value of money) Il price of time è misurato dal valore del tasso risk-free r f. Se C fosse uguale a 100 e con certezza (escludendo, quindi, anche il default), si avrebbe: V = (1 + r f ) t E(C) = 100 = 88, 90 e 1, 043 Gli interessi : , 90 = 11, 10 e sono il prezzo da pagare per il (solo) differimento temporale. 6 / 33

7 La struttura dei tassi risk-free è dinamica! I tassi r f sono, per definizione, relativi a cash flow privi di incertezza, tuttavia non sono costanti nel tempo! La curva dei tassi (struttura per scadenza dei tassi di interesse) risk-free è un fenomeno dinamico, risultato dei processi di equilibrio economico per una valutazione market consistent, r f va osservato sul mercato alla data di valutazione. 7 / 33

8 Remunerare il rischio Principio di avversione al rischio. Gli agenti economici sono avversi al rischio: a parità di data di disponibilità, un cash flow incerto C non è mai preferito a un cash flow certo che abbia importo E(C). Sostituendo C con E(C) si è tenuto conto della scala del cash flow, ma se ne è trascurata la rischiosità: 88, 90 e è il prezzo di un progetto che paga 100 e con certezza in t = 3 è richiesto un ulteriore abbattimento di V per premiare la rischiosità di C. Il metodo CoC produce la remunerazione del rischio maggiorando il tasso risk-free: l ulteriore sconto : 88, 90 75, 13 = 13, 77 e è il premio al rischio in termini monetari; la maggiorazione di tasso (spread): 10% 4% = 6% è il premio al rischio in termini di tasso. 8 / 33

9 Il CoC come RAD L approccio CoC alla valutazione rientra nell importante classe dei metodi con Attualizzazione aggiustata per il rischio (Risk Adjusted Dicounting, RAD). Denominazioni alternative: Discounted Cash Flow (DCF), expected present value technique,.... Esistono altri metodi di valutazione, in alcuni casi comparabili, in altri casi preferibili al RAD: Attualizzazione dell equivalente certo (Discounted Certainty Equivalent, DCE), nelle versioni: con caricamenti espliciti (DCE/RL); con probabilità risk-neutral (DCE/RN); metodi ibridi PIV-Conceptual Framework Siamo interessati a un quadro di confronto tra i principali metodi, ma preliminarmente... 9 / 33

10 Sulla corretta interpretazione del valore atteso È evidente che il punto cruciale dell approccio RAD, e quindi anche del CoC, è la calibratura del tasso di valutazione in relazione alla rischiosità del cash flow da valutare. Ma una adeguata posizione del problema richiede che sia preliminarmente precisato il corretto significato di E(C). E(C): expectation, aspettativa, valore atteso, previsione, valor medio,..., di C. È la media dei valori possibili ponderata con le relative probabilità (probability-weighted average of possible values). 10 / 33

11 19.6. Il valore atteso di un flusso di cassa rischioso va inteso nel senso tecnico di media ponderata dei valori possibili ( probability-weighted average of possible values ); rappresenta cioè il valor medio della distribuzione di probabilità costruita su tutti i possibili valori assunti dal flusso di cassa. Il valore stimato di un flusso di cassa rischioso sarà genericamente riferito a quelle quantificazioni numeriche del flusso di cassa basate su un ventaglio di ipotesi più limitato, cioè ottenute trascurando alcuni dei valori possibili. Il valore stimato, quindi, contiene in genere una distorsione (bias) rispetto al valore atteso; questa distorsione potrà essere eliminata con una opportuna correzione o rettifica del flusso di cassa. Un valore atteso è un valore stimato con distorsione nulla. Commento... si indicherà con E(C) il valore atteso di C; si indicherà con Ĉ il suo valore stimato. La distorsione è quindi quantificata dalla differenza = Ĉ E(C). 11 / 33

12 ... È pure usato il termine proiezione (projection), spesso però con riferimento al valore ottenuto in corrispondenza di condizioni ipotetiche (hypothetical assumptions). La previsione di un flusso di cassa, cioè la determinazione del suo valore atteso, deve fondarsi su una base di coerenza e ragionevole obiettività. In particolare deve considerare tutti i fattori-chiave (key factors) rilevanti e formulare relativamente a questi ipotesi (assumptions) ragionevolmente obiettive. Spesso la stima di C è un valore probabile ottenuto considerando solo un insieme di scenari ritenuti più verosimili. Il caso estremo è quello di ricavare la stima come il valore di C cui si attribuisce probabilità massima (valore del cash flow nello scenario più probabile). Ciò corrisponde a considerare la moda (punto di massimo) invece che la media della distribuzione di probabilità. La media e la moda, però, coincidono solo se la distribuzione ha un solo massimo ed è simmetrica. Nell esperienza comune si riscontra spesso che il preventivo di un costo C tende a rivelarsi inferiore / 33

13 Un esempio provocatorio C = { 110 con probabilità p = 75%, 70 con probabilità 1 p = 25%. I valori: C a = 110, C b = 70, p a = 75% (e p b = 1 p a ) esprimono tutta l informazione contenuta nel giudizio probabilistico: rappresentano la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria C. Il valore atteso è: E(C) = C a p a + C b p b = 110 0, , 25 = 100 e e rappresenta solo un riassunto parziale dell informazione contenuta nella distribuzione.! Il tasso di attualizzazione va applicato a 100 e anche se si pensa che C non potrà in ogni caso assumere questo valore! 13 / 33

14 ! Attenzione al concetto di best estimate Il concetto di best estimate viene utilizzato con interpretazioni alternative contrastanti: valore più verosimile, valore più probabile (nell esempio C a = 110 e); valore atteso (cioè E(C) = 100 e); valore atteso attualizzato al tasso risk-free (quindi 88, 90 e): questa è l interpretazione adottata nella Direttiva Quadro Solvency II! 14 / 33

15 Perchè va usato E(C) La scelta del valore atteso E(C) come quantità da attualizzare è l unica che garantisce la coerenza, intesa in senso tecnico, secondo la teoria delle probabilità 1. Due possibili criteri (equivalenti) per definire la coerenza: E(C) come prezzo scelto per una lotteria che paga l importo C, con l impegno ad assumere eventualmente la parte del banco dopo la scelta E(C) come il valore x per cui è minima la penalizzazione quadratica (Expected Quadratic Loss) L(x) = (C a x) 2 p a + (C b x) 2 p b 1 B. de Finetti, Sul significato soggettivo della probabilità, in Fundamenta Mathematicae, XVII, Teoria delle probabilità, Einaudi, / 33

16 ! Se si sceglie x = E(C) il valore (il minimo) della loss è: L(x) = [C a E(X )] 2 p a + [C b E(X )] 2 p b = Var(C) Cioè, per x = 100 si ottiene la varianza di C: σ 2 = ( ) 2 0, 75 + (70 100) 2 0, 25 = 300 e 2 e la deviazione standard è: σ = 17, 32 e. 16 / 33

17 Il concetto di valore atteso svolge un ruolo cruciale nella teoria della valutazione in condizioni di incertezza, a cominciare dalla definizione stessa di avversione al rischio. Naturalmente nelle applicazioni reali non sarà mai possibile prefigurare tutte le possibili modalità di C ( scenari ), ma ciò non autorizza a trascurarne alcune tra quelle prefigurabili. Il giudizio probabilistico sarà necessariamente un giudizio sintetico, ma dovrà essere basato su tutta l informazione disponibile alla data di valutazione. L uso di modelli e metodologie statistiche è, ovviamente, benvenuto, ma nei casi pratici il giudizio probabilistico definitivo conterrà sempre una dose non trascurabile di valutazione soggettiva.! Soggettività, ma non arbitrarietà. 17 / 33

18 Il CAPM per la scelta del tasso di valutazione Equazione della Security Market Line: r v = r f + p M β dove β è una misura del rischio sistematico del progetto. Quindi, per un progetto con cash flow C in t = 1: V (C) = E(C) 1 + r f + p M β(c)! Il CAPM è un modello Media(nel senso di E(C))-Varianza. In effetti i rendimenti coinvolti nella SML sono rendimenti attesi: r v = E(C) V 1 18 / 33

19 Sulla Additività Sia il valore atteso, sia il beta (che è una covarianza) sono additivi: E(C 1 + C 2 ) = E(C 1 ) + E(C 2 ), β C1 +C 2 = β C1 + β C2 Ma l additività non vale, in generale, per il valore RAD: E(C 1 + C 2 ) 1 + r f + p M β C1 +C 2 E(C 1 ) 1 + r f + p M β C1 + E(C 2 ) 1 + r f + p M β C2! L additività (linearità) è una caratteristica dei prezzi di mercato! 19 / 33

20 Il principio del Discounted Certainty Equivalent La remunerazione del rischio è ottenuta aggiustando direttamente il cash flow atteso: V = E(C) + L (1 + r f ) t L: caricamento per il rischio (risk loading), P = E(C) + L: equivalente certo dell importo incerto C. Si ha equivalenza tra DCE e RAD se: E(C) + L E(C) = (1 + r f ) t (1 + r v ) t = L = E(C) [ (1 ) t + rv 1] 1 + r f Nel nostro esempio, è richiesto il caricamento (ovviamente, negativo): [ (1, ) 3 04 L = 100 1] = 100 (0, ) = 15, 49 e 1, 10 L equivalente certo di C è P = 84, 51 e. 20 / 33

21 Il DCE con risk loading esplicito (DCE/RL) Il DCE nella forma standard (DCE/RL) richiede il calcolo esplicito del risk loading L. Per la determinazione di L si tiene conto di solito delle caratteristiche della distribuzione di probabilità di C, in particolare della dispersione metodologie attuariali Per es. Principio della deviazione standard: L = α σ(c). Nel nostro caso, dato che è σ(c) = 17, 32 e, un valore: L = 15, 49 e realizza il P.D.S. con un coefficiente α 90%. 21 / 33

22 Sulla Additività È rilevante il fatto che in generale i risk loading non sono additivi: L C1 +C 2 L C1 + L C2 Quindi la valutazione DCE/RL non è additiva: E(C 1 + C 2 ) + L C1 +C r f E(C 1) + L C1 1 + r f + E(C 2) + L C2 1 + r f 22 / 33

23 Il DCE con probabilità risk-neutral (DCE/RN) Invece di calcolare esplicitamente L si può definire l equivalente certo modificando le probabilità. In questo approccio DCE/RN la valutazione è ottenuta come: V = ERN (C) (1 + r f ) t dove E RN (C) è ancora un probability-weighted average of possible values, ma le probabilità utilizzate dette risk-neutral sono diverse dalle probabilità naturali (real-world probabilities). Nel nostro esempio, si ha equivalenza col metodo a caricamento esplicito usando la probabilità q a tale che: E RN (C) = C a q a + C a (1 q a ) = C a p a + C b (1 p a ) + L che richiede: q a = p a + L 15, 49 = 0, 75 = 36, 275%, q b = 63, 725% C a C b / 33

24 Valutazione di derivati Il metodo DCE/RN è specificamente concepito per la valutazione di contratti derivati. Il punto cruciale è che per tutti i derivati scritti sullo stesso sottostante valgono le stesse probabilità risk-neutral (perché il risk driver è il sottostante) se C 1 e C 2 sono i payoff di due derivati aventi stesso sottostante: E RN (C 1 + C 2 ) = E RN (C 1 ) + E RN (C 2 ) (perché E RN è una media pesata). Quindi:! Il DCE/RN è additivo: E RN (C 1 + C 2 ) 1 + r f = ERN (C 1 ) 1 + r f + ERN (C 2 ) 1 + r f = esclusione di arbitraggi! 24 / 33

25 Requisiti di applicabilità del DCE/RN Campo di applicabilità tutti i cash flow hedgeable, cioè replicabili con portafogli di contratti quotati Quasi sempre è sufficiente una replicabilità ideale, cioè costruibile in un mercato perfetto. L approccio DCE/RN realizza una valutazione market consistent, purché le probabilità risk neutral siano adeguatamente calibrate su dati di mercato è richiesto l uso di un adeguato modello stocastico di valutazione (option pricing model). Per payoff complessi (opzioni esotiche ) il calcolo esplicito dell aspettativa risk-neutral E RN (C) può non essere possibile metodi di calcolo numerico, per es. simulazione Monte Carlo. 25 / 33

26 Valutazione di liabilities Finora si è dato per sottinteso che il cash flow da valutare rappresenti una attività (asset).? È necessario cambiare il criterio di valutazione se C è una passività (liability)? In una situazione di mercato perfetto sarebbe sufficiente cambiare il segno contabile degli importi in gioco: si può intendere C come una liability, ponendosi nella posizione di chi deve consegnare il cash flow (logica del corresponding asset). Se l ipotesi del corresponding asset non è valida è necessario un cambiamento di prospettiva: Se C è una passività (liability) l aggiustamento per il rischio, sia nel metodo RAD, sia nel DCE/RL, deve avere segno opposto a quello adeguato per un asset. 26 / 33

27 Metodo RAD vs metodo DCE/RL Se il flusso di cassa rischioso da valutare è una passività e se il valore attuale è ottenuto col metodo dell attualizzazione aggiustata per il rischio (RAD), il tasso aggiustato per il rischio dovrà includere una adeguata riduzione del tasso privo di rischio. Commento La minorazione del tasso risk-free potrà anche portare a valori negativi del tasso aggiustato per il rischio. Può cioè accadere che l effetto sul tasso del price of risk sia maggiore dell effetto del price of time. Il metodo dell attualizzazione aggiustata per il rischio (RAD) per la valutazione di liability cash flow è di utilizzabilità molto limitata. Per questo tipo di applicazioni sono preferibili metodi alternativi, in particolare il DCE nelle sue varie accezioni. 27 / 33

28 Si supponga che il cash flow: { 110 con probabilità p = 75%, C = 70 con probabilità 1 p = 25%, sia una passività (un liability cash flow) da corrispondere in t = 3. Sappiamo che è E(C) = 100 e e σ(c) = 17, 32 e. Ora il principio di avversione al rischio richiede che il premio al rischio da applicare a V sia positivo col DCE/RL + Princ. Deviazione Standard con α 90%: L = +0, 9 17, 32 = 15, 49 e, quindi: V = 115, 49 = 102, 67 e 1, 043 Per ottenere lo stesso valore col metodo RAD bisognerebbe scontare E(C) al tasso r v = 0, 87%, che implica uno spread uguale a 4, 87%. 28 / 33

29 Il problema del Non-Performance Risk Il Non-Performance Risk (NPR) è il rischio che il cash flow dovuto possa non essere effettivamente corrisposto (in tutto o in parte) dal debitore.? Bisogna includere un aggiustamento per l NPR nella valutazione di una passività? Nel nostro esempio, per una PD=4% (annua) e una LGD=50%, si avrebbe uno spread da default del 2, 19%. col metodo DCE/RL misto, tenendo conto dell NPR si otterrebbe: V = 115, 49 = 96, 45 e (1, , 0219) 3 29 / 33

30 L inclusione di un aggiustamento per l NPR nelle valutazioni di passività è questione controversa. A fini contabili si tende a prescrivere l inclusione dell NPR nel trasferimento di una passività L NPR non va considerato a fini di calcolo del requisito patrimoniale (Basel III, Solvency II) A fini di pricing l inclusione dell NPR è fortemente dibattuta. Il problema è particolarmente delicato nella valutazione degli Interest Rate Swap L eventuale aggiustamento va comunque calcolato tenendo conto della presenza di garanzie accessorie 30 / 33

31 L approccio DCE/RL in Solvency II In Solvency II il valore V delle liability di una compagnia di assicurazione è denominato Technical Provisions (TP) (esempio tipico: la riserva sinistri per il ramo RC Auto) È prescritto che TP sia ottenuto come: TP = Best Estimate + Risk Margin = BE + RM BE: valore atteso delle prestazioni attualizzato al tasso risk-free RM: premio al rischio, tale da rendere TP market consistent? La chiusura del cerchio? 31 / 33

32 Come un assicuratore dovrà valutare le proprie liability secondo Solvency II (schema semplificato): Sia C il costo ultimo per rimborso sinistri avvenuti in un ramo danni, per es. RC Auto Sia E(C) = 100 ( riserva sinistri in Solvency I) Deviazione standard di C: σ = 9 ( Standard Formula) Solvency Capital Requirement: Value-at-Risk a 1 anno al 99, 5%. SCR 3 σ = 27 (Standard Formula) Duration di C: D = 3 anni. Approx. zero-coupon: t = D Best Estimate di C: BE = (1 + r f ) t E(C) = 1, = 88, 90 Risk Margin di C: RM = SCR D CoC = , 06 = 4, 86 Technical Provisions (valore delle liability): TP = BE + RM Quindi: TP = 88, , 86 = 93, / 33

33 Il valore V delle liability del ramo (TP, riserva sinistri), è ricavato con approccio DCE/RL, dove il risk loading è: L = RM (1 + r f ) t = 1, , 86 = 5, 47 V = E(C) (1 + r f ) t + L (1 + r f ) t = 100 5, 47 + = 88, , 86 = 93, 76 1, 043 1, 043 Si ha una (apparente) circolarità: RM (e quindi V ) è ricavato dopo aver calcolato l assorbimento di capitale (che dipende da V ), ma nel calcolo del risk loading entrano tutte le componenti logico-economiche rilevanti: una misura (monetaria) del rischio: l SCR, la durata temporale dell esposizione al rischio (la duration delle liability), una misura degli effetti del rischio percepiti dal valutatore: il costo del capitale! 33 / 33

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